山西省朔州市懷仁市大地學(xué)校高中部2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月月考試題數(shù)學(xué)

絕密★啟用前懷仁市大地學(xué)校20232024學(xué)年度下學(xué)期第四次月考高一數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4.考試結(jié)束后，將答題卡交回。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知i是虛數(shù)單位，則A． B． C． D．2．已知某學(xué)校高三年級(jí)甲、乙、丙三個(gè)班級(jí)人數(shù)分別為40，30，50，學(xué)校計(jì)劃采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法在三個(gè)班級(jí)中評(píng)選優(yōu)秀學(xué)生，已知乙班分配到的優(yōu)秀學(xué)生名單為6人，則高三年級(jí)三個(gè)班優(yōu)秀學(xué)生總?cè)藬?shù)為A．16 B．30 C．24 D．183．如圖，在平行四邊形中，A． B． C． D．4．以下數(shù)據(jù)為某學(xué)校參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽10人的成績(jī)：（單位：分）72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，則這10個(gè)成績(jī)的第75百分位數(shù)是A．90 B．89 C．88 D．88.55．在中，已知，，，則的面積為A．4 B． C．2 D．16．某高校對(duì)中文系新生進(jìn)行體測(cè)，利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)650名學(xué)生進(jìn)行抽樣，先將650名學(xué)生進(jìn)行編號(hào)，001，002，…，649，650.從中抽取50個(gè)樣本，下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)是3221183429

7864540732

5242064438

1223435677

35789056428442125331

3457860736

2530073286

2345788907

23689608043256780843

6789535577

3489948375

2253557832

4577892345A．623 B．328 C．072 D．4577．如圖，已知正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．8．在三棱錐中，平面，，為邊長(zhǎng)等于的正三角形，則三棱錐的外接球的表面積是A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分）9．已知是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是A．若，則 B．若，則C．若，且，則 D．若，且，則10．某校高一年級(jí)甲，乙兩名同學(xué)8次數(shù)學(xué)測(cè)試（100分制）成績(jī)?nèi)缜o葉圖所示，則下列結(jié)論正確的是A．甲、乙的中位數(shù)都是83 B．甲的方差小于乙的方差C．甲、乙同學(xué)成績(jī)的極差分別是17和20 D．甲的分位數(shù)是80、乙的分位數(shù)是8311．對(duì)于中角所對(duì)的邊分別為則下列說法正確的有A．若則為等腰三角形 B．若則為等腰三角形C．若則 D．若則為銳角三角形第II卷（非選擇題）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)．13．在中，若，則14．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)是該正方體表面及其內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且平面，則線段的長(zhǎng)的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15（13分）．已知向量，．(1)若，求；(2)若，，求與的夾角的余弦值．16（15分）為了落實(shí)習(xí)主席提出“綠水青山就是金山銀山”的環(huán)境治理要求.某市政府積極鼓勵(lì)居民節(jié)約用水．計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案.擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（噸）.一位居民的月用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi).超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解居民用水情況.通過抽樣.獲得了某年200位居民每人的月均用水量（單位：噸）.將數(shù)據(jù)按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9組.制成了如圖所示的頻率分布直方圖.其中0.4a=b.(1)求直方圖中a.b的值.并由頻率分布直方圖估計(jì)該市居民用水量的眾數(shù)；(2)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x（噸）.估計(jì)x的值．17（15分）．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，且，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)求三棱錐的體積.18（17分）．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，．(1)求角C的大??；(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng)．19（17分）．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)求二面角的正切參考答案：1．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】由題意.故選：A2．C【分析】利用分層隨機(jī)抽樣及已知，求出三個(gè)班級(jí)分配到的優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)即得.【詳解】甲、乙、丙三個(gè)班級(jí)人數(shù)比為，由分層隨機(jī)抽樣，三個(gè)班級(jí)優(yōu)秀學(xué)生名額分別為8，6，10，所以高三年級(jí)三個(gè)班優(yōu)秀學(xué)生總?cè)藬?shù)為人.故選：C3．A【分析】根據(jù)給定圖形，利用向量加法的平行四邊形法則計(jì)算即得.【詳解】依題意，，所以.故選：A4．A【分析】根據(jù)題意，由百分位數(shù)的計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】從小到大排序這10個(gè)數(shù)據(jù)為72，78，80，81，83，86，88，90，91，92，因?yàn)?，所以這10個(gè)成績(jī)的第75百分位數(shù)是第8個(gè)數(shù)90.故選：A.5．B【分析】利用正弦定理和余弦定理得到，，由三角形面積公式求出答案.【詳解】由正弦定理得，由余弦定理得，即，解得，故，所以.故選：B6．A【分析】按照隨機(jī)數(shù)表提供的數(shù)據(jù)，三位一組的讀數(shù)，并取001到650內(nèi)的數(shù)，重復(fù)的只取一次即可【詳解】從第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，第一個(gè)數(shù)為253，第二個(gè)數(shù)是313，第三個(gè)數(shù)是457，下一個(gè)數(shù)是860，不符合要求，下一個(gè)數(shù)是736，不符合要求，下一個(gè)是253，重復(fù)，第四個(gè)是007，第五個(gè)是328，第六個(gè)數(shù)是623，，故A正確.故選：A.7．B【分析】根據(jù)題中條件連接，取的中點(diǎn)，連接,，作出異面直線所成的角，利用余弦定理求解即可.【詳解】連接，取的中點(diǎn)，連接,，由題意知，，則異面直線與所成角為（或其補(bǔ)角），在中，，則，則異面直線與所成角的余弦值為.故選：B.8．D【分析】將三棱錐補(bǔ)形為一個(gè)直三棱柱,分別是上下底的外心，則的中點(diǎn)是外接球的球心，求出球半徑后可得表面積．【詳解】易知的外接圓的半徑為1，將三棱錐補(bǔ)形為一個(gè)直三棱柱，如圖，分別是上下底的外心，則的中點(diǎn)是外接球的球心，由題設(shè)，易得底面外接圓半徑，，則，即外接球的半徑為，其外接球的表面積是，故選：D．9．BD【分析】根據(jù)空間中直線，平面的位置關(guān)系分別去判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，若，，則與可能平行，相交或異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)面面平行的判定定理，只有當(dāng)與是平面內(nèi)的兩條相交直線時(shí)，方可確定，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，或，又，，故D正確.故選：BD.10．BC【分析】根據(jù)莖葉圖求甲乙的中位數(shù)、方差、極差，結(jié)合百分?jǐn)?shù)求法求甲的分位數(shù)、乙的分位數(shù)，即可判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】由莖葉圖知：甲數(shù)據(jù)為，乙數(shù)據(jù)為，甲乙中位數(shù)分別為，，A錯(cuò)；甲的平均值，乙的平均值，故甲的方差，故乙的方差，所以甲的方差小于乙的方差，B對(duì)；甲乙的極差分別為，，C對(duì)；由，甲的分位數(shù)為，由，乙的分位數(shù)為，D錯(cuò).故選：BC11．ACD【分析】對(duì)于A，利用正弦定理角化邊可得；對(duì)于B，根據(jù)為三角形內(nèi)角，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得；對(duì)于C，假設(shè)，則，根據(jù)余弦定理，利用進(jìn)行放縮，分離出，結(jié)合基本不等式可推得矛盾，可判斷C；對(duì)于D，利用正切的兩角和公式整理變形，結(jié)合已知可得，根據(jù)角的范圍可得.【詳解】對(duì)于A，利用正弦定理角化邊得，所以為等腰三角形，A正確；對(duì)于B，若因?yàn)榍遥曰颍椿?，所以為等腰三角形或直角三角形，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，假設(shè)，則，由余弦定理得，所以，又，所以，則，即，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，即，，假設(shè)不成立，所以，C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，所以中的?fù)數(shù)有0個(gè)或2個(gè)，因?yàn)椋宰疃嘤幸粋€(gè)為負(fù)數(shù)，所以都為正數(shù)，即都是銳角，D正確.故選：ACD12．1【分析】結(jié)合純虛數(shù)的定義，即可求解．【詳解】是純虛數(shù)，則，解得．故答案為：1．13．【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理求解即得.【詳解】在中，由，得，由余弦定理得，而，所以.故答案為：14．【分析】證明平面平面，得點(diǎn)的軌跡，由此可得的最大值為的長(zhǎng)，最小值為到平面的距離，求出距離后可得．【詳解】連接，正方體中由與平行且相等得是平行四邊形，從而，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，平面，則平面，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡形成的區(qū)域?yàn)榈倪吔缂皟?nèi)部，的最大值為即的長(zhǎng)，的最小值為到平面的距離，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，，由平面，平面，得，又，，平面，所以平面，而平面，所以，同理，又因?yàn)?，平面，所以平面，同理可證，所以，從而，故線段的長(zhǎng)的取值范圍是．故答案為：．15．(1)(2)【分析】（1）利用向量垂直求得的值，代入向量坐標(biāo)，利用向量模長(zhǎng)公式計(jì)算即得；（2）利用向量共線求得的值，代入向量坐標(biāo)，利用向量夾角公式計(jì)算即得.【詳解】（1）由題意，因?yàn)?，則，得，則，所以；（2）由已知，又，，所以，得，則，，故．16．(1)a=0.15.b=0.06，眾數(shù)為4.5噸.(2)5.8【分析】（1）由頻率直方圖的面積和為建立方程組.由此即可求出的值.再根據(jù)估計(jì)眾數(shù)的定義即可求解；（2）分別求出前組.前組的頻率和，估計(jì)出的范圍.再根據(jù)范圍建立方程，由此即可求解．【詳解】（1）由題意可得.解得，.由頻率分布直方圖估計(jì)該市居民用水量的眾數(shù)為噸.（2）因?yàn)榍?組的頻率和為，前5組的頻率和為.所以，由，解得，所以估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為噸時(shí)，的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)．17．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）借助中位線的性質(zhì)與線面平行判定定理推導(dǎo)即可得；（2）借助線面垂直的性質(zhì)定理與線面垂直的判定定理推導(dǎo)即可得；（3）借助點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，可得點(diǎn)與點(diǎn)到平面距離相等，即有，結(jié)合體積公式計(jì)算即可得.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，由底面是正方形，故為中點(diǎn)，又點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，故，又平面，平面，故平面；（2）由點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，故，由平面，平面，故，又底面是正方形，故，又、平面，，故平面，又平面，故，又、平面，，故平面；（3）由點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，故點(diǎn)與點(diǎn)到平面距離相等，故.18．(1)(2)12【分析】（1）借助正弦定理邊化角后結(jié)合三角形內(nèi)角和與兩角和的正弦公式計(jì)算即可得；（2）借助余弦定理與面積公式計(jì)算即可得.【詳解】（1）由正弦定理得：，∵，∴，∴，又，∴，∴，∵，∴．