2025屆湖南省寧鄉(xiāng)縣一中高二數(shù)學第一學期期末教學質量檢測試題含解析

2025屆湖南省寧鄉(xiāng)縣一中高二數(shù)學第一學期期末教學質量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某校去年有1100名同學參加高考，從中隨機抽取50名同學總成績進行分析，在這個調查中，下列敘述錯誤的是A.總體是：1100名同學的總成績 B.個體是：每一名同學C.樣本是：50名同學的總成績 D.樣本容量是：502．已知直線與圓相交于，兩點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.3．拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，記{兩次的點數(shù)均為奇數(shù)}，{兩次的點數(shù)之和為8}，則（）A. B.C. D.4．設是等差數(shù)列的前項和，已知，，則等于（）A. B.C. D.5．將一枚骰子連續(xù)拋兩次，得到正面朝上的點數(shù)分別為、，記事件A為“為偶數(shù)”，事件B為“”，則的值為（）A. B.C. D.6．由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為（）A. B.C.4 D.27．的展開式中的系數(shù)是（）A. B.C. D.8．直線的傾斜角為（）A.60° B.30°C.120° D.150°9．已知空間向量，，則（）A. B.19C.17 D.10．設是空間一定點，為空間內任一非零向量，滿足條件的點構成的圖形是（）A.圓 B.直線C.平面 D.線段11．設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件12．已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若直線與平行，則實數(shù)________.14．函數(shù)的圖象在點處的切線方程為____.15．如圖，四邊形為直角梯形，且，為正方形，且平面平面，，，，則______，直線與平面所成角的正弦值為______16．已知函數(shù)在R上連續(xù)且可導，為偶函數(shù)且，其導函數(shù)滿足，則不等式的解集為___.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線：，直線：.（1）若，求與的距離；（2）若，求與的交點的坐標.18．（12分）已知，，分別是銳角內角，，的對邊，，.（1）求的值；（2）若的面積為，求的值.19．（12分）已知是等差數(shù)列，是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，，再從①；②；③這三個條件中選擇___________，___________兩個作為已知.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.20．（12分）如圖，已知在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）在線段上是否存在點，使得二面角的余弦值？若存在，指出點的位置；若不存在，說明理由.21．（12分）如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點求證：（1）共面；（2）求證：22．（10分）一臺還可以用的機器由于使用的時間較長，它按不同的轉速生產出來的某機械零件有一些會有缺陷，每小時生產有缺陷零件的多少隨機器運轉的速率而變化，下表為抽樣試驗結果:轉速(轉/秒)1615129每小時生產有缺陷的零件數(shù)（件）10985通過觀察散點圖，發(fā)現(xiàn)與有線性相關關系:（1）求關于的回歸直線方程；（2）若實際生產中，允許每小時生產的產品中有缺陷的零件最多為10個，那么機器的運轉速度應控制在什么范圍內?(參考:回歸直線方程為，其中，）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】采用逐一驗證法，根據(jù)總體，個體，樣本的概念，可得結果.【詳解】據(jù)題意：總體是1100名同學的總成績，故A正確個體是每名同學的總成績，故B錯樣本是50名同學的總成績，故C正確樣本容量是：50，故D正確故選：B【點睛】本題考查總體，個體，樣本的概念，屬基礎題.2、C【解析】求得直線恒過的定點，找出弦長取得最值的狀態(tài)，利用弦長公式求解即可.【詳解】因直線方程為：，整理得，故該直線恒過定點，又，故點在圓內，又圓的圓心為則，此時直線過圓心；當直線與直線垂直時，取得最小值，此時.故的取值范圍為.故選：.3、B【解析】利用條件概率公式進行求解.【詳解】，其中表示：兩次點數(shù)均為奇數(shù)，且兩次點數(shù)之和為8，共有兩種情況，即，故，而，所以，故選：B4、C【解析】依題意有，解得，所以.考點：等差數(shù)列的基本概念.【易錯點晴】本題主要考查等差數(shù)列的基本概念.在解有關等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為和等基本量，通過建立方程(組)獲得解．即等差數(shù)列的通項公式及前項和公式，共涉及五個量，知其中三個就能求另外兩個,即知三求二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題,注意要弄準它們的值.運用方程的思想解等差數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量、，掌握好設未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設而不求，整體代入”來簡化運算5、B【解析】利用條件概率的公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意可知，若事件為“為偶數(shù)”發(fā)生，則、兩個數(shù)均為奇數(shù)或均為偶數(shù)，其中基本事件數(shù)為，，，，，，，，，，，，，，，，，，一共個基本事件，∴,而A、同時發(fā)生，基本事件有當一共有9個基本事件，∴，則在事件A發(fā)生的情況下，發(fā)生的概率為,故選:6、D【解析】切點與圓心的連線垂直于切線，切線長轉化為直線上點與圓心連線和半徑的關系，利用點到直線的距離公式求出圓心與直線上點距離的最小值，結合勾股定理即可得出結果.【詳解】設為直線上任意一點，，切線長的最小值為：，故選：D.7、B【解析】根據(jù)二項式定理求出答案即可.【詳解】的展開式中的系數(shù)是故選：B8、C【解析】求出斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關系，即可求解.【詳解】解：，即，直線的斜率為，即直線的傾斜角為120°.故選：C.9、D【解析】先求出的坐標，再求出其模【詳解】因為，，所以，故，故選：D.10、C【解析】根據(jù)法向量的定義可判斷出點所構成的圖形.【詳解】是空間一定點，為空間內任一非零向量，滿足條件，所以，構成的圖形是經過點，且以為法向量的平面.故選：C.【點睛】本題考查空間中動點的軌跡，考查了法向量定義的理解，屬于基礎題.11、A【解析】由三角函數(shù)的單調性直接判斷是否能推出，反過來判斷時，是否能推出.【詳解】當時，利用正弦函數(shù)的單調性知；當時，或.綜上可知“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本題考查判斷充分必要條件，三角函數(shù)性質，意在考查基本判斷方法，屬于基礎題型.12、A【解析】根據(jù)平面向量垂直的性質，結合平面向量數(shù)量積的坐標表示公式、充分性、必要性的定義進行求解判斷即可.詳解】當時，有，顯然由，但是由不一定能推出，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)兩直線平行可得出關于實數(shù)的等式與不等式，即可解得實數(shù)的值.【詳解】因為，則，解得.故答案為：.14、【解析】先求出導函數(shù)，進而根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，然后求出切線方程.【詳解】由題意，，，則切線方程為：.故答案為：.15、①..②..【解析】以點為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系,根據(jù)空間向量的線性運算求得向量的坐標，由此求得，由線面角的空間向量求解方法求得答案.【詳解】解：以點為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如下圖所示）由題意可知，，，因為，，所以，故設平面的法向量為，則，令，得因為，所以直線與平面所成角的正弦值為故答案為：；.16、【解析】由已知條件可得圖象關于對稱，在上遞增，在上遞減，然后分四種情況討論求解即可【詳解】因為為偶函數(shù)，所以的圖象關于軸對稱，所以的圖象關于對稱，因為，所以當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，由，得，或，或，或，解得，或，或，或，綜上，，所以等式的解集為故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2).【解析】分析：（1）先根據(jù)求出k的值，再利用平行線間的距離公式求與的距離.(2)先根據(jù)求出k的值，再解方程組得與的交點的坐標.詳解：（1）若，則由，即，解得或.當時，直線：，直線：，兩直線重合，不符合，故舍去；當時，直線：，直線：，所以.（2）若，則由，得.所以兩直線方程為：，：，聯(lián)立方程組，解得，所以與的交點的坐標為.點睛：（1）本題主要考查直線的位置關系和距離的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和計算能力.(2)直線與直線平行，則且兩直線不重合.直線與直線垂直，則.18、（1）；（2）4.【解析】（1）由正弦定理即可得答案.（2）根據(jù)題意得到，再由關于角的余弦定理和整理化簡得，再由的面積，即可求出的值.【小問1詳解】由及正弦定理可得.【小問2詳解】由銳角中得，根據(jù)余弦定理可得，代入得，整理得，即，解得，，解得.19、答案見解析【解析】（1）根據(jù)題設條件可得關于基本量的方程組，求解后可得的通項公式.（2）利用公式法可求數(shù)列的前項和.【詳解】解：選擇條件①和條件②（1）設等差數(shù)列的公差為，∴解得：，.∴，.（2）設等比數(shù)列的公比為，，∴解得，.設數(shù)列的前項和為，∴.選擇條件①和條件③：（1）設等差數(shù)列的公差為，∴解得：，.∴.（2），設等比數(shù)列的公比為，.∴，解得，.設數(shù)列的前項和為，∴.選擇條件②和條件③：（1）設等比數(shù)列的公比為，，∴，解得，，.設等差數(shù)列的公差為，∴，又，故.∴.（2）設數(shù)列的前項和為，由（1）可知.【點睛】方法點睛：等差數(shù)列或等比數(shù)列的處理有兩類基本方法：（1）利用基本量即把數(shù)學問題轉化為關于基本量的方程或方程組，再運用基本量解決與數(shù)列相關的問題；（2）利用數(shù)列的性質求解即通過觀察下標的特征和數(shù)列和式的特征選擇合適的數(shù)列性質處理數(shù)學問題20、（1）；（2）存在，為上靠近點的三等分點【解析】（1）分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出的坐標以及平面的一個法向量，計算即可求解；（2）假設線段上存在點符合題意，設可得，求出平面的法向量和平面的法向量，利用即可求出的值，即可求解.【詳解】（1）分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，如圖所示：則，，，.不妨設平面的一個法向量,則有，即，取.設直線與平面所成的角為，則,所以直線與平面所成角的正弦值為；（2）假設線段上存在點，使得二面角的余弦值.設，則,從而，，.設平面的法向量,則有，即，取.設平面的法向量,則有，即，取.,解得：或（舍）,故存在點滿足條件，為上靠近點的三等分點【點睛】求空間角的常用方法：（1）定義法，由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結合圖形，作出所求空間角，再結合題中條件，解對應三角形，即可求出結果；（2）向量法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量夾角（直線方向向量與直線方向向量、直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量）余弦值，即可求出結果.21、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】（1）以為原點,為軸,為軸，為軸,建立空間直角坐標系，設,,，求出，，，，0，，，，，從而，由此能證明共面（2）求出，0，，，，，由，能證明【詳解】證明：如圖，以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z