2024-2025學年高中數學第一章推理與證明1.2類比推理課后作業(yè)含解析北師大版選修2-2

PAGE第一章推理與證明[A組基礎鞏固]1．已知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))為等比數列，b5＝2，則b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))為等差數列，a5＝2，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的類似結論為()A．a1a2a3…aB．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a1a2a3…a9D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9解析：等比數列中積的關系在等差數列中應為加，同理，等比數列中的乘方在等差數列中應為積．答案：D2．三角形的面積為S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，a、b、c為三角形的邊長，r為三角形內切圓的半徑，利用類比推理可以得出四面體的體積為()A．V＝eq\f(1,3)abcB．V＝eq\f(1,3)ShC．V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1、S2、S3、S4為四個面的面積，r為內切球的半徑)D．V＝eq\f(1,3)(ab＋bc＋ac)h(h為四面體的高)解析：設△ABC的內心為O，連接OA、OB、OC，將△ABC分割為三個小三角形，這三個小三角形的高都是r，底邊長分別為a、b、c；類比：設四面體A-BCD的內切球的球心為O，連接OA、OB、OC、OD，將四面體分割為四個以O為頂點，以原來面為底面的四面體，高都為r，所以有V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r.答案：C3．已知扇形的弧長為e，半徑為r，類比三角形的面積公式：S＝eq\f(底×高,2)，可推出扇形的面積公式S扇＝()A.eq\f(r2,2) B.eq\f(e2,2)C.eq\f(er,2) D．不行類比解析：由扇形的弧與半徑類比于三角形的底邊與高可得C.答案：C4．類比三角形中的性質：(1)中位線長等于對應底邊長的一半．(2)三內角平分線交于一點．可得四面體的對應性質：(1)過四面體的交于同一頂點的三條棱的中點的平面面積等于第四個面面積的eq\f(1,4).(2)四面體的六個二面角的平分面交于一點．其中類比推理方法正確的為()A．(1) B．(2)C．(1)(2) D．都不對解析：以上類比推理方法都正確，需留意的是類比推理得到的結論是否正確與類比推理方法是否正確并不等價，方法正確結論也不肯定正確．答案：C5．已知{bn}為等比數列，b5＝2，則b1·b2·…·b9＝29，若{an}為等差數列，a5＝2，則在數列{an}中類似的結論為()A．a1·a2·…·a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1·a2·…·a9＝2×9D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：由等差數列的性質知：a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5.答案：D6．在平面直角坐標系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同時為0)表示過原點的直線．類似地：在空間直角坐標系中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同時為0)表示________．解析：由方程的特點可知：平面幾何中的直線類比到立體幾何中應為平面，“過原點”類比仍為“過原點”，因此應得到：在空間直角坐標系中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同時為0)表示過原點的平面．答案：過原點的平面7．在平面幾何中有命題：“夾在兩平行線之間的平行線段長度相等”．在立體幾何中，類比上述命題，可以得到________________．解析：平面幾何中的點與空間中的線，平面幾何中的直線與空間中的平面是類比對象，據此可以得到相應結論．答案：夾在兩個平行平面間的平行線段的長度相等8．在△ABC中，D是BC的中點，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，將命題類比到四面體中去，得到一個類比命題：_______________________________________________________________________________________________________.答案：在四面體A-BCD中，G為△BCD的重心，則eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))9．在平面中，我們有結論：“平行于同一條直線的兩條直線平行”“垂直于同一條直線的兩條直線平行”，將這兩個結論推廣到空間中，有什么結論？這些結論是否正確？解析：在空間中相應的結論分別是：(1)平行于同一平面的兩個平面平行；(2)垂直于同一平面的兩個平面平行．其中(1)是正確的，(2)是錯誤的．10．如圖，在三棱錐S-ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分別為α1、α2、α3，三側面△SBC、△SAC、△SAB的面積分別為S1、S2、S3，類比三角形中的正弦定理，給出空間圖形的一個猜想．解析：在△DEF中，由正弦定理，得eq\f(d,sinD)＝eq\f(e,sinE)＝eq\f(f,sinF).于是，類比三角形中的正弦定理，在四面體中，我們猜想eq\f(S1,sinα1)＝eq\f(S2,sinα2)＝eq\f(S3,sinα3)成立．[B組實力提升]1．在平面幾何中有如下結論：若正三角形ABC的內切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,4).推廣到立體幾何可以得到類似結論：若正四面體A-BCD的內切球體積為V1，外接球體積為V2，則eq\f(V1,V2)＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,16) D.eq\f(1,27)解析：平面幾何中，圓的面積與圓半徑的平方成正比，而在立體幾何中，球的體積與半徑的立方成正比，設正四面體A-BCD的棱長為a，可得其內切球的半徑為eq\f(\r(6),12)a，外接球的半徑為eq\f(\r(6),4)a，則eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,27).答案：D2．已知x∈R且f(x＋1)＝－f(x)，則f(x＋2)＝－f(x＋1)＝－[－f(x)]＝f(x)，得f(x)的一個周期為2，類比上述結論，請寫出下列兩個函數的一個周期．(1)已知a為正的常數，x∈R且f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)的一個周期為________；(2)已知a為正的常數，x∈R且f(x＋a)＝eq\f(fx－1,fx＋1)，則f(x)的一個周期為________．解析：(1)∵f(x＋a)＝－f(x)，∴f(x＋2a)＝f(x＋a＋a)＝－f(x＋a)＝－[－f(x)]＝f(x)．∴f(x)的一個周期為2a.(2)∵f(x＋a)＝eq\f(fx－1,fx＋1)，∴f(x＋2a)＝eq\f(fx＋a－1,fx＋a＋1)＝eq\f(\f(fx－1,fx＋1)－1,\f(fx－1,fx＋1)＋1)＝－eq\f(1,fx).∴f(x＋4a)＝－eq\f(1,fx＋2a)＝－eq\f(1,－\f(1,fx))＝f(x)．∴f(x)的周期為4a.答案：(1)2a(2)4a3．在公比為4的等比數列{bn}中，若Tn是數列{bn}的前n項積，則有eq\f(T20,T10)，eq\f(T30,T20)，eq\f(T40,T30)也成等比數列，且公比為4100；類比上述結論，相應地，在公差為3的等差數列{an}中，若Sn是{an}的前n項和．可類比得到的結論是________．解析：因為等差數列{an}的公差d＝3，所以(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝＝100d＝300，同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以數列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差數列，且公差為300.即結論為：數列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差數列，且公差為300.答案：數列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差數列，且公差為3004．在平面幾何中，△ABC的內角平分線CE分AB所成線段的比為eq\f(AE,EB)＝eq\f(AC,BC)，把這個結論類比到空間：在三棱錐A-BCD中(如圖所示)，平面DEC平分二面角A-CD-B且與AB相交于點E，則得到的類比的結論是________．解析：易知點E到平面BCD與平面ACD的距離相等，故eq\f(VE-BCD,VE-ACD)＝eq\f(BE,EA)＝eq\f(S△BCD,S△ACD).答案：eq\f(VE-BCD,VE-ACD)＝eq\f(S△BCD,S△ACD)5．設a1，a2，a3，…，an均為自然數，稱a1＋eq\f(1,a2＋\f(1,a3＋\f(1,a4＋…)))為無窮連分數．例如eq\r(2)＝(eq\r(2)－1)＋1＝1＋eq\f(1,\r(2)＋1)＝1＋eq\f(1,2＋\r(2)－1)＝1＋eq\f(1,2＋\f(1,2＋\f(1,2＋…))).這里a1＝1，an＝2(n∈N＋，n≥2)．請你類比上式將eq\r(3)寫成無窮連分數，并寫出an.解析：eq\r(3)＝1＋(eq\r(3)－1)＝1＋eq\f(2,\r(3)＋1)＝1＋eq\f(1,\f(\r(3)＋1,2))＝1＋eq\f(1,1＋\f(\r(3)－1,2))＝1＋eq\f(1,1＋\f(1,\r(3)＋1))＝1＋eq\f(1,1＋\f(1,2＋\r(3)－1))＝1＋eq\f(1,1＋\f(1,2＋\f(1,1＋…))).這里a1＝a2n＝1，a2n＋1＝2(n∈N＋)．6．已知以下過程可以求1＋2＋3＋…＋n的和．因為(n＋1)2－n2＝2n＋1，n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1，……22－12＝2×1＋1，有(n＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n，所以1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n＋12－n－1,2)＝eq\f(