上海市崇明區(qū)崇明中學2025屆高二上數(shù)學期末質量檢測試題含解析

上海市崇明區(qū)崇明中學2025屆高二上數(shù)學期末質量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．用斜二測畫法畫出邊長為2的正方形的直觀圖，則直觀圖的面積為（）A. B.C.4 D.2．已知過點A（a，0）作曲線C：y＝x?ex的切線有且僅有兩條，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B.（0，+∞）C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）3．《九章算術》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學專著，全書總結了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就，其中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何?”其意思為：“今有人分錢，各人所得錢數(shù)依次為等差數(shù)列，其中前人所得之和與后人所得之和相等，問各得多少錢?”，則第人得錢數(shù)為（）A.錢 B.錢C.錢 D.錢4．設等差數(shù)列的公差為d，且，則（）A.12 B.4C.6 D.85．直線的一個方向向量為，則它的斜率為（）A. B.C. D.6．下列命題中是真命題的是（）A.“”是“”的充分非必要條件B.“”是“”的必要非充分條件C.在中“”是“”的充分非必要條件D.“”是“”的充要條件7．已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的極大值為，無極小值 B.函數(shù)的極小值為，無極大值C.函數(shù)的極大值為0，無極小值 D.函數(shù)的極小值為0，無極大值8．已知點，，則經(jīng)過點且經(jīng)過線段AB的中點的直線方程為（）A. B.C. D.9．設是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且在內(nèi)可導，則下列結論中正確的是（）A.的極值點一定是最值點B.的最值點一定是極值點C.在區(qū)間上可能沒有極值點D.在區(qū)間上可能沒有最值點10．已知圓，圓，則兩圓的公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.411．已知空間向量，，且，則的值為（）A. B.C. D.12．直線的傾斜角的大小為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓的兩焦點為，，P為C上的一點（P與，不共線），則的周長為______.14．如圖，棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱、的中點，G為面對角線上一個動點，則三棱錐的外接球表面積的最小值為___________.15．點P是棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一點，則的取值范圍是__.16．曲線在點處的切線方程為_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列滿足：，，數(shù)列的前n項和為（1）求及；（2）設是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和18．（12分）近年來，我國電子商務蓬勃發(fā)展.2016年“618”期間，某網(wǎng)購平臺的銷售業(yè)績高達516億元人民幣，與此同時，相關管理部門推出了針對該網(wǎng)購平臺的商品和服務的評價系統(tǒng).從該評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計，網(wǎng)購者對商品的滿意率為0.6，對服務的滿意率為0.75，其中對商品和服務都滿意的交易為80次.（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并回答能否有的把握認為“網(wǎng)購者對商品滿意與對服務滿意之間有關系”?對服務滿意對服務不滿意合計對商品滿意80對商品不滿意10合計200（2）若將頻率視為概率，某人在該網(wǎng)購平臺上進行的3次購物中，設對商品和服務都滿意的次數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望.臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.89710.828的觀測值：（其中）.19．（12分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.20．（12分）在平面直角坐標系中，已知點在橢圓上，其中為橢圓E的離心率（1）求b的值；（2）A，B分別為橢圓E的左右頂點，過點的直線l與橢圓E相交于M，N兩點，直線與交于點T，求證：21．（12分）已知O為坐標原點，點P在拋物線C：上，點F為拋物線C的焦點，記P到直線的距離為d，且.（1）求拋物線C的標準方程；（2）若過點的直線l與拋物線C相切，求直線l的方程.22．（10分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓上一點滿足，且的面積為（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓有且只有一個公共點，過點作直線的垂線．設直線交軸于，交軸于，且點，求的軌跡方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】畫出直觀圖，求出底和高，進而求出面積.【詳解】如圖，，，，過點C作CD⊥x軸于點D，則,所以直觀圖是底為2、高為的平行四邊形，所以面積為.故選：A.2、A【解析】設出切點，對函數(shù)求導得到切點處的斜率，由點斜式得到切線方程，化簡為，整理得到方程有兩個解即可，解出不等式即可.【詳解】設切點為，，，則切線方程為：，切線過點代入得：，，即方程有兩個解，則有或.故答案為:A.【點睛】這個題目考查了函數(shù)的導函數(shù)的求法，以及過某一點的切線方程的求法，其中應用到導數(shù)的幾何意義，一般過某一點求切線方程的步驟為：一：設切點，求導并且表示在切點處的斜率；二：根據(jù)點斜式寫切點處的切線方程；三：將所過的點代入切線方程，求出切點坐標；四：將切點代入切線方程，得到具體的表達式.3、A【解析】設第所得錢數(shù)為錢，設數(shù)列、、、、的公差為，根據(jù)已知條件可得出關于、的值，即可求得的值.【詳解】設第所得錢數(shù)為錢，則數(shù)列、、、、為等差數(shù)列，設數(shù)列、、、、公差為，則，解得，故.故選：A.4、B【解析】利用等差數(shù)列的通項公式的基本量計算求出公差.【詳解】，所以.故選：B5、A【解析】根據(jù)的方向向量求得斜率.【詳解】且是直線的方向向量，.故選：A6、B【解析】根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件的定義依次判斷.【詳解】當時，，非充分，故A錯.當不能推出，所以非充分，，所以是必要條件，故B正確.當在中，，反之，故為充要條件，故C錯；當時，，，，充分條件，因為，當時成立，非必要條件，故D錯.故選：B.7、A【解析】利用導數(shù)來求得的極值.【詳解】的定義域為，，在遞增；在遞減，所以的極大值為，沒有極小值.故選：A8、C【解析】求AB的中點坐標，根據(jù)直線所過的兩點坐標求直線方程即可.【詳解】由已知，AB中點為，又，∴所求直線斜率為，故直線方程為，即故選：C.9、C【解析】根據(jù)連續(xù)函數(shù)的極值和最值的關系即可判斷【詳解】根據(jù)函數(shù)的極值與最值的概念知，的極值點不一定是最值點，的最值點不一定是極值點．可能是區(qū)間的端點，連續(xù)可導函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最值，所以選項A，B，D都不正確，若函數(shù)在區(qū)間上單調，則函數(shù)在區(qū)間上沒有極值點，所以C正確故選：C.【點睛】本題主要考查函數(shù)的極值與最值的概念辨析，屬于容易題10、B【解析】根據(jù)圓的方程，求得圓心距和兩圓的半徑之和，之差，判斷兩圓的位置關系求解.【詳解】因為圓，圓，所以，，所以，所以兩圓相交，所以兩圓的公切線的條數(shù)為2，故選：B11、B【解析】根據(jù)向量垂直得，即可求出的值.【詳解】.故選：B.12、A【解析】考點：直線的傾斜角專題：計算題分析：因為直線的斜率是傾斜角的正切值，所以欲求直線的傾斜角，只需求出直線的斜率即可，把直線化為斜截式，可得斜率，問題得解解答：解：∵x-y+1=0可化為y=x+，∴斜率k=設傾斜角為θ，則tanθ=k=，θ∈[0，π）∴θ=故選A點評：本題主要考查了直線的傾斜角與斜率之間的關系，屬于直線方程的基礎題型，需要學生對基礎知識熟練掌握二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】結合橢圓的定義求得正確答案.【詳解】橢圓方程為，所以，所以三角形的周長為.故答案為：14、【解析】以DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建系，則，設，球心，得到外接球半徑關于的函數(shù)關系，求出的最小值，即可得到答案；【詳解】解：以DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建系.則，設，球心，，又.聯(lián)立以上兩式，得，所以時，，為最小值，外接球表面積最小值為.故答案為：.15、[﹣，0]【解析】建立空間直角坐標系，設出點P的坐標為（x，y，z），則由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，計算?x2﹣x，利用二次函數(shù)的性質求得它的值域即可【詳解】解：以點D為原點，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以DD1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示；則點A（1，0，0），C1（0，1，1），設點P的坐標為（x，y，z），由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；∴（1﹣x，﹣y，﹣1），（﹣x，1﹣y，0），∴?x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y，由二次函數(shù)的性質可得，當x＝y(tǒng)時，?取得最小值為；當x＝0或1，且y＝0或1時，?取得最大值為0，則?的取值范圍是[，0]故答案為：[，0]【點睛】本題主要考查了向量在幾何中的應用與向量的數(shù)量積運算問題，是綜合性題目16、.【解析】由求導公式求出導數(shù)，再把代入求出切線的斜率，代入點式方程化為一般式即可.【詳解】由題意得，∴在點處的切線的斜率是，則在點處的切線方程是，即.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義.注意區(qū)分“在某點處的切線”與“過某點的切線”，前者“某點”是切點，后者“某點”不一定是切點.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】(1)先根據(jù)已知求出，再求及.(2)先根據(jù)已知得到，再利用分組求和求數(shù)列的前項和.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為d，因為，，所以，解得，所以；==.（2）由已知得，由（1）知，所以，=.【點睛】(1)本題主要考查等差數(shù)列的通項和前n項和求法，考查分組求和和等比數(shù)列的求和公式，意在考查學生對這些知識的掌握水平和計算推理能力.(2)有一類數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見特殊數(shù)列，則可以將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比數(shù)列或常見的特殊數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.這叫分組求和法.18、（1）列聯(lián)表見解析，能有；（2）分布列見解析，.【解析】（1）利用數(shù)據(jù)直接填寫聯(lián)列表即可，求出，即可回答是否有的把握認為“網(wǎng)購者對商品滿意與對服務滿意之間有關系；（2）由題意可得的可能值為0，1，2，3，分別可求其概率，可得分布列，進而可得數(shù)學期望.【詳解】（1）服務滿意對服務不滿意合計對商品滿意8040120對商品不滿意701080合計15050200，因為，所以能有的把握認為“網(wǎng)購者對商品滿意與對服務滿意之間有關系”（2）每次購物時，對商品和服務都滿意的概率為，且的取值可以是0，1，2，3.；；；.的分布列為：0123所以.【點睛】本題主要考查獨立檢驗以及離散性隨機變量的分布列以及期望的求法，考查轉化思想以及計算能力，屬于中檔題.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)正弦定理把化成，利用和角公式可得從而求得角；（2）根據(jù)三角形的面積和角的值求得，由余弦定理求得邊得到的周長.試題解析：（1）由已知可得（2）又，周長為考點：正余弦定理解三角形.20、（1）1（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)點在橢圓E上建立方程，結合，然后解出方程即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，表示出直線與，求得交點的坐標，再分別表示出直線和的斜率并作差，通過韋達定理證明直線和的斜率相等即可.【小問1詳解】由點在橢圓E上，得：又，即解得：【小問2詳解】依題意，得，且直線l與x軸不會平行設直線l的方程為，，由方程組消去x可得：則有：，且直線的方程為，直線的方程為由方程組可得：設直線的斜率分別是，則有：可得：又可得：故【點睛】（1）解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系（2）涉及到直線方程時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為或不存在等特殊情形請考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分21、（1）；（2）或.【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義進行求解即可；（2）根據(jù)直線l是否存在斜率分類討論，結合一元二次方程根的判別式進行求解即可.【小問1詳解】因為，所以P到直線的距離等于，所以拋物線C的準線為，所以，，所以拋物線C的標準方程為；【小問2詳解】當直線l的斜率不存在時，方程為，此時直線l恰與拋物線C相切當直線l的斜率存在時，設其方程為，聯(lián)立方程，得若，顯然不合題意；若，則，解得此時直線l的方程為綜上，直線l與拋物線C相切時，l的方程為或.22、（1）；（2）.