2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題01空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題01空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問題(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 3題型一：內(nèi)切球等體積法 3題型二：內(nèi)切球獨(dú)立截面法 3題型三：外接球公式法 4題型四：外接球補(bǔ)型法 4題型五：外接球單面定球心法 4題型六：外接球雙面定球心法 5三、專項(xiàng)訓(xùn)練 5一、必備秘籍1．球與多面體的接、切定義1；若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是多面體的外接球。定義2；若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是多面體的內(nèi)切球。類型一球的內(nèi)切問題（等體積法）例如：在四棱錐中，內(nèi)切球?yàn)榍颍笄虬霃?方法如下：即：，可求出.類型二球的外接問題1、公式法正方體或長方體的外接球的球心為其體對角線的中點(diǎn)2、補(bǔ)形法（補(bǔ)長方體或正方體）①墻角模型（三條線兩個(gè)垂直）題設(shè)：三條棱兩兩垂直（重點(diǎn)考察三視圖）②對棱相等模型（補(bǔ)形為長方體）題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（，，）3、單面定球心法（定+算）步驟：①定一個(gè)面外接圓圓心：選中一個(gè)面如圖：在三棱錐中，選中底面，確定其外接圓圓心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點(diǎn)上，普通三角形用正弦定理定外心）；②過外心做（找）底面的垂線，如圖中面,則球心一定在直線（注意不一定在線段上）上；③計(jì)算求半徑:在直線上任取一點(diǎn)如圖：則，利用公式可計(jì)算出球半徑.4、雙面定球心法（兩次單面定球心）如圖：在三棱錐中：①選定底面，定外接圓圓心②選定面，定外接圓圓心③分別過做面的垂線，和做面的垂線，兩垂線交點(diǎn)即為外接球球心.二、典型題型題型一：內(nèi)切球等體積法1．（2024·全國·模擬預(yù)測）將菱形沿對角線折起，當(dāng)四面體體積最大時(shí)，它的內(nèi)切球和外接球表面積之比為．2．（23-24高三下·山東濟(jì)寧·開學(xué)考試）三棱錐中，是邊長為的正三角形，頂點(diǎn)在底面上的射影是的中心，且．三棱錐的內(nèi)切球?yàn)榍?，外接球?yàn)榍颍羟虻陌霃綖?，球的半徑為，則；若為球上任意一點(diǎn)，為球上任意一點(diǎn)，則線段的最小值為3．（23-24高二上·江西景德鎮(zhèn)·期中）我國古典數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載，四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑現(xiàn)有一個(gè)“鱉臑”，底面，，且，則該四面體的外接球的表面積為，該四面體內(nèi)切球表面積為．題型二：內(nèi)切球獨(dú)立截面法1．（23-24高一下·河南三門峽·期中）已知三棱錐的棱長均為4，先在三棱錐內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球，然后再放入一個(gè)球，使得球與球及三棱錐的三個(gè)側(cè)面都相切，則球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東深圳·二模）已知圓錐的內(nèi)切球半徑為1，底面半徑為，則該圓錐的表面積為．注：在圓錐內(nèi)部，且與底面和各母線均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的球，稱為圓錐的內(nèi)切球．3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，球的表面積和圓臺(tái)的側(cè)面積的比為，求球和圓臺(tái)的體積之比．題型六：外接球雙面定球心法1．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知長方體中，側(cè)面的面積為2，若在棱上存在一點(diǎn)，使得為等邊三角形，則四棱錐外接球表面積的最小值為.2．（23-24高二上·江西九江·期中）如圖，是邊長為的正三角形的一條中位線，將沿翻折至，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，四棱錐外接球的表面積為；過靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)作球的截面，則所得截面圓面積的最小值是三、專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，且，，，，若該三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球的表面積等于（

）．A． B． C． D．2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．3．（2024·四川瀘州·三模）已知圓錐的體積為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．4．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）已知四面體ABCD的各頂點(diǎn)均在球的球面上，平面平面，則球的表面積為（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·湖南衡陽·階段練習(xí)）將一個(gè)母線長為，底面半徑為的圓錐木頭加工打磨成一個(gè)球狀零件，則能制作的最大零件的表面積為（

）A． B． C． D．6．（2024·廣西·二模）已知軸截面為正方形的圓柱的體積與球的體積之比為，則圓柱的表面積與球的表面積之比為（

）A．1 B． C．2 D．7．（2024·廣東·二模）已知球與圓臺(tái)的上、下底面和側(cè)面均相切，且球與圓臺(tái)的體積之比為，則球與圓臺(tái)的表面積之比為（

）A． B． C． D．8．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在四棱錐中，底面四邊形為等腰梯形，，，是邊長為2的正三角形，，則四棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．9．（23-24高一下·浙江金華·期中）已知三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩互相垂直，且，，則此三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．二、填空題10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知圓錐的底面半徑為3，母線長為5，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.11．（2024·全國·模擬預(yù)測）在菱形中，，，將沿翻折，使二面角的余弦值為，則四面體的外接球的表面積為.12．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若，則此球的表面積等于.專題01空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問題(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 3題型一：內(nèi)切球等體積法 3題型二：內(nèi)切球獨(dú)立截面法 6題型三：外接球公式法 9題型四：外接球補(bǔ)型法 10題型五：外接球單面定球心法 13題型六：外接球雙面定球心法 16三、專項(xiàng)訓(xùn)練 19一、必備秘籍1．球與多面體的接、切定義1；若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是多面體的外接球。定義2；若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是多面體的內(nèi)切球。類型一球的內(nèi)切問題（等體積法）例如：在四棱錐中，內(nèi)切球?yàn)榍颍笄虬霃?方法如下：即：，可求出.類型二球的外接問題1、公式法正方體或長方體的外接球的球心為其體對角線的中點(diǎn)2、補(bǔ)形法（補(bǔ)長方體或正方體）①墻角模型（三條線兩個(gè)垂直）題設(shè)：三條棱兩兩垂直（重點(diǎn)考察三視圖）②對棱相等模型（補(bǔ)形為長方體）題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（，，）3、單面定球心法（定+算）步驟：①定一個(gè)面外接圓圓心：選中一個(gè)面如圖：在三棱錐中，選中底面，確定其外接圓圓心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點(diǎn)上，普通三角形用正弦定理定外心）；②過外心做（找）底面的垂線，如圖中面,則球心一定在直線（注意不一定在線段上）上；③計(jì)算求半徑:在直線上任取一點(diǎn)如圖：則，利用公式可計(jì)算出球半徑.4、雙面定球心法（兩次單面定球心）如圖：在三棱錐中：①選定底面，定外接圓圓心②選定面，定外接圓圓心③分別過做面的垂線，和做面的垂線，兩垂線交點(diǎn)即為外接球球心.二、典型題型題型一：內(nèi)切球等體積法1．（2024·全國·模擬預(yù)測）將菱形沿對角線折起，當(dāng)四面體體積最大時(shí)，它的內(nèi)切球和外接球表面積之比為．【答案】/【分析】當(dāng)平面平面時(shí)，四面體的高最大，并利用導(dǎo)函數(shù)討論體積的最大值，構(gòu)造長方體求外接球的半徑，利用等體積法求內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而可求解．【詳解】不妨設(shè)菱形的邊長為，，，外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)椋?，?dāng)平面平面時(shí)，平面平面，平面，所以平面，此時(shí)四面體的高最大為，因?yàn)?，所以所以，，令解得，令解得，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)最大，最大體積為，此時(shí)，以四面體的頂點(diǎn)構(gòu)造長方體，長寬高為，則有解得，所以，所以外接球的表面積為，又因?yàn)?，所以，，所以，所以，所以，及?nèi)切球的表面積為，所以內(nèi)切球和外接球表面積之比為．故答案為：2．（23-24高三下·山東濟(jì)寧·開學(xué)考試）三棱錐中，是邊長為的正三角形，頂點(diǎn)在底面上的射影是的中心，且．三棱錐的內(nèi)切球?yàn)榍颍饨忧驗(yàn)榍?，若球的半徑為，球的半徑為，則；若為球上任意一點(diǎn)，為球上任意一點(diǎn)，則線段的最小值為【答案】【分析】將三棱錐放入正方體中，利用等體積法可得內(nèi)切球半徑，根據(jù)正方體的外接球求解，進(jìn)而可求解空1，根據(jù)兩球的關(guān)系，結(jié)合半徑的關(guān)系即可求解空2.【詳解】由題易知，三棱錐為棱長為1的立方體的一部分，如圖由等體積法求，，即.又由，即，所以；的外接圓半徑為，故點(diǎn)到平面的距離為，由于，所以在三棱錐的外部，故球內(nèi)含于球，且，所以.故答案為：，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.3．（23-24高二上·江西景德鎮(zhèn)·期中）我國古典數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載，四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑現(xiàn)有一個(gè)“鱉臑”，底面，，且，則該四面體的外接球的表面積為，該四面體內(nèi)切球表面積為．【答案】/【分析】由題意確定四面體外接球的球心，進(jìn)而求得外接球半徑，即可求得四面體的外接球的表面積；利用等體積法求得四面體內(nèi)切球的半徑，即可求得四面體內(nèi)切球的表面積.【詳解】由題意可知底面，底面，故，又，平面，故平面，平面，故，取PB的中點(diǎn)為O，則，

即O為四面體的外接球的球心，又，則，則四面體外接球半徑為,故該四面體的外接球的表面積為；設(shè)四面體的內(nèi)切球球心為，半徑為r，則，即,解得，則四面體內(nèi)切球表面積為，故答案為：；題型二：內(nèi)切球獨(dú)立截面法1．（23-24高一下·河南三門峽·期中）已知三棱錐的棱長均為4，先在三棱錐內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球，然后再放入一個(gè)球，使得球與球及三棱錐的三個(gè)側(cè)面都相切，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等體積可求得內(nèi)切球半徑，再取截面并根據(jù)比例求得球的半徑，則可求得球的表面積．【詳解】取三棱錐過內(nèi)切球球心的截面，如圖所示：依題意得，底面的外接圓半徑為，解得；點(diǎn)到平面的距離為，所以，所以，設(shè)球的半徑為，所以，則，得，設(shè)球的半徑為，則，又，得，所以球的表面積為．故選：A．2．（2024·廣東深圳·二模）已知圓錐的內(nèi)切球半徑為1，底面半徑為，則該圓錐的表面積為．注：在圓錐內(nèi)部，且與底面和各母線均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的球，稱為圓錐的內(nèi)切球．【答案】【分析】借助過圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖求出圓錐的母線長，即可求出圓錐表面積.【詳解】由題過圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖如下：

設(shè)圓錐高為，母線長為，則在三角形中有，即①，又由得，即②，所以由①②得，所以圓錐的表面積為.故答案為：.3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，球的表面積和圓臺(tái)的側(cè)面積的比為，求球和圓臺(tái)的體積之比．【答案】【分析】法一、利用圓臺(tái)及球體的特征先作出軸截面，由勾股定理及直線與圓的位置關(guān)系結(jié)合幾何體的表面積、側(cè)面積、體積公式計(jì)算即可；法二、通過設(shè)角解三角形，利用三角函數(shù)表示線段長，根據(jù)幾何體的表面積、側(cè)面積、體積公式計(jì)算即可.【詳解】如圖，作軸截面，其中都是切點(diǎn)．

法一、設(shè)．由圓的切線的性質(zhì)可知，，，．，．，．法二、設(shè)，則，∴，，．．因此，．題型三：外接球公式法1．（2024·天津·二模）已知正方體的外接球的體積為，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由正方體的特征及球的體積公式可計(jì)算正方體棱長，再根據(jù)三棱錐的體積公式計(jì)算即可.【詳解】由題意可知正方體的外接球直徑為正方體的體對角線，所以，所以.故選：B2．（23-24高一下·浙江寧波·期中）已知是球O表面上不同的點(diǎn)，平面，，，，若球的體積為，則（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】由已知易得四點(diǎn)均為長寬高分別為三邊長的長方體的頂點(diǎn)，由長方體外接球的直徑等于長方體對角線，利用球的體積公式可得答案.【詳解】因?yàn)槠矫?，，所以四面體的外接球半徑等于以為長寬高的長方體的頂點(diǎn)的外接球，又球的體積為，即，所以，所以，所以.故選：B.題型四：外接球補(bǔ)型法1．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）把沿三條中位線折疊成四面體，其中，，，則四面體的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件分析四面體的結(jié)構(gòu)特征，由此考慮構(gòu)造長方體，結(jié)合長方體的外接球的半徑的與長寬高的關(guān)系結(jié)合條件求出，再由球的表面積公式求球的表面積即可.【詳解】如圖，記的中點(diǎn)分別為，因?yàn)椋?，，由中位線性質(zhì)可得，翻折后的四面體如圖：由翻折的性質(zhì)可得，所以四面體對棱相等，故可以考慮將四面體補(bǔ)形為長方體如下；四面體的外接球即長方體的外接球，設(shè)其外接球半徑為，，則，因?yàn)椋?，所以，所以四面體的外接球表面積，故選：D.2．（2024·黑龍江·二模）已知三棱錐的四個(gè)面是全等的等腰三角形，且，，則三棱錐的外接球半徑為；點(diǎn)為三棱錐的外接球球面上一動(dòng)點(diǎn)，時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為．【答案】/【分析】由三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，可擴(kuò)成長方體，利用長方體的外接球半徑得三棱錐的外接球半徑；由動(dòng)點(diǎn)的軌跡形狀，求長度.【詳解】三棱錐的四個(gè)面是全等的等腰三角形，且，，如圖所示，則有，，把三棱錐擴(kuò)成長方體，則有，解得，則長方體外接球半徑，所以三棱錐的外接球半徑；點(diǎn)為三棱錐的外接球球面上一動(dòng)點(diǎn)，時(shí)，由，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是半徑為的圓，軌跡長度為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：三組對棱分別相等的四面體(三棱錐)——補(bǔ)形為長方體(四面體的棱分別是長方體各面的對角線).題型五：外接球單面定球心法1．（2024·全國·模擬預(yù)測）在正三棱錐中，，，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征可求解高的長度，進(jìn)而根據(jù)勾股定理即可求解半徑，即可由表面積公式求解，或者利用空間直角坐標(biāo)系求解半徑.【詳解】方法一：如圖，取正三角形的中心為，連接，則三棱錐的外接球球心在上，連接.在正三角形中，，所以.在中，，所以.設(shè)外接球的半徑為，由，，解得，所以三棱錐的外接球表面積.故選:C.

方法二：在正三棱錐中，過點(diǎn)作底面于點(diǎn)，則為底面正三角形的中心，因?yàn)檎切蔚倪呴L為2，所以.因?yàn)椋?如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則，.設(shè)三棱錐的外接球球心為，半徑為.由，得，解得，所以，則三棱錐的外接球表面積.故選：C.2．（2024·四川涼山·二模）已知在三棱錐中，，，底面是邊長為1的正三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，證得平面，再確定三棱錐外接球球心，并求出球半徑及表面積.【詳解】在三棱錐中，，，正的邊長為1，則，即有，同理，而平面，于是平面，令正的外心為，三棱錐外接球球心為，則平面，顯然球心在線段的中垂面上，取的中點(diǎn)，則，而，則四邊形是矩形，，所以球半徑，表面積.故選：B3．（2024·浙江嘉興·二模）在四面體中，，且與所成的角為.若四面體的體積為，則它的外接球半徑的最小值為.【答案】3【分析】根據(jù)題意，將四面體補(bǔ)形為直三棱柱，設(shè)，由求得，在中，勾股定理得，由余弦定理可得，結(jié)合基本不等式求解.【詳解】依題意，可將四面體補(bǔ)形為如圖所示的直三棱柱，因?yàn)榕c所成的角為，所以或，設(shè)，外接球半徑記為，外接球的球心如圖點(diǎn).易知平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，，得，在中，，在中，由余弦定理得，所以當(dāng)時(shí)，外接球的半徑會(huì)更小.所以，所以，所以.故答案為：3.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是將求四面體補(bǔ)形為直三棱柱，轉(zhuǎn)化為求直三棱柱外接球半徑的最小值.題型六：外接球雙面定球心法1．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知長方體中，側(cè)面的面積為2，若在棱上存在一點(diǎn)，使得為等邊三角形，則四棱錐外接球表面積的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)幾何體的特征，確定四棱錐外接球的球心，結(jié)合長度和幾何關(guān)系，基本不等式確定半徑的最小值，即可求解.【詳解】如圖，由對稱性可知，點(diǎn)是的中點(diǎn)，設(shè)，則，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，由底面矩形的對角線的交點(diǎn)作底面的垂線，過等邊三角形的中心作平面的垂線，兩條垂線交于點(diǎn)，點(diǎn)是四棱錐外接球的球心，，，則，當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則的最小值為,所以四棱錐外接球表面積的最小值為.故答案為：2．（23-24高二上·江西九江·期中）如圖，是邊長為的正三角形的一條中位線，將沿翻折至，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，四棱錐外接球的表面積為；過靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)作球的截面，則所得截面圓面積的最小值是【答案】【分析】先判斷當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積最大，求得，再找出四棱錐外接球的球心，由勾股定理求得半徑，進(jìn)而得到表面積；當(dāng)垂直于截面圓時(shí)，截面圓半徑最小，面積最小即得答案.【詳解】第一空：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，在中，取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，則，由題意可知，、分別為、的中點(diǎn)，則，則，，翻折后，則有，所以二面角的平面角為，過點(diǎn)在平面內(nèi)作或其延長線上，因?yàn)?，，，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，則，又因?yàn)?，，、平面，所以平面，所以，且，則，當(dāng)為直角時(shí)，取最大值，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為定值，故當(dāng)為直角時(shí)，取最大值，此時(shí)，平面平面，故是邊長為的等邊三角形，因?yàn)?，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，則且，同理可得，則為四邊形的外心，設(shè)等邊的外心為點(diǎn)，過點(diǎn)作平面，因?yàn)槠矫?，則，過點(diǎn)作平面的垂線交于點(diǎn)，則為四棱錐的外接球球心，連接，則為球的一條半徑，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，則平面，因?yàn)槠矫妫瑒t，又因?yàn)槠矫妫瑒t，故四邊形為矩形，且，則，因?yàn)?，則，則，所以，所以球的表面積為；第二空：因?yàn)榈冗叺耐庑臑辄c(diǎn)，，則，，又，，則，當(dāng)過點(diǎn)的截面與垂直時(shí)，截面圓的半徑取最小值，且，因此，過的三等分點(diǎn)作球的截面，則所得截面圓面積的最小值是.故答案為：；.三、專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，且，，，，若該三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球的表面積等于（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)余弦定理求，結(jié)合正弦定理求解外接圓半徑，再根據(jù)三棱柱的外接球球半徑與三棱柱的高以及外接圓半徑的關(guān)系得出結(jié)果.【詳解】如圖所示，在中，，，，由余弦定理可得，所以，由正弦定理可得外接圓半徑，設(shè)此圓圓心為，球心為，在中，，易得球半徑，故此球的表面積為．故選：A．2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由是直角三角形得的中點(diǎn)是的外心，再由等腰三角形結(jié)合勾股定理得到平面，平面平面；結(jié)合是等邊三角形確定三棱錐外接球的位置，求得半徑，最后得到表面積.【詳解】如圖，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，由于，所以是的外心，.由于，是的中點(diǎn)，則，，，則，則.又，平面，所以平面.而平面，所以平面平面.由于是等邊三角形，設(shè)是的外心，則,又因?yàn)樵谏希?，則也是三棱錐外接球的球心．設(shè)外接球的半徑為，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知，所以外接球的表面積為.故選：D.3．（2024·四川瀘州·三模）已知圓錐的體積為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，由題意可得，可求得，，進(jìn)而可得軸截面是等邊三角形，求得等邊三角形的內(nèi)切圓的半徑即可求得圓錐的內(nèi)切球的表面積.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，母線長為，由題意可得，解得，所以母線長為，底面圓直徑為，可得圓錐的軸截面為等邊三角形，該等邊三角形內(nèi)切圓的半徑即為圓錐內(nèi)切球的半徑，由等邊三角形的性質(zhì)可得內(nèi)切球的半徑，所以圓錐內(nèi)切球的表面積為.故選：D.4．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）已知四面體ABCD的各頂點(diǎn)均在球的球面上，平面平面，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先找和的外接圓的圓心，過圓心分別作兩個(gè)三角形所在平面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)就是球心.【詳解】如圖，取BC的中點(diǎn)為E，BD的中點(diǎn)為，所以為的外心，連接AE，EF，設(shè)的外心為，因?yàn)椋礊榈冗吶切?，所以點(diǎn)在AE上，且設(shè)球心為，連接OG，OF，則平面平面BCD，因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD，所以，因?yàn)闉榈冗吶切?，為BC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD，平面平面，面，所以平面BCD，則，又平面BCD，所以，同理平面ABC，所以，故四邊形OGEF是矩形.由，可得，故，又，設(shè)球的半徑為，則，所以球的表面積.故選：C.5．（23-24高二下·湖南衡陽·階段練習(xí)）將一個(gè)母線長為，底面半徑為的圓錐木頭加工打磨成一個(gè)球狀零件，則能制作的最大零件的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】原問題可轉(zhuǎn)化為求該圓錐的內(nèi)切球表面積，由圓錐的結(jié)構(gòu)特征可得其內(nèi)切球的半徑與該圓錐過頂點(diǎn)與底面直徑的軸截面的內(nèi)切圓半徑相等，借助等面積法求出該半徑，結(jié)合球的表面積公式即可得.【詳解】原問題可轉(zhuǎn)化為求該圓錐的內(nèi)切球表面積，該內(nèi)切球的半徑與該圓錐過頂點(diǎn)與直徑的軸截面的內(nèi)切圓半徑相等，畫出該軸截面如圖，由母線長為，底面半徑為可得該圓錐的高，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則有，解得，即內(nèi)切球表面積為.故選：A.6．（2024·廣西·二模）已知軸截面為正方形的圓柱的體積與球的體積之比為，則圓柱的表面積與球的表面積之比為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)已知，結(jié)合圓柱和球的體積公式，可得圓柱底面圓半徑和球的半徑相等，再利用圓柱和球的表面積公式可解.【詳解】設(shè)圓柱底面圓半徑為，球的半徑為，則圓柱的高為，由，可得，所以圓柱的表面積與球的表面積之比為.故選：B7．（2024·廣東·二模）已知球與圓臺(tái)的上、下底面和側(cè)面均相切，且球與圓臺(tái)的體積之比為，則球與圓臺(tái)的表面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由球與圓臺(tái)的體積之比為，得到圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，球的半徑之間的關(guān)系，代入表面積公式化簡，即可得到答案.【詳解】

由題意，作出圓臺(tái)的軸截面，設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，球的半徑，則，過A作于點(diǎn)，由，得，化簡得，由球的體積公式，圓臺(tái)的體積公式，已知球與圓臺(tái)的體積之比為，則，化簡得，則，得，又球的表面