2025版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)規(guī)范練54離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征含解析新人教A版

課時(shí)規(guī)范練54離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征基礎(chǔ)鞏固組1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下:X0123P0.1α0.30.4則方差D(X)=()A.0 B.1 C.2 D.32.口袋中有編號(hào)分別為1,2,3的三個(gè)大小和形態(tài)完全相同的小球,從中任取2個(gè),則取出的球的最大編號(hào)X的期望為()A.13 B.23 C.2 D3.設(shè)隨機(jī)變量X~B(2,p),隨機(jī)變量Y~B(3,p),若P(X≥1)=59,則D(3Y+1)=(A.2 B.3 C.6 D.74.隨機(jī)變量ξ的分布列如下表,則p在(0,0.5)上增大時(shí),D(ξ)的改變狀況是()ξ1234Pp0.5-p0.5-ppA.始終增大 B.始終減小C.先增大后減小 D.先減小后增大5.(多選)(2024山東招遠(yuǎn)高三檢測(cè))袋內(nèi)有形態(tài)、大小完全相同的2個(gè)黑球和3個(gè)白球,從中不放回地每次任取1個(gè)小球,直至取到白球后停止取球,則下列說(shuō)法正確的是()A.抽取2次后停止取球的概率為3B.停止取球時(shí),取出的白球個(gè)數(shù)不少于黑球的概率為9C.取球次數(shù)ξ的期望為2D.取球次數(shù)ξ的方差為96.某籃球隊(duì)對(duì)隊(duì)員進(jìn)行考核,規(guī)則是:①每人進(jìn)行3個(gè)輪次的投籃;②每個(gè)輪次每人投籃2次,若至少投中1次,則本輪通過(guò),否則不通過(guò).已知隊(duì)員甲投籃1次投中的概率為23,假如甲各次投籃投中與否互不影響,那么甲3個(gè)輪次通過(guò)的次數(shù)X的期望是(A.3 B.83C.2 D.57.已知5臺(tái)機(jī)器中有2臺(tái)存在故障,現(xiàn)須要通過(guò)逐臺(tái)檢測(cè)直至區(qū)分出2臺(tái)故障機(jī)器為止.若檢測(cè)一臺(tái)機(jī)器的費(fèi)用為1000元,則所需檢測(cè)費(fèi)的均值為()A.3200 B.3400 C.3500 D.36008.(2024山東德州高三期末)隨機(jī)變量X的取值為0,1,2,P(X=0)=0.2,D(X)=0.4,則E(X)=.

9.(2024浙江學(xué)軍中學(xué)高三月考)已知隨機(jī)變量X聽從二項(xiàng)分布B(n,p),若E(X)=3,D(X)=2,則p=,P(X=1)=.

10.已知某盒子中共有6個(gè)小球,編號(hào)為1號(hào)至6號(hào),其中有3個(gè)紅球、2個(gè)黃球和1個(gè)綠球,這些球除顏色和編號(hào)外完全相同.(1)若從盒中一次隨機(jī)取出3個(gè)球,求取出的3個(gè)球中恰有2個(gè)顏色相同的概率;(2)若從盒中逐一取球,每次取后馬上放回,共取4次,求恰有3次取到黃球的概率;(3)若從盒中逐一取球,每次取后不放回,記取完黃球所需次數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).綜合提升組11.(多選)(2024江蘇徐州高三調(diào)研)某計(jì)算機(jī)程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)五位二進(jìn)制數(shù)A=a1a2a3a4a5(例如10100),其中A的各位數(shù)中ak(k=2,3,4,5)出現(xiàn)0的概率為13,出現(xiàn)1的概率為23,記X=a2+a3+a4+a5,則下列說(shuō)法正確的是(A.X聽從二項(xiàng)分布 B.P(X=1)=881C.X的期望E(X)=83D.X的方差D(X)=812.(2024海南三亞高三檢測(cè))一個(gè)袋中放有大小、形態(tài)均相同的小球,其中紅球1個(gè)、黑球2個(gè),現(xiàn)隨機(jī)等可能取出小球,當(dāng)有放回依次取出兩個(gè)小球時(shí),記取出的紅球數(shù)為ξ1;當(dāng)無(wú)放回依次取出兩個(gè)小球時(shí),記取出的紅球數(shù)為ξ2,則下列式子正確的是()A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) B.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)13.(多選)已知隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ-101P11p隨機(jī)變量η的分布列是η123P11p則當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時(shí),下列選項(xiàng)中正確的是()A.E(ξ)=E(η) B.D(ξ)=D(η)C.E(ξ)增大 D.D(η)先增大后減小14.如圖,將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體,切割為64個(gè)同樣大小的小正方體,經(jīng)過(guò)攪拌后,從中隨機(jī)取出一個(gè)小正方體,記它的油漆面數(shù)為X,則X的均值E(X)=()A.4532 B.54 C.32創(chuàng)新應(yīng)用組15.一個(gè)不透亮袋中放有大小、形態(tài)均相同的小球,其中紅球3個(gè)、黑球2個(gè),現(xiàn)隨機(jī)等可能取出小球.當(dāng)有放回依次取出兩個(gè)小球時(shí),記取出的紅球數(shù)為ξ1,則E(ξ1)=;若第一次取出一個(gè)小球后,放入一個(gè)紅球和一個(gè)黑球,再其次次隨機(jī)取出一個(gè)小球.記取出的紅球總數(shù)為ξ2,則E(ξ2)=.

16.甲、乙兩家外賣公司,其送餐員的日工資方案如下:甲公司,底薪80元,每單送餐員抽成4元;乙公司,無(wú)底薪,40單以內(nèi)(含40單)的部分送餐員每單抽成6元,超出40單的部分送餐員每單抽成7元.假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同,現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名送餐員,并分別記錄其50天的送餐單數(shù),得到如下頻數(shù)表:甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表送餐單數(shù)3839404142天數(shù)101510105乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表送餐單數(shù)3839404142天數(shù)51010205(1)現(xiàn)從記錄甲公司送餐員的50天送餐單數(shù)中隨機(jī)抽取3天的送餐單數(shù),求這3天送餐單數(shù)都不小于40的概率.(2)若將頻率視為概率,回答下列兩個(gè)問題:①記乙公司送餐員日工資為X(單位:元),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X);②小王準(zhǔn)備到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員,假如僅從日平均工資的角度考慮,請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)問為小王作出選擇,并說(shuō)明理由.參考答案課時(shí)規(guī)范練54離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征1.Ba=1-0.1-0.3-0.4=0.2,E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4=2,E(X2)=1×0.2+4×0.3+9×0.4=5,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=5-4=1,故選B.2.D因?yàn)榭诖杏芯幪?hào)分別為1,2,3的三個(gè)大小和形態(tài)完全相同的小球,從中任取2個(gè),所以取出的球的最大編號(hào)X的可能取值為2,3,所以P(X=2)=1C32=13,P(X=3)=C21C11C3.C∵隨機(jī)變量X~B(2,p),∴P(X≥1)=1-P(X=0)=1-C20(1-p)2=59,解得p=13,p=53舍去,∴D(Y)=3×13×23=23,∴D(3Y+4.A由題意可得E(ξ)=1×p+2×(0.5-p)+3×(0.5-p)+4×p=2.5,D(ξ)=(1-2.5)2×p+(2-2.5)2×(0.5-p)+(3-2.5)2×(0.5-p)+(4-2.5)2×p=4p+14,則D(ξ)在(0,0.5)上單調(diào)遞增,故p在(0,0.5)上增大時(shí),D(ξ)的改變狀況是始終增大故選A.5.BD設(shè)取球次數(shù)為ξ,可知隨機(jī)變量ξ的可能取值有1,2,3,則P(ξ=1)=35,P(ξ=2)=25×34=310,P(ξ=3)=25×14=110.對(duì)于A選項(xiàng),抽取2次后停止取球的概率為P(ξ=2)=310,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于B選項(xiàng),停止取球時(shí),取出的白球個(gè)數(shù)不少于黑球的概率為P(ξ=1)+P(ξ=2)=35+310=910,B選項(xiàng)正確;對(duì)于C選項(xiàng),取球次數(shù)ξ的期望為E(ξ)=1×36.B在一輪投籃中,甲通過(guò)的概率為P=2×13×23+23×23=89,未通過(guò)的概率為19.X聽從二項(xiàng)分布7.C設(shè)檢測(cè)的機(jī)器的臺(tái)數(shù)為x,則x的全部可能取值為2,3,4.P(x=2)=A22A52=110,P(x=3)=A21C31A22+A33A53=310,P(x=4)=C218.1設(shè)P(X=2)=x,其中0≤x≤0.8,可得出P(X=1)=0.8-x,所以E(X)=0×0.2+1×(0.8-x)+2x=x+0.8,D(X)=(x+0.8)2×0.2+(x-0.2)2×(0.8-x)+(x-1.2)2×x=0.4,解得x=0.2,x=1.2舍去.因此,E(X)=0.2+0.8=1.9.132562187因?yàn)殡S機(jī)變量X聽從二項(xiàng)分布B(n,p),若E(X)=3,D則np=3,np(1-p)=2,解得pP(X=1)=C10.解(1)從盒中一次隨機(jī)取出3個(gè)球,記取出的3個(gè)球中恰有2個(gè)顏色相同為事務(wù)A,則事務(wù)A包含事務(wù)“3個(gè)球中有2個(gè)紅球”和事務(wù)“3個(gè)球中有2個(gè)黃球”,由古典概型的概率公式和互斥事務(wù)的概率加法公式得P(A)=C答:取出的2個(gè)球顏色相同的概率為13(2)盒中逐一取球,取后馬上放回,每次取到黃球的概率為13,記“取4次恰有3次黃球”為事務(wù)B,則P(B)=答:取4次恰有3次黃球的概率為8(3)X的可能取值為2,3,4,5,6,則P(X=2)=A2P(X=3)=C2P(X=4)=C2P(X=5)=C2P(X=6)=C2所以隨機(jī)變量X的分布列為X23456P12141所以,隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=2×115+3×215+4×1511.ABC由二進(jìn)制數(shù)A的特點(diǎn)知每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字只能填0或1,且每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字在填時(shí)互不影響,故A中后4位的全部結(jié)果有4類:①后4個(gè)數(shù)位上都出現(xiàn)0,X=0,記其概率為P(X=0)=134=181;②后4個(gè)數(shù)位只出現(xiàn)1個(gè)1,X=1,記其概率為P(X=1)=C4123133=881;③后4位數(shù)位出現(xiàn)2個(gè)1,X=2,記其概率為P(X=2)=C42232132=2481;④后4個(gè)數(shù)位上出現(xiàn)3個(gè)1,記其概率為P(X=3)=C4323313=3281;⑤后4個(gè)數(shù)位都出現(xiàn)1,X=4,記其概率為P(X=4)=234=1681.故X~B4,23,∵X~B4,23,∴X的方差D(X)=4×23×13=12.Bξ1可能的取值為0,1,2;ξ2可能的取值為0,1,P(ξ1=0)=49,P(ξ1=2)=19,P(ξ1=1)=1-49-19=49,故E(ξ1)=23,D(ξ1)=0-232×49+1-232×49+2-232×19=49.P(ξ2=0)=2×13×2=13,P(ξ2=1)=2×1×23×2=23,故E(ξ2)=23,D(ξ2)=0-23213.BC對(duì)于A,∵η=ξ+2,∴E(η)=E(ξ)+2,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,∵η=ξ+2,∴D(ξ)=D(η),故B正確;對(duì)于C,∵E(ξ)=-12+12p,∴當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時(shí),E(ξ)增大,故C正確;對(duì)于D,∵E(η)=12+2×1-p2+3×p2=32+p2,∴D(η)=-12-p22×12+12-p221-p2+32-p214.C由題意知X=0,1,2,3,P(X=0)=2×P(X=1)=2×P(X=2)=2×P(X=3)=864=18,所以E(X)=0×18+1×38+15.6576P(ξ1=0)=C2P(ξ1=1)=C3P(ξ1=2)=C3所以E(ξ1)=1×1225+2ξ2可取值為0,1,2,P(ξ2=0)=C21C21C51C6P(ξ2=2)=C3所以E(ξ2)=1×1730+16.解(1)記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事務(wù)M,則P(M)=C(2)①設(shè)乙公司送餐員的送餐單數(shù)為a,當(dāng)a=38時(shí),X=38×6=228,當(dāng)a=39時(shí),X=39×6=234,當(dāng)a=40時(shí),X=40×6=240,當(dāng)a=41時(shí),X=40×6+1×7=247,當(dāng)a=42時(shí),X=40×6+2×7=254