華東師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題攻略專題11模型構(gòu)建專題：相似三角形中的基本六大模型模型全攻略(原卷版+解析)

專題11模型構(gòu)建專題：相似三角形中的基本六大模型模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一（雙）A字型相似】 1【考點(diǎn)二（雙）8字型相似】 5【考點(diǎn)三母子型相似】 11【考點(diǎn)四手拉手型相似】 15【考點(diǎn)五K字型相似】 21【考點(diǎn)六三角形內(nèi)接矩形】 26【典型例題】【考點(diǎn)一（雙）A字型相似】【基本模型】①如圖，在中，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，，則，．②模型拓展1：斜交A字型條件：，圖2結(jié)論：；③模型拓展2：如圖，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?．例題：如圖，在中，點(diǎn)分別在上，且．（1）求證：；（2）若點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)，求證：．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，則△ADE與△ABC的面積之比為（

）A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：52．已知：D、E是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，AB＝8，AD＝3，AC＝6，AE＝4，求證：△ABC∽△AED．3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．【考點(diǎn)二（雙）8字型相似】【基本模型】①如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?；②如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?．③模型拓展：如圖，∠A＝∠C?△AJB∽△CJD?．例題：如圖，在平行四邊形中，為上一點(diǎn)，連接、，且、交于點(diǎn)，：：，則：（

）A．： B．： C．： D．：【變式訓(xùn)練】1.如圖，，，分別交于點(diǎn)G，H，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．2．如圖，一人站在兩等高的路燈之間走動(dòng)，為人在路燈照射下的影子，為人在路燈照射下的影子．當(dāng)人從點(diǎn)走向點(diǎn)時(shí)兩段影子之和的變化趨勢(shì)是（

）A．先變長(zhǎng)后變短 B．先變短后變長(zhǎng)C．不變 D．先變短后變長(zhǎng)再變短3．如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，CF交BE于點(diǎn)G，若，則___．4．圖，，點(diǎn)H在BC上，AC與BD交于點(diǎn)G，AB＝2，CD＝3，求GH的長(zhǎng)．5．如圖，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，連接AD，作BF⊥AD分別交AD于E，AC于F．（1）如圖1，若BD=BA，求證：△ABE≌△DBE；（2）如圖2，若BD=4DC，取AB的中點(diǎn)G，連接CG交AD于M，求證：①GM=2MC；②AG2=AF?AC．【考點(diǎn)三母子型相似】【基本模型】如圖為斜“A”字型基本圖形．當(dāng)時(shí)，，則有．．如圖所示，當(dāng)E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，為其常見(jiàn)的一個(gè)變形，即子母型．當(dāng)時(shí)，，則有．例題：如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，AD＝BD．(1)求證：△ABC∽△BDC．(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長(zhǎng)．2．如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．3.在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．（1）如圖（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的長(zhǎng)；（2）如圖（2），過(guò)點(diǎn)A分別作AC，BD的垂線，分別交BC，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)．①求證：∠ABC＝∠EAF；②求的值．【考點(diǎn)四手拉手型相似】【基本模型】①如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.[來(lái)源:Zxxk.Com]②如圖所示，和都是等腰直角三角形，的延長(zhǎng)線與相交于點(diǎn)P，則，且相似比為，與的夾角為．總結(jié)：旋轉(zhuǎn)相似型中由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形與由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、另一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形相似．③如圖所示，，則，，且．例題：如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，C，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一直線上，連接AF并延長(zhǎng)交邊CD于點(diǎn)M．（1）求證：△MFC∽△MCA；（2）求證△ACF∽△ABE；（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的邊長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練】1.如圖，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，則∠CAE的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．40° D．無(wú)法確定2．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)P為線段CA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段PD，連接DB，DC．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，求證：PA＝DC；（2）如圖2，當(dāng)α＝120°時(shí)，猜想PA和DC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．（3）當(dāng)α＝120°時(shí)，若AB＝6，BP＝，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D到CP的距離．【考點(diǎn)五K字型相似】【基本模型】(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點(diǎn)，則△ACE∽△ABC∽△CDE.補(bǔ)充：其他常見(jiàn)的一線三等角圖形例題：如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一點(diǎn)，使得AE⊥DE．(1)求證：△ABE∽△ECD；(2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練】1．如圖，已知四邊形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC邊上的一點(diǎn)，∠APD＝90°．（1）求證：；（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的長(zhǎng)．2.如圖，已知邊長(zhǎng)為10的正方形ABCD，E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（與B、C不重合），連結(jié)AE，G是BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AE的垂線交∠DCG的角平分線于點(diǎn)F，若FG⊥BG．（1）求證：△ABE∽△EGF；（2）若EC＝2，求△CEF的面積；（3）當(dāng)△CEF的面積最大時(shí)，求EC．3．（1）問(wèn)題如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求證：．（2）探究若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且，若，求CD的長(zhǎng)．【考點(diǎn)六三角形內(nèi)接矩形】【基本模型】由之前的基本模型（A型或AX型）推導(dǎo)出來(lái)的。結(jié)論：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，例題：如圖1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的頂點(diǎn)D、G分別在AB、AC上，EF在BC上．（1）求正方形DEFG的邊長(zhǎng)；（2）如圖2，在BC邊上放兩個(gè)小正方形DEFG、FGMN，則DE=．【變式訓(xùn)練】1．如圖，已知三角形鐵皮的邊，邊上的高，要剪出一個(gè)正方形鐵片，使、在上，、分別在、上，則正方形的邊長(zhǎng)．2.有一塊直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一個(gè)面積盡可能大的正方形桌面．甲、乙兩位同學(xué)的加工方法分別如圖1、圖2所示．請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明哪位同學(xué)的加工方法更好（加工損耗忽略不計(jì)）．

專題11模型構(gòu)建專題：相似三角形中的基本六大模型模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一（雙）A字型相似】 1【考點(diǎn)二（雙）8字型相似】 5【考點(diǎn)三母子型相似】 11【考點(diǎn)四手拉手型相似】 15【考點(diǎn)五K字型相似】 21【考點(diǎn)六三角形內(nèi)接矩形】 26【典型例題】【考點(diǎn)一（雙）A字型相似】【基本模型】①如圖，在中，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，，則，．②模型拓展1：斜交A字型條件：，圖2結(jié)論：；③模型拓展2：如圖，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?．例題：如圖，在中，點(diǎn)分別在上，且．（1）求證：；（2）若點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)，求證：．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【詳解】解：（1）在△AEF和△ABC中，∵，，∴△AEF∽△ABC；（2）∵△AEF∽△ABC，∴∠AEF=∠ABC，∴EF∥BC，∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴,，∴．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，則△ADE與△ABC的面積之比為（

）A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵AE=2，EC=3，∴AC=AE+EC=5，∵DEBC，∴△ADE∽△ABC，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．2．已知：D、E是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，AB＝8，AD＝3，AC＝6，AE＝4，求證：△ABC∽△AED．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)已知線段長(zhǎng)度求出，再根據(jù)∠A=∠A推出相似即可．【詳解】證明：在△ABC和△AED中，∵，，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定定理的應(yīng)用，注意：有兩邊的對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等的兩三角形相似．3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）見(jiàn)詳解【分析】（1）由題意易得，則有，進(jìn)而問(wèn)題可求證；（2）由（1）及題意可知，然后可得，進(jìn)而可證，最后問(wèn)題可求證．【詳解】解：（1）∵DEBC，∴，∵，∴，∴DFBE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，，AE=6，∵AB＝6，∴，∴，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二（雙）8字型相似】【基本模型】①如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?；②如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?．③模型拓展：如圖，∠A＝∠C?△AJB∽△CJD?．例題：如圖，在平行四邊形中，為上一點(diǎn)，連接、，且、交于點(diǎn)，：：，則：（

）A．： B．： C．： D．：【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到DCAB，DC=AB，得到△DFE△ABF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵E為上一點(diǎn)，∴∴，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.如圖，，，分別交于點(diǎn)G，H，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵AB∥CD，∴，∴A選項(xiàng)正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，∴△CEG∽△CDH，∴，∴，∵AB∥CD，∴，∴，∴，∴，∴B選項(xiàng)正確，不符合題目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AF=DE，∵AE∥DF，∴，∴；∴C選項(xiàng)正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴，∵AB＞FA，∴∴D選項(xiàng)不正確，符合題目要求．故選D．2．如圖，一人站在兩等高的路燈之間走動(dòng)，為人在路燈照射下的影子，為人在路燈照射下的影子．當(dāng)人從點(diǎn)走向點(diǎn)時(shí)兩段影子之和的變化趨勢(shì)是（

）A．先變長(zhǎng)后變短 B．先變短后變長(zhǎng)C．不變 D．先變短后變長(zhǎng)再變短【答案】C【詳解】解：連接DF，已知CD=EF，CD⊥EG,EF⊥EG,∴四邊形CDFE為矩形.∴DF∥GH,∴又AB∥CD，∴.設(shè)=a，DF=b,∴,∴∴∴GH=，∵a,b的長(zhǎng)是定值不變，∴當(dāng)人從點(diǎn)走向點(diǎn)時(shí)兩段影子之和不變．故選：C.3．如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，CF交BE于點(diǎn)G，若，則___．【答案】2【分析】延長(zhǎng)CF、BA交于M，根據(jù)已知條件得出EF＝AF，CE＝DC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DC∥AB，DC＝AB，根據(jù)全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根據(jù)相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再求出答案即可．【詳解】解：延長(zhǎng)CF、BA交于M，∵E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，∴EF＝AF，CE＝DC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴CE＝AB，∠ECF＝∠M，在△CEF和△MAF中，∴△CEF≌△MAF（AAS），∴CE＝AM，∵CE＝AB，∴BM＝3CE，∵DC∥AB，∴△CEG∽△MBG，∴，∵BE＝8，∴，解得：GE＝2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．4．圖，，點(diǎn)H在BC上，AC與BD交于點(diǎn)G，AB＝2，CD＝3，求GH的長(zhǎng)．【答案】【詳解】解：∵，∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，∴△CGH∽△CAB，∴，∵，∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB，△BGH∽△BDC，∴，∴，∵AB=2，CD=3，∴，解得：GH=．5．如圖，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，連接AD，作BF⊥AD分別交AD于E，AC于F．（1）如圖1，若BD=BA，求證：△ABE≌△DBE；（2）如圖2，若BD=4DC，取AB的中點(diǎn)G，連接CG交AD于M，求證：①GM=2MC；②AG2=AF?AC．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析【詳解】（1）BF⊥AD，在和中，∵，∴；（2）①過(guò)G作GH∥AD交BC于H，∵AG=BG，∴BH=DH，∵BD=4DC，設(shè)DC=k，BD=4k，∴BH=DH=2k，∵GH∥AD，∴，∴GM=2MC；②過(guò)C作CN⊥AC交AD的延長(zhǎng)線于N，則CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴，由①知GM=2MC，∴2NC=AG，∵∠BAC=∠AEB=90°，∴，∴△ACN∽△BAF，∴，∵AB=AG，∴，∴2CN?AG=AF?AC，∴AG2=AF?AC．【考點(diǎn)三母子型相似】【基本模型】如圖為斜“A”字型基本圖形．當(dāng)時(shí)，，則有．．如圖所示，當(dāng)E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，為其常見(jiàn)的一個(gè)變形，即子母型．當(dāng)時(shí)，，則有．例題：如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，AD＝BD．(1)求證：△ABC∽△BDC．(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)4．【分析】（1）先證明∠A＝∠DBA，進(jìn)而得到∠A＝∠CBD，再根據(jù)∠C＝∠C，即可證明△ABC∽△BDC；（2）根據(jù)∠C＝90°得到∠A＋∠ABC＝90°，根據(jù)（1）得到∠A=∠ABD＝∠CBD，即可求出∠A＝30°，即可求出AB＝4．（1）證明：如圖，∵AD＝BD，∴∠A＝∠DBA，∵BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，∴∠CBD＝∠DBA，∴∠A＝∠CBD，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC；（2）解：如圖，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，由（1）得∴∠A=∠ABD＝∠CBD，∴∠A＋∠ABD＋∠CBD＝3∠A＝90°，∴∠A＝30°，∵BC＝2，∴AB＝4．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的證明和直角三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵，第（2）步中求出∠A＝30°是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，即可得出（2）由得，，推出，由相似三角形的性質(zhì)得，即可求出CD的長(zhǎng)．【詳解】（1）∵，，∴；（2）∵，∴，，∴，∴，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，進(jìn)而求出，再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可；（2）由可證，進(jìn)而得出，再由（1）可證，由此即可得出線段之間關(guān)系．【詳解】（1）證明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中線，，，即：，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及重心的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵．3.在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．（1）如圖（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的長(zhǎng)；（2）如圖（2），過(guò)點(diǎn)A分別作AC，BD的垂線，分別交BC，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)．①求證：∠ABC＝∠EAF；②求的值．【答案】（1）AD＝；（2）①見(jiàn)解析；②．【詳解】（1）∵∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ACB.又∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴，即，∴AD＝（2）①證明：∵AE⊥AC，AF⊥BD，∴∠AFB＝∠EAC＝90°.又∵∠ABF＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴∠BAF＝∠CEA.∵∠BAF＝∠BAE＋∠EAF，∠AEC＝∠ABC＋∠BAE，∴∠ABC＝∠EAP.②如圖，取CE的中點(diǎn)M，連接AM.在Rt△ACE中，AM＝CE，∠AME＝2∠C.∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠AME，∴AM＝AB，∴．【考點(diǎn)四手拉手型相似】【基本模型】①如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.[來(lái)源:Zxxk.Com]②如圖所示，和都是等腰直角三角形，的延長(zhǎng)線與相交于點(diǎn)P，則，且相似比為，與的夾角為．總結(jié)：旋轉(zhuǎn)相似型中由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形與由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、另一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形相似．③如圖所示，，則，，且．例題：如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，C，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一直線上，連接AF并延長(zhǎng)交邊CD于點(diǎn)M．（1）求證：△MFC∽△MCA；（2）求證△ACF∽△ABE；（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的邊長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．【詳解】解：（1）四邊形是正方形，四邊形是正方形，，，，，；（2）四邊形是正方形，，，，同理可得，，，，；（3），，，，，，即，，，，即正方形的邊長(zhǎng)為．【變式訓(xùn)練】1.如圖，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，則∠CAE的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．40° D．無(wú)法確定【答案】B【解答】ACAE=23，ABAD=∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠CAE＝∠BAD＝20°，故選：B．2．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)P為線段CA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段PD，連接DB，DC．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，求證：PA＝DC；（2）如圖2，當(dāng)α＝120°時(shí)，猜想PA和DC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．（3）當(dāng)α＝120°時(shí)，若AB＝6，BP＝，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D到CP的距離．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）或【分析】（1）當(dāng)α＝60°時(shí)，△ABC和△PBD為等邊三角形，根據(jù)三角形全等即可求證；（2）過(guò)點(diǎn)作，求得，根據(jù)題意可得，可得，再根據(jù)，判定，得到，即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)在線段或當(dāng)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)α＝60°時(shí)，∵AB＝AC∴△ABC為等邊三角形，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴△PBD為等邊三角形∴，∴在和中∴∴（2）過(guò)點(diǎn)作，如下圖：∵當(dāng)α＝120°時(shí)，∴，∴由勾股定理得∴∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴，又∵∴又∵，∴∴∴∴（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則點(diǎn)D到CP的距離就是的長(zhǎng)度當(dāng)在線段上時(shí)，如下圖：由題意可得：∵α＝120°，∴在中，，∴，在中，，，∴∴，由（2）得由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：設(shè)，則由勾股定理可得：即，解得則當(dāng)在線段延長(zhǎng)線上，如下圖：則，由（2）得，設(shè)，則由勾股定理可得：即，解得則綜上所述：點(diǎn)D到CP的距離為或【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，綜合性比較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五K字型相似】【基本模型】(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點(diǎn)，則△ACE∽△ABC∽△CDE.補(bǔ)充：其他常見(jiàn)的一線三等角圖形例題：如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一點(diǎn)，使得AE⊥DE．(1)求證：△ABE∽△ECD；(2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）CD＝．【詳解】(1)證明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，∴∠BAE＝∠DEC，∴△ABE∽△ECD.(2)在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，∴BE＝3，∴EC＝BC－BE＝5－3＝2，∵△ABE∽△ECD，∴，∴，∴CD＝.【變式訓(xùn)練】1．如圖，已知四邊形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC邊上的一點(diǎn)，∠APD＝90°．（1）求證：；（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）8．【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的兩銳角互余、角的和差可得，再根據(jù)相似三角形的判定即可得證；（2）先利用勾股定理求出PC的長(zhǎng)，從而可得BP的長(zhǎng)，再利用相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】（1），，，在和中，，；（2）在中，，，，，由（1）已證：，，即，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2.如圖，已知邊長(zhǎng)為10的正方形ABCD，E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（與B、C不重合），連結(jié)AE，G是BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AE的垂線交∠DCG的角平分線于點(diǎn)F，若FG⊥BG．（1）求證：△ABE∽△EGF；（2）若EC＝2，求△CEF的面積；（3）當(dāng)△CEF的面積最大時(shí)，求EC．【答案】（1）見(jiàn)解析.（2）8.（3）EC=5.【詳解】解：（1）四邊形是正方形，，，，，，，；（2），，，，，由（1）知，，，，，；（3）設(shè)，則，，由（1）知，，，，，，當(dāng)時(shí)，．3．（1）問(wèn)題如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求證：．（2）探究若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且，若，求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（3）先證△ABD△DFE，求出DF=4，再證△EFC△DEC，可求FC＝1，進(jìn)而解答即可．【詳解】（1）證明：如題圖1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠A