2020-2021學(xué)年上海市華師大三附中高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學(xué)年上海市華師大三附中高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，則點(diǎn)在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】∵，∴，，，∴，∴點(diǎn)在第二象限，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查了由三角函數(shù)值的符號(hào)判斷角的終邊位置，屬于基礎(chǔ)題；三角函數(shù)值符號(hào)記憶口訣記憶技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（為正）．即第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正.2．集合，，則，的關(guān)系是（）A． B． C． D．不確定【答案】B【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡即可得答案.【詳解】解：由于，所以，因?yàn)?，所以故選：B3．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，若函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)為1，則△ABC一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)有，結(jié)合二倍角公式、兩角和差的余弦公式可得，即可判斷三角形形狀；【詳解】函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)為1，即；∴，而，∴，知：；故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了利用三角恒等變換化簡三角函數(shù)，并判斷三角形的形狀，其中運(yùn)用了二倍角的余弦公式、兩角和差的余弦公式及三角形內(nèi)角性質(zhì)；4．已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)的銳角繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過后，終邊交單位圓于，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題首先可根據(jù)終邊交單位圓于得出，然后根據(jù)得出以及，最后根據(jù)兩角差的正弦公式即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殇J角繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過后，終邊交單位圓于，所以，或（舍去），，則，，故，故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)角的終邊經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)求角的正弦值和余弦值，考查兩角差的正弦公式，求出點(diǎn)坐標(biāo)、以及的值是解決本題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，是中檔題.二、填空題5．已知扇形的圓心角為，半徑為5，則扇形的弧長_________.【答案】【分析】根據(jù)扇形的弧長公式進(jìn)行求解即可．【詳解】∵扇形的圓心角α，半徑為r＝5，∴扇形的弧長l＝rα5．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形的弧長公式的計(jì)算，熟記弧長公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．6．冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的解析式為_______________．【答案】【詳解】由待定系數(shù)法得，所以7．若角的終邊過點(diǎn)，________．【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)終邊上點(diǎn)的定義得，進(jìn)而利用二倍角公式求解即可得答案.【詳解】解：由三角函數(shù)終邊上點(diǎn)的定義得，所以.故答案為：8．若函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)坐標(biāo)為________．【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)，并結(jié)合函數(shù)圖象平移變換即可得答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)，函數(shù)圖像向上平移一個(gè)單位即可得到的圖像，所以函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn).故答案為：9．半徑為4的圓內(nèi)接三角形的面積是，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊依次為a、b、c，則的值為______．【答案】1【分析】由三角形的面積公式，求得，再由正弦定理，求得，代入即可求解.【詳解】由三角形的面積公式，可得，所以，又由正弦定理可得，所以，所以，所以.故答案為：.10．方程在區(qū)間上的所有解的和為__________．【答案】【分析】利用二倍角公式，將方程，轉(zhuǎn)化為求解.【詳解】方程，即為：，解得或，因?yàn)?，所以或，所以方程在區(qū)間上的所有解的和為故答案為：11．在中，若，，，則________．【答案】或【分析】根據(jù)正弦定理直接求解即可.【詳解】解：根據(jù)正弦定理得，因?yàn)?，所以或故答案為：?2．若，則________．【答案】或.【分析】根據(jù)題意和三角函數(shù)的基本關(guān)系，化簡得到，即可求解.【詳解】由，可得，所以，即，解得或.故答案為：或.13．已知，化簡：________．【答案】【分析】先利用平方關(guān)系去根號(hào)，得到，再利用角的范圍去絕對(duì)值.【詳解】原式.因?yàn)椋?所以原式故答案為：14．在中,內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，若，，則的面積為_________.【答案】【詳解】分析：由，，利用余弦定理可得，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行求解即可.詳解：因?yàn)椋?，所以由余弦定理得：，即，因此的面積為，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查余弦定理及特殊角的三角函數(shù)，屬于簡單題.對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.15．已知是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的兩個(gè)根，則的最小值為__________.【答案】【分析】由題意，根的判別式且，求出的范圍，再根據(jù)韋達(dá)定理，用表示出和，然后用兩角和的正切公式表示出，借助一次函數(shù)的單調(diào)性即可求出最小值．【詳解】解：由題意有，且，∴，且，∵是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理，和，∴，∵，且，∴，且，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和的正切公式得應(yīng)用，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．16．我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶左《數(shù)書九章》中記述了了“一斜求積術(shù)”，用現(xiàn)代式子表示即為：在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，則的面積，根據(jù)公式，且，則的面積為________．【答案】【分析】由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡，求得，再結(jié)合已知及余弦定理，求得的值，代入已知公式，即可求解.【詳解】解：由題意，因?yàn)椋?，即，又由，所以，由因?yàn)椋?，所以，即，因?yàn)?，由余弦定理可得，解得，則的面積為.故答案為：三、解答題17．已知，都是銳角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（3）【分析】（1）由誘導(dǎo)公式得，，進(jìn)而得，，進(jìn)而利用和角公式求解即可；（2）由題知，進(jìn)而結(jié)合（1）即可得答案.【詳解】解：（1）由誘導(dǎo)公式得，即，，因?yàn)?，都是銳角，所以，，所以（2）因?yàn)?，都是銳角，所以，，所以，由（1），所以18．在△ABC中，a＝8，b＝6，cosA，求：（1）角B；（2）BC邊上的高．【答案】（1）B（2）4【分析】（1）由同角的三角函數(shù)關(guān)系可得sinA,再根據(jù)正弦定理解得sinB,即可求角；（2）先可求得,即可求得面積,進(jìn)而求得BC邊上的高【詳解】（1）在△ABC中,a＝8,b＝6,cosA,所以角A為鈍角,由sin2A+cos2A＝1,解得sinA,由正弦定理可得,解得sinB,所以B（2）由（1）可得sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB,所以,由于,解得h＝4,故BC邊上的高為4【點(diǎn)睛】本題考查求三角函數(shù)值,考查正弦定理的應(yīng)用,考查三角形面積公式的應(yīng)用,考查運(yùn)算能力19．已知，是關(guān)于兩個(gè)根，且為第三象限角．求：（1）的值；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由題知，進(jìn)而得，故，解得；（2）結(jié)合（1）得，故.【詳解】解：（1）因?yàn)椋顷P(guān)于兩個(gè)根，所以，即，所以，解得，所以，解得（2）因?yàn)?，為第三象限角所以，所?0．我國的“洋垃極禁止入境”政策已實(shí)施一年多某沿海地區(qū)的海岸線為一段圓弧AB，對(duì)應(yīng)的圓心角，該地區(qū)為打擊洋垃圾走私，在海岸線外側(cè)20海里內(nèi)的海域ABCD對(duì)不明船只進(jìn)行識(shí)別查證如圖：其中海域與陸地近似看作在同一平面內(nèi)在圓弧的兩端點(diǎn)A，B分別建有監(jiān)測站，A與B之間的直線距離為100海里．求海域ABCD的面積；現(xiàn)海上P點(diǎn)處有一艘不明船只，在A點(diǎn)測得其距A點(diǎn)40海里，在B點(diǎn)測得其距B點(diǎn)海里判斷這艘不明船只是否進(jìn)入了海域ABCD？請說明理由．【答案】（1）平方海里；（2）這艘不明船只沒進(jìn)入了海域ABCD．.【分析】利用扇環(huán)的面積公式求出海域ABCD的面積；由題意建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)求出點(diǎn)P的位置，判斷點(diǎn)P是否在海域ABCD內(nèi)．【詳解】，在海岸線外側(cè)20海里內(nèi)的海域ABCD，，，，平方海里，由題意建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；由題意知，點(diǎn)P在圓B上，即，點(diǎn)P也在圓A上，即；由組成方程組，解得或；又區(qū)域ABCD內(nèi)的點(diǎn)滿足，由，點(diǎn)不在區(qū)域ABCD內(nèi)，由，點(diǎn)也不在區(qū)域ABCD內(nèi)；即這艘不明船只沒進(jìn)入了海域ABCD．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的方程模型應(yīng)用問題，是中檔題．21．已知，設(shè)．（1）求證：；（2）求的解析式；（3）若角是一個(gè)三角形的最小內(nèi)角，試