江蘇省啟東市高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 第9課時 1.3.1 三角函數(shù)的周期性教案 蘇教版必修4

江蘇省啟東市高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)第9課時1.3.1三角函數(shù)的周期性教案蘇教版必修4主備人備課成員教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容來自江蘇省啟東市高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)的第9課時，具體為1.3.1三角函數(shù)的周期性。本節(jié)課的主要內(nèi)容有：

1.理解三角函數(shù)周期性的概念，掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的周期性。

2.學(xué)會利用周期性進(jìn)行三角函數(shù)的簡化計算和求解。

3.能夠運用周期性解決實際問題，提高解決問題的能力。

4.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和團(tuán)隊協(xié)作能力。

教學(xué)重點為三角函數(shù)周期性的理解和運用，教學(xué)難點為周期性在實際問題中的運用。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，主要包括：

1.邏輯推理：通過探究三角函數(shù)的周期性，培養(yǎng)學(xué)生從具體實例中抽象出一般性規(guī)律的能力，提高其邏輯推理水平。

2.數(shù)學(xué)建模：引導(dǎo)學(xué)生運用周期性解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型解決問題的能力。

3.直觀想象：通過圖形演示和實際操作，幫助學(xué)生建立直觀的周期性概念，提高其空間想象能力。

4.數(shù)據(jù)分析：培養(yǎng)學(xué)生利用周期性對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、處理和解釋的能力，提高其數(shù)據(jù)分析能力。

5.數(shù)學(xué)運算：在學(xué)習(xí)三角函數(shù)周期性的過程中，培養(yǎng)學(xué)生熟練運用運算規(guī)則，提高其數(shù)學(xué)運算能力。

6.數(shù)學(xué)抽象：通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)的周期性，培養(yǎng)學(xué)生從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力，提高其數(shù)學(xué)抽象水平。

7.數(shù)學(xué)建模：引導(dǎo)學(xué)生運用周期性解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型解決問題的能力。學(xué)習(xí)者分析1.知識基礎(chǔ)：學(xué)生在之前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，已經(jīng)掌握了初中階段的三角函數(shù)基礎(chǔ)知識，如正弦、余弦和正切函數(shù)的定義和性質(zhì)。同時，學(xué)生也掌握了函數(shù)的一般概念和性質(zhì)，這為學(xué)習(xí)三角函數(shù)的周期性提供了基礎(chǔ)。

2.學(xué)習(xí)興趣與能力：高中生對數(shù)學(xué)知識的探究欲望較強，特別是對于函數(shù)這一重要數(shù)學(xué)概念。學(xué)生已經(jīng)具備一定的邏輯思維能力和抽象思維能力，能夠從具體實例中抽象出一般性規(guī)律。同時，學(xué)生在之前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中已經(jīng)培養(yǎng)了較強的數(shù)學(xué)運算能力和數(shù)據(jù)分析能力。

3.學(xué)習(xí)風(fēng)格：學(xué)生的學(xué)習(xí)風(fēng)格多樣，有善于通過自學(xué)和思考解決問題的，也有喜歡與同學(xué)討論和合作的。這要求教師在教學(xué)過程中既要注重啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，又要充分發(fā)揮小組合作的作用，讓學(xué)生在討論和交流中共同進(jìn)步。

4.可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：在理解三角函數(shù)周期性的概念時，學(xué)生可能會對周期性的本質(zhì)和應(yīng)用產(chǎn)生困惑。尤其是在實際問題中運用周期性求解時，可能會遇到難以將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的問題。此外，學(xué)生在運用周期性進(jìn)行計算和求解時，可能會出現(xiàn)運算錯誤或邏輯推理不嚴(yán)密的情況。

針對以上分析，教師在教學(xué)過程中應(yīng)關(guān)注學(xué)生的個體差異，針對不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求進(jìn)行有針對性的指導(dǎo)，幫助學(xué)生克服困難和挑戰(zhàn)，提高教學(xué)質(zhì)量。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時第一課時師生互動設(shè)計二次備課教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有《江蘇省啟東市高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)第9課時1.3.1三角函數(shù)的周期性教案蘇教版必修4》的教材或?qū)W習(xí)資料，以便學(xué)生能夠跟隨教學(xué)進(jìn)度進(jìn)行學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)。

2.輔助材料：為了幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)周期性的概念，準(zhǔn)備相關(guān)的圖片、圖表、視頻等多媒體資源。例如，可以準(zhǔn)備正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖像，以及周期性的具體實例和應(yīng)用場景的圖片和視頻。

3.實驗器材：如果本節(jié)課涉及實驗部分，需要確保實驗器材的完整性和安全性。例如，準(zhǔn)備一些簡單的測量工具，如尺子、量角器等，以及一些演示用的三角函數(shù)模型或玩具。

4.教室布置：根據(jù)教學(xué)需要，對教室進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟贾??？梢栽O(shè)置分組討論區(qū)，供學(xué)生在小組合作時進(jìn)行討論和交流；同時，也可以設(shè)置實驗操作臺，供學(xué)生進(jìn)行實驗操作。

5.教學(xué)工具：準(zhǔn)備投影儀、計算機、白板等教學(xué)工具，以便教師能夠清晰地展示教學(xué)內(nèi)容，并與學(xué)生進(jìn)行互動。

6.學(xué)習(xí)任務(wù)單：準(zhǔn)備一份詳細(xì)的學(xué)習(xí)任務(wù)單，列出學(xué)生需要完成的任務(wù)和學(xué)習(xí)目標(biāo)，以便學(xué)生能夠明確學(xué)習(xí)任務(wù)和方向。

7.解答疑惑：準(zhǔn)備一些常見的疑問和解答，以便在課堂上能夠及時解答學(xué)生的問題，幫助學(xué)生更好地理解和掌握知識。教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課（用時5分鐘）

通過展示一些生活中的周期性現(xiàn)象，如擺鐘的擺動、月亮的圓缺等，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注周期性的概念。提問：“你們認(rèn)為什么是周期性？在數(shù)學(xué)中，周期性是如何定義的？”讓學(xué)生思考并分享他們的理解。進(jìn)而引入本節(jié)課的主題：三角函數(shù)的周期性。

2.新課講授（用時15分鐘）

（1）首先，介紹正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的周期性定義和性質(zhì)。舉例說明，如正弦函數(shù)sin(x)的周期為2π，余弦函數(shù)cos(x)的周期也為2π，正切函數(shù)tan(x)的周期為π。

（2）其次，講解如何利用周期性進(jìn)行三角函數(shù)的簡化計算和求解。例如，當(dāng)要求解sin(3x)+cos(4x)在一個周期內(nèi)的解析式時，可以利用周期性將其轉(zhuǎn)化為sin(x)+cos(x)的形式。

（3）最后，介紹周期性在實際問題中的應(yīng)用。例如，在物理中，正弦函數(shù)可以用來描述簡諧振動；在工程中，余弦函數(shù)可以用來分析交流電的變化規(guī)律。

3.實踐活動（用時10分鐘）

（1）讓學(xué)生分組討論，每組選擇一個周期性現(xiàn)象，如擺鐘的擺動、心臟跳動的規(guī)律等，嘗試用數(shù)學(xué)語言和函數(shù)模型來描述和分析。

（2）每組展示他們的討論成果，其他組進(jìn)行評價和提問。教師引導(dǎo)學(xué)生從周期性的角度去思考和解決問題。

（3）讓學(xué)生利用計算器或數(shù)學(xué)軟件，繪制一些周期性函數(shù)的圖像，觀察和分析其周期性特點。

4.學(xué)生小組討論（用時10分鐘）

（1）教師提出一些關(guān)于周期性的問題，讓學(xué)生進(jìn)行小組討論。例如：“周期性在現(xiàn)實生活中有哪些應(yīng)用？如何利用周期性解決實際問題？”

（2）每組選出一個代表進(jìn)行回答，其他組進(jìn)行評價和補充。教師引導(dǎo)學(xué)生從多角度去思考和解決問題。

（3）讓學(xué)生舉例說明，如何將實際問題轉(zhuǎn)化為周期性問題的數(shù)學(xué)模型，并解釋其周期性特點。

5.總結(jié)回顧（用時5分鐘）

對本節(jié)課的主要內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)回顧，強調(diào)三角函數(shù)周期性的定義、性質(zhì)和應(yīng)用。提醒學(xué)生要注意周期性在實際問題中的運用，提高解決問題的能力。

總用時：45分鐘知識點梳理本節(jié)課的主要知識點包括：

1.三角函數(shù)周期性的概念：周期性是指函數(shù)值按照一定的規(guī)律重復(fù)出現(xiàn)的一種性質(zhì)。對于三角函數(shù)，周期性指的是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的值在一定范圍內(nèi)按照固定間隔重復(fù)出現(xiàn)。

2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的周期性：正弦函數(shù)sin(x)和余弦函數(shù)cos(x)的周期都是2π，即每隔2π個單位長度，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)。正切函數(shù)tan(x)的周期是π，即每隔π個單位長度，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)。

3.周期性的性質(zhì)：周期性具有以下性質(zhì)：

a.周期性是周期函數(shù)的基本屬性，與函數(shù)的振幅、相位等無關(guān)。

b.周期函數(shù)的周期是函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的最小距離。

c.周期函數(shù)的周期性不會因為平移、伸縮等變換而改變。

4.周期性的應(yīng)用：周期性在數(shù)學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。例如，在物理學(xué)中，正弦函數(shù)可以用來描述簡諧振動；在電子學(xué)中，余弦函數(shù)可以用來分析交流電的變化規(guī)律。

5.周期性的求解和應(yīng)用：利用周期性可以簡化三角函數(shù)的求解過程。例如，當(dāng)要求解三角方程時，可以利用周期性將方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，從而簡化求解步驟。

6.周期性在實際問題中的應(yīng)用：在實際問題中，周期性可以幫助我們建立數(shù)學(xué)模型，從而更好地理解和解決問題。例如，在分析人口增長、股市走勢等問題時，可以利用周期性來建立數(shù)學(xué)模型，預(yù)測未來的發(fā)展趨勢。板書設(shè)計1.三角函數(shù)周期性的定義和性質(zhì)

①周期性：函數(shù)值按照一定規(guī)律重復(fù)出現(xiàn)的性質(zhì)

②三角函數(shù)的周期性：正弦函數(shù)sin(x)、余弦函數(shù)cos(x)的周期為2π，正切函數(shù)tan(x)的周期為π

③周期性的性質(zhì)：周期函數(shù)的基本屬性，與函數(shù)的振幅、相位等無關(guān)；周期是函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的最小距離；周期性不會因為平移、伸縮等變換而改變

2.周期性的應(yīng)用

①數(shù)學(xué)中的應(yīng)用：簡化三角函數(shù)的求解過程，如求解三角方程

②物理中的應(yīng)用：描述簡諧振動，分析交流電的變化規(guī)律

③工程中的應(yīng)用：分析信號的變化趨勢，設(shè)計濾波器等

3.周期性在實際問題中的應(yīng)用

①建立數(shù)學(xué)模型：分析人口增長、股市走勢等問題

②預(yù)測發(fā)展趨勢：利用周期性進(jìn)行趨勢分析和預(yù)測

③解決實際問題：利用周期性優(yōu)化工程設(shè)計、提高生產(chǎn)效率等

板書設(shè)計要求簡潔明了，突出重點，同時具有藝術(shù)性和趣味性，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性?？梢酝ㄟ^使用清晰的符號、圖表、顏色等元素，使得板書更具吸引力。例如，可以使用不同顏色的粉筆標(biāo)出周期性的性質(zhì)，或者用圖示來展示三角函數(shù)的周期性應(yīng)用。通過這樣的設(shè)計，學(xué)生能夠更容易地理解和記憶知識點，提高學(xué)習(xí)效果。重點題型整理1.三角函數(shù)周期性的判斷

題目：判斷以下函數(shù)是否為周期函數(shù)，若是，指出其周期。

答案：函數(shù)f(x)=sin(2x)+cos(3x)是周期函數(shù)，其周期為2π/2=π。

2.利用周期性簡化三角函數(shù)表達(dá)式

題目：利用周期性簡化以下三角函數(shù)表達(dá)式。

答案：f(x)=sin(x)+sin(3x)可以簡化為f(x)=2sin(2x)cos(x)。

3.周期性在實際問題中的應(yīng)用

題目：某城市去年的人口為100萬人，今年的人口為102萬人。假設(shè)人口增長呈現(xiàn)周期性，求明年的人口預(yù)測值。

答案：設(shè)人口增長函數(shù)為f(x)，其周期為T。根據(jù)題意，f(0)=100,f(1)=102。由周期性可知，f(2)=f(0)=100,f(3)=f(1)=102。因此，人口增長呈現(xiàn)4年一個周期的周期性。明年的人口預(yù)測值為f(3)=102萬人。

4.周期性在物理中的應(yīng)用

題目：一個簡諧振動系統(tǒng)的振動方程為x(t)=A*sin(ωt+φ)，其中A為振幅，ω為角頻率，φ為初相位。若系統(tǒng)的周期為T，求ω與T的關(guān)系。

答案：周期T與角頻率ω的關(guān)系為T=2π/ω。

5.周期性在工程中的應(yīng)用

題目：設(shè)計一個低通濾波器，使得輸入信號的頻率低于1kHz時，輸出信號的頻率為0.5kHz。

答案：可以設(shè)計一個周期為2kHz的三角函數(shù)濾波器，其傳遞函數(shù)為H(ω)=sin(ω)/sin(2ω)。當(dāng)輸入信號的頻率低于1kHz時，輸出信號的頻率為0.5kHz。作業(yè)布置與反饋本節(jié)課的作業(yè)包括以下幾個部分，以鞏固所學(xué)知識并提高能力：

a.判斷以下三角函數(shù)是否為周期函數(shù)，若是，指出其周期。

1.f(x)=sin(x)

2.f(x)=cos(2x)

3.f(x)=tan(x)

b.利用周期性簡化以下三角函數(shù)表達(dá)式。

1.f(x)=sin(x)+cos(3x)

2.f(x)=2sin(2x)cos(x)-sin(4x)

c.求解以下實際問題。

1.某城市去年的人口為100萬人，今年的人口為110萬人。假設(shè)人口增長呈現(xiàn)周期性，求明年的人口預(yù)測值。

2.一個簡諧振動系統(tǒng)的振動方程為x(t)=A*sin(ωt+φ)，其中A為振幅，ω為角頻率，φ為初相位。若系統(tǒng)的周期為T，求ω與T的關(guān)系。

d.設(shè)計一個低通濾波器，使得輸入信號的頻率低于1kHz時，輸出信號的頻率為0.5kHz。

2.作業(yè)反饋

及時對學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行批改和反饋，指出存在的問題并給出改進(jìn)建議。例如：

a.在判斷三角函數(shù)周期性的作業(yè)中，有些學(xué)生可能沒有正確理解周期性的概念，或者沒有正確計算出周期。在反饋中，可以指出周期性的定義，并指導(dǎo)學(xué)生如何計算周期。

b.在簡化三角函數(shù)表達(dá)式的作