《等差數(shù)列的前n項和》教學課件4

等差數(shù)列前n項和1.等差數(shù)列的定義：2.通項公式：3.重要性質(zhì):

復(fù)習回顧如果一個數(shù)列從第二項起，后項與前項之差為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)稱為公差，一般用d表示

新課引入印度泰姬陵

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細致令人叫絕。傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（見左圖），奢靡之程度，可見一斑。你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？共100層經(jīng)過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)，從第1層到第100層三角形內(nèi)大理石的數(shù)量構(gòu)成這樣一個等差數(shù)列：1，2，3，…

1+2+3+…+100=?1+100=2+99=3+98=...=50+51=101∴1+2+3+…+100=10150

=5050高斯求和

圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石?也就是說1+2+…+21=?

分析：因為需要求的是21個數(shù)的和，我們沒法將他們經(jīng)行兩兩配對，所以我們就沒法直接用高斯求和的方法了，那么有沒有一種方法，可以不用區(qū)分求和個數(shù)的奇偶性呢？探究新知

獲得算法：212120191123倒序相加法借助幾何圖形的直觀性，使用熟悉的幾何方法：把“全等三角形”倒置，與原圖補成平行四邊形。問題1+2+3+4+…+n=?記:S=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+nS=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1下面對一般的等差數(shù)列的前n項和公式進行推導(dǎo)設(shè)等差數(shù)列a1,a2,a3,…Sn=a1+a2+…+an-1+an(1)Sn=an+an-1+…+a2+a1(2)由等差數(shù)列的性質(zhì):a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…Sn=n(a1+an)/2

(1)+(2)得2Sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+…∵Sn=na1+n(n-1)d/2

由此得到等差數(shù)列的{an}前n項和的公式正所謂：知三求二⑴⑵公式（1）反映了等差數(shù)列的任意的第k項與倒數(shù)第k項的和等于首項與尾項的和這個內(nèi)在性質(zhì)，因此一般用于證明.公式（2）反映了等差數(shù)列的前n項和與首相，公差之間的關(guān)系，因此一般用于計算.但在求解具體問題時，究竟用哪個式要根據(jù)已知條件，具體問題具體分析.接下來就讓我們來看兩個具體實例.例題講解例1、已知一個等差數(shù)列前10項的和是310，前20項的和是1220，求Sn解：代入公式Sn=na1+n(n-1)d/2得：10a1+10×9d/2=31020a1+20×19d/2=1220∴a1=4，d=6∴Sn=4n+6n(n-1)/2=3n2+n解：整體運算