八年級期末真題2

八年級上期末真題精選【考題猜想，壓軸60題21個考點(diǎn)專練】【題型展示】一、利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決面積問題（共3小題）二、利用全等三角形的性質(zhì)與判定探究線段間存在關(guān)系（共3小題）三、利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決動點(diǎn)問題（共3小題）四、坐標(biāo)系與全等三角形綜合（共3小題）五、全等三角形的多結(jié)論問題（共3小題）六、利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決最值問題（共4小題）七、利用軸對稱的性質(zhì)求最短距離（共3小題）八、折疊問題（共3小題）九、等腰三角形性質(zhì)與判定綜合（共3小題）十、等邊三角形手拉手模型（共3小題）一十一、軸對稱綜合（共4小題）一十二、勾股定理與折疊問題（共2小題）一十三、勾股定理的證明方法（共3小題）一十四、勾股定理的證明方法（共1小題）一十五、利用勾股定理求最短距離（共3小題）一十六、與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律題（共4小題）一十七、坐標(biāo)與圖形的規(guī)律探究問題（共4小題）一十八、一次函數(shù)與三角形面積綜合（共1小題）一十九、一次函數(shù)與全等三角形（共1小題）二十、一次函數(shù)與等腰三角形（共2小題）二十一、一次函數(shù)與動點(diǎn)問題（共4小題）一、利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決面積問題（共3小題）1．（2023下·北京海淀·八年級?？计谀?）探究規(guī)律：已知：如圖，點(diǎn)為平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)，、的面積分別記為、，平行四邊形的面積記為，試探究與之間的關(guān)系．

（2）解決問題：如圖矩形中，，，點(diǎn)、、、分別在、、、上，且，．點(diǎn)為矩形內(nèi)一點(diǎn)，四邊形、四邊形的面積分別記為、，求．

【答案】（1），證明見解析；（2）【分析】（1）如圖所示，過點(diǎn)作，作延長線于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，可得平行四邊形與同底同高，平行四邊形與同底同高，由此即可求解；（2）如圖所示，連接、、、得四邊形，可證，，即四邊形是平行四邊形，并可求出，，由此可求出平行四邊形的面積，由（1）的計算方法即可求解．【詳解】證明：（1），理由如下，如圖所示，過點(diǎn)作，作延長線于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，

∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，，，∴，，，∴，．∵，，．解：（2）如圖所示，連接、、、得四邊形，

∵四邊形是矩形，∴，，，∵，，，∴，∴，且，同理可得，，，，，，∴四邊形為平行四邊形，，∴，由（1）可得，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及不規(guī)則圖形面積的計算方法，掌握已知知識的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·江蘇淮安·七年級校聯(lián)考期末）如圖①，在中，，．現(xiàn)有一動點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)，沿著三角形的邊運(yùn)動，回到點(diǎn)停止，速度為．設(shè)運(yùn)動時間為．

(1)當(dāng)時，；當(dāng)時，；(2)如圖①，當(dāng)時，的面積等于面積的一半；(3)如圖②，在中，，，，．在的邊上，若另外有一個動點(diǎn)，與點(diǎn)同時從點(diǎn)出發(fā)，沿著邊運(yùn)動，回到點(diǎn)停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動過程中的某一時刻，恰好與全等，請直接寫出點(diǎn)的運(yùn)動速度．【答案】(1)(2)或(3)運(yùn)動的速度為或或或【分析】（1）當(dāng)時，點(diǎn)P在線段上，根據(jù)點(diǎn)P速度表示的長即可；當(dāng)時，點(diǎn)P在線段上，根據(jù)點(diǎn)P速度表示的長即可；（2）分兩種情況討論：①點(diǎn)P在上；②點(diǎn)P在上，利用三角形面積分別求解即可；（3）根據(jù)題意分四種情況進(jìn)行分析，利用全等三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)所走的路程，進(jìn)而可求出的運(yùn)動時間，即的運(yùn)動時間，再利用速度=路程÷時間求解即可【詳解】（1）當(dāng)時，點(diǎn)P在線段上，∵點(diǎn)P速度為，∴；當(dāng)時，點(diǎn)P在線段上，∵，∴，∴，故答案為：；（2）∵，，∴，∵的面積等于面積的一半，∴，①當(dāng)點(diǎn)P在上時，

，∴，；②當(dāng)點(diǎn)P在上時，

過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，∵，，∴，∴，∵，∴，；故答案為：或；（3）設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動速度為，①當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，時，

，∴解得；②當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，時，

，∴，解得；③當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)在上，時，

，∴點(diǎn)P的路程為，點(diǎn)Q的路程為，∴解得；④當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上，時

，∴點(diǎn)P的路程為，點(diǎn)Q的路程為，∴解得；∴運(yùn)動的速度為或或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)及三角形面積，分類討論思想，掌握全等三角形的性質(zhì)及分情況討論是解題的關(guān)鍵．3．（2021下·湖北武漢·八年級武漢一初慧泉中學(xué)?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且與平行的直線，交x軸于點(diǎn)B．(1)如圖1，試求的面積；(2)在圖1中，過的直線與成夾角，試求該直線與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)如圖2，現(xiàn)有點(diǎn)在線段上運(yùn)動，點(diǎn)在x軸上，N為線段的中點(diǎn)．①試求點(diǎn)N的縱坐標(biāo)y關(guān)于橫坐標(biāo)x的函數(shù)關(guān)系式；②直接寫出N點(diǎn)的運(yùn)動軌跡長度為．【答案】(1)9(2)或(3)①；②【分析】1）設(shè)直線的解析式為，代入，得到解析式，得到,求的面積．（2）過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，證明，設(shè)，用m表示出點(diǎn)D，F(xiàn)的坐標(biāo)，分別代入直線的解析式計算即可．（3）①根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，用含有m的代數(shù)式表示N的坐標(biāo)，消去m即可得到解析式．②當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時，確定點(diǎn)N的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時，確定點(diǎn)N的另一位置，兩點(diǎn)間距離公式計算即可．【詳解】（1）設(shè)直線的解析式為，代入，得∴直線的解析式為，∴,∴的面積為．（2）過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，∵過的直線與成夾角，與的交點(diǎn)分別是F，D，∴，，，∴，∵，∴，∴，設(shè)，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為m，∵點(diǎn)D在直線上，∴，解得，∵點(diǎn)，∴，，∴點(diǎn)，∵點(diǎn)F在直線上，∴，解得，∴，，即所求橫坐標(biāo)為或．（3）①∵點(diǎn)在直線上，∴，∴點(diǎn)，∵點(diǎn)，N為線段的中點(diǎn)，∴點(diǎn)，∴，∴．②當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時，∵，∴，∴，∴點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時，∵，∴，∴，∴點(diǎn)，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形全等的判定性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形全等的判定性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式是解題的關(guān)鍵．二、利用全等三角形的性質(zhì)與判定探究線段間存在關(guān)系（共3小題）4．（2021上·山東日照·八年級統(tǒng)考期末）（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在中，若，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點(diǎn)，使，再連接，可證，從而把、，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是（直接寫出范圍即可）．這種解決問題的方法我們稱為“倍長中線法”；（2）探究應(yīng)用：如圖②，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，與的延長線交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若是的角平分線，試探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【答案】（1）；（2），理由見詳解；（3），理由見詳解【分析】（1）運(yùn)用倍長中線的方法，三角形三邊的數(shù)量關(guān)系即可求解；（2）如圖②，延長至點(diǎn)，使，連接、，可證，可得，在，根據(jù)三角形三邊的數(shù)量關(guān)系即可求解；（3）如圖③，延長，交于點(diǎn)，可證，可得，根據(jù)角平分，平行線的性質(zhì)可得是等腰三角形，根據(jù)即可求解．【詳解】解：（1）如圖①，延長到點(diǎn)，使，連接，是的中點(diǎn)，，在和中，，，，在中，，，，且，，故答案為：；（2），理由如下：如圖②，延長至點(diǎn)，使，連接、，

同（1）得：，，，，，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，；（3），理由如下：如圖③，延長，交于點(diǎn)，

，，在和中，，，，是的平分線，，，即是等腰三角形，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形中線的性質(zhì)，三角形三邊數(shù)量關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．5．（2023下·山西忻州·八年級統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐【問題情境】在學(xué)?；顒诱n上，樊老師讓同學(xué)們探究特殊平行四邊形的性質(zhì)，小明和他的小伙伴們準(zhǔn)備了如圖1所示的正方形，連接對角線，在上取一點(diǎn)P，連接，延長至點(diǎn)E，連接，交于點(diǎn)F，且．

(1)如圖1，小明連接了，小伙伴們發(fā)現(xiàn)了與之間存在一定的關(guān)系，其數(shù)量關(guān)系為________，位置關(guān)系為________．(2)如圖2，小明連接了，小伙伴們發(fā)現(xiàn)了和之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，請你幫助小明和小伙伴們探究和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3．小明將正方形改為菱形，當(dāng)時，請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)

(2)，理由見解析．(3)【分析】（1）可先證，得，進(jìn)而可得到和的數(shù)量關(guān)系；根據(jù)和的數(shù)量關(guān)系以及和數(shù)量關(guān)系，可求得的度數(shù)，進(jìn)而可判斷和的位置關(guān)系．（2）根據(jù)，，即可求得答案．（3）根據(jù)，，，結(jié)合菱形的性質(zhì)，可求得的度數(shù)，進(jìn)而可求得答案．【詳解】（1）∵四邊形為正方形，∴，．在和中，∴．∴，．又，∴．∵，∴．∴．又，，∴．∴．∴．故答案為：

（2）．理由如下：由（1）證明可知，，∴．∴．（3）．理由如下：∵四邊形為菱形，∴，．∴．類比（1）的證明過程，可知，，∴．∵，，∴．．又，∴為等邊三角形．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，牢記正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023下·重慶南岸·七年級統(tǒng)考期末）在中，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，P是邊上的動點(diǎn)（不與重合），連接，將沿翻折得，記．

(1)如圖1，點(diǎn)與點(diǎn)重合時，用含的式子表示；(2)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時，①如圖2，若平分交于點(diǎn)，猜想之間存在的等量關(guān)系，并說明你的理由；②若，請直接寫出的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆敬鸢浮?1)(2)①；理由見解析；②或【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，即可得出，根據(jù)直角三角形性質(zhì)得出，根據(jù)折疊得出，根據(jù)求出結(jié)果即可；（1）①在上截取，連接，證明，得出，證明為等腰直角三角形，得出，證明，得出，求出即可；②分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的左側(cè)時，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的右側(cè)時，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，根據(jù)折疊可知，，∴．（2）解：①；理由如下：在上截取，連接，如圖所示：

∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，根據(jù)折疊可知，，，，∵平分，∴，∴，即，∴，∴，∴，∴；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的左側(cè)時，如圖所示：

∵平分，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，根據(jù)折疊可知，，，∴；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的右側(cè)時，如圖所示：

∵，，∴，根據(jù)折疊可知，，，∴；綜上分析可知，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，作出相應(yīng)的輔助線，構(gòu)造全等三角形，注意分類討論．三、利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決動點(diǎn)問題（共3小題）7．（2022下·江蘇揚(yáng)州·八年級校聯(lián)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOCD的頂點(diǎn)A（0，2），C（2，0）．(1)如圖一，E是OC邊的中點(diǎn)，將△AOE沿AE翻折后得到△AEF，延長AF交CD于點(diǎn)G，求CG的長；(2)如圖二，∠AOC的角平分線交AD于點(diǎn)B，交CD的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，連接CF，求∠ACF的大??；(3)如圖三，M，N分別是邊CD和對角線AC上的動點(diǎn)，且AN=CM，則OM+ON的最小值=____________．（直接寫出結(jié)果）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）(1)連接EG，先求出再判斷出直角三角形（HL），得出最后用勾股定理建立方程求解，即可得出答案．（2）連接AF，DF，的角平分線交AD于點(diǎn)B，交CD的延長線于可證明(SAS)，得AFD，則，即可得到（3）連接OD交AC于點(diǎn)Q，先證明△QCD和△QOA都是等邊三角形，則∠PCR=∠CDQ=60°，根據(jù)勾股定理求得所以，則當(dāng)點(diǎn)M在OP上時，此時的值最小，再證明，則，所以的最小值為【詳解】（1）如圖一：連接EG，∵矩形AOCD的頂點(diǎn)∵點(diǎn)E是OC的中點(diǎn)，∵四邊形AOCD是矩形，由折疊可知，在和中，（HL）設(shè)則在中，即（2）如圖二，連接AF，DF，的角平分線交AD于點(diǎn)B，交CD的延長線于點(diǎn)E，∵F為BE的中點(diǎn)，(SAS)（3）如圖三，連接OD交AC于點(diǎn)Q，和都是等邊三角形，過CD中點(diǎn)R作交RP于點(diǎn)P，連接OP，MP，∴當(dāng)點(diǎn)M在OP上時，此時的值最小，的最小值為．故答案為：【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查圖形與坐標(biāo)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，根據(jù)面積等式列方程求線段的長度等知識與方法，此題難度較大，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．8．（2022下·江蘇泰州·八年級?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，動點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AD，DC向點(diǎn)C運(yùn)動，A，D關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)分別為M，N，連接MN．(1)如圖，當(dāng)E在邊AD上且DE＝2時，求∠AEM的度數(shù)．(2)當(dāng)N在BC延長線上時，求DE的長，并判斷直線MN與直線BD的位置關(guān)系，說明理由．(3)當(dāng)直線MN恰好經(jīng)過點(diǎn)C時，求DE的長．【答案】(1)∠AEM＝90°(2)，理由見解析(3)DE的長為或【分析】（1）由題意易求出AE＝AB＝6，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可證明為等腰直角三角形，即得出∠AEB＝∠ABE＝45°．由翻折可知∠BEM＝∠AEB，從而可求出∠AEM＝90°；（2）根據(jù)勾股定理可求出BD＝10．由翻折可知當(dāng)N落在BC延長線上時，BN＝BD＝10，，從而可求出CN＝2．設(shè)，則，在中根據(jù)勾股股定理可列出關(guān)于x的等式，解出x即求出DE的長．易證，即得出∠DBC＝∠BNM，從而由平行線的判定定理可證；（3）分類討論：①當(dāng)E在邊AD上時和②當(dāng)點(diǎn)E在邊CD上時，根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：如圖1，∵DE＝2，∴AE＝AB＝6，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°．由對稱性知∠BEM＝45°，∴∠AEM＝90°．（2）解：如圖2，∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10，∵當(dāng)N落在BC延長線上時，BN＝BD＝10，∴CN＝2．設(shè)，則，∵，∴，解得：，∴．∵BM＝AB＝CD，MN＝AD＝BC，∴，∴∠DBC＝∠BNM，∴；（3）分類討論：①如圖3，當(dāng)E在邊AD上時，∴∠BMC＝90°，∴．∵BM＝AB＝CD，∠DEC＝∠BCE，∴△BCM≌△CED(AAS)，∴DE＝MC＝；②如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在邊CD上時，∵BM＝6，BC＝8，∴MC＝，∴．設(shè)，則，∵，∴，解得：，∴．綜上所述，DE的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查矩形與折疊，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)．能夠正確的作出圖形，并利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．9．（2022下·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4．(1)將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P處（如圖1），折痕AO與邊BC交于點(diǎn)O，連AP、OP、OA．求線段CO的長；(2)在（1）的條件下，連BP（如圖2）．動點(diǎn)M在線段AP上（與點(diǎn)P、A不重合），動點(diǎn)N在線段AB的延長線上，且BN＝PM，連MN交PB于點(diǎn)F，作MEBP于點(diǎn)E．試問點(diǎn)M、N在移動過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段EF的長度．【答案】(1)1.5(2)不變，【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)可得AP=5，根據(jù)勾股定理可得CP=2，設(shè)CO=x，在Rt?COP中根據(jù)勾股定理列方程，即可求出CO的長；(2)過點(diǎn)M作MQ//AB，可得∠ABP=∠MQP，易證AB=AP，進(jìn)一步可知△MPQ是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得PE=QE，再證明△QMF≌△BNF(AAS)，可得QF=FB，進(jìn)一步可知EF=PB，根據(jù)勾股定理求出PB的長，即可確定EF的長．【詳解】（1）解：∵折疊∴AP＝AB＝5，BO＝PO∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，BC＝AD＝4，CD＝AB＝5，∴在Rt△ADP中，，∴CP＝CD－DP＝5－3＝2，設(shè)CO＝x，則BO＝PO＝4－x在Rt△COP中，，∴，解得：x＝1.5，∴CO的長為1.5，（2）不變，∵折疊∴PA＝AB

∴∠APB＝∠ABP過點(diǎn)M作交PB于點(diǎn)Q∵∴∠MQP＝∠ABP，∠PMQ＝∠PAB∴∠APB＝∠MQP∴MP＝MQ∵M(jìn)P＝BN∴MQ＝BN∵∴∠MQF＝∠NBF，∠FMQ＝∠FNB∵在△MFQ和△NFB中，∴△MFQ≌△NFB（ASA），∴FQ＝FB∵在△PMQ中，MP＝MQ，MEBP∴PE＝QE∴在Rt△PCB中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等，本題綜合性較強(qiáng)，輔助線構(gòu)造等腰三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵．四、坐標(biāo)系與全等三角形綜合（共3小題）10．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B，．為y軸上一點(diǎn)，P為線段上的一個動點(diǎn)．(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)①連接，若的面積為面積的，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______；②若射線平分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，當(dāng)恰好落在x軸上時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為______．（直接寫出所有答案）【答案】(1)(2)①；②(3)或【分析】（1）作軸，證，得，，由點(diǎn)B、C即可求解．（2）①過點(diǎn)P作軸，由點(diǎn)B、C、D可得，由得，即可求，從而得點(diǎn)P坐標(biāo)．②作，證得，由，，得點(diǎn)P坐標(biāo)．（3）分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)在x軸正半軸，當(dāng)點(diǎn)在x軸負(fù)半軸，當(dāng)延長至點(diǎn)H，由折疊的性質(zhì)可知，，由得，進(jìn)而得點(diǎn)P坐標(biāo)．或根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求解即可．【詳解】（1）作軸，∴，在和中，∵，

∴，∴，∵，∴，將B、C分別代入得，解得，，∴直線的函數(shù)表達(dá)式．（2）①過點(diǎn)P作軸，由點(diǎn)B、C、D可知，∵，∴，由點(diǎn)B、D可得，∵，∴，∴．②作，∴，∵平分，∴，在和中，∵，∴，∴，∵，，∴，∴．（3）①當(dāng)點(diǎn)在x軸正半軸，延長至點(diǎn)H，由折疊的性質(zhì)可知，∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)值為，∴，∴∴．②當(dāng)點(diǎn)在x軸負(fù)半軸，同①可得，設(shè)，由題意得，即，∵，∴，解得，∴．綜上，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用、三角形的全等證明、勾股定理、角平分線的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識，根據(jù)題意正確畫出輔助線是解題的關(guān)鍵．11．（2022上·江蘇揚(yáng)州·八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，AB＝EC，BE＝CD，連接AE、DE．判斷△AED的形狀，并說明理由；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（5，1），點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，若△ABC是等腰直角三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)C是x軸上的動點(diǎn)，線段CA繞著點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至線段CB，連接BO、BA，則BO+BA的最小值是．【答案】（1）等腰直角三角形，見解析；（2）（1，3），（4，4），（3，2）；（3）【分析】（1）證明△ABE≌△ECD（SAS），即可求解；（2）分三種情況：當(dāng)∠CAB＝90°時，AC＝BA；當(dāng)∠ABC＝90°，AB＝BC時；當(dāng)∠ACB＝90°，AC＝BC時；分別構(gòu)造三角形全等，由（1）的結(jié)論求解即可；（3）在x軸上取D（1，0），在y軸上截取AE＝CD，連接EC，BD，通過證明△AEC≌△CDB（SAS），確定B點(diǎn)在直線y＝x﹣1上運(yùn)動，作A點(diǎn)關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)A'，連接A'G，A'O，A'B，當(dāng)O、B、A'三點(diǎn)共線時，AB+OB有最小值，求出A'（2，﹣1），在求出OA'即為所求．【詳解】解：（1）△AED是等腰直角三角形，理由如下：在△ABE和△ECD中，，∴△ABE≌△ECD（SAS），∴∠AEB＝∠EDC，∠BAE＝∠DEC，∴∠AEB+∠DEC＝∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠AED＝90°，∴△AED是等腰直角三角形；（2）①如圖1，當(dāng)∠CAB＝90°時，AC＝BA，過點(diǎn)B作BH⊥x軸交于H點(diǎn)，過點(diǎn)C作GC⊥x軸交于點(diǎn)G，由（1）可得△ACG≌△BAH（AAS），∴CG＝AH，AG＝BH，∵A（2，0），點(diǎn)B（5，1），∴BH＝AG＝1，AH＝3，∴C（1，3）；②如圖2，當(dāng)∠ABC＝90°，AB＝BC時，過點(diǎn)B作LK⊥x軸交x軸于點(diǎn)L，過點(diǎn)C作CK⊥LK交于點(diǎn)K，由（1）可得△ABL≌△BCK（AAS），∴AL＝BK，BL＝CK，∵點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（5，1），∴BL＝CK＝1，AL＝BK＝3，∴C（4，4）；

③如圖3，當(dāng)∠ACB＝90°，AC＝BC時，過點(diǎn)C作EF∥x軸，過點(diǎn)A作AE⊥x軸交EF于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸交EF于點(diǎn)F，由（1）可得△EAC≌△FCB（AAS），∴EC＝BF，AE＝CF，∵點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（5，1），∴EF＝3，CE＝BF，AE＝CF，設(shè)C（x，y），∴BF＝y(tǒng)﹣1，AE＝y(tǒng)，∴y﹣1+y＝3，∴y＝2，∴AE＝2，EC＝1，∴C（3，2）；綜上所述：C點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4）或（1，3）或C（3，2）；（3）如圖4，在x軸上取D（1，0），在y軸上截取AE＝CD，連接EC，BD，∵∠ACB＝90°，∴∠DCB＝90°+∠OCA，∵∠EAC＝90°+∠OCA，∴∠DCB＝∠EAC，∵EA＝CD，AC＝BC，∴△AEC≌△CDB（SAS），∴∠ECA＝∠DBC，∵∠ECA+∠ECB＝90°，∴∠DBC+∠ECB＝90°，∴BD⊥EC，∵OC＝OE，∴∠ECO＝∠BDC＝45°，∴∠ODG＝45°，∴G（0，﹣1），設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣1，∴B點(diǎn)在直線y＝x﹣1上運(yùn)動，作A點(diǎn)關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)A'，連接A'G，A'O，A'B，∴OB＝BA'，∴AB+OB＝AB+BA'≥OA'，∴當(dāng)O、B、A'三點(diǎn)共線時，AB+OB有最小值，∵GD垂直平分AA'，GA＝GA'，AD＝GD，∴A'G⊥AG，∴A'（2，﹣1），∴OA'，∴AB+OB的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)，軸對稱求最短距離的方法是解題的關(guān)鍵．12．（2022上·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，且AB＝4，OB＝3．(1)試判斷△AOB的形狀，并說明理由．(2)點(diǎn)P是線段OA上一點(diǎn)，且PB－PA＝1，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)C、點(diǎn)D分別為線段OB、BA上的動點(diǎn)，且OC＝BD，求AC＋OD的最小值．【答案】(1)△AOB是直角三角形，證明見解析(2)P(，0)(3)【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求解即可；（2）作BD⊥OA于D，設(shè)PA=x，則BP=x+1，利用面解法求出BE的長，在Rt△BEP中利用勾股定理求出x的值即可求解；（3）過點(diǎn)O作以O(shè)B為腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，利用SAS證明△HOC≌△OBD，得OD=HC，則當(dāng)A、C、H三點(diǎn)共線時，AC+CH最小，即AC+OD有最小值為AH的長．【詳解】（1）解：△AOB是以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形，理由如下：∵A（5，0），∴OA=5，∴AB2+OB2=42+32=25=52=OA2，∴△AOB是以O(shè)A為斜邊的直角三角形；（2）解：如圖，作BE⊥OA于E，設(shè)PA=x，則BP=x+1，∵S△AOB＝BO?AB＝OA?BE，∴，∴OE=，∴PE=5x=x，在Rt△BEP中，(x+1)2=(x)2+()2，解得x=∴OP=5=，∴P(，0)；（3）解：如圖，過點(diǎn)O作以O(shè)B為腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，∴HO=BO，∠HOC=∠OBD=90°，又∵OC=DB，在△HOC和△OBD中，∴△HOC≌△OBD（SAS），∴OD=HC，∴AC+OD=AC+HC，∴要使AC+OD最小，則AC+CH最小，∴當(dāng)A、C、H三點(diǎn)共線時，AC+CH最小，即AC+OD有最小值為AH的長，分別過點(diǎn)B，H作BE⊥x軸于E，HF⊥x軸于F，則OB=OH=3，∵S△AOB＝BO?AB＝OA?BE，∴，∴，∵∠HFO=∠HDB=∠OEB=90°，∴∠HOF+∠OHF=90°，∠HOF+∠BOE=90°，∴∠OHF=∠BOE，在△OHF與△BOE中，，∴△OHF≌△BOE（AAS），∴OF=BE=，HF=OE=，∵H在第二象限，∴H（，）；∴，即AC+OD有最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．五、全等三角形的多結(jié)論問題（共3小題）13．（2023下·山東威?！ぐ四昙壭Ｂ?lián)考期末）如圖，已知正方形邊長為4．連接其對角線，的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)．①；②的面積為；③；以上三個選項正確的是（

）

A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②【答案】B【分析】由“”可證，可得，故①正確；根據(jù)等角對等邊易證，根據(jù)勾股定理求得的長，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得出，故②錯誤；由全等三角形的性質(zhì)可得，在上截取，連接，則可以證明，得到，即可證得．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故①正確；∵平分，∴，∴，∵，∴，且，∴，∴，∵正方形邊長為4，∴，∴，故②錯誤；在上截取，連接，

∵，∴，∵，且，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故③正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題是正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．14．（2022上·福建漳州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)D在線段AO上，以CD為邊作等邊三角形CDE，點(diǎn)E和點(diǎn)A分別位于CD兩側(cè)，連接OE，BE．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①；②；③；④直線．其中結(jié)論正確的是（

）A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得從而可得，可判斷①正確，結(jié)合等邊三角形易證，可判斷②正確，進(jìn)而判斷③，結(jié)合已知解三角形易證，可知在的垂直平分線上，結(jié)合等邊三角形易證，從而證明，得，可知在的垂直平分線上，從而判斷④正確．【詳解】解：，是等邊三角形，是等邊三角形，即：，故①正確，，，故②正確即當(dāng)且僅當(dāng)平分時有，故③不正確，，在的垂直平分線上，，，在的垂直平分線上，直線，故④正確故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的判定；解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行全等的證明．15．（2023上·河北張家口·八年級張家口市第一中學(xué)?？计谀┤鐖D所示，點(diǎn)為三個內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，度，，點(diǎn)，分別為，上的點(diǎn)，且．甲、乙、丙三位同學(xué)有如下判斷：甲：度；乙：四邊形的面積是不變的；丙：當(dāng)時，周長取得最小值．其中正確的是（

）A．只有丙正確 B．只有甲、乙正確 C．只有乙、丙正確 D．甲、乙、丙都正確【答案】D【分析】過點(diǎn)O作于點(diǎn)，根據(jù)三角形內(nèi)心可得，然后證明，可得，根據(jù)得到四邊形的面積=2，根據(jù)點(diǎn)D的位置固定，可得四邊形的面積是定值，過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，根據(jù)，可得，所以的周長=，可得當(dāng)最小時，即當(dāng)時，的周長取得最小值，據(jù)此解題．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)O作于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是的內(nèi)心，是的平分線，在與中，∴，，，，故甲的判斷正確；四邊形的面積＝四邊形DOEB的面積點(diǎn)D的位置固定，四邊形OMBN的面積是定值，故乙的判斷正確；如圖，過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，的周長=當(dāng)最小時，即當(dāng)?shù)闹荛L取最小值，即此時，故丙的判斷正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)切圓于內(nèi)心、等腰三角形的判定、余弦、全等三角形的判定與性質(zhì)，有點(diǎn)難度，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．六、利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決最值問題（共4小題）16．（2022上·福建福州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．(1)求證：∠ACB＝∠ACD；(2)過點(diǎn)E作ME∥AB，交AC的延長線于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MP⊥DC，交DC的延長線于點(diǎn)P．①連接PE，交AM于點(diǎn)N，證明AM垂直平分PE；②點(diǎn)O是直線AE上的動點(diǎn)，當(dāng)MO+PO的值最小時，證明點(diǎn)O與點(diǎn)E重合．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②見解析【分析】（1）用HL證明Rt△ABC≌Rt△ADC，即可得到結(jié)論；（2）①證明△NEC≌△NPC(SAS)即可；②作P點(diǎn)關(guān)于AE的對稱點(diǎn)，連接M交AE于點(diǎn)O，證明∠MP=30°即可．【詳解】（1）證明：在Rt△ABC和Rt△ADC中，BC＝CD，AC=AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC，∴∠ACB=∠ACD；（2）∵Rt△ABC≌Rt△ADC，∴∠BAC=∠CAD，∵CA=CE，∴∠CAE=∠CED，∵∠EBA=90°，∴∠BEA=∠BAC=∠CAE=30°，∵PD⊥AE，MP⊥PD，∴AE∥MP，∴∠PMC=∠MAE=30°，∵M(jìn)E∥AB，∴∠MEB=90°，∴∠MEA=120°，∵∠MAE=30°，∴∠EMA=30°，∵CР⊥MP，CE⊥ME，∴∠MCP=∠MCE=60°，∴△NEC≌△NPC(SAS)，∴EN=PN，∴N是EP的中點(diǎn)，NC⊥PE，∴AM垂直平分PE；②作P點(diǎn)關(guān)于AE的對稱點(diǎn)，連接M交AE于點(diǎn)O，∵AM垂直平分PE，∴ME=MP，∵∠EMP=60°，∴∠MPE=60°，∴∠EPD=30°，∴∠=30°，∴∠MP=30°，∵∠MЕP=60°，∴O點(diǎn)與E點(diǎn)重合．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)定理，線段垂直平分線的判定及性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，正確掌握全等三角形的判定及性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．17．（2021上·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在等邊中，為上一點(diǎn)，，且．(1)如圖1，若點(diǎn)在邊上，求證：；(2)如圖2，若點(diǎn)在內(nèi)，連接，為的中點(diǎn)，連接，，求證：；(3)如圖3，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，．若的值最小時，的度數(shù)為______（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）先由得到是等邊三角形，從而得到，進(jìn)而得到點(diǎn)是的中點(diǎn)，然后得到點(diǎn)是的中點(diǎn)；（2）延長至點(diǎn)，使得，連接、、，然后由點(diǎn)是的中點(diǎn)得到，結(jié)合證明，從而得到，，即可得到，然后由平行線的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，最后結(jié)合得證，再由全等三角形的性質(zhì)得到，然后結(jié)合得到；（3）連接、，先由得到，再由得到，進(jìn)而得到，然后得到，所在直線垂直平分線段，進(jìn)而得到當(dāng)時取得最小值，最后求得的度數(shù)．【詳解】（1）證明：是等邊三角形，，，，，是等邊三角形，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，;（2）證明：如圖2，延長至點(diǎn)，使得，連接、、，則，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：如圖3，連接、，，，，，，，所在直線垂直平分線段，，，，，，當(dāng)時，，即當(dāng)為等腰三角形時，的周長最小，此時，的值最小，即，，，，，，即，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、相似三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟知等邊三角形的性質(zhì)．18．（2022上·重慶云陽·八年級統(tǒng)考期末）在銳角△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，E為AD上一點(diǎn)，且DE＝CD，連接BE．(1)如圖1，若∠DBE＝30°，BE＝6，AE＝4，求△ACD的面積；(2)如圖2，E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)為BE上一點(diǎn)，連接AF，若∠DBE＝∠CAD＝∠AFE，求證AF＝2CD；(3)如圖3，若∠DBE＝∠CAD，M是直線BC上一動點(diǎn)，連接AM并繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到AN，連接DN，EN．當(dāng)DN長度最小時，請直接寫出∠ABE與∠DNE所滿足的等量關(guān)系【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）由AD⊥BC及∠DBE=30゜，可得，即可得AD=7；再由DE=CD=3，即可求得△ACD的面積；（2）由已知易得△BDE≌△ADC，則可得BD=AD；延長至，使，連接，則可證得△BDE≌△GAE，則有BD=GA，∠DBE=∠G；再由已知及所證可得AF=AD=2CD；（3）由已知易得△BDE≌△ADC，可得△ABD是等腰直角三角形；作且，連接，則易得≌，，則動點(diǎn)一定在經(jīng)過定點(diǎn)且垂直于直線的直線上運(yùn)動，當(dāng)時，取得最小值，此時點(diǎn)與點(diǎn)重合，則由線段垂直平分線的性質(zhì)定理即可得∠ABE與∠DNE所滿足的等量關(guān)系.【詳解】（1）∵，∴．∵在中，，∴．∴．∵，∴在中，

．（2）在和中，∵，∴≌（）．∴．延長至，使，連接，如圖．∵為中點(diǎn)，∴．在和中，∵，∴≌（）．∴，．∵，∴．∴．∵，∴．（3）．理由如下：∵，AD⊥BC，DE=CD，∴≌（）．∴BD=AD，∴是等腰直角三角形，∴∠ABD=45゜．作且，連接，則∠DAH=∠DAN+∠NAH=90゜，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AM=AN，∠MAN=∠MAD+∠DAN=90゜，∴∠NAH=∠MAD，在△NAH和△ADM中，，∴≌（）．∴，∠ANH=∠AMD．∴動點(diǎn)一定在經(jīng)過定點(diǎn)且垂直于直線的直線上運(yùn)動．∴當(dāng)時，取得最小值，此時點(diǎn)與點(diǎn)重合．∵AM=AN，AD⊥BN，∴垂直平分，∴．∴．∴【點(diǎn)睛】本題是全等三角形的綜合，考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，含30度角直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用三角形全等的判定與性質(zhì)，確定點(diǎn)N的運(yùn)動路徑是難點(diǎn)．19．（2022上·重慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，為等邊三角形，D為AC右側(cè)一點(diǎn)，且，連接BD交AC于點(diǎn)E，延長DA、CB交于點(diǎn)F．(1)若，，求AD；(2)證明：；(3)如圖2，若，G為BC中點(diǎn)，連接AG，M為AG上一動點(diǎn)，連接CM，將CM繞著M點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°到MN，連接AN，CN，當(dāng)AN最小時，直接寫出的面積．【答案】(1)1(2)見解析(3)【分析】（1）求出∠F＝30°，得到CF＝2AC，由勾股定理得AC2＋AF2＝CF2，代入數(shù)值計算即可；（2）在BC上截取CH＝AE，證明△ABE≌△CAH（SAS），得到∠3＝∠2＝∠1，證得∠FAH＝∠FHA＝60°＋∠1，推出HF＝AF，即可得到結(jié)論；（3）在GA上截取GK=GC，連接CK，KN，證明∠GCM=∠KCN，得到△GCM∽△KCN，推出∠CGM=∠CKN=90°，進(jìn)而得到點(diǎn)N在過點(diǎn)K且垂直CK的直線上移動，當(dāng)且僅當(dāng)AN⊥KN時，AN取得最小值，再證明MGC≌△NHM(AAS)，推出HN=GM=(1)，HM=CG=1，求出AM，即可得到△AMN的面積．【詳解】（1）解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB＝∠BAC＝60°．又∵∠BAF＝，∴∠FAC＝90°．進(jìn)而，∠F＝30°．∴CF＝2AC．在Rt△FAC中，AC2＋AF2＝CF2，又∵，∴AC＝1．又∵AD＝AC，∴AD＝1．（2）證明：在BC上截取CH＝AE，∵AB＝AC，∠ACB＝∠BAC，∴△ABE≌△CAH（SAS）．∴∠1＝∠2．∵AD＝AC，∴∠3＝∠2＝∠1．∴∠FAH＝∠5＋∠4＝∠2＋∠3＋∠4＝∠1＋∠1＋∠4＝60°＋∠1．又∵∠FHA＝∠ACB＋∠1＝60°＋∠1，∴∠FAH＝∠FHA．∴HF＝AF．∴CF＝CH＋HF＝AF＋AE．（3）解：在GA上截取GK=GC，連接CK，KN，∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，AB=2，∴BG=CG=BC=1，∴AG⊥BC，AG=，∵KG=CG，∠KGC=90°，∴KC=CG，∠GCK=，∵CM繞著M點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°到MN，∴CM=MN，∠CMN=90°，∴CN=CM，∠MCN=，∴∠GCK=∠MCN=，∴∠GCM=∠KCN，∵，即，∴△GCM∽△KCN∴∠CGM=∠CKN=90°，∴點(diǎn)N在過點(diǎn)K且垂直CK的直線上移動，當(dāng)且僅當(dāng)AN⊥KN時，AN取得最小值，當(dāng)AN取得最小值時，∠NKA=∠NAK=，∴AN=NK，此時，過N點(diǎn)作NH⊥AK于H，∴當(dāng)AN取得最小值時，AH=NH=HK=AK=(AGGK)=(1)，∵∠NHM=∠NMC=∠CGM=90°，∴∠HMN+∠GMC=90°，∠HMN+∠HNM=90°，∴∠GMC=∠HNM，∴MGC≌△NHM(AAS)，∴HN=GM=(1)，HM=CG=1，∴AM=AGGM=(+1)，∴當(dāng)AN最小時，S△AMN′＝×＝．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定即性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定即性質(zhì)，熟記各知識點(diǎn)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．七、利用軸對稱的性質(zhì)求最短距離（共3小題）20．（2021下·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）古希臘有一個著名的“將軍飲馬問題”，大致內(nèi)容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸同側(cè)的兩個軍營A，B．他總是先去A營，再到河邊飲馬，之后，再巡查B營．他時常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢?大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個問題．如圖2，作B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′，連結(jié)AB′與直線l交于點(diǎn)C，點(diǎn)C就是所求的位置．證明：如圖3，在直線l上另取任一點(diǎn)C′，連結(jié)AC′，BC，B′C′，∵直線l是點(diǎn)B，B′的對稱軸，點(diǎn)C，C′在l上，∴CB=_________，C′B=_________，∴AC+CB=AC+CB′=_________．在△AC′B′，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．本問題實(shí)際上是利用軸對稱變換的思想，把A，B在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（其中C在AB′與l的交點(diǎn)上，即A，C，B′三點(diǎn)共線）．本問題可歸納為“求定直線上一動點(diǎn)與直線外兩定點(diǎn)的距離和的最小值”的問題的數(shù)學(xué)模型．拓展應(yīng)用：如圖，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于D，點(diǎn)P是BD上一個動點(diǎn)，點(diǎn)M是BC上一個動點(diǎn)，請在圖5中畫出PC+PM的值最小時P的位置．（可用三角尺）【答案】見解析【分析】利用軸對稱的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系可得；拓展應(yīng)用中，在BA上截取BC'=BC，連接CC'，可證得C、C'關(guān)于BD對稱，將兩條線段的和最小問題轉(zhuǎn)化為垂線段最短來解決．【詳解】解：證明：如圖3，在直線l上另取任一點(diǎn)C′，連結(jié)AC′，BC，B′C′，∵直線l是點(diǎn)B，B′的對稱軸，點(diǎn)C，C′在l上，∴CB=CB'，C′B=C'B'，∴AC+CB=AC+CB′=AB'．在△AC′B′，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最?。蚀鸢笧椋篊B'，C'B'，AB'；拓展應(yīng)用：如圖，在BA上截取BC'=BC，連接CC'，過C'作C'M⊥BC于點(diǎn)M，交BD于點(diǎn)P，在BD上另取一點(diǎn)P'，連接P'C'，在BC上取點(diǎn)M'，連接P'M'，∵BC=BC'，BD平分∠CBC'，∴BD垂直平分CC'，∴PC=PC'，P'C=P'C'，∴PC+PM=PC'+PM=C'M，∵C'P'+P'M'＞C'M，∴PC+PM＜P'C+P'M'，∴點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、三角形三邊的關(guān)系、以及垂線段最短等知識，利用軸對稱的性質(zhì)對線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．21．（2022上·陜西西安·八年級統(tǒng)考期中）問題情境：老師在黑板上出了這樣一道題：直線同旁有兩個定點(diǎn)A，B，在直線上是否存在點(diǎn)，使得的值最??？小明的解法如下：如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，則與直線的交點(diǎn)即為，且的最小值為．問題提出：(1)如圖，等腰的直角邊長為4，E是斜邊的中點(diǎn)，是邊上的一動點(diǎn)，求的最小值．問題解決：(2)如圖，為了解決A，B兩村的村民飲用水問題，A，B兩村計劃在一水渠上建造一個蓄水池，從蓄水池處向A，B兩村引水，A，B兩村到河邊的距離分別為千米，千米，千米．若蓄水池往兩村鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米15000元，請你在水渠上選擇蓄水池的位置，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最少，并求出最少的鋪設(shè)水管的費(fèi)用．【答案】(1)(2)最少的鋪設(shè)水管的費(fèi)用是225000元【分析】(1)作點(diǎn)B關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于P，此時的值最小，連接先根據(jù)勾股定理求出的長，再判斷出，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；(2)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)確定水廠位置，作交的延長線于點(diǎn)E,根據(jù)矩形的性質(zhì)分別求出、，根據(jù)勾股定理求出，得到，結(jié)合題意計算即可．【詳解】（1）解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于，此時的值最小，連接．因?yàn)榈妊闹苯沁呴L為4，E是斜邊的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)椋?，所以．?）如圖，延長到點(diǎn)，使，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所選擇的位置，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．在中，千米，千米，所以（千米），所以最短路線（千米），最少的鋪設(shè)水管的費(fèi)用為（元）．答：最少的鋪設(shè)水管的費(fèi)用是元．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形綜合題，軸對稱最短路徑問題、勾股定理的應(yīng)用，掌握軸對稱的概念和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間，線段最短的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2022上·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，P為內(nèi)一定點(diǎn)，M、N分別是射線OA、OB上的點(diǎn)，（1）當(dāng)周長最小時，在圖中畫出（保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，已知，求的度數(shù)．

【答案】（1）見解析，（2）35°【分析】（1）作P關(guān)于OA，OB的對稱點(diǎn)P1，P2．連接OP1，OP2．則當(dāng)M，N是P1P2與OA，OB的交點(diǎn)時，△PMN的周長最短，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)對稱的性質(zhì)可以證得∠OPN+∠OPM＝∠OP2N+∠OP1M＝110°，∠P1OP2＝2∠AOB，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求解．【詳解】解：（1）作P關(guān)于OA，OB的對稱點(diǎn)P1，P2．連接OP1，OP2．分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，△PMN的周長為P1P2長，此時周長最短；

（2）連接P1O、P2O，∵PP1關(guān)于OA對稱，∴∠P1OP＝2∠MOP，∠OP1M＝∠OPM，同理，∠P2OP＝2∠NOP，∠OP2N＝∠OPN，∴∠P1OP2＝2∠AOB，∵∠OPN+∠OPM＝∠OP2N+∠OP1M＝110°，∴∠P1OP2＝180°﹣110°＝70°，∴∠AOB＝35°．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，正確作出圖形，利用對稱得出角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．八、折疊問題（共3小題）23．（2021上·河北承德·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在直角三角形紙片中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm．沿過點(diǎn)B的直線折疊這個三角形，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為BD(1)求△AED的周長；(2)過點(diǎn)C作△ABC的高，并求出這個高長．【答案】(1)8(2)畫圖見解析，【分析】（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得BE＝BC，DE＝CD，然后求出AE，再求出△ADE的周長＝AC+AE；【詳解】（1）解：∵折疊這個三角形點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為BD，∴BE＝BC＝8，DE＝CD，∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝10﹣8＝2，∴△ADE的周長＝AD+DE+AE，＝AD+CD+AE，＝AC+AE，＝6+2，＝8，故△ADE的周長為8；（2）解：如圖所示，CF就是△ABC的高，，，，【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)和等積法求高，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)和等積法解題．24．（2022上·吉林長春·八年級期末）操作：第一步：如圖1，對折長方形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開．第二步：如圖2，再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上的N處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM，同時得到線段BN．連結(jié)AN，易知△ABN的形狀是．論證：如圖3，若延長MN交BC于點(diǎn)P，試判定△BMP的形狀，請說明理由．【答案】操作：等邊三角形；論證：△BMP是等邊三角形，理由見解析【分析】操作：由折疊的性質(zhì)可得NA=NB=AB，可得△ABN是等邊三角形；論證：由直角三角形的性質(zhì)可求∠BPM=∠MBP=60°，可得△BMP是等邊三角形．【詳解】解：操作：如圖2，∵直線EF是AB的垂直平分線，∴NA=NB，由折疊可知，BN=AB，∠NBM=∠ABM，∠BAM=∠BNM=90°，∴AB=BN=AN，∴△ABN是等邊三角形，故答案為：等邊三角形；論證：△BMP是等邊三角形，理由如下：如圖3，∵△ABN是等邊三角形，∴∠ABN=60°，∴∠NBM=∠ABM=∠ABN=30°，∵∠NBP=∠ABP∠ABN=30°，∠BNP=90°，∴∠BPM=∠MBP=60°，∴△BMP是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，等邊三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．25．（2021上·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，將三角形紙片ABC，沿AE折疊，使點(diǎn)B落在BC上的F點(diǎn)處；展開后，再沿BD折疊，使點(diǎn)A恰好仍落在BC上的F點(diǎn)處（如圖2），連接DF．（1）求∠ABC的度數(shù)；（2）若△CDF為直角三角形，且∠CFD=90°，求∠C的度數(shù)；（3）若△CDF為等腰三角形，求∠C的度數(shù)．【答案】（1）60°；（2）30°；（3）20°或40°．【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可知△ABF是等邊三角形，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)表示出∠AFD，根據(jù)平角的定義表示出∠DFC，然后分三種情況討論即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）由折疊的性質(zhì)可知：AB=AF，BA=BF，∴AB=BF=AF，∴△ABF是等邊三角形，∴∠ABC=∠AFB=60°；（2）∵∠CFD=90°，∴∠BFD=90°．由折疊的性質(zhì)可知：∠BAD=∠BFD，∴∠BAC=∠BAD=90°，∴∠C=180°∠BAC∠ABC=180°90°60°=30°；（3）設(shè)∠C=x°．由折疊的性質(zhì)可知，AD=DF，∴∠FAD=∠AFD．∵∠AFB=∠FAD+∠C，∴∠FAD=∠AFB∠C=60°x，∴∠AFD=60°x，∴∠DFC=180°∠AFB∠AFD=180°60°（60°x）=60°+x．∵△CDF為等腰三角形，∴分三種情況討論：①若CF=CD，則∠CFD=∠CDF，∴60°+x+60°+x+x=180°，解得：x=20°；②若DF=DC，則∠DFC=∠C，∴60°+x=x，無解，∴此種情況不成立；③若DF=FC，則∠FDC=∠C=x，∴60°+x+x+x=180°，解得：x=40°．綜上所述：∠C的度數(shù)為20°或40°．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)．分三種情況討論是解答本題的關(guān)鍵．九、等腰三角形性質(zhì)與判定綜合（共3小題）26．（2021上·湖南張家界·八年級統(tǒng)考期末）已知，，為直線上一點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，，設(shè)，，(1)如圖1，若點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，，，則；．(2)如圖2，若點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，則，之間有什么關(guān)系式？說明理由．(3)探究：當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上，點(diǎn)在線段上，（或在線段的延長線上）時，是否存在不同于（2）中的，之間的關(guān)系式？若存在，請直接寫出這個關(guān)系式．【答案】(1)，；(2)，理由見解析；(3)存在，或．【分析】本題是三角形綜合題，主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解本題的關(guān)鍵是利用三角形的內(nèi)角和定理得出等式．（1）根據(jù)題意利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意分①當(dāng)點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在線段上，②當(dāng)點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在的延長線上兩種情況，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)進(jìn)行等量替換即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．（2）解：設(shè)，，∴，，在中，，在中，，∴．（3）解：①當(dāng)點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在線段上，如圖：設(shè)，，∴，，在中，，在中，，∴，②當(dāng)點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在的延長線上，如圖，同①的方法可得．27．（2022上·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）【了解概念】定義：如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，則稱這個三角形為“唯美三角形”，這條中線叫這條邊的“唯美線”．【理解運(yùn)用】（1）如圖1，為“唯美三角形”，為邊的“唯美線”，試判斷的形狀，并說明理由；【拓展提升】（2）在中，，E為外一點(diǎn)，連接，若和均為“唯美三角形”，且和分別為這兩個三角形邊的“唯美線”．①如圖2，若點(diǎn)在直線異側(cè)，連接，求的度數(shù)；②若點(diǎn)E為平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，請直接寫出點(diǎn)A到的距離．

【答案】（1）是直角三角形，理由見解析（2）①②6或3【分析】（1）結(jié)論：是直角三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理證明即可；（2）①過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)H，于點(diǎn)T，證明，推出，可得平分，即可解決問題；②分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)E在的下方時，如圖2中，當(dāng)點(diǎn)E在的上方時，如圖3中，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)H，于點(diǎn)T．【詳解】解：（1）結(jié)論：是直角三角形．理由：為“唯美三角形”，為邊的“唯美線”，，，，，，，是直角三角形；（2）①過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)H，于點(diǎn)T．

和均為“唯美三角形”，且和分別為這兩個三角形邊的“唯美線”，，都是直角三角形，，，，∴四邊形是矩形，，，，，，，平分，；②當(dāng)點(diǎn)E在的下方時，如圖2中，∵四邊形是矩形，，∴四邊形是正方形，，，，，，，即點(diǎn)A到的距離為6．當(dāng)點(diǎn)E在的上方時，如圖3中，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)H，于點(diǎn)T．

同法可證，四邊形是正方形，，，∴AT=3，即點(diǎn)A到的距離為3．綜上所述，點(diǎn)A到的距離為6或3．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．28．（2021上·浙江杭州·八年級杭州市采荷中學(xué)?？计谥校┤鐖D，中，，現(xiàn)有兩點(diǎn)、分別從點(diǎn)、點(diǎn)同時出發(fā)，沿三角形的邊順時針運(yùn)動，點(diǎn)的速度為，點(diǎn)的速度為，當(dāng)點(diǎn)第一次到達(dá)點(diǎn)時，，同時停止運(yùn)動．

(1)點(diǎn)，運(yùn)動幾秒后，，兩點(diǎn)重合？(2)點(diǎn)，運(yùn)動時，是否存在以為底邊的等腰三角形？如存在，請求出此時，運(yùn)動的時間．若不存在，請說明理由．(3)點(diǎn)，運(yùn)動幾秒后，可得到直角三角形？【答案】(1)12秒(2)存在，4或16(3)或或15或18【分析】（1）設(shè)點(diǎn)M，N運(yùn)動x秒后重合，表示出M，N的路程，N的路程比M多，列出方程求解即可；（2）首先假設(shè)是等腰三角形，不難得到在上運(yùn)動時點(diǎn)N在點(diǎn)M前方，如圖所示，可證出，可得，設(shè)出運(yùn)動時間，表示出的長，列出方程，可解出未知數(shù)的值．（3）分情況討論，利用角所對的直角邊等于斜邊的一半解題即可．【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)、運(yùn)動秒后，、兩點(diǎn)重合，由題意可得：，解得：，即當(dāng)、運(yùn)動12秒時，，兩點(diǎn)重合；（2）當(dāng)點(diǎn)、運(yùn)動4或16秒時，存在以為底的等腰三角形，理由如下：由（1）可知：當(dāng)、運(yùn)動12秒時，，兩點(diǎn)重合，當(dāng)、分別在、上時，，，，成立；如圖，當(dāng)、都在BC上時，，

，，，是等邊三角形，，，，，，，，解得：，成立；綜上，滿足條件的的值為4或16；（3）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時，如圖，若，

，，，，，即，解得：；如圖，若，

由，則，解得：；當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時，點(diǎn)也在上，此時，，不能構(gòu)成三角形；當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時，如圖，當(dāng)點(diǎn)位于中點(diǎn)處時，

由時等邊三角形知，即是直角三角形，則，解得：；如圖，當(dāng)點(diǎn)位于中點(diǎn)處時，由時等邊三角形知，即是直角三角形，則；綜上，當(dāng)或或15或18時，可得到直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，理清線段之間的數(shù)量關(guān)系．十、等邊三角形手拉手模型（共3小題）29．（2019上·黑龍江齊齊哈爾·八年級統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐：(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1，和均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．請寫出的度數(shù)及線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)類比探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE．填空：①的度數(shù)為_______；②線段之間的數(shù)量關(guān)系為_________，并說明理由．(3)拓展延伸；在（2）的條件下，若，求四邊形ABEC的面積．【答案】(1)∠AEB=60°，AD=BE，理由見解析(2)①90°，②AE=BE+2CM，理由見解析(3)35【分析】（1）先得出∠ACD=∠BCE，進(jìn)而用SAS判斷出△ACD≌△BCE，即可得出結(jié)論；（2）①同（1）的方法，即可得出結(jié)論；②由△ACD≌△BCE得出AD=BE，再判斷出DM=CM，即可得出結(jié)論．（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求得AE＝10，再根據(jù)四邊形ABEC的面積＝△ACE的面積+△ABE的面積，通過計算即可求解．【詳解】（1）解：∵△ACB和△DCE是等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC=∠BEC，AD=BE，∵△CDE是等邊三角形，∴∠CDE=∠CED=60°，∴∠ADC=180°∠CDE=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC∠CED=120°60°=60°；（2）解：同（1）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC=∠BEC，∵△DCE是等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠ADC=180°∠CDE=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC∠CED=135°45°=90°；②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME，在Rt△DCE中，CM⊥DE，∠CDM=45°，∴∠DCM=∠CDM=45°，∴DM=CM，∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．（3）解：由（2）得：∠AEB=90°，AD=BE=4，∵△DCE均為等腰直角三角形，CM為△DCE中DE邊上的高，∴CM⊥AE，∠CDE=∠CED=45°，∴∠CDE=∠CED=∠DCM=∠ECM=45°，∴CM=DM=ME，∴DE＝2CM＝6，∴AE＝AD+DE＝4+6＝10，∴四邊形ABEC的面積＝△ACE的面積+△ABE的面積＝AE×CM+AE×BE＝×10×3+×10×4＝35；故答案為：35．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，判斷出△ACD≌△BCE是解本題的關(guān)鍵．30．（2020下·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）探究等邊三角形“手拉手”問題．（1）如圖1，已如△ABC，△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)D在線段BC上，且不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合，連接CE，試判斷CE與BA的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，已知△ABC、△ADE均為等邊三角形，連接CE、BD，若∠DEC＝60°，試說明點(diǎn)B，點(diǎn)D，點(diǎn)E在同一直線上；（3）如圖3，已知點(diǎn)E在ABC外，并且與點(diǎn)B位于線段AC的異側(cè)，連接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜測線段BE、AE、CE三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）CE∥AB，理由見解析；（2）見解析；（3）BE＝AE+EC．理由見解析．【分析】（1）結(jié)論：CE∥AB．證明△BAD≌△CAE（SAS）可得結(jié)論．（2）利用全等三角形的性質(zhì)證明∠ADB＝∠AEC＝120°，證明∠ADB+∠ADE＝180°即可解決問題．（3）結(jié)論：BE＝AE+EC．在線段BE上取一點(diǎn)H，使得BH＝CE，設(shè)AC交BE于點(diǎn)O．利用全等三角形的性質(zhì)證明△AEH是等邊三角形即可．【詳解】（1）解：結(jié)論：CE∥AB．理由：如圖1中，∵△ABC，△ADE都是等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝60°，∴∠BAC＝∠ACE＝60°，∴AB∥CE．（2）證明：如圖2中，由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC，∵△ADE是等邊三角形，∴∠AED＝∠ADE＝60°，∵∠BEC＝60°，∴∠AEC＝∠AED+∠BEC＝120°，∴∠ADB＝∠AEC＝120°，∴∠ADB+∠ADE＝120°+60°＝180°，∴B，D，E共線．（3）解：結(jié)論：BE＝AE+EC．理由：在線段BE上取一點(diǎn)H，使得BH＝CE，設(shè)AC交BE于點(diǎn)O．∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠BAC＝60°，∵∠BEC＝60°，∴∠BAO＝∠OEC＝60°，∵∠AOB＝∠EOC，∴∠ABH＝∠ACE，∵BA＝CA，BH＝CE，∴△ABH≌△ACE（SAS），∴∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，∴∠HAE＝∠BAC＝60°，∴△AEH是等邊三角形，∴AE＝EH，∴BE＝BH+EH＝EC+AE，即BE＝AE+EC．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的性質(zhì)與判定及等邊三角形，熟練掌握判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意平時常用的輔助線作法．31．（2020上·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）【閱讀材料】小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，小明發(fā)現(xiàn)若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，則△ABD≌△ACE．【材料理解】（1）在圖1中證明小明的發(fā)現(xiàn)．【深入探究】（2）如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點(diǎn)O，連接AO，下列結(jié)論：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正確的有．（將所有正確的序號填在橫線上）．【延伸應(yīng)用】（3）如圖3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）①②③；（3）∠A+∠BCD=180°．【分析】（1）利用等式的性質(zhì)得出∠BAD=∠CAE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用對頂角和三角形的內(nèi)角和定理判斷出∠BOC=60°，再判斷出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，進(jìn)而得出∠AOE=60°；（3）先判斷出△BDP是等邊三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，進(jìn)而判斷出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE；（2）如圖2，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC，BD=CE，①正確，記AD與CE的交點(diǎn)為G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°∠ADB∠DGO=180°∠AEC∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正確，在OB上取一點(diǎn)F，使OF=OC，連接CF，∴△OCF是等邊三角形，∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，∴∠BCF=∠ACO，∵AB=AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC=∠BFC=180°∠OFC=120°，∴∠AOE=180°∠AOC=60°，③正確，沒有理由說明OC=OE，所以，④不一定正確，即：正確的有①②③，故答案為①②③；（3）如圖3，延長DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等邊三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠ABC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造等邊三角形是解本題的關(guān)鍵．一十一、軸對稱綜合（共4小題）32．（2020上·江蘇揚(yáng)州·八年級校聯(lián)考期中）如圖1，四邊形中，，，，經(jīng)過點(diǎn)的直線將四邊形分成兩部分，直線與所成的角設(shè)為，將四邊形的直角沿直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處（如圖1）．（1）若點(diǎn)與點(diǎn)重合，則_______，_______；（2）若折疊后點(diǎn)恰為的中點(diǎn)（如圖2），則的度數(shù)為_________．（3）在（2）的條件下，求證：．【答案】（1），8；（2）；（3）證明見解析．【分析】（1）利用軸對稱的性質(zhì)即可解決問題；（2）延長ED、OA，交于點(diǎn)F，如圖2．易證，則有DE＝DF，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠EOD＝∠FOD，從而就可求出；（3）根據(jù)是的線段垂直平分線，得到，故可求解．【詳解】（1）若點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，則∠COA＝45°，OA＝OC＝8．故答案為：45°，8．（2）如圖：延長ED、OA，交于點(diǎn)F．∵∠AOC＝∠BCO＝90°，∴∠AOC＋∠BCO＝180°，∴BC∥OA，∴∠B＝∠DAF．在△BDE和△ADF中，，∴（ASA），∴DE＝DF．∵∠ODE＝∠OCE＝90°，∴根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得OE＝OF，∴根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠EOD＝∠FOD．由折疊可得∠FOD＝∠EOC＝，∴∠COA＝3＝90°，∴＝30°．故答案為：；（3）由（2）得是的線段垂直平分線，∴，BE=AF∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定，構(gòu)造全等三角形是解決第（2）小題的關(guān)鍵．33．（2023上·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，點(diǎn)F是邊上一點(diǎn)，．用直尺和圓規(guī)按要求作圖（不寫作法，保留作圖痕跡），并回答問題：(1)在邊上作點(diǎn)D，使得點(diǎn)D到邊的距離相等；(2)在射線上作點(diǎn)E，使得點(diǎn)E到點(diǎn)A、點(diǎn)C的距離相等；(3)若點(diǎn)P是射線上一個動點(diǎn)，當(dāng)取最小值時，在圖中作出符合要求的點(diǎn)P，的最小值是．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)作圖見解析，13【分析】（1）根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，即作的平分線交于一點(diǎn)，即為點(diǎn)D，即可作答．（2）根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到線段的端點(diǎn)距離相等，即作線段的垂直平分線與相交于一點(diǎn)，即為點(diǎn)，即可作答．（3）作點(diǎn)F關(guān)于射線的對稱點(diǎn)，連接，交射線于一點(diǎn)P，此時，根據(jù)勾股定理列式計算，即可作答．【詳解】（1）解：點(diǎn)D如圖所示：（2）解：點(diǎn)E如圖所示：（3）解：點(diǎn)P如圖所示：∵，∴，即在中，，即，即．【點(diǎn)睛】本題考查了作角平分線，作垂直平分線，軸對稱性質(zhì)，勾股定理等知識內(nèi)容：難度適中，綜合性較強(qiáng)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．34．（2021上·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知四邊形ABCD．（1）在邊BC上找一點(diǎn)P，使得AP+PD的值最小，在圖①中畫出點(diǎn)P；（2）請用無刻度直尺和圓規(guī)，完成下列作圖（不要求寫作法，保留作圖痕跡）：①在線段AC上找一點(diǎn)M，使得BM＝CM，請在圖②中作出點(diǎn)M；②若AB與CD不平行，且AB＝CD，請在線段AC上找一點(diǎn)N，使得△ABN和△CDN的面積相等，請在圖③中作出點(diǎn)N．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②見解析．【分析】（1）作A點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A′，連接DA′交BC于P點(diǎn)，利用PA=PA′，則PA+PD=DA′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可判斷P點(diǎn)滿足條件；（2）①作BC的垂直平分線交AC于M；②BA和CD的延長線相交于O點(diǎn)，作∠BOC的平分線交AC于N．【詳解】解：（1）如圖①，點(diǎn)P為所作；（2）①如圖①，點(diǎn)M為所作；②如圖②，點(diǎn)N為所作．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了最短路徑問題．35．（2020·江蘇無錫·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知，直線過，、關(guān)于的對稱點(diǎn)分別為，請利用直尺（無刻度）和圓規(guī)按下列要求作圖．（l）當(dāng)與重合時，請在圖中畫出點(diǎn)位置，并求出的值；（2）當(dāng)都落在軸上時，請在圖2中畫出直線，并求出的值．【答案】（1）；m=1；（2）；【分析】（l）當(dāng)與重合時，則、關(guān)于的對稱，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)作出點(diǎn)位置，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求m；（2）當(dāng)都落在軸上時，AB所在直線與y軸關(guān)于對稱，延長分別交軸、軸于點(diǎn)，求出直線解析式，即得為等腰直角三角形，作，根據(jù)等腰直角三角形和對稱的性質(zhì)，可求出OP的長度，即m的值．【詳解】（1）如圖，作的垂直平分線，與軸交點(diǎn)即為點(diǎn)過點(diǎn)作軸垂線，垂足分別為根據(jù)，則有，解得．（2）延長分別交軸、軸于點(diǎn)，作角平分線與軸交點(diǎn)即為點(diǎn)．易求得直線解析式為，為等腰直角三角形，作，有．【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用垂直平分線和對稱的性質(zhì)作圖，運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式、結(jié)合直線解析式和等腰三角形及對稱性求P點(diǎn)橫坐標(biāo)，關(guān)鍵是要清楚知道當(dāng)都落在軸上時，AB所在直線與y軸關(guān)于對稱．一十二、勾股定理與折疊問題（共2小題）36．（2020上·廣東清遠(yuǎn)·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，將沿著折疊以后點(diǎn)正好落在邊上的點(diǎn)處．(1)當(dāng)時，求的度數(shù)；(2)當(dāng)，時，①求線段的長；②求線段的長．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）在中，利用互余得到，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得，然后根據(jù)互余可計算出；（2）①在中，利用勾股定理即可得到的長；②設(shè)，則，依據(jù)勾股定理可得，中，再解方程即可得到的長．【詳解】（1）解：在中，，，，沿著折疊以后點(diǎn)正好落在點(diǎn)處，，中，．（2）①在中，，，．②沿著折疊以后點(diǎn)正好落在點(diǎn)處，，，，設(shè)，則，中，，，解得．即的長為3．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，解題時常設(shè)要求的線段長為，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切危\(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．37．（2023上·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，把沿直線折疊，點(diǎn)與點(diǎn)重合．(1)若，則的度數(shù)為；(2)若，，求的長；(3)當(dāng)?shù)闹荛L為，