中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測(cè)試2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月測(cè)試數(shù)學(xué)試卷 含解析

標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測(cè)試2024年10月測(cè)試數(shù)學(xué)試卷本試卷共150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)確定集合，再由交集定義計(jì)算．【詳解】，又，所以，故選：A．2.若，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】由可得，利用復(fù)數(shù)的除法可得z，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念以及模的計(jì)算，即得答案.【詳解】由，可得，所以，故，故選：C3.已知單位向量和，若，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】由即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以，故選：B4.已知圓柱的底面半徑和球的半徑相等，圓柱的高與球的半徑相等，則圓柱與球的表面積之比為（）A.1：2 B.1：1 C.3：4 D.2：3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓柱與球的表面積公式求解即可.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，由題意，圓柱底面半徑、圓柱高均為，所以圓柱的表面積，所以圓柱與球的表面積之比為1：1.故選：B5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩角和與差的正弦公式以及同角三角函數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】，即，，即，，，解得，，.故選：D.6.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.2 B.0 C.3 D.無(wú)窮【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)表達(dá)式確定函數(shù)在（）上是增函數(shù)且，零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出它們的大致圖象后，觀(guān)察可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而得結(jié)論．【詳解】由，得在區(qū)間上的函數(shù)值都是區(qū)間上相應(yīng)函數(shù)值的一半，，又時(shí)，是增函數(shù)，即，所以，因此時(shí)，，令，它在上是減函數(shù)，，，，當(dāng)時(shí)，，作出和在上圖象，如圖，由圖可知：在時(shí)，的圖象與的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，所以在上，它們只有兩個(gè)交點(diǎn)，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.故選：A．7.將的圖象變換為的圖象，下列變換正確的是（）A.將圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，再將圖象向右平移個(gè)單位B.將圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，再將圖象向右平移個(gè)單位C.將圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍D.將圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換進(jìn)行選擇.【詳解】由圖象變換為的圖象，有以下兩種思路：（1）先將的圖象向右平移個(gè)單位，得的圖象，再把所得函數(shù)圖象上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變，得的圖象，故C正確，D錯(cuò)誤；（2）先將的圖象上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變，得的圖象，再把所得函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，得的圖象，故AB錯(cuò)誤.故選：C8.定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足：，且，當(dāng)時(shí)，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得函數(shù)的周期為，然后求得其一個(gè)周期的值域，即可得到結(jié)果.【詳解】由可得，即關(guān)于對(duì)稱(chēng)，即，由可得關(guān)于對(duì)稱(chēng)，即，所以，令，則，代入可得，即，則，所以的周期為，由是定義在R上的函數(shù)，且關(guān)于對(duì)稱(chēng)，可得，又當(dāng)時(shí)，，即，所以，當(dāng)時(shí)，，且關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則時(shí)，，又關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則時(shí)，，即在一個(gè)周期內(nèi)的值域?yàn)椋瑒t的最小值為.故選：B【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與周期性：（1）若，則函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)；（2）若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)；（3）若，則函數(shù)周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)但不全得3分，有錯(cuò)選的得0分．9.從中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)記為a，從中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)記為b，則下列說(shuō)法正確的是（）A.事件“為偶數(shù)”的概率為B.事件“ab為偶數(shù)”的概率為C.設(shè)，則X的數(shù)學(xué)期望為D.設(shè)，則在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12【答案】ABD【解析】【分析】確定從中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，從中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)的所有可能取法數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算可判斷ABD；根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算可判斷C；【詳解】從中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)記為a，從中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)記為b，共有（種）可能；對(duì)于A(yíng)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，為偶數(shù)；當(dāng)時(shí)，時(shí)，為偶數(shù)；故共有4種可能，則事件“為偶數(shù)”的概率為，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，時(shí)，為偶數(shù)；當(dāng)時(shí)，時(shí)，為偶數(shù)；此時(shí)共有（種）可能，故事件“ab為偶數(shù)”的概率為，B正確；對(duì)于C，的取值可能為，則,故，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的取值可能為，，，故在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12，D正確，故選：ABD10.在直棱柱中，底面為正方形，，為線(xiàn)段上動(dòng)點(diǎn)，，分別為和的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的直棱柱的截面為四邊形B.直線(xiàn)與所成角的余弦值為C.三棱錐的體積為定值D.的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】作出經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的截面，判斷A的真假；作出異面直線(xiàn)與所成的角，利用等腰三角形的性質(zhì)，求角的余弦，判斷B的真假；判斷點(diǎn)到平面的距離是否為定值，可判斷C的真假；轉(zhuǎn)化成平面上兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，并求出最小值，可判斷D的真假.【詳解】對(duì)A：如圖：直線(xiàn)交直線(xiàn)于，設(shè).因?yàn)椋驗(yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，所以，因?yàn)?，所?所以點(diǎn)在線(xiàn)段上.設(shè)射線(xiàn)與射線(xiàn)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn).在線(xiàn)段上取點(diǎn)，使；在線(xiàn)段上取點(diǎn)，使.依次連接，可得經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的直棱柱的截面，可見(jiàn)截面不是四邊形，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：如圖：因?yàn)?，所以即為異面直線(xiàn)與所成的角，設(shè)為.在中，，，所以，故B正確；對(duì)C：易知平面平面，平面，所以平面.點(diǎn)，所以到平面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值.故C正確；對(duì)D：如圖將繞旋轉(zhuǎn)，使共面，則.過(guò)作與直線(xiàn)垂直，垂足為.在中，，，，所以，，，所以.故D正確.故選：BCD11.一條動(dòng)直線(xiàn)與圓相切，并與圓相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為定直線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.存在直線(xiàn)，使得以AB為直徑的圓與相切B.的最小值為C.的最大值為D.的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)A，數(shù)形結(jié)合求出點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值與比較可判斷；對(duì)B，C，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算結(jié)合，運(yùn)算得解判斷；對(duì)D，直線(xiàn)上點(diǎn)使得最小等同于求直線(xiàn)上一點(diǎn)，的最小值問(wèn)題，設(shè)，Ax1,y1，Bx2,y2，利用直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)列式運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性可知點(diǎn)在圓上，則，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，由圖易知，，對(duì)于A(yíng)，點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值為，且，所以以為直徑的圓與相離，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，故C正確；對(duì)于B，，，故B正確；對(duì)于D，由于兩點(diǎn)在圓上，且，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，求直線(xiàn)上點(diǎn)使得最小等同于求直線(xiàn)上一點(diǎn)，的最小值問(wèn)題，設(shè)，Ax1,y1，Bx2,則，直線(xiàn)，，由，消去整理得，即，即，，，同理，，，，的最小值為，所以最小值為，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)解題的關(guān)鍵是將求直線(xiàn)上點(diǎn)使得最小值轉(zhuǎn)化為求直線(xiàn)上一點(diǎn)，的最小值問(wèn)題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若的展開(kāi)式中存在項(xiàng)，則由滿(mǎn)足條件的所有正整數(shù)m從小到大排列構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)中含有的項(xiàng)滿(mǎn)足的條件，再根據(jù)為正整數(shù)求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，由于展開(kāi)式中存在項(xiàng)，令，則，所以.故答案為：13.設(shè)雙曲線(xiàn)（）的右頂點(diǎn)為F，且F是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，滿(mǎn)足，若點(diǎn)A也在雙曲線(xiàn)C上，則雙曲線(xiàn)C的離心率為_(kāi)_________．【答案】##【解析】【分析】求出直線(xiàn)的方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合已知求出雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)不垂直于軸，設(shè)其方程為，由消去得：，設(shè)，則，由，得，由對(duì)稱(chēng)性不妨令點(diǎn)在第一象限，解得，，由點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上得，，又，解得，所以雙曲線(xiàn)C的離心率.故答案為：14.已知，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】2【解析】【分析】變形函數(shù)，換元構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)分段探討單調(diào)性求出最小值.【詳解】函數(shù)，令，令，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值2.故答案為：2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則變形，再換元構(gòu)造新函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，滿(mǎn)足．（1）若，，求的面積；（2）記BC邊中點(diǎn)為D，，若A為鈍角，求x的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理及三角形面積公式得解；（2）利用向量的運(yùn)算及余弦定理得出與的關(guān)系，再由基本不等式及為鈍角得出范圍即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，又，即，所以，即，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)锽C邊的中點(diǎn)為D，所以,所以，又，所以，在三角形中，，所以，所以，即，又A為鈍角，則，解得，故由，可得，所以.16.如圖所示，在四棱錐中，，，．（1）若平面，證明：平面；（2）若底面，，二面角的正弦值為，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形三邊長(zhǎng)可得到三角形角度，再根據(jù)線(xiàn)面垂直得到線(xiàn)線(xiàn)垂直，結(jié)合同一平面內(nèi)垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行，即可得到線(xiàn)面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，由空間向量夾角的余弦公式列方程，即可得求答案.【小問(wèn)1詳解】證明：∵，，，即，∴，即，∵平面，平面，∴，∴，又平面，平面，∴平面；【小問(wèn)2詳解】∵底面，底面，∴，，又，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線(xiàn)為軸，過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：令，則，，則，，設(shè)平面的法向量為n1=∴，令，則，∴，設(shè)平面的法向量為，∴，令，則，∴，∵二面角的正弦值為，則余弦值為，又二面角為銳角，∴，解得，所以.17.已知橢圓，的下頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為和，離心率為，過(guò)的直線(xiàn)與橢圓相交于，兩點(diǎn)．若直線(xiàn)垂直于，則的周長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程；（2）若直線(xiàn)與坐標(biāo)軸不垂直，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，試判斷直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由．【答案】（1）（2），理由見(jiàn)詳解.【解析】【分析】（1）據(jù)題意可知是正三角形，由直線(xiàn)垂直于，可證，由此可知，，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，，則，得到直線(xiàn)方程，直曲聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得，進(jìn)而得到，代入直線(xiàn)方程可求出定點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】由題意可知，因?yàn)殡x心率為，所以，所以，故是正三角形，如圖所示：若直線(xiàn)，則直線(xiàn)垂直平分線(xiàn)段，所以，由于的周長(zhǎng)為，故的周長(zhǎng)為，由定義可知：，所以的周長(zhǎng)為，故，所以，故，所以橢圓的方程：.【小問(wèn)2詳解】由題意可設(shè)直線(xiàn)的方程為，，則，如圖所示：可得直線(xiàn)的方程為：，因?yàn)?，將其代入直線(xiàn)方程，可得，可整理得：，聯(lián)立方程得，則，所以，即，將其代入式中，可得直線(xiàn)方程為：，可見(jiàn)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，坐標(biāo)為.18已知函數(shù)，．（1）若，證明：；（2）若，求a的取值范圍；（3）若，記，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究區(qū)間單調(diào)性，即可證結(jié)論；（2）問(wèn)題化為研究時(shí)恒成立，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求右側(cè)最值，即可得范圍；（3）根據(jù)解析式有，在將問(wèn)題化為研究與在上的交點(diǎn)情況，討論參數(shù)a的符號(hào)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究交點(diǎn)，即可確定原函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)且，則，所以在上遞減，故，得證；【小問(wèn)2詳解】由解析式，易知時(shí)恒成立，當(dāng)，只需恒成立，令且，則，令，則，即在上遞增，所以，故，即在上遞增，且，對(duì)于，，則，故在上遞增，且時(shí)，綜上，，即.【小問(wèn)3詳解】由題設(shè)，且定義域?yàn)椋@然，令，且，只需研究與在上的交點(diǎn)情況，若，則在上遞減，在上遞增，且時(shí)，而，即在上遞減，且，又，則，在處的圖象遞減趨勢(shì)比的圖象平緩，故與在上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，在有兩個(gè)零點(diǎn)；若，在恒成立，而恒成立，故與在上無(wú)交點(diǎn)，此時(shí)，在有一個(gè)零點(diǎn)；綜上，時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；時(shí)有一個(gè)零點(diǎn).19.乒乓球比賽有兩種賽制，其中就有“5局3勝制”和“7局4勝制”，“5局3勝制”指5局中勝3局的一方取得勝利，“7局4勝制”指7局中勝4局的一方取得勝利．（1）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，若采用5局3勝制，比賽結(jié)束算一場(chǎng)比賽，甲獲勝的概率為0.8；若采用7局4勝制，比賽結(jié)束算一場(chǎng)比賽，甲獲勝的概率為0.9．已知甲、乙兩人共進(jìn)行了場(chǎng)比賽，請(qǐng)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，來(lái)推斷賽制是否對(duì)甲獲勝的場(chǎng)數(shù)有影響．（2）若甲、乙兩人采用5局3勝制比賽，設(shè)甲每局比賽的勝率均為p，沒(méi)有平局．記事件“甲只要取得3局比賽的勝利比賽結(jié)束且甲獲勝”為A，事件“兩人賽滿(mǎn)5局，甲至少取得3局比賽勝利且甲獲勝”為B，試證明：．（3）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局比賽甲的勝率都是，沒(méi)有平局．若采用“賽滿(mǎn)局，勝方至少取得n局勝利”的賽制，甲獲勝的概率記為．若采用“賽滿(mǎn)局，勝方至少取得局勝利”的賽制，甲獲勝的概率記為，試比較與的大?。剑海渲校?.050.0250.0103.8415.0246.635【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)寫(xiě)出列聯(lián)表，應(yīng)用卡方公式得，討論參數(shù)結(jié)合獨(dú)立檢驗(yàn)基本思想即得答