廣東省肇慶市高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 3.1.1 數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念教案 理 新人教A版選修2-2

廣東省肇慶市高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入3.1.1數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念教案理新人教A版選修2-2授課內(nèi)容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念。學(xué)生將學(xué)習(xí)實數(shù)系的局限性，了解數(shù)系擴充的必要性，并掌握復(fù)數(shù)的概念。具體內(nèi)容包括：

1.實數(shù)系的局限性：學(xué)生將通過實例了解實數(shù)系在表示某些問題時存在的局限性，例如無法表示實數(shù)軸上的點(-1)的平方根。

2.數(shù)系擴充的目的：學(xué)生將學(xué)習(xí)數(shù)系擴充的目的是為了解決實數(shù)系無法表示的問題，以及復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中的應(yīng)用。

3.復(fù)數(shù)的概念：學(xué)生將學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的定義，了解復(fù)數(shù)由實部和虛部組成，并能表示為a+bi的形式，其中i是虛數(shù)單位。

4.復(fù)數(shù)的性質(zhì)：學(xué)生將學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)，包括復(fù)數(shù)的相等性、實部和虛部的性質(zhì)、復(fù)數(shù)的乘法和除法運算等。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識的聯(lián)系：學(xué)生在之前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握了實數(shù)的基本概念和運算規(guī)則，本節(jié)課將在此基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)系的擴充，引入復(fù)數(shù)的概念和運算規(guī)則。學(xué)生需要將已有的實數(shù)知識與復(fù)數(shù)知識進(jìn)行聯(lián)系和整合，理解復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中的作用。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)包括：

1.邏輯推理：學(xué)生能夠通過實例和數(shù)學(xué)證明，理解實數(shù)系的局限性和數(shù)系擴充的必要性，以及復(fù)數(shù)的概念和性質(zhì)。

2.數(shù)學(xué)建模：學(xué)生能夠?qū)?fù)數(shù)知識應(yīng)用到實際問題中，例如在物理學(xué)中處理振動問題，理解復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)建模中的作用。

3.直觀想象：學(xué)生能夠通過圖形和幾何直觀地理解復(fù)數(shù)的概念和運算，例如在復(fù)平面中表示復(fù)數(shù)，并理解復(fù)數(shù)的幾何意義。

4.數(shù)學(xué)運算：學(xué)生能夠掌握復(fù)數(shù)的四則運算規(guī)則，包括復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法和除法，并能熟練進(jìn)行相關(guān)的計算。教學(xué)難點與重點1.教學(xué)重點：

（1）數(shù)系的擴充：本節(jié)課的核心內(nèi)容是數(shù)系的擴充，學(xué)生需要理解實數(shù)系的局限性和數(shù)系擴充的必要性。教師可以通過舉例解釋，如無法用實數(shù)表示負(fù)數(shù)的平方根，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)系擴充的重要性。

（2）復(fù)數(shù)的概念：學(xué)生需要掌握復(fù)數(shù)的定義，了解復(fù)數(shù)由實部和虛部組成，并能表示為a+bi的形式，其中i是虛數(shù)單位。教師可以借助圖形和幾何直觀地展示復(fù)數(shù)的概念，幫助學(xué)生更好地理解。

（3）復(fù)數(shù)的性質(zhì)：學(xué)生需要熟悉復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)，包括復(fù)數(shù)的相等性、實部和虛部的性質(zhì)、復(fù)數(shù)的乘法和除法運算等。教師可以通過具體的例子和數(shù)學(xué)證明，引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握這些性質(zhì)。

2.教學(xué)難點：

（1）復(fù)數(shù)的概念：學(xué)生可能對虛數(shù)單位i的理解存在困難，難以接受i的平方等于-1這一規(guī)定。教師可以通過實際例子和生活中的比喻，如電梯上升和下降的相反方向，幫助學(xué)生理解虛數(shù)單位i的意義。

（2）復(fù)數(shù)的四則運算：學(xué)生可能對復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法和除法運算規(guī)則感到困惑。教師可以通過具體的例子和數(shù)學(xué)證明，引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握這些運算規(guī)則。

（3）復(fù)數(shù)的幾何意義：學(xué)生可能對復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的表示和幾何意義感到難以理解。教師可以通過圖形和幾何直觀地展示復(fù)數(shù)的幾何意義，如復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的位置與實部和虛部的關(guān)系，幫助學(xué)生更好地理解。教學(xué)方法與策略1.教學(xué)方法：

（1）講授法：在課堂上，教師可以采用講授法，系統(tǒng)地、邏輯性地向?qū)W生介紹數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念、性質(zhì)及其運算規(guī)則。通過教師的講解，學(xué)生能夠全面、深入地掌握本節(jié)課的核心知識。

（2）案例研究法：教師可以選取一些與實際生活相關(guān)的案例，如電路中的交流電、物理中的振動問題等，引導(dǎo)學(xué)生運用復(fù)數(shù)知識進(jìn)行分析和解決。通過案例研究，學(xué)生能夠?qū)⒗碚撝R與實際應(yīng)用相結(jié)合，提高解決問題的能力。

（3）小組討論法：在課堂上，教師可以組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，讓學(xué)生圍繞某一問題展開探討，如復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的四則運算等。通過小組討論，學(xué)生能夠加深對知識點的理解，提高溝通與合作能力。

2.教學(xué)活動設(shè)計：

（1）角色扮演：教師可以讓學(xué)生扮演數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的角色，分別介紹復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中的發(fā)展歷程和應(yīng)用。通過角色扮演，學(xué)生能夠更加生動地理解復(fù)數(shù)的重要性。

（2）實驗活動：教師可以組織學(xué)生進(jìn)行實驗，如利用計算器求解復(fù)數(shù)的四則運算，讓學(xué)生親身體驗復(fù)數(shù)的運算過程。通過實驗活動，學(xué)生能夠加深對復(fù)數(shù)運算規(guī)則的理解。

（3）游戲設(shè)計：教師可以設(shè)計一些與復(fù)數(shù)相關(guān)的游戲，如“復(fù)數(shù)接龍”、“復(fù)數(shù)猜猜看”等。通過游戲，學(xué)生能夠在輕松愉快的氛圍中鞏固復(fù)數(shù)知識。

3.教學(xué)媒體和資源：

（1）PPT：教師可以制作精美的PPT，通過圖文并茂的方式呈現(xiàn)數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念、性質(zhì)及其運算規(guī)則。PPT能夠幫助學(xué)生更好地理解和記憶知識點。

（2）視頻：教師可以選取一些與復(fù)數(shù)相關(guān)的視頻資源，如數(shù)學(xué)家介紹復(fù)數(shù)的演講、物理學(xué)中應(yīng)用復(fù)數(shù)的實驗視頻等。視頻資源能夠直觀地展示復(fù)數(shù)在實際中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（3）在線工具：教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用在線工具，如數(shù)學(xué)軟件、在線計算器等，進(jìn)行復(fù)數(shù)的運算和分析。在線工具能夠幫助學(xué)生更好地掌握復(fù)數(shù)的運算技巧。教學(xué)實施過程1.課前自主探索：

教師活動：教師提前布置預(yù)習(xí)任務(wù)，要求學(xué)生閱讀教材中關(guān)于數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念、性質(zhì)及運算規(guī)則的內(nèi)容。

學(xué)生活動：學(xué)生自主閱讀教材，初步了解數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念、性質(zhì)及運算規(guī)則。

教學(xué)方法：自主學(xué)習(xí)法

教學(xué)手段：教材、學(xué)習(xí)筆記

教學(xué)資源：教材

作用和目的：培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，為課堂學(xué)習(xí)做好鋪墊。

2.課中強化技能：

（1）導(dǎo)入新課：

教師活動：教師通過回顧實數(shù)系的內(nèi)容，引出數(shù)系擴充的必要性，進(jìn)而引入復(fù)數(shù)的概念。

學(xué)生活動：學(xué)生跟隨教師思路，回顧實數(shù)系內(nèi)容，理解數(shù)系擴充的必要性。

教學(xué)方法：講授法

教學(xué)手段：PPT、黑板

教學(xué)資源：PPT、黑板

作用和目的：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，為新課學(xué)習(xí)做好鋪墊。

（2）講解復(fù)數(shù)概念：

教師活動：教師詳細(xì)講解復(fù)數(shù)的定義，并通過實例解釋虛數(shù)單位i的意義。

學(xué)生活動：學(xué)生認(rèn)真聽講，記錄關(guān)鍵知識點，參與課堂討論。

教學(xué)方法：講授法、互動討論法

教學(xué)手段：PPT、黑板

教學(xué)資源：PPT、黑板

作用和目的：幫助學(xué)生深入理解復(fù)數(shù)的概念，突破學(xué)習(xí)難點。

（3）復(fù)數(shù)的幾何表示：

教師活動：教師利用圖形和幾何直觀展示復(fù)數(shù)的幾何意義，解釋復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的表示方法。

學(xué)生活動：學(xué)生觀察圖形，跟隨教師講解，理解復(fù)數(shù)的幾何意義。

教學(xué)方法：直觀展示法、講授法

教學(xué)手段：PPT、圖形演示工具

教學(xué)資源：PPT、圖形演示工具

作用和目的：幫助學(xué)生形象地理解復(fù)數(shù)的幾何意義，加深對知識點的印象。

（4）復(fù)數(shù)運算規(guī)則：

教師活動：教師講解復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法和除法運算規(guī)則，并通過實例進(jìn)行演示。

學(xué)生活動：學(xué)生跟隨教師講解，參與課堂練習(xí)，鞏固運算規(guī)則。

教學(xué)方法：講授法、互動討論法

教學(xué)手段：PPT、黑板

教學(xué)資源：PPT、黑板

作用和目的：使學(xué)生熟練掌握復(fù)數(shù)的運算規(guī)則，提高運算能力。

3.課后拓展應(yīng)用：

教師活動：教師布置課后作業(yè)，要求學(xué)生運用所學(xué)知識解決實際問題，如電路中的交流電問題。

學(xué)生活動：學(xué)生完成課后作業(yè)，運用復(fù)數(shù)知識解決實際問題。

教學(xué)方法：自主學(xué)習(xí)法、實踐應(yīng)用法

教學(xué)手段：教材、學(xué)習(xí)筆記

教學(xué)資源：教材

作用和目的：培養(yǎng)學(xué)生運用所學(xué)知識解決實際問題的能力，鞏固課堂所學(xué)。知識點梳理1.實數(shù)系的局限性

-實數(shù)系無法表示實數(shù)軸上的點(-1)的平方根。

-實數(shù)系無法表示某些物理問題中的速度、加速度等向量。

2.數(shù)系的擴充

-引入虛數(shù)單位i，滿足i^2=-1。

-數(shù)系擴充為復(fù)數(shù)系，包括實數(shù)和虛數(shù)。

3.復(fù)數(shù)的概念

-復(fù)數(shù)由實部和虛部組成，表示為a+bi，其中a為實部，b為虛部，i為虛數(shù)單位。

-復(fù)數(shù)的零點、無窮大和復(fù)平面。

4.復(fù)數(shù)的性質(zhì)

-復(fù)數(shù)的相等性：兩個復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實部和虛部都相等。

-實部和虛部的性質(zhì)：復(fù)數(shù)的實部是實數(shù)，虛部是實數(shù)的倍數(shù)。

-復(fù)數(shù)的乘法和除法運算：

-乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

-除法：(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)/(c^2+d^2)i

5.復(fù)數(shù)的幾何意義

-復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的表示：實部對應(yīng)x軸，虛部對應(yīng)y軸。

-復(fù)數(shù)的幾何運算：加法、減法、乘法和除法在復(fù)平面上的直觀表示。

6.復(fù)數(shù)的應(yīng)用

-復(fù)數(shù)在電路分析中的應(yīng)用：交流電的相位和頻率。

-復(fù)數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用：速度、加速度的向量表示。

-復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用：復(fù)變函數(shù)、復(fù)數(shù)積分等。

7.復(fù)數(shù)的運算規(guī)則

-復(fù)數(shù)的加法和減法：實部相加或相減，虛部相加或相減。

-復(fù)數(shù)的乘法：分配律、結(jié)合律和交換律。

-復(fù)數(shù)的除法：分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)。

8.復(fù)數(shù)的模和輻角

-復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)到原點的距離，表示為|a+bi|=sqrt(a^2+b^2)。

-復(fù)數(shù)的輻角：復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的旋轉(zhuǎn)角度，表示為arg(a+bi)。

9.復(fù)數(shù)的乘方和根

-復(fù)數(shù)的乘方：遵循實數(shù)和虛數(shù)的乘方規(guī)則。

-復(fù)數(shù)的根：復(fù)數(shù)的n次根存在且唯一，當(dāng)n為正偶數(shù)時，根有兩個；當(dāng)n為正奇數(shù)時，根有四個。典型例題講解七、典型例題講解

例題1：求復(fù)數(shù)z=3-4i的模和輻角。

解答：

（1）求模：

模長|z|=sqrt(3^2+(-4)^2)=sqrt(9+16)=sqrt(25)=5。

（2）求輻角：

由于3>0，-4<0，故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的位置在第四象限。

設(shè)復(fù)數(shù)z=r(cosθ+isinθ)，其中r為模長，θ為輻角。

則cosθ=3/5，sinθ=-4/5。

因此，θ=arctan(-4/3)，即θ≈-53.13°。

例題2：求復(fù)數(shù)z=1+i的平方。

解答：

復(fù)數(shù)z的平方可以直接按照復(fù)數(shù)乘法規(guī)則進(jìn)行計算：

z^2=(1+i)(1+i)=1*1+1*i+i*1+i*i

=1+i+i+i^2

=1+2i-1

=2i。

因此，復(fù)數(shù)z=1+i的平方等于2i。作業(yè)布置與反饋作業(yè)布置：

1.完成教材P68的練習(xí)題1-5，要求學(xué)生獨立完成，鞏固本節(jié)課所學(xué)的復(fù)數(shù)概念和運算規(guī)則。

2.選取一些實際問題，如電路中的交流電問題，讓學(xué)生運用復(fù)數(shù)知識進(jìn)行分析和解決，提高學(xué)生運用所學(xué)知識解決實際問題的能力。

3.讓學(xué)生設(shè)計一個復(fù)數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)小游戲，如復(fù)數(shù)接龍、復(fù)數(shù)猜猜看等，通過游戲鞏固復(fù)數(shù)知識，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

作業(yè)反饋：

1.在批改學(xué)生作業(yè)時，重點關(guān)注學(xué)生對復(fù)數(shù)概念的理解和運用，如復(fù)數(shù)的表示方法、實部和虛部的運算等。

2.對于學(xué)生在作業(yè)中出現(xiàn)的錯誤，及時給予指出并給出正確的解答，幫助學(xué)生糾正錯誤。

3.對于學(xué)生的優(yōu)秀作業(yè)，可以給予表揚和鼓勵，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

4.針對學(xué)生在作業(yè)中普遍存在的問題，可以在課堂上進(jìn)行講解和解答，確保學(xué)生能夠掌握所學(xué)知識。

5.鼓勵學(xué)生之間相互討論和交流，共同解決問題，提高學(xué)生的合作能力。板書設(shè)計①實數(shù)系的局限性

-無法表示實數(shù)軸上的點(-1)的平方根。

-無法表示向量等物理問題。

②數(shù)系的擴充

-引入虛數(shù)單位i，滿足i^2=-1。

-數(shù)系擴充為復(fù)數(shù)系，包括實數(shù)和虛數(shù)。

③復(fù)數(shù)的概念

-復(fù)數(shù)由實部和虛部組成，表示為a+bi。

-復(fù)數(shù)的零點、無窮大和復(fù)平面。

④復(fù)數(shù)的性質(zhì)

-復(fù)數(shù)的相等性：實部和虛部都相等。

-實部和虛部的性質(zhì)：實部是實數(shù)，虛部是實數(shù)的倍數(shù)。

-復(fù)數(shù)的乘法和除法運算規(guī)則。

⑤復(fù)數(shù)的幾何意義

-復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的表示：實部對應(yīng)x軸，虛部對應(yīng)y軸。

-復(fù)數(shù)的幾何運算：加法、減法、乘法和除法在復(fù)平面上的直觀表示。

⑥復(fù)數(shù)的應(yīng)用

-復(fù)數(shù)在電路分析中的應(yīng)用：交流電的相位和頻率。

-復(fù)數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用：