【中考沖刺】初三數(shù)學(xué)培優(yōu)專題-12-三角函數(shù)(含答案)(難)

三角函數(shù)閱讀與思考三角函數(shù)揭示了直角三角形中邊與銳角之間的關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合的重要體現(xiàn)，解三角函數(shù)相關(guān)問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：1．理解同角三角函數(shù)間的關(guān)系．（1）平方關(guān)系：；（2）商數(shù)關(guān)系：，；（3）倒數(shù)關(guān)系：．2．善于解直角三角形．從直角三角形中的已知元素推求其未知的一些元素的過(guò)程叫作解直角三角形．解直角三角形，關(guān)鍵是合理選用邊角關(guān)系，它包括勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)的概念．許多幾何計(jì)算問(wèn)題都可歸結(jié)為解直角三角形，常見(jiàn)的基本圖形有：例題與求解【例1】在△ABC中，BC＝1992，AC＝1993，AB＝，則．（河北省競(jìng)賽試題）解題思路：通過(guò)計(jì)算，尋找BC2，AC2，AB2之間的關(guān)系，判斷三角形形狀，看能否直接用三角函數(shù)的定義解題．【例2】某片綠地形狀如圖所示，其中∠A＝600，AB⊥BC，AD⊥CD，AB＝200m，CD＝100m．求AD，BC的長(zhǎng)．（精確到1m，）解題思路：本題的解題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造的原則是不能破壞∠A，所以連結(jié)AC不行．延長(zhǎng)AD和BC交于一點(diǎn)E（如圖1），這樣既構(gòu)造出了直角三角形，又保全了特殊角∠A；或過(guò)點(diǎn)D作矩形ABEF（如圖2）來(lái)求解．【例3】如圖，已知正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)．將正方形折疊起來(lái)，使點(diǎn)A和點(diǎn)E重合，折痕為MN．若，DC＋CE＝10．（1）求△ANE的面積；（2）求的值．解題思路：將與DC＋CE＝10結(jié)合起來(lái)，可求出相關(guān)線段的長(zhǎng)，為解題鋪平道路．【例4】如圖，客輪沿折線A—B—C從A出發(fā)經(jīng)B再到C勻速航行，貨輪從AC的中點(diǎn)D出發(fā)沿某一方向勻速直線航行，將一批物品送達(dá)客輪．兩船同時(shí)起航，并同時(shí)到達(dá)折線A—B—C上的某點(diǎn)E處．已知AB＝BC＝200海里，∠ABC＝900，客輪速度是貨輪速度的2倍．（1）選擇：兩船相遇之處E點(diǎn)（ ）A．在線段AB上B．在線段BC上C．可以在線段AB上，也可以在線段BC上（2）求貨輪從出發(fā)到兩船相遇共航行了多少海里？（結(jié)果保留根號(hào)）（南京市中考試題）解題思路：對(duì)于（2），過(guò)D作DF⊥CB于F，設(shè)DE=x，建立關(guān)于x的方程．【例5】若直角三角形的兩個(gè)銳角A，B的正弦是方程的兩個(gè)根．（1）那么，實(shí)數(shù)p，q應(yīng)滿足哪些條件？（2）如果p，q滿足這些條件，方程的兩個(gè)根是否等于直角三角形的兩個(gè)銳角A，B的正弦？（江蘇省競(jìng)賽試題）解題思路：解本例的關(guān)鍵是建立嚴(yán)密約束條件下的含不等式、等式的混合組，需綜合運(yùn)用一元二次方程，三角函數(shù)的知識(shí)與方法．【例6】設(shè)a，b，c是直角三角形的三邊，c為斜邊，整數(shù)n≥3．求證：．（福建省競(jìng)賽試題）解題思路：由直角三角形的邊可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)正余弦來(lái)解．其不等關(guān)系可以利用正弦、余弦的有界性來(lái)證明．能力訓(xùn)練A級(jí)1．如圖，D是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，CD＝2AD，AE⊥BC于E．若BD＝8，，則AE＝．2．已知，則的最大值是，最小值是．（上海市理科實(shí)驗(yàn)班招生考試試題）3．如圖，在△ABC中，∠C＝900，∠BAC＝300，BC＝1，D為BC邊上的一點(diǎn)，是方程的一個(gè)較大的根，則CD＝．4．已知△ABC的兩邊長(zhǎng)a＝3，c＝5，且第三邊長(zhǎng)b為關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)正整數(shù)根之一，則的值為．（哈爾濱中考試題）5．如圖，小雅家（圖中點(diǎn)O處）門前有一條東西走向的公路，經(jīng)測(cè)得有一水塔（圖中點(diǎn)A處）在她家北偏東600距離500m處，那么水塔所在的位置到公路的距離AB是（ ）A．250m B．m C．m D．m 6．如圖，在△ABC中，∠C＝900，∠ABC＝300，D是AC的中點(diǎn)，則的值是（ ）A． B． C． D．（大連市中考試題）7．一漁船上的漁民在A處看見(jiàn)燈塔M在北偏東600方向，這艘漁船以28海里/時(shí)的速度向正東航行．半小時(shí)后到B處，在B處看見(jiàn)燈塔M在北偏東150方向，此時(shí)燈塔M與漁船的距離是（）（黃岡市中考試題）A．海里 B．海里 C．7海里 D．14海里8．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，AD＝8，AB＝7，則BC＋CD等于（）A． B． C． D．9．如圖是某品牌太陽(yáng)能熱水器的實(shí)物圖和橫斷面示意圖．已知真空集熱管AB與支架CD所在直線相交于水箱橫斷面⊙O的圓心，支架CD與水平面AE垂直，AB＝150厘米，∠BAC＝300，另一根輔助支架DE＝76厘米，∠CED＝600．（1）求垂直支架CD的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）求水箱半徑OD的長(zhǎng)度（結(jié)果保留三位有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：）．（揚(yáng)州市中考試題）10．若為銳角，求證：．（寧波市競(jìng)賽試題）11．如圖，已知AB＝CD＝1，∠ABC＝900,∠CBD＝300，求AC的長(zhǎng)．（加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題）12．如圖，在△ABC中，∠ACB＝900，CD⊥AB于點(diǎn)D，CD＝1．若AD，BD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程的兩根，且，求p，q的值并解此二次方程．B級(jí)1．若，且（k為常數(shù)，k＜0），則m的取值范圍是．2．設(shè)，，則．（武漢市選拔賽試題）3．已知在△ABC中，∠A，∠B是銳角，且，AB＝29cm，則△ABC的面積等于．（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）4．如圖，在正方形ABCD中，N是DC的中點(diǎn)，M是AD上異于D的點(diǎn)，且，則有．（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝900,∠CAB＝300，AD平分∠CAB，則的值為（）A． B． C． D．（湖北省選拔賽試題）6．如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E是CD上一點(diǎn)，∠ABE＝450，則的值等于（）（天津市競(jìng)賽試題）A． B．2 C． D．37．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝900,∠CBD＝300，則＝（）A． B． C． D．（山東省競(jìng)賽試題）8．如圖是一座人行天橋的引橋部分的示意圖，上橋通道是由兩段互相平行并且與地面成370角的樓梯AD，BE和一段水平天臺(tái)DE構(gòu)成．已知天橋高度BC＝4.8米，引橋水平跨度AC＝8米．（1）求水平天臺(tái)DE的長(zhǎng)度；（2）若與地面垂直的平臺(tái)立柱MN的高度為3米，求兩段樓梯AD與BE的長(zhǎng)度之比．（參考數(shù)據(jù)：?。ㄩL(zhǎng)沙市中考試題）在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，且c＝．若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，又方程的兩實(shí)數(shù)根的平方和為6，求△ABC的面積．（武漢市中考試題）10．如圖，EFGH是正方形ABCD的內(nèi)接四邊形，兩條對(duì)角線EG和FH所夾的銳角為，且與都是銳角．已知四邊形EFGH的面積為S．（1）求證：；（2）試用來(lái)表示正方形ABCD的面積．（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）11．如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A＝900，BC＝CD＝10，．(1)求梯形ABCD的面積；（2）點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．若兩點(diǎn)均以每秒1個(gè)單位的速度同時(shí)出發(fā)，連接EF，求△EFC面積的最大值，并說(shuō)明此時(shí)E，F(xiàn)的位置．（濟(jì)寧市中考試題）12．如圖，甲樓樓高16米，乙樓坐落在甲樓的正北面．已知當(dāng)冬至中午12時(shí)太陽(yáng)光線與水平面的夾角為300，此時(shí)，求：（1）如果兩樓相距20米，那么甲樓的影子落在乙樓上有多高？（2）如果甲樓的影子剛好落在乙樓上，那么兩樓的距離應(yīng)當(dāng)是多少？（山東省競(jìng)賽試題）三角函數(shù)例1AC2－BC2＝(1993＋1992)(1993－1992)＝1993＋1992＝AB2，∴AC2＝AB2＋BC2，得∠B＝90°，故原式＝(EQ\F(1992,1993))2.例2AD＝227m，BC＝146m.解法一:延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)E，如圖1.在Rt△ABE中，AB＝200m，∠A＝60°，∴BE＝AB·tanA＝200EQ\r(,3)(m)，AE＝EQ\F(AB,cos60°)＝EQ\F(200,0.5)＝400(m).在Rt△CDE中，CD＝100m.∠E＝90°－∠A＝30°，∴CE＝2CD＝200(m.∵cot∠E＝EQ\F(DE,CD)，DE＝CD·cot30°＝100EQ\r(,3)(m)，∴AD＝AE－DE＝400－100EQ\r(,3)≈227(m)，BC＝BE－CE＝200EQ\r(,3)－200≈146(m).解法二:如圖2，過(guò)點(diǎn)D作矩形ABEF.設(shè)AD＝x.在Rt△AFD中，∠DAF＝90°－60°＝30°，∴DF＝EQ\F(1,2)AD＝EQ\F(1,2)x，AF＝EQ\F(EQ\r(,3),2)x，在Rt△CED中，∠CDE＝30°，∴CE＝EQ\F(1,2)CD＝50(m)，DE＝EQ\F(EQ\r(,3),2)CD＝50EQ\r(,3)(m)，∵DE＋DF＝AB.∴50EQ\r(,3)＋EQ\F(1,2)x＝200，解得x＝400－100EQ\r(,3).∴AD＝400－100EQ\r(,3)≈227(m).∵BC＋CE＝AF，∴BC＝AF－CE＝EQ\F(EQ\r(,3),2)(400－100EQ\r(,3))－50＝200EQ\r(,3)－200≈146(m).例3⑴EQ\F(10,3)⑵EQ\F(3,5)提示：tan∠AEN＝tan∠EAB＝EQ\F(EB,AB).例4⑴設(shè)DE＝x(海里)，則客輪從A點(diǎn)出發(fā)到相遇之處E點(diǎn)的距離為2x海里.若2x<200，則x<100，即DE<EQ\F(1,2)AB，而從D點(diǎn)出發(fā)，貨輪到相遇點(diǎn)E處的最短距離是100海里，所以x≥100，即2x≥200，故相遇處E點(diǎn)應(yīng)在CB上，選B.⑵設(shè)貨輪從出發(fā)點(diǎn)D到兩船相遇處E共航行了x海里，如圖，過(guò)D作DF⊥CB于F，連DE，則DE＝x，AB＋BE＝2x，DF＝100，EF＝300－2x，由x2＝1002＋(300－2x)2，得x＝200－EQ\F(100EQ\r(,6),3)(海里).例5⑴p，q應(yīng)滿足以下條件：EQ\B\lc\{(\a\al(△＝p\S\UP6(2)－4q≥0,sinA＋sinB＝－p,sinA·sinB＝q,0＜sinA＜1,0＜sinB＜1,sin\S\UP6(2)A＋cos\S\UP6(2)A＝1)).由此推得EQ\B\lc\{(\a\al(p<0,0<q≤EQ\F(1,2),p2－2q＝1)),⑵先設(shè)方程x2＋px＋q＝0的兩個(gè)根為α，β，若α，β滿足EQ\B\lc\{(\a\al(p\S\UP6(2)－4q≥0①,0＜α＜1，0＜β＜1②,α\S\UP6(2)＋β\S\UP6(2)＝1③))，則α，β必定是直角三角形的兩個(gè)銳角的正弦;若α，β不滿足條件①②③式中任何一個(gè)，則結(jié)論是否定的.例6設(shè)α為直角三角形一銳角，則sinα＝EQ\F(a,c)，cosα＝EQ\F(b,c).∵0<sinα<1，0<cosα<1∴當(dāng)n≥3時(shí)，sinnα<sin2α，cosnα<cos2α，于是sinnα＋cosnα<sin2α＋cos2α＝1，即(EQ\F(a,c))n＋(EQ\F(b,c))n<1，故an＋bn<cn.A級(jí)1.92.EQ\r(,5)1提示：用換元法.3.EQ\F(4EQ\r(,3)－EQ\r(,21),3)4.EQ\F(EQ\r(,11),6)5.A6.B7.A8.B9.⑴在Rt△DCE中，∠CED＝60°，DE＝76.∵sin∠CED＝EQ\F(DC,DE)，∴DC＝DE·sin∠CED＝38EQ\r(,3)(厘米).故垂直支架CD的長(zhǎng)度為38EQ\r(,3)厘米.⑵設(shè)水箱半徑OD＝x厘米，則OC＝(38EQ\r(,3)＋x)厘米，AO＝(150＋x)厘米.∵Rt△OAC中，∠BAC＝30°，∴AO＝2OC，即150＋x＝2(38EQ\r(,3)＋x），解得x＝150－76EQ\r(,3)≈18.52≈18.5(厘米).故水箱半徑OD的長(zhǎng)度為18.5厘米.10.(EQ\F(1,sinα)－1)＋(EQ\F(1,cosα)－1)＋(EQ\F(1,sinαcosα)－2)＝EQ\F(1－sinα,sinα)＋EQ\F(1－cosα,cosα)＋EQ\F(1－2sinαcosα,sinαcosα)，∵0<sinα<1，0<cosα<1，于是有1－sinα>0,1－cosα>0,∴EQ\F(1－sinα,sinα)＋EQ\F(1－cosα,cosα)＋EQ\F((sinα－cosα)2,sinαcosα)>0，即EQ\F(1,sinα)＋EQ\F(1,cosα)＋EQ\F(1,sinαcosα)>4.11.過(guò)C作CE∥AB交BD于E，設(shè)AC＝x，則CB＝，CE＝BC·tan∠CBE＝.由△DCE∽△DAB，得，即，化簡(jiǎn)得（x＋2）（x3－2）＝0，解得x＝，即AC＝.12.P＝－2，q＝1，x1,2＝.提示：tanA－tanB＝.B級(jí)1.2.3.145cm24.提示：延長(zhǎng)MN交BC的延長(zhǎng)線于T，設(shè)MB的中點(diǎn)為O，連接TO，則△BAM∽△TOB.5.B6.D7.D8.（1）如圖，延長(zhǎng)線段BE，與AC相交于點(diǎn)F，∴DE