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第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.1.1有理指數(shù)(一)【教學(xué)目標(biāo)】1.理解整數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算律,并會(huì)進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算.2.培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納等邏輯思維能力.3.培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神;培養(yǎng)學(xué)生合作交流等良好品質(zhì).【教學(xué)重點(diǎn)】零指數(shù)冪、負(fù)整指數(shù)冪的定義.【教學(xué)難點(diǎn)】零指數(shù)冪及負(fù)整指數(shù)冪的定義過程,整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算.【教學(xué)方法】這節(jié)課主要采用問題解決法和分組教學(xué)法.在引入指數(shù)冪時(shí),以在國(guó)際象棋棋盤上放米粒為導(dǎo)入素材,既體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值,也能引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.從正整指數(shù)的運(yùn)算法則中的EQ\F(am,an)=am-n(m>n,a≠0)這一法則出發(fā),通過取消m>n的限制引入了零指數(shù)冪和負(fù)整指數(shù)冪的定義,從而把正整指數(shù)冪推廣到整數(shù)指數(shù)冪.在本節(jié)教學(xué)中,要以取消m>n這一條件為出發(fā)點(diǎn),讓學(xué)生積極大膽地猜想,以此增強(qiáng)學(xué)生的參與意識(shí),從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.【教學(xué)過程】環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入在一個(gè)國(guó)際象棋棋盤上放一些米粒,第一格放1粒,第2格放2粒,第3格放4粒……一直到第64格,那么第64格應(yīng)放多少粒米?第1格放的米粒數(shù)是1;第2格放的米粒數(shù)是2;2個(gè)2第3格放的米粒數(shù)是2個(gè)23個(gè)2第4格放的米粒數(shù)是3個(gè)24個(gè)2第5格放的米粒數(shù)是4個(gè)2……63個(gè)2第64格放的米粒數(shù)是2×2×2×63個(gè)2學(xué)生在教師的引導(dǎo)下觀察圖片,明確教師提出的問題,通過觀察課件,歸納、探究答案.師:通過上面的解題過程,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?那么第64格放多少米粒,怎么表示?學(xué)生回答,教師針對(duì)學(xué)生的回答給予點(diǎn)評(píng).并歸納出第64格應(yīng)放的米粒數(shù)為263.師:請(qǐng)用計(jì)算器求263的值.學(xué)生解答.通過問題的引入激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.在問題的分析過程中,培養(yǎng)學(xué)生歸納推理的能力.為引出an設(shè)下伏筆.用計(jì)算器使問題得到解決.新課新課新課一、正整指數(shù)冪1.定義一般地,an(nN+)叫做a的n次冪,a叫做冪的底數(shù),n叫做冪的指數(shù).并且規(guī)定:a1=a.a(chǎn)an冪指數(shù)(nN+)底數(shù)當(dāng)n是正整數(shù)時(shí),an叫正整指數(shù)冪.練習(xí)1填空(1)23×24=;aman=;(2)(23)4=;(am)n=;(3)EQ\F(24,23)=;EQ\F(am,an)=(m>n,a≠0);(4)(xy)3=;(ab)m=.練習(xí)2計(jì)算EQ\F(23,23).二、零指數(shù)冪規(guī)定:a0=1(a≠0)練習(xí)3填空(1)80=;(2)(-0.8)0=;練習(xí)4式子(a-b)0=1是否恒成立?為什么?練習(xí)5計(jì)算(1)EQ\F(23,24);(2)EQ\F(23,25).三、負(fù)整指數(shù)冪我們規(guī)定:a-1=EQ\F(1,a)(a≠0)a-n=EQ\F(1,an)(a≠0,nN+)練習(xí)6填空(1)8–2=;(2)(0.2)-3=.練習(xí)7式子(a-b)-4=EQ\F(1,(a-b)4)是否恒成立?為什么?四、實(shí)數(shù)系實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)有理數(shù)無理數(shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正整數(shù)零負(fù)整數(shù)五、整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則aman=am+n;(am)n=amn;(ab)m=ambm.練習(xí)8(1)(2x)–2=;(2)–3=;(3)(EQ\F(x3,r2))–2=;(4)EQ\F(x2,b2c)=.教師板書課題.學(xué)生理解概念.教師強(qiáng)調(diào)n是正整數(shù).學(xué)生回顧正整指數(shù)冪的運(yùn)算法則,并嘗試解決練習(xí)1、2.練習(xí)1,學(xué)生分小組搶答;練習(xí)2,學(xué)生通過約分解得EQ\F(23,23)=1.師:如果取消EQ\F(am,an)=am-n(m>n,a≠0)中m>n的限制,如何通過指數(shù)的運(yùn)算來表示?EQ\F(23,23)=23-3=20教師板書:零指數(shù)冪a0=1(a≠0).師:請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合零指數(shù)冪的定義完成練習(xí)3.學(xué)生解答.教師強(qiáng)調(diào)練習(xí)4中,等式成立的條件,即a≠b.練習(xí)5,學(xué)生可通過約分解答.師:實(shí)數(shù)m與n的大小關(guān)系除了m>n,m=n還有m<n.當(dāng)m<n時(shí),運(yùn)算法則EQ\F(am,an)=am-n一定成立嗎?學(xué)生嘗試解決教師提出的問題.教師板書:負(fù)整指數(shù)冪a-n=EQ\F(1,an)(a≠0,nN+),并強(qiáng)調(diào)a的取值.練習(xí)6由學(xué)生解答,練習(xí)7要求小組合作探究解決.教師針對(duì)學(xué)生的解答進(jìn)行點(diǎn)評(píng),并強(qiáng)調(diào)練習(xí)7中的等式成立的條件,即a≠b.師:從數(shù)的分類可知,在定義了零指數(shù)冪和負(fù)整指數(shù)冪以后,我們就把正整指數(shù)冪推廣到了整數(shù)指數(shù)冪的范圍.師:正整指數(shù)冪的運(yùn)算法則,對(duì)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算仍然成立.板書運(yùn)算法則.通過演示將EQ\F(am,an)的運(yùn)算歸結(jié)到aman中去,即EQ\F(am,an)=ama-n=am+(–n)=am–n.學(xué)生解答,練習(xí)8要求小組合作解決.教師在講解上述題目時(shí),應(yīng)再現(xiàn)每題運(yùn)算過程中用到的運(yùn)算律.學(xué)生在初中已學(xué)過此概念,用投影的形式展現(xiàn),學(xué)生容易聯(lián)想起以前的內(nèi)容.明確各部分的名稱.通過強(qiáng)調(diào)n是正整數(shù),為零指數(shù)和負(fù)整指數(shù)的引入作鋪墊.通過練習(xí),讓學(xué)生回顧正整指數(shù)冪的運(yùn)算律.由特殊到一般,由具體的例子入手,引出零指數(shù)冪的定義.突破思維困境,引入零指數(shù)冪.第2題的目的是要讓學(xué)生記住a0=1(a≠0)中的a≠0這一條件.類比零指數(shù)的引入,負(fù)整指數(shù)的引入就順理成章了.練習(xí)7是為了讓學(xué)生注意,在負(fù)整指數(shù)冪中底數(shù)a的取值范圍.重新回顧實(shí)數(shù)的分類,展示冪指數(shù)的推廣過程,幫助學(xué)生理解“把正整指數(shù)冪推廣到了整數(shù)指數(shù)冪的范圍”這句話.使學(xué)生對(duì)冪的運(yùn)算法則給予重新認(rèn)識(shí).突出本節(jié)知識(shí),突出運(yùn)算法則.小結(jié)正整指數(shù)冪零指數(shù)冪負(fù)整指數(shù)冪正整指數(shù)冪零指數(shù)冪負(fù)整指數(shù)冪整數(shù)指數(shù)冪2.正整指數(shù)冪的運(yùn)算法則對(duì)整數(shù)指數(shù)冪仍然成立:(1)aman=am+n;(2)(am)n=amn;(3)(ab)m=ambm.回顧本節(jié)主要內(nèi)容,加深理解零指數(shù)和負(fù)整指數(shù)冪的概念、牢記運(yùn)算律.簡(jiǎn)潔明了地概括本節(jié)課的重要知識(shí),使學(xué)生易于理解記憶.作業(yè)必做題:P98,練習(xí)A第1題,選做題:P103,習(xí)題第1題(9).標(biāo)記作業(yè).針對(duì)學(xué)生實(shí)際,對(duì)課后書面作業(yè)實(shí)施分層設(shè)置,安排必做習(xí)題和選做習(xí)題兩層.
4.1.1有理指數(shù)(二)【教學(xué)目標(biāo)】1.了解根式的概念和性質(zhì);理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念;掌握有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).2.會(huì)對(duì)根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行互化.培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納等邏輯思維能力.3.培養(yǎng)學(xué)生用事物之間普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題.【教學(xué)重點(diǎn)】分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念以及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).【教學(xué)難點(diǎn)】對(duì)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念的理解.【教學(xué)方法】這節(jié)課主要采用問題解決教學(xué)法.在引入分?jǐn)?shù)指數(shù)冪時(shí),先講方根的概念,根據(jù)方根的定義,得到根式具有的性質(zhì).在利用根式的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)根式的化簡(jiǎn)過程中,引導(dǎo)學(xué)生注意發(fā)現(xiàn)并歸納其變形特點(diǎn),進(jìn)而由特殊情形歸納出一般規(guī)律.在對(duì)根式的性質(zhì)進(jìn)行練習(xí)以后,為了解決運(yùn)算的合理性,引入了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念,從而將指數(shù)冪推廣到了有理數(shù)范圍.在學(xué)生掌握了有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)后,將有理指數(shù)冪推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪.考慮到職校學(xué)生的實(shí)際情況,并沒有給出嚴(yán)格的推證.【教學(xué)過程】環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入1.整數(shù)指數(shù)冪的概念.a(chǎn)n=a×a×a×…×a(n個(gè)a連乘);a0=1(a≠0);a-n=EQ\F(1,an)(a≠0,nN+).2.運(yùn)算性質(zhì):aman=am+n;(am)n=amn;(ab)m=ambm.師:上節(jié)課我們把正整指數(shù)冪推廣到了整數(shù)指數(shù)冪,那么我們能不能把整數(shù)指數(shù)冪推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,進(jìn)而推廣到有理指數(shù)冪和實(shí)數(shù)指數(shù)冪呢?這節(jié)課我們就來探討這個(gè)問題.師:首先來復(fù)習(xí)一下上節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容.學(xué)生回答教師提出的問題,教師及時(shí)給予評(píng)價(jià).以舊引新提出問題,引入本節(jié)課題.復(fù)習(xí)上節(jié)所學(xué)內(nèi)容.新課新課新課一、根式有關(guān)概念定義:一般地,若xn=a(n>1,nN),則x叫做a的n次方根.例如:(1)由32=9知,3是9的二次方根(平方根);由(-3)2=9知,-3也是9的二次方根(平方根);(2)由(-5)3=-125知,-5是-125的三次方根(立方根);(3)由64=1296知,6是1296的4次方根.有關(guān)結(jié)論:(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí):正數(shù)的n次方根為正數(shù),負(fù)數(shù)的n次方根為負(fù)數(shù).記作:x=EQ\R(n,a).(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),正數(shù)的n次方根有兩個(gè)(互為相反數(shù)).記作:x=±EQ\R(n,a).(3)負(fù)數(shù)沒有偶次方根.(4)0的任何次方根都為0.當(dāng)EQ\R(n,a)有意義時(shí),EQ\R(n,a)叫做根式,n叫根指數(shù).正數(shù)a的正n次方根叫做a的n次算術(shù)根.例如:EQ\R(3,2)叫做2的3次算術(shù)根;EQ\R(4,-2)不叫根式,因?yàn)樗菦]有意義的.二、根式的性質(zhì)(1)(EQ\R(n,a))=a.例如,(EQ\R(3,27))=27,(EQ\R(5,-3))=-3.(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),EQ\R(n,an)=a;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),EQ\R(n,an)=|a|=EQ\B\LC\{(\A\AL\COL(a(a≥0),-a(a<0))).例如:EQ\R(3,(-5)3)=-5,=2;EQ\R(,52)=5,EQ\R(4,(-3)4)=|-3|=3.觀察下面的運(yùn)算:(aeq\s\up10(\f(1,3)))3=aeq\s\up10(\f(1,3))3=a①(aeq\s\up10(\f(2,3)))3=aeq\s\up10(\f(2,3))3=a2②上面兩式的運(yùn)算,用到了法則(am)n=amn,但無法用整數(shù)指數(shù)冪來解釋,但是①式的含義是aeq\s\up10(\f(1,3))連乘3次得到a,所以aeq\s\up10(\f(1,3))可以看作是a的3次方根;②式的含義是aeq\s\up10(\f(2,3))連乘3次得到a2,所以aeq\s\up10(\f(2,3))可以看作是a2的3次方根.因此我們規(guī)定aeq\s\up10(\f(1,3))=EQ\R(3,a),aeq\s\up10(\f(2,3))=EQ\R(3,a2),以使運(yùn)算合理.三、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪一般地,我們規(guī)定:aeq\s\up10(\f(1,n))=EQ\R(n,a)(a>0);aeq\s\up10(\f(m,n))=EQ\R(n,am)=(EQ\R(n,a))m(a>0,m,nN+,且EQ\F(m,n)為既約分?jǐn)?shù)).a(chǎn)eq\s\up10(-\f(m,n))=EQ\F(1,aeq\s\up10(\f(m,n)))(a>0,m,nN+,且EQ\F(m,n)為既約分?jǐn)?shù)).四、實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則(1)aαaβ=aα+β;(2)(aα)β=aαβ;(3)(ab)α=aαbα.以上aα,aβ中,a>0,b>0,且α,β為任意實(shí)數(shù).練習(xí)18eq\s\up10(\f(3,5))×8eq\s\up10(\f(2,5))=8eq\s\up10(\f(3+2,5))=81=8;8eq\s\up10(\f(2,3))=(8eq\s\up10(\f(1,3)))2=22=4;3EQ\R(3)×EQ\R(3,3)×EQ\R(6,3)=3×3eq\s\up10(\f(1,2))×3eq\s\up10(\f(1,3))×3eq\s\up10(\f(1,6))=31+eq\s\up10(\f(1,2))+eq\s\up10(\f(1,3))+eq\s\up10(\f(1,6))=32=9;(aeq\s\up9(\f(2,3))beq\s\up9(\f(1,4)))3=(aeq\s\up10(\f(2,3)))3·(beq\s\up10(\f(1,4)))3=a2beq\s\up10(\f(3,4)).例1利用函數(shù)型計(jì)算器計(jì)算(精確到0.001):(1);(2)-2;(3)eq\s\up10(\f(2,3)).例2利用函數(shù)型計(jì)算器計(jì)算函數(shù)值.已知f(xx,求f(-3),f(-2),f(-1),f(1),f(2),f(3)(精確到0.001).請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合教材在小組內(nèi)合作完成.練習(xí)2教材P98,練習(xí)A組第3題,練習(xí)B組第3題.教師板書課題.學(xué)生理解方根概念.教師通過舉例讓學(xué)生進(jìn)一步理解方根的概念.學(xué)生在教師的引導(dǎo)下進(jìn)一步理解根式的概念.學(xué)生重新構(gòu)建根式、根指數(shù)的概念,教師強(qiáng)調(diào)當(dāng)EQ\R(n,a)有意義時(shí),EQ\R(n,a)叫做根式.學(xué)生理解根式的性質(zhì),通過實(shí)例演示,將性質(zhì)應(yīng)用到運(yùn)算之中.教師用語言敘述根式性質(zhì):(1)實(shí)數(shù)a的n次方根的n次冪是它本身;(2)n為奇數(shù)時(shí),實(shí)數(shù)a的n次冪的n次方根是a本身;n為偶數(shù)時(shí),實(shí)數(shù)a的n次冪的n次方根是a的絕對(duì)值.學(xué)生認(rèn)真觀察.在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生尋找解惑途徑.學(xué)生在教師的引導(dǎo)下,由特殊到一般,積極構(gòu)建分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念.師:負(fù)整數(shù)指數(shù)冪是怎么定義的?如何來定義負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪呢?學(xué)生在教師的引導(dǎo)下,類比負(fù)整指數(shù)冪的定義,形成負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念.師:至此,我們把整數(shù)指數(shù)冪推廣到了有理指數(shù)冪.有理指數(shù)冪還可以推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪.使學(xué)生形成實(shí)數(shù)指數(shù)冪的概念.學(xué)生做練習(xí).教師講解例1第(1)題的操作方法.學(xué)生結(jié)合教材,完成例1第(2)、(3)題,學(xué)習(xí)用計(jì)算工具來求指數(shù)冪ab的值.引入方根的概念為下一步引入分?jǐn)?shù)指數(shù)做基礎(chǔ).使學(xué)生加深對(duì)方根概念的理解,為總結(jié)出結(jié)論作鋪墊.由方根的概念引入其數(shù)學(xué)記法,為引入根式的概念作準(zhǔn)備.引入根式、根指數(shù)的概念.將數(shù)學(xué)語言(符號(hào))轉(zhuǎn)化為文字語言,使學(xué)生加深對(duì)性質(zhì)的理解.設(shè)置障礙,使學(xué)生積極尋找解決途徑,從而調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性.通過教師引導(dǎo),學(xué)生找到使運(yùn)算合理的途徑.引入正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念.類比負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義,引入負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念.將有理指數(shù)冪推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪,并給出實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則.加深對(duì)有理指數(shù)冪的理解,并使學(xué)生進(jìn)一步掌握指數(shù)冪的運(yùn)算法則.使學(xué)生掌握函數(shù)型計(jì)算器的使用.使學(xué)生進(jìn)一步鞏固函數(shù)計(jì)算器的使用方法.小結(jié)根式分?jǐn)?shù)指數(shù)冪1.根式分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正整指數(shù)冪正整指數(shù)冪零指數(shù)冪負(fù)整指數(shù)冪整數(shù)指數(shù)冪分?jǐn)?shù)指數(shù)冪有理指數(shù)冪實(shí)數(shù)指數(shù)冪2.3.利用函數(shù)型計(jì)算器求ab的值.學(xué)生在教師的引導(dǎo)下回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容,加深理解根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念;理順實(shí)數(shù)指數(shù)冪的推廣過程;回顧計(jì)算器的使用方法.簡(jiǎn)潔明了地概括本節(jié)課的重要知識(shí),便于學(xué)生理解記憶.理順本節(jié)指數(shù)冪的推廣思路,使學(xué)生思維清晰.作業(yè)必做題:教材P98,練習(xí)B組第1題;選做題:教材P98,練習(xí)B組第2題.針對(duì)學(xué)生實(shí)際,對(duì)課后書面作業(yè)實(shí)施分層設(shè)置,安排基本練習(xí)題和選做題兩層.
4.1.2冪函數(shù)舉例【教學(xué)目標(biāo)】1.了解冪函數(shù)的概念,會(huì)求冪函數(shù)的定義域,會(huì)畫簡(jiǎn)單冪函數(shù)的圖象.2.培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題.注重培養(yǎng)學(xué)生的作圖、讀圖的能力.3.培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神;培養(yǎng)合作交流等良好品質(zhì).【教學(xué)重點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的定義.【教學(xué)難點(diǎn)】會(huì)求冪函數(shù)的定義域,會(huì)畫簡(jiǎn)單冪函數(shù)的圖象.【教學(xué)方法】這節(jié)課主要采用啟發(fā)式和講練結(jié)合的教學(xué)方法.從函數(shù)y=x,y=x2,y=EQ\F(1,x)等導(dǎo)入,通過觀察這類函數(shù)的解析式,歸納其共性,引入冪函數(shù)的概念.在例1求函數(shù)的定義域中,對(duì)于分?jǐn)?shù)指數(shù)及負(fù)整指數(shù)的冪函數(shù)要轉(zhuǎn)化為分式或根式的形式,講解時(shí),注意引導(dǎo),讓學(xué)生在解答問題的過程中自己歸納總結(jié)規(guī)律.函數(shù)圖象是研究函數(shù)性質(zhì)的有利工具,教師在講授例2時(shí),可以采用分組的方式,讓學(xué)生一起合作完成函數(shù)的圖象,并從本例中找出冪函數(shù)的某些性質(zhì).【教學(xué)過程】環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入1.指數(shù)冪an=a×a×a×…×a(n個(gè)a連乘)a0=1;a-n=EQ\F(1,an)(a≠0,nN+);aeq\s\up10(\f(1,n))=EQ\R(n,a)(a>0);aeq\s\up10(\f(m,n))=EQ\R(n,am)(a>0,m,n∈N+,且EQ\F(m,n)為既約分?jǐn)?shù));aeq\s\up10(-\f(m,n))=EQ\F(1,aeq\s\up10(\f(m,n)))(a>0,m,n∈N+,且EQ\F(m,n)為既約分?jǐn)?shù)).2.觀察函數(shù)y=x2,y=x3,y=x及y=x-1.學(xué)生在教師的引導(dǎo)下,回顧指數(shù)冪的有關(guān)定義及運(yùn)算法則.師:以上函數(shù)表達(dá)式的共同特征是什么?你還能舉出類似的函數(shù)嗎?學(xué)生觀察函數(shù)的表達(dá)式,回答教師提出的問題.復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容,為本節(jié)學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.通過實(shí)例引入本節(jié)課題,確定本節(jié)的學(xué)習(xí)目標(biāo).新課新課新課一、冪函數(shù)的概念一般地,形如y=x的函數(shù)我們稱為冪函數(shù).練習(xí)1判斷下列函數(shù)是不是冪函數(shù)(1)y=2x;(2)y=2xeq\s\up10(\f(3,5));(3)y=xeq\s\up10(\f(7,8));(4)y=x2+3.例1寫出下列函數(shù)的定義域:(1)y=x3;(2)y=xeq\s\up10(\f(1,2));(3)y=x-2;(4)y=xeq\s\up10(-\f(3,2)).解:(1)函數(shù)y=x3的定義域?yàn)镽;(2)函數(shù)y=xeq\s\up10(\f(1,2)),即y=EQ\R(,x),定義域?yàn)閇0,+∞);(3)函數(shù)y=x-2,即y=EQ\F(1,x2),定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞);(4)函數(shù)y=xeq\s\up10(-\f(3,2)),即y=EQ\F(1,EQ\R(,x3)),其定義域?yàn)?0,+∞).練習(xí)2求下列函數(shù)的定義域:(1)y=x-3;(2)y=xeq\s\up10(-\f(4,3));(3)y=xeq\s\up10(-\f(1,2)).二、冪函數(shù)的性質(zhì)例2作出下列函數(shù)的圖象:(1)y=x;(2)y=xeq\s\up10(\f(1,2));(3)y=x2;(4)y=x-1.(1)列表:x…-3-2-10123…y=x…-3-2-10123…y=xeq\s\up7(\f(1,2))…////1…y=x2…9410149…y=x-1…-EQ\F(1,3)-EQ\F(1,2)-1/1EQ\F(1,2)EQ\F(1,3)…(2)描點(diǎn);(3)連線.冪函數(shù)的性質(zhì)冪函數(shù)隨冪指數(shù)α的取值不同,它們的性質(zhì)和圖象也不盡相同,但也有一些共性,例如,所有的冪函數(shù)都通過點(diǎn)(1,1),都經(jīng)過第一象限等.練習(xí)3畫出函數(shù)y=xeq\s\up10(\f(3,4))的圖象,并指出其奇偶性、單調(diào)性.(2)可否利用(2)可否利用的圖象畫出的圖象?學(xué)生在教師的引導(dǎo)下歸納冪函數(shù)的概念.學(xué)生回答練習(xí)1,進(jìn)一步理解冪函數(shù)的概念.針對(duì)學(xué)生的回答,教師結(jié)合定義點(diǎn)評(píng).在教師的引導(dǎo)下利用指數(shù)冪的有關(guān)定義,師生共同完成例題.學(xué)生尋找規(guī)律,形成解題規(guī)律.師:由上例我們可以看出,當(dāng)冪函數(shù)的指數(shù)為負(fù)整數(shù)時(shí),一般是先將函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為分式形式;當(dāng)冪函數(shù)的指數(shù)為分?jǐn)?shù)時(shí),一般是先將函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為根式,然后再來求函數(shù)的定義域.教師根據(jù)學(xué)生的解答進(jìn)行點(diǎn)評(píng),并給予相應(yīng)評(píng)價(jià).師:函數(shù)圖象可以直觀反映函數(shù)性質(zhì),是研究函數(shù)性質(zhì)的有利工具,請(qǐng)同學(xué)們回顧一下,作函數(shù)圖象分為哪三步?學(xué)生回答.學(xué)生分組完成列表.師生共同完成描點(diǎn)和連線,有條件的學(xué)校可利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行作圖.教師結(jié)合函數(shù)圖象說明冪函數(shù)的性質(zhì).學(xué)生在教師的引導(dǎo)下完成練習(xí).由學(xué)生自己歸納冪函數(shù)的概念,有利于他們把握和理解新概念.使學(xué)生加強(qiáng)對(duì)冪函數(shù)概念的理解.通過例題演示,使學(xué)生進(jìn)一步掌握求冪函數(shù)定義域的方法.總結(jié)規(guī)律.使學(xué)生應(yīng)用剛學(xué)過的新知識(shí).回顧作圖過程,進(jìn)一步明確函數(shù)圖象是研究函數(shù)性質(zhì)的有利工具.在畫圖過程中,學(xué)會(huì)與人合作.使學(xué)生對(duì)冪函數(shù)的性質(zhì)有簡(jiǎn)單的了解.復(fù)習(xí)作圖過程,并強(qiáng)化學(xué)生讀圖能力培養(yǎng).小結(jié)1.冪函數(shù)的定義2.求冪函數(shù)的定義域3.通過冪函數(shù)的圖象分析冪函數(shù)的性質(zhì)師生共同回顧冪函數(shù)的概念,定義域的求法以及冪函數(shù)的圖象和性質(zhì).簡(jiǎn)潔明了概括本節(jié)課的重要知識(shí),學(xué)生易于理解記憶.作業(yè)1.教材P100,練習(xí)A第1題.2.計(jì)算機(jī)上的練習(xí)在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=x3與y=EQ\R(3,x)的圖象,并指數(shù)這兩個(gè)函數(shù)各有什么性質(zhì)以及它們的圖象關(guān)系(操作步驟參照教材172頁).基于學(xué)生實(shí)際,對(duì)課后書面作業(yè)實(shí)施分層設(shè)置的同時(shí)設(shè)置了計(jì)算機(jī)上的練習(xí),讓學(xué)生自己在操作過程中尋找學(xué)習(xí)的樂趣.
4.1.3指數(shù)函數(shù)【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握指數(shù)函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用.2.培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題的能力.3.培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神;培養(yǎng)獨(dú)立思考等良好的個(gè)性品質(zhì).【教學(xué)重點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).【教學(xué)難點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)與底數(shù)a的關(guān)系.【教學(xué)方法】這節(jié)課主要采用講練結(jié)合和小組合作的教學(xué)方法.本節(jié)課由生活中的真實(shí)例子導(dǎo)入新課,引入指數(shù)函數(shù)的定義,并通過一組練習(xí)深化指數(shù)函數(shù)的定義.先通過列表——描點(diǎn)——連線得到指數(shù)函數(shù)的圖象,然后在教師的啟發(fā)下,充分利用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì).為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,增加了一道求函數(shù)定義域的例題,然后安排一定數(shù)量的練習(xí),體現(xiàn)練為主線,講練結(jié)合的教學(xué)方法.【教學(xué)過程】環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入一種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì),每經(jīng)過1年剩留的質(zhì)量約是原來的84%.試寫出這種物質(zhì)的剩留量隨時(shí)間變化的函數(shù)解析式.教師分析解題的過程,得到y(tǒng)x.通過實(shí)例引入,讓學(xué)生得到指數(shù)函數(shù)的一些特征,從而有了感性認(rèn)識(shí),對(duì)理解和掌握指數(shù)函數(shù)的定義、性質(zhì)會(huì)起到很好的幫助作用.新課新課新課新課一、指數(shù)函數(shù)的定義一般地,函數(shù)y=ax(a>0且a1,xR)叫做指數(shù)函數(shù).其中x是自變量,定義域?yàn)镽.探究1y=2×3x是指數(shù)函數(shù)嗎?探究2為什么要規(guī)定a>0,且a≠1呢?(1)若a=0,則當(dāng)x>0時(shí),ax=0;當(dāng)x≤0時(shí),ax無意義.(2)若a<0,則對(duì)于x的某些數(shù)值,可使ax無意義.如(-2)x,這時(shí)對(duì)于x=EQ\F(1,4),x=EQ\F(1,2),…等等,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在.(3)若a=1,則對(duì)于任何xR,ax=1,是一個(gè)常量,沒有研究的必要性.為了避免上述各種情況,所以規(guī)定a>0且a1.在規(guī)定以后,對(duì)于任何xR,ax都有意義,且ax>0.因此指數(shù)函數(shù)的定義域是R,值域是(0,+∞).練習(xí)1指出下列函數(shù)哪些是指數(shù)函數(shù):(1)y=43x;(2)y=x;(3)yx;(4)y=x3.二、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=2x和y=(EQ\F(1,2))x的圖象.(1)列表:略.(2)描點(diǎn):略.(3)連線:略.y=(y=(EQ\F(1,2))xxy123-1-2-3123456789Oy=2x練習(xí)2作函數(shù)y=3x與y=(EQ\F(1,3))x的圖象.探究3觀察y=2x,y=(EQ\F(1,2))x,y=3x與y=(EQ\F(1,3))x的圖象,找出圖象特征.(1)圖象向左右無限延伸;(2)圖象在x軸上方,向上無限延伸,向下無限接近于x軸;(3)圖象都經(jīng)過點(diǎn)(0,1);(4)a=2或a=3時(shí),從左向右看圖象逐漸上升;a=EQ\F(1,2)或a=EQ\F(1,3)時(shí),從左向右看圖象逐漸下降.探究4(1)“圖象向左右無限延伸”揭示了“函數(shù)的定義域?yàn)镽”;(2)“圖象在x軸上方,向上無限延伸,向下無限接近于x軸”揭示了“函數(shù)的值域?yàn)?0,+∞);(3)“圖象都經(jīng)過點(diǎn)(0,1)”揭示了“當(dāng)x=0時(shí),ax=1”;(4)“a=2或a=3時(shí),從左向右看圖象逐漸上升;a=EQ\F(1,2)或a=EQ\F(1,3)時(shí),從左向右看圖象逐漸下降”揭示了“當(dāng)a>1時(shí),指數(shù)函數(shù)是增函數(shù);當(dāng)0<a<1時(shí),指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)”.表4-1指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象y=y(tǒng)=1xy(0,1)Oy=y(tǒng)=1xy(0,1)O定義域R值域(0,+)定點(diǎn)(0,1)單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)x≥0時(shí),y≥1;x<0時(shí),0<y<1X≥0時(shí),0<y≤1;x<0時(shí),y>1練習(xí)3(1)指數(shù)函數(shù)y=ax,當(dāng)時(shí),函數(shù)是增函數(shù);當(dāng)時(shí),函數(shù)是減函數(shù).(2)若函數(shù)f(x)=(a+1)x是減函數(shù),則a的取值范圍是.例1用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),比較下列各題中兩個(gè)值的大?。?1)和3;(2)-和-.解(1)考察函數(shù)y=x,它在實(shí)數(shù)集上是增函數(shù).因?yàn)椋?,所以<3.請(qǐng)同學(xué)們用函數(shù)的圖象來驗(yàn)證一下答案是否正確?(2)考察函數(shù)y=x,它在實(shí)數(shù)集上是減函數(shù).因?yàn)椋荆?,所以-<-.?qǐng)同學(xué)們用計(jì)算器驗(yàn)證一下答案是否正確?練習(xí)4比較下列各題中兩個(gè)值的大?。海唬?;(3)如果2n<2m,則nm.例2求函數(shù)y=EQ\R(,3x-3)的定義域.解:要使函數(shù)有意義,則有3x-3≥0,所以3x≥3,所以
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