第一章 全等三角形（4類知識(shí)拓展）

第一章全等三角形全等三角形模型歸納（知識(shí)拓展）知識(shí)拓展拓展知識(shí)模型拓展1雙垂直模型一、雙垂直模型①雙垂直中的角度關(guān)系②雙垂直中的全等關(guān)系∠A=∠C∠A=∠C，∠AFB=∠E若AF=CE，則△ABF≌△CBE△ABC、△BEF為等腰直角三角形典例1例1如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延長線與F，E為垂直，則結(jié)論：①AD=BF；②CF=CD；③AC﹢CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）．A．1 B．2 C．3 D．4跟蹤訓(xùn)練1如圖，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，DF=5，AF=3，則CF=_______．拓展2三垂直模型二、三垂直模型模型描述△ABC是等腰直角三角形，圖①為一條直線經(jīng)過直角頂點(diǎn)A，過△ABC的外側(cè)，圖②、③為一條直線經(jīng)過直角頂點(diǎn)A，過△ABC的內(nèi)側(cè)，BM與CN分別垂直于過A點(diǎn)的直線．核心結(jié)論：△ABM≌△CAN（AAS）圖①：MN=BM﹢CN圖②：MN=CN﹣BM圖③：MN=BM﹣CN例2如圖，銳角△ABC分別以A、B為直角頂點(diǎn)，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，再分別過點(diǎn)E、F作邊AB所在直線的垂線，垂足為M，N．求證：EM﹢FN=AB．例3．如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．（1）證明：DE=BD﹢CE．（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE=BD﹢CE是否還成立？如果成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）如圖（3），D、E是直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀．跟蹤訓(xùn)練2王強(qiáng)同學(xué)用10塊高度都是的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（），點(diǎn)在上，點(diǎn)和分別與木墻的頂端重合．（1）求證：；（2）求兩堵木墻之間的距離．

拓展3手拉手模型三、手拉手模型模型要點(diǎn)：兩個(gè)等腰三角形共頂點(diǎn)常考圖形等邊三角形手拉手等腰直角三角形（正方形）手拉手核心結(jié)論：①△ABE≌△CBD；AE=CD②∠AFC=∠EFD=60°核心結(jié)論：①△ABG≌△CBE；AG=CE②∠AHC=∠GHE=90°（AG⊥CE）例4如圖，正方形BAFE與正方形ACGD共點(diǎn)于，連接、，求證：=并求出的度數(shù).例5小明和同學(xué)小穎在學(xué)習(xí)了全等三角形后，研究了以下問題：（1）探索：如圖2，△ABC與△ADE均是頂角為40°的等腰三角形，BC、DE分別是底邊，試說明：BD=CE．（2）拓展：如圖3，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．試判斷線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．跟蹤訓(xùn)練3如圖，為線段上一點(diǎn)，分別以、為邊在同側(cè)作等邊和等邊，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：．拓展4半角模型四、半角模型模型描述從\t"/item/%E5%8D%8A%E8%A7%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B/_blank"正方形的一個(gè)頂點(diǎn)引出夾角為45°的兩條射線AE、AF，并連接EF構(gòu)成的幾何模型輔助線畫法：延長CB，使BF′=DF，連接AF′（本質(zhì)：旋轉(zhuǎn)△ADF至△ABF′）核心結(jié)論：△ADF≌△ABF′（SAS），△AEF≌△AEF′（SAS），EF=DF﹢BE例6：如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，求△AMN的周長．跟蹤訓(xùn)練4如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是線段BC、CD上的點(diǎn)，且BE+FD=EF.求證：.過關(guān)訓(xùn)練1．如圖，，，于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，，，則的長是（）A．8 B．4 C．3 D．22．如圖，，則（

）A． B． C． D．3．如圖，為等腰直角三角形，，．(1)求證：；(2)求證：4．如圖，點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，在，中，，，，連接交于點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)F，線段，交于點(diǎn)O，求證：

(1)(2)(3)5．已知，中，，，直線m過點(diǎn)A，且于D，于E，當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖1位置時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)．(1)當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，問：與、的關(guān)系如何？請予證明；(2)直線m在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，、、存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出，不必證明）6．如圖，四邊形和四邊形是正方形，（正方形四條邊都相等，四個(gè)內(nèi)角都是直角）【感知】（1）某學(xué)習(xí)小組探究如下問題：如圖1，連接，，直線于點(diǎn)H，交于點(diǎn)M，則與面積的大小關(guān)系是：_________．【探究】（2）該學(xué)習(xí)小組在探究（1）中面積問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)M為中點(diǎn)，你認(rèn)為是否成立?若成立，請證明；若不成立，請說明理由.【拓展】（3）經(jīng)過以上探究，該學(xué)習(xí)小組也提出問題：若正方形和正方形的位置如圖2所示，點(diǎn)M為中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)H，那么與有怎樣的關(guān)系?試探究，并說明理由

7．（1）如圖，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點(diǎn)，且．求證：；（2）如圖，在四邊形中，，，、分別是邊、延長線上的點(diǎn)，且．（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

第一章全等三角形模型歸納（知識(shí)拓展）答案全解全析知識(shí)拓展拓展知識(shí)模型拓展1雙垂直模型一、雙垂直模型①雙垂直中的角度關(guān)系②雙垂直中的全等關(guān)系∠A=∠C∠A=∠C，∠AFB=∠E若AF=CE，則△ABF≌△CBE△ABC、△BEF為等腰直角三角形典例1例1如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延長線與F，E為垂直，則結(jié)論：①AD=BF；②CF=CD；③AC﹢CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】解析：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠FAE．∵BE⊥AD，∴∠AEB=∠AEF=90°．∴∠F+∠FBC=90°，∠F+∠FAE=90°，∴∠FBC=∠FAE．∵∠ACB=90°，∴∠BCF=∠ACB=∠AEF=90°．在△ACD和△BCF中，∴△ACD≌△BCF（ASA），∴AD=BF，CD=CF．在△AEB和△AEF中，∴△AEB≌△AEF（ASA），∴AB=AF，BE=EF．∴BF=2BE．∵CD≠EF，∴CF≠BE，∵AC+CF=AF，∴AC+CD=AF，∴AC+CD=AB．跟蹤訓(xùn)練1如圖，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，DF=5，AF=3，則CF=_______．【答案】8【解析】解析：∵BD⊥CF，∠ACB=90°，AF⊥CF，∴∠DCB+∠DBC=∠DCB+∠ACF=90°，∴∠DBC=∠ACF；∴∠CAF=∠BCD（等角的余角相等）；在△AFC和△CDB中，，∴△AFC≌△CDB（ASA），∴CD=AF=3，∴CF=CD+DF=3+5=8．拓展2三垂直模型二、三垂直模型模型描述△ABC是等腰直角三角形，圖①為一條直線經(jīng)過直角頂點(diǎn)A，過△ABC的外側(cè)，圖②、③為一條直線經(jīng)過直角頂點(diǎn)A，過△ABC的內(nèi)側(cè)，BM與CN分別垂直于過A點(diǎn)的直線．核心結(jié)論：△ABM≌△CAN（AAS）圖①：MN=BM﹢CN圖②：MN=CN﹣BM圖③：MN=BM﹣CN例2如圖，銳角△ABC分別以A、B為直角頂點(diǎn)，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，再分別過點(diǎn)E、F作邊AB所在直線的垂線，垂足為M，N．求證：EM﹢FN=AB．【答案】見解析【解析】解析：如圖，過C作CG⊥AB，∴∠CAG+∠ACG=90°，∵△AEC為等腰直角三角形，∴∠EAC=90°，AE=AC，∴∠CAG+∠EAM=90°，∴∠ACG=∠EAM，∵在△ACG和△EAM中，，∴△ACG≌△EAM（AAS），∴EM=AG，同理GB=FN，∴AB=AG+GB=EM+FN．例3．如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．（1）證明：DE=BD﹢CE．（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE=BD﹢CE是否還成立？如果成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）如圖（3），D、E是直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀．【答案】（1）見解析（2)見解析（3）等邊三角形【解析】解析：（1）∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠CAE，在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，CE=DA，∴DE=AE+DA=BD+CE；（2）成立，證明如下：∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=a，∴∠BAD+∠CAE=180°﹣α，且∠DBA+∠BAD=180°﹣α，∴∠DBA=∠CAE，在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，CE=DA，∴DE=AE+DA=BD+CE；（3）∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴∠BAC=∠BAF+∠CAF=120°，∴∠BDA=∠BAC=120°，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=60°，∴∠CAE=∠ABD，∴△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，∠ABD=∠ACE，∵∠DBF=60°+∠ABD，∠FAE=60°+∠CAE，∴∠DBF=∠FAE，在△BDF和△AEF中，∴△BDF≌△AEF（SAS）∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∵∠BFD+∠AFD=60°，∴∠AFE+∠AFD=60°，即∠DFE=60°∴△DEF是等邊三角形跟蹤訓(xùn)練2王強(qiáng)同學(xué)用10塊高度都是的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（），點(diǎn)在上，點(diǎn)和分別與木墻的頂端重合．（1）求證：；（2）求兩堵木墻之間的距離．

【答案】（1）證明見解析；（2）兩堵木墻之間的距離為．【解析】（1）證明：由題意得：，，∴，∴，∴在和中，∴；（2）解：由題意得：，∵，∴，∴，答：兩堵木墻之間的距離為．拓展3手拉手模型三、手拉手模型模型要點(diǎn)：兩個(gè)等腰三角形共頂點(diǎn)?？紙D形等邊三角形手拉手等腰直角三角形（正方形）手拉手核心結(jié)論：①△ABE≌△CBD；AE=CD②∠AFC=∠EFD=60°核心結(jié)論：①△ABG≌△CBE；AG=CE②∠AHC=∠GHE=90°（AG⊥CE）例4如圖，正方形BAFE與正方形ACGD共點(diǎn)于，連接、，求證：=并求出的度數(shù).【答案】90°【解析】解析：∵四邊形BAFE和四邊形ACGD是正方形∴AB=AF，AC=AD，∠BAF=∠CAD=90°∴∠BAF+∠DAF=∠CAD+∠DAF即∠BAD=∠FAC在△BAD和△FAC中∴△BAD≌△FAC（SAS）∴BD=CF，∠ACF=∠ADB∴∠DOH=∠CAD=90°例5小明和同學(xué)小穎在學(xué)習(xí)了全等三角形后，研究了以下問題：（1）探索：如圖2，△ABC與△ADE均是頂角為40°的等腰三角形，BC、DE分別是底邊，試說明：BD=CE．（2）拓展：如圖3，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．試判斷線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】AE=BE+2CM【解析】解析：（1）∵△ABC與△ADE均是頂角為40°的等腰三角形∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAE又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE∴BD=CE（2）∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°∴∠CED=∠CDE=45°，∠ECB=∠DCA，EC=DC，BC=AC得△ECB≌△DCA又由于點(diǎn)A，D，E在同一個(gè)一直線上∴∠CEB=∠CDA=180°﹣∠CDE=135°，AD=BE∠AEB=∠BEC﹣∠DEC=135°﹣45°=90°又∵CM為△DCE中DE邊上的高，而且△DCE為等腰直角三角形得DE=2CM故AE=AD+DE=BE+2CM跟蹤訓(xùn)練3如圖，為線段上一點(diǎn)，分別以、為邊在同側(cè)作等邊和等邊，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：．【答案】見解析【解析】解析：在等邊三角形ACD和等邊三角形BCE中，AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，∵∠ACD+∠DCE+∠BCE=180°，∴∠DCE=60°，∠ACE=∠DCB=120°，在△ACE和△DCB中，AC=DC，∠ACE=∠DCB，CE=CB，∴△ACE≌△DCB（SAS），易證△GCE≌△HCB，∴CH=CG，∴∠CGH=∠CHG，∵∠GCH+∠GHC+∠CGH=180°，∴∠GHC=∠CGH=60°，∴∠ACG=∠CGH=60°，∴GH//AB拓展4半角模型四、半角模型模型描述從\t"/item/%E5%8D%8A%E8%A7%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B/_blank"正方形的一個(gè)頂點(diǎn)引出夾角為45°的兩條射線AE、AF，并連接EF構(gòu)成的幾何模型輔助線畫法：延長CB，使BF′=DF，連接AF′（本質(zhì)：旋轉(zhuǎn)△ADF至△ABF′）核心結(jié)論：△ADF≌△ABF′（SAS），△AEF≌△AEF′（SAS），EF=DF﹢BE例6：如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，求△AMN的周長．【答案】6【解析】解析：延長AB至F，使BF=CN，連接DF，∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠BCD=∠DBC=30°，∵△ABC是邊長為3的等邊三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，∴∠DBA=∠DCA=90°，在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC，∴△BDF≌△CND，∴∠BDF=∠CDN，DF=DN，∵∠MDN=60°∴∠BDM+∠CDN=60°∴∠BDM+∠BDF=60°∴∠FDM=60°=∠MDN∴△DMN≌△DMF∴MN=MF∴△AMN的周長=AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6跟蹤訓(xùn)練4如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是線段BC、CD上的點(diǎn)，且BE+FD=EF.求證：.【答案】見解析【解析】解析：把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠DAB的度數(shù)得到△ABG，AD旋轉(zhuǎn)到AB，AF旋轉(zhuǎn)到AG，如圖，∴AG=AF，BG=DF，∠ABG=∠D，∠BAG=∠DAF，∵∠B+∠D=180°，∴∠B+∠ABG=180°，∴點(diǎn)G、B、C共線，∵BE+FD=EF，∴BE+BG=GE=EF，在△AEG和△AEF中，，∴△AEG≌△AEF，∴∠EAG=∠EAF，而∠BAG=∠DAF，∴∠EAB+∠DAF=∠EAF，∴∠EAF=∠BAD．過關(guān)訓(xùn)練1．如圖，，，于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，，，則的長是（）A．8 B．4 C．3 D．2【答案】C【解析】解：，，于，于，，，又，，．，，．故選：C．2．如圖，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，．在和中，，，．．．故選：B．3．如圖，為等腰直角三角形，，．(1)求證：；(2)求證：【答案】(1)見解析；(2)見解析．【解析】（1）證明：是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，在與中，，∴（2）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．4．如圖，點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，在，中，，，，連接交于點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)F，線段，交于點(diǎn)O，求證：

(1)(2)(3)【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【解析】（1）證明：∵，∴，即：，又，，∴，∴；（2）∵，∴，∵點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，，∴，又，∴；（3）∵，，∴．5．已知，中，，，直線m過點(diǎn)A，且于D，于E，當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖1位置時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)．(1)當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，問：與、的關(guān)系如何？請予證明；(2)直線m在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，、、存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出，不必證明）【答案】(1)，證明見解析；(2)，，．【解析】（1）證明：如圖2，∵，，∴，∴．∵，∴，∴．在和中，，∴（AAS），∴，∵，∴．（2）直線m在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，、、存在3種不同的數(shù)量關(guān)系：，，．如圖1時(shí)，，如圖2時(shí)，，如圖3時(shí)，，（證明同理）6．如圖，四邊形和四邊形是正方形，（正方形四條邊都相等，四個(gè)內(nèi)角都是直角）【感知】（1）某學(xué)習(xí)小組探究如下問題：如圖1，連接，，直線于點(diǎn)H，交于點(diǎn)M，則與面積的大小關(guān)系是：_________．【探究】（2）該學(xué)習(xí)小組在探究（1）中面積問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)M為中點(diǎn)，你認(rèn)為是否成立?若成立，請證明；若不成立，請說明理由.【拓展】（3）經(jīng)過以上探究，該學(xué)習(xí)小組也提出問題：若正方形和正方形的位置如圖2所示，點(diǎn)M為中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)H，那么與有怎樣的關(guān)系?試探究，并說明理由

【答案】（1）；（2）成立；理由見解析；（3）