華東師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題攻略專(zhuān)題10比例性質(zhì)、黃金分割、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例壓軸題六種模型全攻略(原卷版+解析)

專(zhuān)題10比例性質(zhì)、黃金分割、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一比例的性質(zhì)之等比性質(zhì)】 1【考點(diǎn)二利用黃金分割求線(xiàn)段的長(zhǎng)】 3【考點(diǎn)三與黃金分割有關(guān)的證明】 5【考點(diǎn)四由平行判斷成比例的線(xiàn)段】 9【考點(diǎn)五由平行截線(xiàn)求相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)或比值】 11【考點(diǎn)六構(gòu)造平行線(xiàn)截線(xiàn)求相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)或比值】 14【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 17【典型例題】【考點(diǎn)一比例的性質(zhì)之等比性質(zhì)】例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）若，求的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·遼寧遼陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，則．2．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）已知，且，若，則．3．（2022秋·安徽馬鞍山·九年級(jí)安徽省馬鞍山市第七中學(xué)校考期中）已知，求的值．【考點(diǎn)二利用黃金分割求線(xiàn)段的長(zhǎng)】例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）點(diǎn)P是長(zhǎng)度為10的線(xiàn)段上的黃金分割點(diǎn)，則較短線(xiàn)段的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·黑龍江大慶·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）在長(zhǎng)度為1的線(xiàn)段上有一點(diǎn)P．滿(mǎn)足，則長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．如圖（1），點(diǎn)把線(xiàn)段分成兩部分，如果，那么稱(chēng)點(diǎn)是線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)．如圖（2），點(diǎn)分別是線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，（），若，則的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)三與黃金分割有關(guān)的證明】例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）中，D是上一點(diǎn)，若，則稱(chēng)為的黃金分割線(xiàn)．(1)求證：若為的黃金分割線(xiàn)，則D是的黃金分割點(diǎn)；(2)若，求的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，以長(zhǎng)為2的定線(xiàn)段為邊作正方形，取的中點(diǎn)P，連接，在的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)F，使，以AF為邊作正方形，點(diǎn)M在上．(1)求的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)M是的黃金分割點(diǎn)嗎？為什么？2．（2023秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：黃金分割：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯（Eudoxus，約前408年一前355年）發(fā)現(xiàn)：如圖1，將一條線(xiàn)段AB分割成長(zhǎng)、短兩條線(xiàn)段AP、PB，若短段與長(zhǎng)段的長(zhǎng)度之比等于長(zhǎng)段的長(zhǎng)度與全長(zhǎng)之比，即（此時(shí)線(xiàn)段AP叫做線(xiàn)段PB，AB的比例中項(xiàng)），則可得出這一比值等于（0.618…）．這種分割稱(chēng)為黃金分割，這個(gè)比值稱(chēng)為黃金比，點(diǎn)P叫做線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)．采用如下方法可以得到黃金分割點(diǎn)：如圖2，設(shè)AB是已知線(xiàn)段，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB于點(diǎn)B，且使BD＝AB，連接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)．任務(wù)：（1）求證：C是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)．（2）若BD＝1，則BC的長(zhǎng)為．【考點(diǎn)四由平行判斷成比例的線(xiàn)段】例題：（2023春·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，，，則下列比例式中正確的是（）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形中，E是上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A． B． C． D．2．（2023秋·廣東佛山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線(xiàn)，分別交直線(xiàn)m、n于點(diǎn)A、C、E、B、D、F，下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)五由平行截線(xiàn)求相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)或比值】例題：（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，、相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、上，，如果，，，，那么．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇南京·南師附中樹(shù)人學(xué)校?？既＃┤鐖D，已知直線(xiàn)，如果，，那么線(xiàn)段的長(zhǎng)是．

2．（2023秋·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)分別在的邊上，且，過(guò)點(diǎn)作，分別交、的平分線(xiàn)于點(diǎn)．若，平分線(xiàn)段，則．【考點(diǎn)六構(gòu)造平行線(xiàn)截線(xiàn)求相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)或比值】例題：（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段上，的延長(zhǎng)線(xiàn)交邊于點(diǎn)F，若，，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為．

【變式訓(xùn)練】1．（2023·四川成都·一模）如圖，點(diǎn)D、E是邊上的點(diǎn)，，連接，交點(diǎn)為F，，那么的值是．2．（2021春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)東北育才雙語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在中，，，與相交于點(diǎn)，則.【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，五線(xiàn)譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線(xiàn)組成的，同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線(xiàn)上．若線(xiàn)段，則線(xiàn)段的長(zhǎng)是（

）

A． B．2 C． D．52．（2023·浙江·一模）如圖，菱形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，垂直交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，若，，則菱形的邊長(zhǎng)是（

）

A． B． C．5 D．63．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考二模）如圖，在中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（

）

A．3 B．4 C．5 D．4．（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線(xiàn)段的“中末比”問(wèn)題：點(diǎn)將一線(xiàn)段分為兩線(xiàn)段，，使得其中較長(zhǎng)的一段是全長(zhǎng)與較短的一段的比例中項(xiàng)，把點(diǎn)稱(chēng)為線(xiàn)段的“黃金分割”點(diǎn)，如圖，在中，已知，,若，是邊的兩個(gè)“黃金分割”點(diǎn)，則的面積為（

）

A． B． C． D．二、填空題5．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考二模）如圖，在中，平分，交于點(diǎn)，若，，則為．

6．（2023·山西晉中·山西省平遙中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形中，連接，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于．若，，則為．7．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比（即），可以增加視覺(jué)美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為的雕像，則該雕像的下部高度應(yīng)設(shè)計(jì)為．（結(jié)果保留根號(hào)）8．（2023春·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，平分，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，且是的中點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為．

三、解答題9．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）如圖，在中，點(diǎn)D在線(xiàn)段上，，，，，求的長(zhǎng)．

10．（2023·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）已知，，求的值．（2）已知，求的值．11．（2023·山西太原·山西大附中?？级＃┮阎堑冗吶切?，D是直線(xiàn)上的一點(diǎn)．(1)問(wèn)題背景：如圖1，點(diǎn)D，E分別在邊，上，且，與交于點(diǎn)，求證：；(2)點(diǎn)G，H分別在邊，上，與交于點(diǎn)，且．①?lài)L試運(yùn)用：如圖2，點(diǎn)D在邊上，且，求的值；②類(lèi)比拓展：如圖3，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，直接寫(xiě)出的值．12．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考三模）小明在學(xué)習(xí)角平分線(xiàn)知識(shí)的過(guò)程中，做了進(jìn)一步探究：如圖，在中，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)．小明想通過(guò)證明來(lái)驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論．

證明：延長(zhǎng)至，使得，請(qǐng)你完成上述證明過(guò)程：結(jié)論應(yīng)用：已知在中，，，邊上有一動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．(1)如圖2，當(dāng)，，求的值．(2)如圖3，當(dāng)，與的邊垂直時(shí)，求的值．

13．（2022春·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)一寬與長(zhǎng)的比是的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱(chēng)的美感．世界各國(guó)許多著名的建筑，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)．在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小紅按如下步驟折疊出一個(gè)矩形：第一步，在一張矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個(gè)正方形ABCD，然后把紙片展平；第二步，如圖②，把這個(gè)正方形ABCD對(duì)折成兩個(gè)完全重合的矩形，再把紙片展平；第三步，如圖③，折出內(nèi)側(cè)矩形EFBC的對(duì)角線(xiàn)CF，并把CF折到圖中所示FN處；第四步，如圖④，展平紙片，按照點(diǎn)N折出NM，得到矩形BNMC．若，請(qǐng)證明矩形BNMC是黃金矩形．（2）數(shù)學(xué)活動(dòng)二如圖⑤，點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，且滿(mǎn)足，即，此時(shí)，我們說(shuō)點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，且通過(guò)計(jì)算可得．小紅發(fā)現(xiàn)還可以從活動(dòng)一的第三步開(kāi)始修改折疊方式，如圖⑥，折出右側(cè)矩形EFBC的對(duì)角線(xiàn)EB，把AB邊沿BG折疊，使得A點(diǎn)落在對(duì)角線(xiàn)BE上的K點(diǎn)處，若，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明G點(diǎn)是AD的黃金分割點(diǎn)．

專(zhuān)題10比例性質(zhì)、黃金分割、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一比例的性質(zhì)之等比性質(zhì)】 1【考點(diǎn)二利用黃金分割求線(xiàn)段的長(zhǎng)】 3【考點(diǎn)三與黃金分割有關(guān)的證明】 5【考點(diǎn)四由平行判斷成比例的線(xiàn)段】 9【考點(diǎn)五由平行截線(xiàn)求相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)或比值】 11【考點(diǎn)六構(gòu)造平行線(xiàn)截線(xiàn)求相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)或比值】 14【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 17【典型例題】【考點(diǎn)一比例的性質(zhì)之等比性質(zhì)】例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）若，求的值．【答案】6或【分析】分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求出m的值即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，根據(jù)比例的等比性可得：；當(dāng)時(shí)，可得，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查比例的等比性質(zhì)，但需要注意對(duì)式子用等比性時(shí)一定要注意根據(jù)分母是否為0進(jìn)行分類(lèi)討論．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·遼寧遼陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，則．【答案】【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，設(shè)，進(jìn)而得出，代入代數(shù)式即可求解．【詳解】解：設(shè)，∴∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）已知，且，若，則．【答案】5【分析】根據(jù)已知條件求出，根據(jù)得出，再求出答案即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，等式兩邊都除以2，得，故答案為：5【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼馐墙獯祟}的關(guān)鍵．3．（2022秋·安徽馬鞍山·九年級(jí)安徽省馬鞍山市第七中學(xué)?？计谥校┮阎?，求的值．【答案】8或【分析】觀察與發(fā)現(xiàn)，后者是通過(guò)前者相乘得來(lái)，那么只要找出的值解出，因此設(shè)通過(guò)變換化為那么可能是或?qū)@兩種情況分別討論；【詳解】設(shè)則即所以或當(dāng)時(shí)，則同理所以當(dāng)時(shí)，所以故答案為8或-1【點(diǎn)睛】做好本題的關(guān)鍵是找出a、b、c三個(gè)變量間的關(guān)系，因而假設(shè)做到這步已經(jīng)成功了一半，因而同學(xué)們?cè)诮忸}中一定要仔細(xì)觀察已知與結(jié)論找出其存在或隱含的關(guān)系【考點(diǎn)二利用黃金分割求線(xiàn)段的長(zhǎng)】例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）點(diǎn)P是長(zhǎng)度為10的線(xiàn)段上的黃金分割點(diǎn)，則較短線(xiàn)段的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)黃金分割的定義即把一條線(xiàn)段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線(xiàn)段為全線(xiàn)段與較短線(xiàn)段的比例中項(xiàng)，這樣的線(xiàn)段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比，分別進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：點(diǎn)P是長(zhǎng)度為10的線(xiàn)段上的黃金分割點(diǎn)，∴較長(zhǎng)的線(xiàn)段的長(zhǎng)度為，則較短的線(xiàn)段的長(zhǎng)度為：；故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了黃金分割，熟記黃金分割的公式：較短的線(xiàn)段原線(xiàn)段的，較長(zhǎng)的線(xiàn)段原線(xiàn)段的是本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·黑龍江大慶·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）在長(zhǎng)度為1的線(xiàn)段上有一點(diǎn)P．滿(mǎn)足，則長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知是較長(zhǎng)線(xiàn)段，代入數(shù)據(jù)即可得出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)度．【詳解】解：是線(xiàn)段上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，為線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，且是較長(zhǎng)線(xiàn)段，，．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的概念：如果一個(gè)點(diǎn)把一條線(xiàn)段分成兩條線(xiàn)段，并且較長(zhǎng)線(xiàn)段是較短線(xiàn)段和整個(gè)線(xiàn)段的比例中項(xiàng)，那么就說(shuō)這個(gè)點(diǎn)把這條線(xiàn)段黃金分割，這個(gè)點(diǎn)叫這條線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)．2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．如圖（1），點(diǎn)把線(xiàn)段分成兩部分，如果，那么稱(chēng)點(diǎn)是線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)．如圖（2），點(diǎn)分別是線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，（），若，則的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題中黃金分割點(diǎn)定義，在圖（1）中令，設(shè)，，即，解得，從而，得到黃金分割比由點(diǎn)分別是線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，可知，，，則，，，根據(jù)，代入求解即可得到，，．【詳解】解：如圖（1），點(diǎn)把線(xiàn)段分成兩部分，如果，那么稱(chēng)點(diǎn)是線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，令，設(shè)，則，則由，代值得，解得，，，點(diǎn)分別是線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，，，，，，，將，代入求解即可得到，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題查處黃金分割點(diǎn)定義，涉及黃金分割比求解及利用黃金分割比求線(xiàn)段長(zhǎng)，讀懂題意，理解黃金分割點(diǎn)定義得到比例是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三與黃金分割有關(guān)的證明】例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）中，D是上一點(diǎn)，若，則稱(chēng)為的黃金分割線(xiàn)．(1)求證：若為的黃金分割線(xiàn)，則D是的黃金分割點(diǎn)；(2)若，求的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先由等高的兩個(gè)三角形面積之比等于底之比，可得，，又因?yàn)椋攘看鷵Q得出，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義即可證明D是的黃金分割點(diǎn)；（2）由（1）知，那么，，又等高的兩個(gè)三角形面積之比等于底之比，將代入，即可求出的面積．【詳解】（1）證明：∵，，又∵，∴，∴D是的黃金分割點(diǎn)；（2）解：由（1）知，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的概念：把一條線(xiàn)段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線(xiàn)段為全線(xiàn)段與較短線(xiàn)段的比例中項(xiàng)，這樣的線(xiàn)段分割叫做黃金分割，他們的比值（）叫做黃金比．也考查了三角形的面積．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，以長(zhǎng)為2的定線(xiàn)段為邊作正方形，取的中點(diǎn)P，連接，在的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)F，使，以AF為邊作正方形，點(diǎn)M在上．(1)求的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)M是的黃金分割點(diǎn)嗎？為什么？【答案】(1)的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為；(2)點(diǎn)M是的黃金分割點(diǎn)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）要求AM的長(zhǎng)，只需求得AF的長(zhǎng)，又，，則；（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)得：，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念，則點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)．【詳解】（1）在中，，由勾股定理知∶，∴，；故的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為；（2）點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)．∵，∴點(diǎn)M是的黃金分割點(diǎn)．【點(diǎn)睛】此題綜合考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理和黃金分割的概念．先求得線(xiàn)段的長(zhǎng)，然后求得線(xiàn)段和之間的比，根據(jù)黃金分割的概念進(jìn)行判斷．2．（2023秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：黃金分割：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯（Eudoxus，約前408年一前355年）發(fā)現(xiàn)：如圖1，將一條線(xiàn)段AB分割成長(zhǎng)、短兩條線(xiàn)段AP、PB，若短段與長(zhǎng)段的長(zhǎng)度之比等于長(zhǎng)段的長(zhǎng)度與全長(zhǎng)之比，即（此時(shí)線(xiàn)段AP叫做線(xiàn)段PB，AB的比例中項(xiàng)），則可得出這一比值等于（0.618…）．這種分割稱(chēng)為黃金分割，這個(gè)比值稱(chēng)為黃金比，點(diǎn)P叫做線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)．采用如下方法可以得到黃金分割點(diǎn)：如圖2，設(shè)AB是已知線(xiàn)段，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB于點(diǎn)B，且使BD＝AB，連接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)．任務(wù)：（1）求證：C是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)．（2）若BD＝1，則BC的長(zhǎng)為．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）在直角三角形△ABD中設(shè)則，利用勾股定理求出，再求出，即，則，即可得出結(jié)論；（2）若BD＝1，則，把AB代入到即可求出AC，進(jìn)而可求出BC．【詳解】解：（1）∵BD⊥AB，∴△ABD是直角三角形，∵BD＝AB，∴設(shè)則，∴，∵DE＝DB，AC＝AE，∴，∴∴，∴，故C是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)．（2）若BD＝1，則，由（1）知，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割、勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是正確理解題意，掌握黃金分割的定義．【考點(diǎn)四由平行判斷成比例的線(xiàn)段】例題：（2023春·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，，，則下列比例式中正確的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例判斷各項(xiàng)即可．【詳解】解：A．由，得，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．由，得，又由，得，則，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確；C．由，得，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，兩條直線(xiàn)被一組平行線(xiàn)所截，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例，平行于三角形一邊的直線(xiàn)與其他兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例．【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形中，E是上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，，，利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．∵四邊形為平行四邊形，∴，，，，∵，∴，∵，∴，故A正確，不符合題意；B．∵，∴，∵，∴，故B正確，不符合題意；C．∵，∴，故C正確，不符合題意；D．∵，∴，即，∵，∴，∴，故D錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理．2．（2023秋·廣東佛山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線(xiàn)，分別交直線(xiàn)m、n于點(diǎn)A、C、E、B、D、F，下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理解決問(wèn)題即可．【詳解】解：，，，，；∴選項(xiàng)A、C、D正確，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，熟練運(yùn)用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五由平行截線(xiàn)求相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)或比值】例題：（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，、相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、上，，如果，，，，那么．【答案】10【分析】利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理即可解決問(wèn)題．【詳解】解：，，，，，，，，．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇南京·南師附中樹(shù)人學(xué)校?？既＃┤鐖D，已知直線(xiàn)，如果，，那么線(xiàn)段的長(zhǎng)是．

【答案】6【分析】由平行線(xiàn)所截線(xiàn)段對(duì)應(yīng)成比例可知，然后代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線(xiàn)所截線(xiàn)段對(duì)應(yīng)成比例，熟練掌握比例線(xiàn)段的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)分別在的邊上，且，過(guò)點(diǎn)作，分別交、的平分線(xiàn)于點(diǎn)．若，平分線(xiàn)段，則．【答案】//【分析】設(shè)、交于點(diǎn)，結(jié)合可得；由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理可得，即有，再證明，進(jìn)一步可得，易知，可得，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，設(shè)、交于點(diǎn)，∵，平分線(xiàn)段，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理、平行線(xiàn)的判定、角平分線(xiàn)的定義等知識(shí)，熟練運(yùn)用平行線(xiàn)分線(xiàn)段定理是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)六構(gòu)造平行線(xiàn)截線(xiàn)求相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)或比值】例題：（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段上，的延長(zhǎng)線(xiàn)交邊于點(diǎn)F，若，，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得，求得，再結(jié)合中點(diǎn)進(jìn)一步可得，從而得到答案．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)；則；而，，；為邊的中點(diǎn)，，，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，正確構(gòu)造平行線(xiàn)是解決此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·四川成都·一模）如圖，點(diǎn)D、E是邊上的點(diǎn)，，連接，交點(diǎn)為F，，那么的值是．【答案】/【分析】過(guò)作，交于，依據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，即可得到，，進(jìn)而可得的值．【詳解】解：如圖所示，過(guò)作，交于，則，即：，，，即：，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)），所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例．靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2021春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)東北育才雙語(yǔ)學(xué)校校考期中）如圖，在中，，，與相交于點(diǎn)，則.【答案】【分析】先過(guò)E作，交于G，再作交于H，由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的推論，再結(jié)合已知條件，可分別求出和的值，相加即可．【詳解】解：作交于，作交于，如圖所示：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，五線(xiàn)譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線(xiàn)組成的，同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線(xiàn)上．若線(xiàn)段，則線(xiàn)段的長(zhǎng)是（

）

A． B．2 C． D．5【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)A作平行橫線(xiàn)的垂線(xiàn)，交點(diǎn)B所在的平行橫線(xiàn)于D，交點(diǎn)C所在平行橫線(xiàn)于E，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，列出比例式，計(jì)算即可得解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作平行橫線(xiàn)的垂線(xiàn)，交點(diǎn)B所在的平行橫線(xiàn)于D，交點(diǎn)C所在平行橫線(xiàn)于E，

，五線(xiàn)譜是由等距離的五條平行橫線(xiàn)組成的，，，解得，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，熟練掌握并靈活運(yùn)用該定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線(xiàn)段是解答此題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江·一模）如圖，菱形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，垂直交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，若，，則菱形的邊長(zhǎng)是（

）

A． B． C．5 D．6【答案】D【分析】過(guò)C作延長(zhǎng)線(xiàn)于M，根據(jù)，設(shè)，由菱形的性質(zhì)表示出，由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例表示出，根據(jù)勾股定理列方程計(jì)算即可．【詳解】解：過(guò)C作延長(zhǎng)線(xiàn)于M，

∵，∴設(shè)，∴，∵點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，∴，∵菱形，∴，∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，即，∴，∴，在中，，∴，解得或（舍去），∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理，關(guān)鍵在于熟悉各個(gè)知識(shí)點(diǎn)在本題的靈活運(yùn)用．屬于拔高題．3．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考二模）如圖，在中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（

）

A．3 B．4 C．5 D．【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)D作交于H，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得到計(jì)算即可.【詳解】過(guò)點(diǎn)D作交于H,

則，，∵,∴,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.4．（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線(xiàn)段的“中末比”問(wèn)題：點(diǎn)將一線(xiàn)段分為兩線(xiàn)段，，使得其中較長(zhǎng)的一段是全長(zhǎng)與較短的一段的比例中項(xiàng)，把點(diǎn)稱(chēng)為線(xiàn)段的“黃金分割”點(diǎn)，如圖，在中，已知，,若，是邊的兩個(gè)“黃金分割”點(diǎn)，則的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】作于，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，則根據(jù)勾股定理可計(jì)算出，接著根據(jù)線(xiàn)段的“黃金分割”點(diǎn)的定義求得，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：作于，如圖：

∵，∴，在中，，∵，是邊的兩個(gè)“黃金分割”點(diǎn)，∴，故，∴，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了“黃金分割比”的定義，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積公式，求出和的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．二、填空題5．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考二模）如圖，在中，平分，交于點(diǎn)，若，，則為．

【答案】【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)的定義及平行線(xiàn)的性質(zhì)得到，再根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例得到即可解答．【詳解】解：∵平分，∴，∵交于點(diǎn)，∴，∴，∵交于點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的定義，平行線(xiàn)的性質(zhì)，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，掌握平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例是解題的關(guān)鍵．6．（2023·山西晉中·山西省平遙中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形中，連接，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于．若，，則為．【答案】【分析】可求，設(shè)，，從而可求，，即可求解．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，設(shè)，，，，，，，，，，，．故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊行的性質(zhì)，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，用輔助未知數(shù)解決問(wèn)題，掌握性質(zhì)，會(huì)用輔助未知數(shù)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比（即），可以增加視覺(jué)美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為的雕像，則該雕像的下部高度應(yīng)設(shè)計(jì)為．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【分析】雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比（即），，設(shè)，根據(jù)比例即可求解．【詳解】解：∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比等于下部與全部的高度比，∴設(shè)，則，∴，解分式方程得，（舍去）或，檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，原分式方程有意義，∴，即，∴，∴該雕像的下部設(shè)計(jì)高度為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查比例，解比例方程，理解題意，掌握比例的性質(zhì)，解比例方程是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，平分，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，且是的中點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】作交于點(diǎn)，由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理可證，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：作交于點(diǎn)，

，．是的中點(diǎn)，，，．，．平分，．，在與中，，，，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，三角形的中位線(xiàn)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理等知識(shí)，證明是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題9．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）如圖，在中，點(diǎn)D在線(xiàn)段上，，，，，求的長(zhǎng)．

【答案】3【分析】過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，由等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得，由平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理可得，再結(jié)合可得，最后將代入即可解答．【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．

，；又，，

，

．，

．又，

．．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理是解答本題的關(guān)鍵．10．（2023·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）已知，，求的值．（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）或【分析】（1）設(shè)，將x、y、z都用k表示，再將其代入即可解答；（2）根據(jù)比例得基本性質(zhì)可得，，，聯(lián)立相加后進(jìn)行分類(lèi)討論即可．【詳解】解（1）設(shè)，則，，，．（2）∵，∴，，，聯(lián)立得：，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∴或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例得基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握比例的各個(gè)基本性質(zhì)：內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積，合比性質(zhì)，分比性質(zhì)以及等比性質(zhì)．11．（2023·山西太原·山西大附中校考二模）已知是等邊三角形，D是直線(xiàn)上的一點(diǎn)．(1)問(wèn)題背景：如圖1，點(diǎn)D，E分別在邊，上，且，與交于點(diǎn)，求證：；(2)點(diǎn)G，H分別在邊，上，與交于點(diǎn)，且．①?lài)L試運(yùn)用：如圖2，點(diǎn)D在邊上，且，求的值；②類(lèi)比拓展：如圖3，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①3；②或【分析】（1）利用證明，再由等量代換證明；（2）①在上截取，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由（1）可知，則，再由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得，即設(shè)，，則，由，可得，，從而得到等式，求出，即可求；②延長(zhǎng)至，使，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由（1）可知，則，可得，設(shè)，，則，可知，再由，分別得到，，從而得到方程，求出或，即可求或．【詳解】（1）解：證明：是等邊三角形，，，，，，；（2）①在上截取，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由（1）可知，，，，，，，，設(shè)，，則，，，即，，，，，解得或（舍），；②延長(zhǎng)至，使，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由（1）可知，，，設(shè)，，則，，，，，，，，解得或，或．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角