2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十七章特殊三角形17.3勾股定理第2課時(shí)勾股定理的應(yīng)用習(xí)題課件新版冀教版

冀教版八年級(jí)上第十七章特殊三角形17.3勾股定理第2課時(shí)勾股定理的應(yīng)用01名師點(diǎn)金02認(rèn)知基礎(chǔ)練03素養(yǎng)提升練目

錄CONTENTS應(yīng)用勾股定理解題的方法：1.添線應(yīng)用，即題中無直角三角

形，可以通過作垂線，構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理求

解；2.借助于方程應(yīng)用，即題中雖有直角三角形，但已知線

段的長不完全是直角三角形的邊長，可通過設(shè)未知數(shù)，構(gòu)建

方程解決問題；3.建模應(yīng)用，即根據(jù)實(shí)際問題建立直角三角

形模型，通過勾股定理解決實(shí)際問題.返回知識(shí)點(diǎn)1勾股定理的驗(yàn)證1.

[母題·教材P151做一做]下面各圖，不能用來驗(yàn)證勾股定

理的正確性的是(

C

)12345678910

【點(diǎn)撥】【答案】C12345678910返回2.

[母題·教材P152練習(xí)T1]用四個(gè)全等的直角三角形拼成如

圖①所示的大正方形，中間也是一個(gè)正方形，其中四個(gè)直

角三角形的直角邊長分別為

a

，

b

(

a

＜

b

)，斜邊長為

c

.(1)結(jié)合圖①，求證：

a2＋

b2＝

c2；

12345678910(2)如圖②，將這四個(gè)全等的直角三角形無縫隙無重疊地

拼接在一起，得到圖形

ABCDEFGH

.

若該圖形的周長

為48，

OH

＝6，則該圖形的面積為

?.96

12345678910則

AB

＝12－

x

，

OA

＝6＋

x

.在Rt△

AOB

中，由勾股定理得

OB2＋

OA2＝

AB2，∵

OB

＝

OH

＝6，∴62＋(6＋

x

)2＝(12－

x

)2，解得

x

＝2.∴

OA

＝6＋2＝8.

【點(diǎn)撥】易知

AB

＋

BC

＝48÷4＝12.設(shè)

AH

＝

BC

＝

x

，12345678910返回

DA.4尺B.3.6尺C.4.5尺D.4.55尺12345678910返回4.

[母題·教材P15習(xí)題T5]《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴

岸”問題：今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴

岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何？題意是：有一個(gè)池

塘，其池面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦

AC

生長在

它的中央，高出水面部分

BC

為1尺，如果把該蘆葦沿與

水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳?/p>

C

恰好碰到

岸邊的C'處(如圖)，問水深和蘆葦長各多少尺？則該問題

中的水深是

尺.12

12345678910設(shè)蘆葦長

AC

＝AC'＝

x

尺，則水深

AB

＝(

x

－1)尺，因?yàn)镃'E＝10尺，

BE

＝BC'，所以C'B＝5尺.在Rt△AC'B中，52＋(

x

－1)2＝

x2，解得

x

＝13，所以

x

－1＝12，即水深為12尺.【點(diǎn)撥】如圖，12345678910返回5.

[2023·廣安]如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9

cm，底面周長

為16

cm，在杯內(nèi)壁離杯底4

cm的點(diǎn)

A

處有一滴蜂蜜，此

時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1

cm，且與

蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)

B

處，則螞蟻從外壁

B

處到內(nèi)壁

A

處所走的

最短路程為

cm.(杯壁厚度不計(jì))10

12345678910【點(diǎn)撥】如圖，將杯子側(cè)面的一半展開，作

B

關(guān)于

EF

的對(duì)稱

點(diǎn)B'，連接B'A，則B'A即為最短距離，過點(diǎn)

B

'作

B

'

D

⊥

AE

交

AE

的延長線于點(diǎn)

D

.

AD

＝9－4＋1＝6(cm)，

12345678910返回6.

如圖，一架梯子

AB

斜靠在左墻時(shí)，梯子頂端

B

距地面

2.4

m，保持梯子底端

A

不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，梯

子頂端

C

距地面2

m，梯子底端

A

到右墻角

E

的距離比到

左墻角

D

的距離多0.8

m，則梯子的長度為

m.2.5

12345678910【點(diǎn)撥】設(shè)

AD

＝

x

m，則

AE

＝(

x

＋0.8)m.根據(jù)勾股定理，得

x2＋2.42＝(

x

＋0.8)2＋22，

12345678910返回易錯(cuò)點(diǎn)建立等腰三角形模型時(shí)考慮問題不全面而漏解7.

[新考法·分類討論法]在Rt△

ABC

中，∠

ABC

＝90°，

AB

＝3，

BC

＝4，過點(diǎn)

B

的直線把△

ABC

分割成兩個(gè)三

角形，使其中只有一個(gè)是等腰三角形，則這個(gè)等腰三角形

的面積是

?.3.6或4.32或4.8

12345678910

過點(diǎn)

B

的直線把△

ABC

分割成兩個(gè)三角形，使其中

只有一個(gè)是等腰三角形，有三種情況：【點(diǎn)撥】①當(dāng)

AB

＝

AP

＝3時(shí)，如圖①所示，

12345678910②當(dāng)

AB

＝

BP

＝3時(shí)，如圖②所示.

所以

AD2＝

DP2＝32－2.42＝3.24，即

AD

＝1.8.所以

AP

＝2

AD

＝3.6.

12345678910③當(dāng)

CB

＝

CP

＝4時(shí)，如圖③所示，

綜上，這個(gè)等腰三角形的面積為3.6或4.32或4.8.12345678910返回

利用數(shù)形結(jié)合思想解圖形面積問題8.

如圖①是任意一個(gè)Rt△

ABC

，它的兩條直角邊的邊長分

別為

a

，

b

，斜邊長為

c

.將4個(gè)Rt△

ABC

和正方形(一)(二)

拼成一個(gè)以

a

＋

b

為邊長的正方形，如圖②.將4個(gè)Rt△

ABC

和正方形(三)拼成一個(gè)以

a

＋

b

為邊長的正方形，如

圖③.12345678910(1)圖中正方形(一)(二)(三)的面積分別是多少？【解】題圖中正方形(一)的面積為

a2，正方形(二)的面

積為

b2，正方形(三)的面積為

c2.12345678910(2)圖中正方形(一)(二)的面積之和是多少？【解】題圖中正方形(一)(二)的面積之和為

a2＋

b2.12345678910(3)圖中正方形(一)(二)的面積之和與正方形(三)的面積有

什么關(guān)系？為什么？由此你能得到關(guān)于直角三角形三

邊長的關(guān)系嗎？12345678910【解】題圖中正方形(一)(二)的面積之和等于正方形(三)的面積.理由如下：因?yàn)轭}圖②、題圖③中拼成的大正方形都是以

a

＋

b

為邊長的正方形，所以它們的面積相等，所以正方形(一)(二)的面積之和與正方形(三)的面積都等于(

a

＋

b

)2減去4個(gè)Rt△

ABC

的面積，所以正方形(一)(二)的面積之和與正方形(三)的面積相等，即

a2＋

b2＝

c2.由此可得任意一個(gè)直角三角形兩直角邊長的平方和等于其斜邊長的平方.12345678910返回

利用勾股定理解決實(shí)際問題9.

一輛裝滿貨物的卡車，高2.5

m，寬1.6

m，要開進(jìn)上邊

是半圓，下邊是長方形的隧道中，如圖所示，已知半圓的

直徑為2

m，長方形的另一條邊長是2.3

m.(1)此卡車是否能通過隧道？試說明你的理由.12345678910【解】該卡車能通過隧道.理由如下：如圖，

MN

為卡車的寬度，分別過

M

，

N

作

AB

的垂線交半

圓于

C

，

D

，連接

CD

，過

O

作

OE

⊥

CD

，

E

為垂足，連接

OC

.

易知

CD

＝

MN

＝1.6

m，

AB

＝2

m，所以由題意可得

CE

＝

DE

＝0.8

m，

OC

＝

OA

＝1

m.在Rt△

OCE

中，

OE2

＝

OC2－

CE2＝0.36，即

OE

＝0.6

m，所以

CM

＝2.3＋0.6＝2.9(m)＞2.5

m，所以這輛卡車能通過隧道.12345678910(2)為了適應(yīng)車流量的增加，先把隧道改為雙行道，要使

寬為1.2

m，高為2.8

m的卡車能安全并排通過，那么

此隧道的寬至少增加到多少？12345678910【解】如圖②，設(shè)

EC

＝1.2

m，過

E

作

AH

的垂線交半圓于

B

，垂足為

F

，連接

OB

，過

B

作

BG

⊥

CO

，交

CO

的延長線于

G

.

根據(jù)題意可知

CG

＝

BE

＝2.8

m，

BG

＝

OF

＝

EC

＝1.2

m，

EF

＝

AD

＝2.3

m，

BF

＝2.8－2.3＝0.5(m).

根據(jù)勾股定理得

OA2＝

OB2＝

BF2＋

OF2＝

0.52＋1.22＝1.69，即

OA

＝1.3

m，

所以隧道的寬至少增加到1.3×2＝2.6(m).12345678910【點(diǎn)方法】利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是建立合適的

數(shù)學(xué)模型，巧妙地

將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

12345678910返回

利用類比遷移思想探究線段間的關(guān)系10.

[新考法·綜合與實(shí)踐母題·教材P151做