江蘇省張家港第二中學2025屆高一數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題含解析

江蘇省張家港第二中學2025屆高一數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．兩圓和的位置關(guān)系是A.相離 B.相交C.內(nèi)切 D.外切2．已知,則的值是A.0 B.–1C.1 D.23．設(shè)函數(shù)，若恰有2個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.4．若，則（）A. B.C. D.5．要得到函數(shù)y＝cos的圖象，只需將函數(shù)y＝cos2的圖象（）A.向左平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度 D.向右平移個單位長度6．已知定義在上的函數(shù)滿足：①的圖像關(guān)于直線對稱；②對任意的，，當時，不等式成立．令，，，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.7．已知向量=（1，2），=（2，x），若⊥，則|2+|=（）A. B.4C.5 D.8．若命題“，”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.9．青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V和五分記錄法的數(shù)據(jù)L滿足，已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（）（注：）A.0.6 B.0.8C.1.2 D.1.510．函數(shù)的零點個數(shù)為（）A.個 B.個C.個 D.個二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為_________12．已知，，且，則的最小值為___________.13．已知定義域為R的偶函數(shù)滿足，當時，，則方程在區(qū)間上所有的解的和為___________.14．如圖，某化學實驗室的一個模型是一個正八面體（由兩個相同的正四棱錐組成，且各棱長都相等）若該正八面體的表面積為，則該正八面體外接球的體積為___________；若在該正八面體內(nèi)放一個球，則該球半徑的最大值為___________.15．__________16．在某高傳染性病毒流行期間，為了建立指標顯示疫情已受控制，以便向該地區(qū)居民顯示可以過正常生活，有公共衛(wèi)生專家建議的指標是“連續(xù)7天每天新增感染人數(shù)不超過5人”，根據(jù)連續(xù)7天的新增病例數(shù)計算，下列各個選項中，一定符合上述指標的是__________(填寫序號)①平均數(shù)；②標準差；③平均數(shù)且極差小于或等于2；④平均數(shù)且標準差；⑤眾數(shù)等于1且極差小于或等于4三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)（是常數(shù)）是奇函數(shù)，且滿足.（1）求的值；（2）試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性并用定義證明.18．某品牌手機公司的年固定成本為50萬元，每生產(chǎn)1萬部手機需增加投入20萬元，該公司一年內(nèi)生產(chǎn)萬部手機并全部銷售完當年銷售量不超過40萬部時，銷售1萬部手機的收入萬元；當年銷售量超過40萬部時，銷售1萬部手機的收入萬元（1）寫出年利潤萬元關(guān)于年銷售量萬部的函數(shù)解析式；（2）年銷售量為多少萬部時，利潤最大，并求出最大利潤.19．已知函數(shù)（且）.（1）當時，，求的取值范圍；（2）若在上最小值大于1，求的取值范圍.20．設(shè)函數(shù)，其中（1）若當時取到最小值，求a的取值范圍（2）設(shè)的最大值為，最小值為，求的函數(shù)解析式，并求的最小值21．一次高三高考適應(yīng)性測試，化學、地理兩選考科目考生的原始分數(shù)分布如下：等級ABCDE比例約約約約約化學學科各等級對應(yīng)的原始分區(qū)間地理學科各等級對應(yīng)的原始分區(qū)間（1）分別求化學、地理兩學科原始成績分數(shù)的分位數(shù)的估計值（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）；（2）按照“”新高考方案的“等級轉(zhuǎn)換賦分法”，進行等級賦分轉(zhuǎn)換，求（1）中的估計值對應(yīng)的等級分，并對這種“等級轉(zhuǎn)換賦分法”進行評價.附：“”新高考方案的“等級轉(zhuǎn)換賦分法”（一）等級轉(zhuǎn)換的等級人數(shù)占比與各等級的轉(zhuǎn)換分賦分區(qū)間等級ABCDE原始分從高到低排序的等級人數(shù)占比約約約約約轉(zhuǎn)換分T的賦分區(qū)間（二）計算等級轉(zhuǎn)換分T的等比例轉(zhuǎn)換賦分公式：，其中分別表示原始分Y對應(yīng)等級的原始分區(qū)間下限和上限；分別表示原始分對應(yīng)等級的轉(zhuǎn)換分賦分區(qū)間下限和上限（T的計算結(jié)果四舍五入取整數(shù)）.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】依題意，圓的圓坐標為，半徑為，圓的標準方程為，其圓心坐標為，半徑為，兩圓心的距離，且兩圓相交，故選B.2、A【解析】利用函數(shù)解析式，直接求出的值.【詳解】依題意.故選A.【點睛】本小題主要考查函數(shù)值的計算，考查函數(shù)的對應(yīng)法則，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】當時，在上單調(diào)遞增，，當時，令得或（1）若，即時，在上無零點，此時，∴在[1,+∞)上有兩個零點，符合題意；（2）若，即時，在(?∞,1)上有1個零點，∴在上只有1個零點，①若，則，∴，解得，②若，則，∴在上無零點，不符合題意；③若，則，∴在上無零點，不符合題意；綜上a的取值范圍是．選B點睛：解答本題的關(guān)鍵是對實數(shù)a進行分類討論，根據(jù)a的不同取值先判斷函數(shù)在(?∞,1)上的零點個數(shù)，在此基礎(chǔ)上再判斷函數(shù)在上的零點個數(shù)，看是否滿足有兩個零點即可4、A【解析】利用作為分段點進行比較，從而確定正確答案.【詳解】，所以.故選：A5、B【解析】直接利用三角函數(shù)的平移變換求解.【詳解】因函數(shù)y＝cos，所以要得到函數(shù)y＝cos的圖象，只需將函數(shù)y＝cos2的圖象向左平移個單位長度，故選：B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象的平移變換，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】根據(jù)題意，分析可得的圖象關(guān)于軸對稱，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性定義分析可得函數(shù)在，上為增函數(shù)；結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得在區(qū)間，上為減函數(shù)，由對數(shù)的運算性質(zhì)可得，據(jù)此分析可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的圖象關(guān)于軸對稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，又由對任意的，，，當時，不等式成立，則函數(shù)在，上為增函數(shù)，又由為偶函數(shù)，則在區(qū)間，上為減函數(shù)，，，，因為，則有，故有.故選：D7、C【解析】根據(jù)求出x的值，再利用向量的運算求出的坐標，最后利用模長公式即可求出答案【詳解】因為，所以解得，所以，因此，故選C【點睛】本題主要考查向量的坐標預算以及模長求解，還有就是關(guān)于向量垂直的判定與性質(zhì)8、A【解析】由題意知原命題為假命題，故命題的否定為真命題，再利用，即可得到答案.【詳解】由題意可得“”是真命題，故或.故選：A.9、B【解析】當時，即可得到答案.【詳解】由題意可得當時故選：B10、C【解析】根據(jù)給定條件直接解方程即可判斷作答.詳解】由得：，即，解得，即，所以函數(shù)的零點個數(shù)為2.故選：C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、8【解析】將等式轉(zhuǎn)化為，再解不等式即可求解【詳解】由題意，正實數(shù)，由（時等號成立），所以，所以，即，解得（舍），，（取最小值）所以的最小值為.故答案為：12、【解析】由已知湊配出積為定值，然后由基本不等式求得最小值【詳解】因為，，且，所以，當且僅當，即時等號成立故答案為：13、【解析】根據(jù)給定條件，分析函數(shù)，函數(shù)的性質(zhì)，再在同一坐標系內(nèi)作出兩個函數(shù)圖象，結(jié)合圖象計算作答.【詳解】當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值從減到0，而是R上的偶函數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值從0增到，因，有，則函數(shù)的周期是2，且有，即圖象關(guān)于直線對稱，令，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，值域為，且圖象關(guān)于直線對稱，在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)和的圖象，如圖，觀察圖象得，函數(shù)和在上的圖象有8個交點，且兩兩關(guān)于直線對稱，所以方程在區(qū)間上所有解的和為.故答案為：【點睛】方法點睛：函數(shù)零點個數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點個數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點個數(shù).14、①.②.【解析】由已知求得正八面體的棱長為，進而求得，即知外接球的半徑，進而求得體積；若球O在正八面體內(nèi)，則球O半徑的最大值為O到平面的距離，證得平面，再利用相似可知，即可求得半徑.【詳解】如圖，記該八面體為，O為正方形的中心，則平面設(shè)，則，解得.在正方形中，，則在直角中，知，即正八面體外接球的半徑為故該正八面體外接球的體積為.若球O在正八面體內(nèi)，則球O半徑的最大值為O到平面的距離.取的中點E，連接，，則，又，，平面過O作于H，又，，所以平面，又，，則，則該球半徑的最大值為.故答案為：，15、2【解析】考點：對數(shù)與指數(shù)的運算性質(zhì)16、③⑤【解析】按照平均數(shù)、極差、方差依次分析各序號即可.【詳解】連續(xù)7天新增病例數(shù)：0，0，0，0，2，6，6，平均數(shù)是2<3，①錯；連續(xù)7天新增病例數(shù)：6，6，6，6，6，6，6，標準差是0<2，②錯；平均數(shù)且極差小于或等于2，單日最多增加4人，若有一日增加5人，其他天最少增加3人，不滿足平均數(shù)，所以單日最多增加4人，③對；連續(xù)7天新增病例數(shù)：0，3，3，3，3，3，6，平均數(shù)是3且標準差小于2，④錯；眾數(shù)等于1且極差小于或等于4，最大數(shù)不會超過5，⑤對.故答案為：③⑤.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),(2)在區(qū)間（0，0.5）上是單調(diào)遞減的【解析】（Ⅰ）∵函數(shù)是奇函數(shù)，則即∴------------------------2分由得解得∴，．------------------------------------------------------6分（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）知，∴，----------------------------------------8分當時，----------------------------10分∴，即函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)．------------12分[解法2：設(shè)，則＝＝------------------------------10分∵∴，，∴，即∴函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)．--------------------------12分].18、（1）；（2）年銷售量為45萬部時，最大利潤為7150萬元.【解析】（1）依題意，分和兩段分別求利潤=收入-成本，即得結(jié)果；（2）分和兩段分別求函數(shù)的最大值，再比較兩個最大值的大小，即得最大利潤.【詳解】解：（1）依題意，生產(chǎn)萬部手機，成本是（萬元），故利潤，而，故，整理得，；（2）時，，開口向下的拋物線，在時，利潤最大值為；時，，其中，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故時，取得最小值，故在時，y取得最大值而，故年銷售量為45萬部時，利潤最大，最大利潤為7150萬元.【點睛】方法點睛：分段函數(shù)求最值時，需要每一段均研究最值，再比較出最終的最值.19、（1）.（2）.【解析】（1）當時，得到函數(shù)的解析式，把不等式，轉(zhuǎn)化為，即可求解；（2）由在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，分類討論，即可求解函數(shù)的最大值，得到答案.【詳解】（1）當時，，，得.（2）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，得.當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，不成立.綜上：.【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，其中解答中由指數(shù)函數(shù)的解析式轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的不等式，以及根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分類討論求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.20、（1）（2），最小值為.【解析】（1）求得函數(shù)的導數(shù)，令，要使得函數(shù)在取到最小值，則函數(shù)必須先減后增，列出方程組，即可求解；（2）由（1）知，若時，得到函數(shù)在上單調(diào)遞減，得到；若時，令，求得，分，，三種情況討論，求得函數(shù)的解析式，利用一次函數(shù)、換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問1詳解】解：由函數(shù)，可得，令，要使得函數(shù)在取到最小值，則函數(shù)必須先減后增，則滿足，解得，即實數(shù)取值范圍為.【小問2詳解】解：由（1）知，設(shè)，若時，即時，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，可得；若時，即時，令，即，解得或，①當時，即時，在恒成立，即，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，可得；②當時，即時，在恒成立，即，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，可得；③當時，即時，當時，，即，單調(diào)遞減；當時，，即，單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得最小值，即，又由，可得，（i）當時，，即