第14講 重難點(diǎn)02三角形中“飛鏢”模型（教師版）-七升八數(shù)學(xué)暑假銜接（人教版）

重難點(diǎn)02三角形中“飛鏢”模型【知識(shí)梳理】飛鏢模型三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°三角形的外角等子與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.【考點(diǎn)剖析】一．選擇題（共4小題）1．（2022春?龍崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC內(nèi)有一點(diǎn)D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，則∠BDC的大小是（）A．100° B．80° C．70° D．50°【分析】如果延長(zhǎng)BD交AC于E，由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得∠BDC＝∠DEC+∠ECD，∠DEC＝∠ABE+∠BAE，所以∠BDC＝∠ABE+∠BAE+∠ECD，又DA＝DB＝DC，根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)得出∠ABE＝∠DAB＝20°，∠ECD＝∠DAC＝30°，進(jìn)而得出結(jié)果．【解答】解：延長(zhǎng)BD交AC于E．∵DA＝DB＝DC，∴∠ABE＝∠DAB＝20°，∠ECD＝∠DAC＝30°．又∵∠BAE＝∠BAD+∠DAC＝50°，∠BDC＝∠DEC+∠ECD，∠DEC＝∠ABE+∠BAE，∴∠BDC＝∠ABE+∠BAE+∠ECD＝20°+50°+30°＝100°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形外角的性質(zhì)及等邊對(duì)等角的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．2．（2021春?鹽湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠A＝37°，∠B的度數(shù)是（）A．33° B．23° C．27° D．37°【分析】延長(zhǎng)CD交AB于E，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式求出∠1，再利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)CD交AB于E，∵∠C＝38°，∠A＝37°，∴∠1＝∠C+∠A＝38°+37°＝75°，∵∠BDC＝98°，∴∠B＝∠BDC﹣∠1＝98°﹣75°＝23°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2021秋?藁城區(qū)校級(jí)月考）如圖，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠B＝23°，∠A的度數(shù)是（）A．61° B．60° C．37° D．39°【分析】作直線AD，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得：∠3＝∠B+∠1，∠4＝∠C+∠2，從而推出∠BAC＝∠1+∠2＝∠3+∠4﹣∠B﹣∠D＝37°．【解答】解：作直線AD，∴∠3＝∠B+∠1﹣﹣﹣（1）∴∠4＝∠C+∠2﹣﹣﹣（2）由（1）、（2）得：∠3+∠4＝∠B+∠C+∠1+∠2，即∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC，∵∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠B＝23°∴∠BAC＝98°﹣38°﹣23°＝37°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】解答此題的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形，應(yīng)用三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系解答．4．（2020春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC中，∠A＝30°，D為CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，∠D＝40°，則∠C為（）A．20° B．15° C．30° D．25°【分析】由DE⊥AB于點(diǎn)E，∠D＝40°，由三角形內(nèi)角和定理可求出∠ABD＝50°，再由三角形外角定理可得∠C＝∠ABD﹣∠A＝50°﹣30°＝20°．【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∵∠D＝40°，∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠DEB＝50°，∵∠ABD＝∠A+∠C，∠A＝30°，∴∠C＝∠ABD﹣∠A＝50°﹣30°＝20°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】這道題考查的是三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角定理，一定要熟記定理．二．填空題（共1小題）5．（2022秋?富陽(yáng)區(qū)期中）如圖，作CE⊥AF于點(diǎn)E，CE與BF相交于點(diǎn)D，若∠F＝45°，∠C＝30°，則∠A＝60°，∠DBC＝105°．【分析】首先利用垂直的定義和三角形的內(nèi)角和定理可以求出∠A，然后利用三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系可以求出∠DBC．【解答】解：∵CE⊥AF，∴∠AEC＝∠FEC＝90°，∵∠C＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，又∠DBC＝∠F+∠A，∠F＝45°∴∠DBC＝60°+45°＝105°故答案為：60；105．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共11小題）6．（2022春?衡山縣期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝α．（1）若點(diǎn)P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α＝60°，則∠1+∠2＝150°；（2）若點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為90°+α；（3）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長(zhǎng)線上，如圖（3）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)明理由；（4）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC形外，如圖（4）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)明理由．【分析】（1）由平角的定義得出，∠CDP＝180﹣∠1，∠CEP＝180﹣∠2，最后用四邊形CDPE的內(nèi)角和是360°即可求得∠1+∠2．（2）同（1）的方法．（3）利用三角形的外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．（4）利用外角的性質(zhì)和對(duì)頂角相等即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）由平角的定義知，∠1+∠CDP＝180°，∠2+∠CEP＝180°，在四邊形CDPE中，∠CDP+∠α+∠PEC+∠C＝360°，即（180°﹣∠1）+∠α+（180°﹣∠2）+∠C＝360°，180°﹣∠1+∠α+180°﹣∠2+90°＝360°，∴∠1+∠2＝90°+α．當(dāng)α＝60°時(shí)，∠1+∠2＝150°．故答案為：150°．（2）由（1）知，∠1+∠2＝90°+α．故答案為：90°+α．（3）∠1＝90°+∠2+∠α．理由如下：由三角形的外角的性質(zhì)知，∠DMC＝∠2+∠α，∠1＝∠C+∠DMC，∴∠1＝∠C+（∠2+∠α），即∠1＝90°+∠2+∠α．（4）∠2＝90°+∠1﹣∠α．理由如下：由三角形的外角的性質(zhì)知，∠2＝∠CFE+∠C，∠1＝∠PFD+∠α，∵∠CFE＝∠PFD，∴∠2﹣∠C＝∠1﹣∠α，∴∠2＝∠C+∠1﹣∠α，即∠2＝90°+∠1﹣∠α．【點(diǎn)評(píng)】本題的考點(diǎn)是三角形內(nèi)角和定理，主要考查了三角形的內(nèi)角和、四邊形的內(nèi)角和、三角形的外角的性質(zhì)、平角的定義，解本題的關(guān)鍵是把∠1，∠2，∠a轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形或四邊形中．7．（2022春?樂(lè)平市期末）在△ABC中，兩條高BD、CE所在的直線相交于點(diǎn)O．（1）當(dāng)∠BAC為銳角時(shí)，如圖1，求證：∠BOC+∠BAC＝180°．（2）當(dāng)∠BAC為鈍角時(shí)，如圖2，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出相應(yīng)的圖形（用三角尺），并回答（1）中結(jié)論是否成立？不需證明．【分析】（1）利用直角三角形的兩個(gè)余角相等、同角的余角相等，得出∠BAC＝∠BOE，把∠BOC+∠BAC轉(zhuǎn)化為平角∠COE．（2）根據(jù)題意，分別作出AB、AC邊上的高，根據(jù)（1）的證明思路得出（1）的結(jié)論在∠BAC為鈍角時(shí)依舊成立．【解答】解：（1）證明：∵BD、CE是△ABC的兩條高，∴∠ADB＝∠CEB＝90°∴∠BAC+∠ABD＝90°，∠BOE+∠ABD＝90°，∴∠BAC＝∠BOE（同角的余角相等），∴∠BOC+∠BAC＝∠BOC+∠BOE（等量代換），∵∠BOC+∠BOE＝180°（平角的定義），∴∠BOC+∠BAC＝180°．（2）成立．理由：∵BD、CE是△ABC的兩條高，∴∠OEB＝∠BDC＝90°∴∠BOC+∠OBE＝90°，∠DAB+∠OBE＝90°∴∠BOC＝∠DAB（同角的余角相等），∴∠BOC+∠BAC＝∠DAB+∠BAC（等量代換），∵∠DAB+∠BAC＝180°（平角的定義），∴∠BOC+∠BAC＝180°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，綜合運(yùn)用了直角三角形的兩個(gè)銳角互余、同角的余角相等、平角的定義．8．（2022?雁塔區(qū)模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BE＝BC，∠F＝∠ABD，EF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：FB＝DB．【分析】要證明FB＝DB，轉(zhuǎn)化證明△BCD≌△BEF便可．【解答】證明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∵∠F＝∠ABD，∴∠CDB＝∠F，在△BCD和△BEF中，，∴△BCD≌△BEF（AAS），∴FB＝DB．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定．關(guān)鍵是將線段相等轉(zhuǎn)化為證明三角形全等．9．（2023?太原二模）如圖，在凹四邊形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝55°，∠D＝20°，求∠BCD的度數(shù)．下面是學(xué)習(xí)小組的同學(xué)們交流時(shí)得到的解決問(wèn)題的三種方法：方法一：作射線AC；方法二：延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)E；方法三：連接BD．請(qǐng)選擇上述一種方法，求∠BCD的度數(shù)．【分析】通過(guò)延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)E，運(yùn)用三角形的外角等于和它不相鄰兩內(nèi)角的和進(jìn)行求解．【解答】解：延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)E，∴∠CED＝∠A+∠B，∠BCD＝∠CED+∠D，∴∠BCD＝∠A+∠B+∠D＝45°+55°+20°＝120°，即∠BCD的度數(shù)是120°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形外角定理的運(yùn)用能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確作輔助線構(gòu)造三角形的外角進(jìn)行求解．10．（2023?興慶區(qū)校級(jí)模擬）問(wèn)題提出（1）如圖①，已知∠AOB，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N，分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點(diǎn)C，畫(huà)射線OC，連接CM，CN，MN，則圖①中與△OMC全等的是△ONC；問(wèn)題探究（2）如圖②，在△ABC中，AD平分∠BAC，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，連接CD，BD，若AB+AC＝2AM，求證：∠ACD+∠ABD＝180°；問(wèn)題解決（3）如圖③，工人劉師傅有一塊三角形鐵板ABC，∠B＝60°，他需要利用鐵板的邊角裁出一個(gè)四邊形BEFD，并要求∠EFD＝120°，EF＝DF．劉師傅先在紙稿上畫(huà)出了三角形鐵板的草圖，再用尺規(guī)作出∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，作∠BCA的平分線CE交AB于點(diǎn)E，AD，CE交于點(diǎn)F，得到四邊形BEFD．請(qǐng)問(wèn)，若按上述作法，裁得的四邊形BEFD是否符合要求？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【分析】（1）由題意可得，OM＝ON，CM＝CN，以此即可通過(guò)SSS證明△OMC≌△ONC，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DN＝DM，則可通過(guò)HL證明Rt△ADN≌Rt△ADM，得到AN＝AM，于是AM+BM+AN﹣CN＝2AM，即CN＝BM，再利用SAS證明△CDN≌△BDM，得到∠DCN＝∠ABD，以此即可證明；（3）過(guò)點(diǎn)F分別作FG⊥AB于點(diǎn)G，作FH⊥BC于點(diǎn)H，作FK⊥AC于點(diǎn)K，由角平分線的性質(zhì)可得∠FAC＝，∠FCA＝，F(xiàn)G＝FK＝FH，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理可得∠GFH＝120°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠FAC+∠FCA＝60°，∠AFC＝120°，于是∠EFD＝∠AFC＝120°＝∠GFH，根據(jù)同角加等角相等得∠EFG＝∠DFH，因此可通過(guò)ASA證明△EFG≌△DFH，得到EF＝DF，以此即可證明結(jié)論．【解答】（1）解：由題意可得，OM＝ON，CM＝CN，在△OMC和△ONC中，，∴△OMC≌△ONC（SSS）；故答案為：△ONC；（2）證明：過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，如圖，∵AD平分∠BAC，DN⊥AC，DM⊥AB，∴DN＝DM，在Rt△ADN和Rt△ADM中，，∴Rt△ADN≌Rt△ADM（HL），∴AN＝AM，∵AB+AC＝2AM，∴AM+BM+AN﹣CN＝2AM，即CN＝BM，在△CDN和△BDM中，，∴△CDN≌△BDM（SAS），∴∠DCN＝∠DBM，即∠DCN＝∠ABD，∴∠ACD+∠ABD＝∠ACD+∠DCN＝180°；（3）符合要求，證明如下：過(guò)點(diǎn)F分別作FG⊥AB于點(diǎn)G，作FH⊥BC于點(diǎn)H，作FK⊥AC于點(diǎn)K，∵AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，∴∠FAC＝，∠FCA＝，F(xiàn)G＝FK＝FH，∵∠B＝60°，∴在四邊形BGFH中，∠GFH＝360°﹣60°﹣90°×2＝120°，∴∠FAC+∠FCA＝+＝（∠BAC+∠ACB）＝（180°﹣∠B）＝＝60°，在△AFC中，∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣60°＝120°，∴∠EFD＝∠AFC＝120°＝∠GFH，∵∠EFG+∠GFD＝∠GFD+∠DFH，∴∠EFG＝∠DFH，在△EFG和△DFH中，，∴△EFG≌△DFH（ASA），∴EF＝DF，∴裁得的四邊形BEFD符合要求．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定方法和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．11．（2020秋?金州區(qū)校級(jí)期末）如圖，BD，CE是△ABC的高，若AE＝3，AD＝4，CD＝1．求EB的長(zhǎng)．【分析】利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵BD，CE是△ABC的高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△AEC∽△ADB，∴，∵AE＝3，AD＝4，CD＝1，∴，∴AB＝，∴BE＝AB﹣AE＝﹣3＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2021秋?安寧市校級(jí)期中）如圖，求證：∠BDC＝∠A+∠B+∠C．【分析】作射線AD，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠3＝∠B+∠1，∠4＝∠C+∠2，兩式相加即可得到結(jié)論；【解答】證明：作射線AD，如圖，∵∠3＝∠B+∠1，∠4＝∠C+∠2，∴∠3+∠4＝∠B+∠C+∠1+∠2，∴∠BDC＝∠B+∠C+∠A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角性質(zhì)：三角形的任一外角等于與之不相鄰的兩內(nèi)角的和．也考查了三角形內(nèi)角和定理．13．（2020春?如東縣期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，∠A＝54°，則∠ABX+∠ACX＝36°；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠DCE的度數(shù)（用含α和β的式子表示）；③如圖4，∠ABD，∠ACD的12等分線相交于點(diǎn)G1、G2…、G11，若∠BDC＝115°，∠BG1C＝60°，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）結(jié)論：∠BDC＝∠A+∠B+∠C．連接AD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，利用三角形的外角的性質(zhì)求解即可．（2）①利用（1）中結(jié)論計(jì)算即可．②圖3中，設(shè)∠ADC＝∠CDB＝x，∠AEC＝∠CEB＝y(tǒng)，構(gòu)建方程組解決問(wèn)題即可．③設(shè)∠ABD＝x°，∠ACD＝y(tǒng)°，構(gòu)建方程組解決問(wèn)題即可．【解答】解：（1）∠BDC＝∠A+∠B+∠C．理由：連接AD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E．∵∠BDE＝∠BAD+∠B，∠CDE＝∠CAD+∠C，∴∠BDE+∠CDE＝∠BAD+∠B+∠CAD+∠C，∴∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C．（2）①∵∠BXC＝∠ABX+∠ACX+∠A＝90°，∠A＝54°，∴∠ABX+∠ACX＝36°．故答案為36．②如圖3中，設(shè)∠ADC＝∠CDB＝x，∠AEC＝∠CEB＝y(tǒng)，則有∠DCE＝x+y+α，β＝2x+2y+α，∴∠DCE＝．故答案為．③設(shè)∠ABD＝x°，∠ACD＝y(tǒng)°．由題意可得，解得∠A＝55°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．14．（2021秋?東源縣校級(jí)期末）如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，請(qǐng)發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問(wèn)題：（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，若∠A＝50°，直接寫(xiě)出∠ABX+∠ACX的結(jié)果；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)；③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1、G2、…、G9，若∠BDC＝140°，∠BG1C＝77°，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)題意觀察圖形連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，由外角定理可知，一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，則容易得到∠BDC＝∠BDF+∠CDF；（2）①由（1）的結(jié)論可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后把∠A＝50°，∠BXC＝90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值．②結(jié)合圖形可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE＝50°，∠DBE＝130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的結(jié)論可知∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．③由（2）的方法，進(jìn)而可得答案【解答】解：（1）連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；且∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD；相加可得∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）①由（1）的結(jié)論易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，又∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°；②由（1）的結(jié)論易得∠DBE＝∠A+∠ADB+∠AEB，易得∠ADB+∠AEB＝80°；而∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠A，代入∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，易得∠DCE＝90°；③∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∵∠BG1C＝77°，∴設(shè)∠A為x°，∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°∴（140﹣x）+x＝77，14﹣x+x＝77，x＝70∴∠A為70°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能求出∠BDC＝∠A+∠B+∠C是解答的關(guān)鍵，注意：三角形的內(nèi)角和等于180°，三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．15．（2022秋?鹽湖區(qū)期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝50°；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)；③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）首先連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，然后根據(jù)外角的性質(zhì)，即可判斷出∠BDC＝∠A+∠B+∠C．（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后根據(jù)∠A＝40°，∠BXC＝90°，求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可．②由（1）可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根據(jù)∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根據(jù)∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠DCE的度數(shù)是多少即可．③根據(jù)∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG1C＝70°，設(shè)∠A為x°，可得∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°，解方程，求出x的值，即可判斷出∠A的度數(shù)是多少．【解答】解：（1）如圖（1），連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，，根據(jù)外角的性質(zhì)，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）①由（1），可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，故答案為：50．②由（1），可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，∴（∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45°，∴∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE＝45°+40°＝85°；③∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∵∠BG1C＝70°，∴設(shè)∠A為x°，∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°∴（133﹣x）+x＝70，∴13.3﹣x+x＝70，解得x＝63，即∠A的度數(shù)為63°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，利用三角形的內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．16．（2023春?黑山縣期中）如圖：直線CD是經(jīng)過(guò)∠ACB頂點(diǎn)C的一條直線，AC＝CB，E、F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且∠AEC＝∠CFB＝∠α．【數(shù)學(xué)思考】（1）若直線CD是經(jīng)過(guò)∠ACB的內(nèi)部，且E、F在射線CD上．請(qǐng)解決下面兩個(gè)問(wèn)題：①如圖1，∠ACB＝90°，∠α＝90°，則AE＝CF（填＞，＜或＝），猜測(cè)線段EF與線段AE、BF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；②如圖2，若0°＜∠ACB＜90°，當(dāng)∠ACB與∠α之間滿足∠ACB+∠α＝180°時(shí)，能夠使得①中的結(jié)論仍然成立，并證明兩個(gè)結(jié)論．【問(wèn)題拓展】（2）如圖3．若直線CD經(jīng)過(guò)∠ACB的外部，∠ACB＝∠α，請(qǐng)直接寫(xiě)出EF、AE、BF三條線段的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）①證明△ACE≌△CBF（AAS），然后推論出邊的數(shù)量關(guān)系；②證明全等后以上結(jié)論仍然成立；（2）同上證明△ACE≌△CBF（AAS）即可推論出邊的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）①∵∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠BCF＝90°，∵∠AEC＝∠CFB＝∠α＝90°，∴∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ACF＝∠CBF，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF，BF＝CE，∵EF＝CF﹣CE，∴EF＝AE﹣BF，故答案為：＝；②∠ACB+∠α＝180°．證明：∵∠AEC＝∠CFB＝∠α，∠ACB+∠α＝180°，∠AEC+∠AEF＝180°，∠AEC＝∠CFB＝∠α，∴∠ACB＝∠AEF，∵∠AEF＝180°﹣∠α，∠CAE+∠ACF＝180°﹣∠α，∴∠AEF＝∠CAE+∠ACF，∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF，∴∠CAE+∠ACF＝∠ACF+∠BCF，∴∠CAE＝∠BCF，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF，BF＝CE，∵EF＝CF﹣CE，∴EF＝AE﹣BF，故答案為：∠ACB+∠α＝180°；（2）EF＝AE+BF．證明：與（2）同理可得，△ACE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF，BF＝CE，∵EF＝CF+CE，∴EF＝AE+BF．【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形，解題關(guān)鍵是全等三角形對(duì)應(yīng)的邊相等，即可推論出邊的數(shù)量關(guān)系．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題1．如圖，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠A＝37°，∠B的度數(shù)是（）A．33° B．23° C．27° D．37°【解答】解：如圖，延長(zhǎng)CD交AB于E，∵∠C＝38°，∠A＝37°，∴∠1＝∠C+∠A＝38°+37°＝75°，∵∠BDC＝98°，∴∠B＝∠BDC﹣∠1＝98°﹣75°＝23°．故選：B．2．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的結(jié)果為（

）A．90° B．360° C．180° D．無(wú)法確定【答案】C【詳解】如圖，連接BC，∵∠D+∠E+∠DOE=∠BOC+∠OCB+∠BOC=180°，∠DOE=∠BOC，∴∠D+∠E=∠OBC+∠OCB，又∵∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°．故選：C．3．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知在中，，現(xiàn)將一塊直角三角板放在上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直角頂點(diǎn)D落在的內(nèi)部，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°∴40°-90°=50°故選C．4．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)統(tǒng)考期中）在社會(huì)實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】延長(zhǎng)BE交CF的延長(zhǎng)線于O，連接AO，如圖，∵∴同理得∵∴∵∴∴∴,故選：B．5．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知BE，CF分別為△ABC的兩條高，BE和CF相交于點(diǎn)H，若∠BAC=50°，則∠BHC為（）A．115° B．120° C．125° D．130°【答案】D【詳解】∵BE為△ABC的高，∠BAC=50°，∴∠ABE=90°-50°=40°，∵CF為△ABC的高，∴∠BFC=90°，∴∠BHC=∠ABE+∠BFC=40°+90°=130°．故選D．6．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在三角形紙片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC外，若∠2＝18°，則∠1的度數(shù)為（）A．50° B．118° C．100° D．90°【答案】B【詳解】解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．由折疊，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，∴∠CED＝＝99°，∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝31°，∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝118°．故選：B．二、填空題7．（2023春·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，______°．【答案】180【詳解】解：如圖，∵∠1＝∠B＋∠2，∠2＝∠D＋∠E，∠A＋∠1＋∠C＝180°，∴∠A＋∠B＋∠D＋∠E＋∠C＝180°，故答案為：180．8．（2022秋·青海西寧·八年級(jí)青海師大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，的度數(shù)為_(kāi)______．【答案】【詳解】解：如圖，∵是的外角，是的外角，∴，，又∵，∴．故答案為：．9．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，若，則____________．【答案】230°【詳解】解：如圖∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案為：230°．10．如圖，已知∠BOF＝120°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝．【解答】解：如圖，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，∵∠BOF＝120°，∴∠3＝180°﹣120°＝60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠E+∠1＝180°﹣60°＝120°，∠F+∠2＝180°﹣60°＝120°，所以，∠1+∠2+∠E+∠F＝120°+120°＝240°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°．故答案為：240°．三．解答題11．一個(gè)零件的形狀如圖，按要求∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，檢驗(yàn)工人量得∠CDB＝148°，就斷定這個(gè)零件不合格，運(yùn)用三角形的有關(guān)知識(shí)說(shuō)明零件不合格的理由．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)CD交AB于E，∵∠A＝90°，∠C＝21°，∴∠1＝∠A+∠C＝90°+21°＝111°，∵∠B＝32°，∴∠BDC＝∠B+∠1＝32°+111°＝143°．又∵∠BDC＝148°，∴這個(gè)零件不合格．12．如圖：（1）求證：∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）如果點(diǎn)D與點(diǎn)A分別在線段BC的兩側(cè)，猜想∠BDC、∠A、∠B、∠C這4個(gè)角之間有怎樣的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【解答】（1）證明：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，∵∠BEC是△ABE的外角，∴∠BEC＝∠A+∠B，∵∠BDC是△CED的外角，∴∠BDC＝∠C+∠DEC＝∠C+∠A+∠B；（2）猜想：∠BDC+∠C+∠A+∠B＝360°．證明：∠BDC+∠C+∠A+∠B＝∠3+∠2+∠6+∠5+∠4+∠1＝（∠3+∠2+∠1）+（∠6+∠5+∠4）＝180°+180°＝360°．13．已知：如圖，求證：∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC．【解答】證明：延長(zhǎng)AD到E，則∵∠1＝∠B+∠BAD，∠2＝∠C+∠CAD，（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）∴∠1+∠2＝∠B+∠C+∠BAD+∠CAD．即∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC．14．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，中，(1)若、的三等分線交于點(diǎn)、，請(qǐng)用表示、；(2)若、的等分線交于點(diǎn)、（、依次從下到上），請(qǐng)用表示，．【答案】(1)，，(2)，【詳解】（1）解：∵，∴，∵、的三等分線交于點(diǎn)、，∴∴，；（2）解：∵，∴，∵、的等分線交于點(diǎn)、，∴∴，．15．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知分別交的邊、于、，交的延長(zhǎng)線于，，，，求的度數(shù).【答案】.【詳解】解：在中，=--，∴∠DEC=16．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，是的平分線，CH是的平分線，與CH交于點(diǎn)，若，，求的度數(shù).【答案】.【詳解】解：由燕尾角的基本圖形與結(jié)論可得，①②是的平分線，是的平分線，．①-②得，．17．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）模型規(guī)律：如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，則．因?yàn)榘妓倪呅涡嗡萍^，其四角具有“”這個(gè)規(guī)律，所以我們把這個(gè)模型叫做“箭頭四角形”．模型應(yīng)用（1）直接應(yīng)用：①如圖2，，則__________；②如圖3，__________；（2）拓展應(yīng)用：①如圖4，、的2等分線（即角平分線）、交于點(diǎn)，已知，，則__________；②如圖5，、分別為、的10等分線．它們的交點(diǎn)從上到下依次為、、、…、．已知，，則__________；③如圖6，、的角平分線、交于點(diǎn)D，已知，則__________；④如圖7，、的角平分線、交于點(diǎn)D，則、、之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________．【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②99；③142；④∠B-∠C+2∠D=0【詳解】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；（2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1=∠BOC-（∠ABO+∠ACO）=∠BOC-（∠BOC-∠A）=∠BOC-（120°-50°）=120°-35°=85°；②∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A）=120°-（120°-50°）=120°-21°=99°；③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）=180°-（120°-44°）=142°；④∠BOD=∠BOC=∠B+∠D+∠BAC，∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，聯(lián)立得：∠B-∠C+2∠D=0．18．平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．（1）如圖1，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，則有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D．得∠BPD＝∠B﹣∠D．將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖2，以上結(jié)論是否成立？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）在如圖2中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖3，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求如圖4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)．【解答】解：（1）不成立，結(jié)論是∠BPD＝∠B+∠D．延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)E，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BED，又∵∠BPD＝∠BED+∠D，∴∠BPD＝∠B+∠D；（2）結(jié)論：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D．連接QP并延長(zhǎng)，∵∠BPE