中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月測試數(shù)學(xué)試卷 含解析

標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試2024年10月測試數(shù)學(xué)試卷本試卷共150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)確定集合，再由交集定義計算．【詳解】，又，所以，故選：A．2.若，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】由可得，利用復(fù)數(shù)的除法可得z，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念以及模的計算，即得答案.【詳解】由，可得，所以，故，故選：C3.已知單位向量和，若，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】由即可求解.【詳解】因為，，所以，所以，所以，所以，故選：B4.已知圓柱的底面半徑和球的半徑相等，圓柱的高與球的半徑相等，則圓柱與球的表面積之比為（）A.1：2 B.1：1 C.3：4 D.2：3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓柱與球的表面積公式求解即可.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，由題意，圓柱底面半徑、圓柱高均為，所以圓柱的表面積，所以圓柱與球的表面積之比為1：1.故選：B5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩角和與差的正弦公式以及同角三角函數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】，即，，即，，，解得，，.故選：D.6.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A.2 B.0 C.3 D.無窮【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)表達(dá)式確定函數(shù)在（）上是增函數(shù)且，零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象交點個數(shù)，作出它們的大致圖象后，觀察可得交點個數(shù)，從而得結(jié)論．【詳解】由，得在區(qū)間上的函數(shù)值都是區(qū)間上相應(yīng)函數(shù)值的一半，，又時，是增函數(shù)，即，所以，因此時，，令，它在上是減函數(shù)，，，，當(dāng)時，，作出和在上圖象，如圖，由圖可知：在時，的圖象與的圖象沒有交點，所以在上，它們只有兩個交點，所以的零點個數(shù)為2.故選：A．7.將的圖象變換為的圖象，下列變換正確的是（）A.將圖象上點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，再將圖象向右平移個單位B.將圖象上點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再將圖象向右平移個單位C.將圖象向右平移個單位，再將圖象上點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋禗.將圖象向右平移個單位，再將圖象上點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換進(jìn)行選擇.【詳解】由圖象變換為的圖象，有以下兩種思路：（1）先將的圖象向右平移個單位，得的圖象，再把所得函數(shù)圖象上任一點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變，得的圖象，故C正確，D錯誤；（2）先將的圖象上任一點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變，得的圖象，再把所得函數(shù)圖象向右平移個單位，得的圖象，故AB錯誤.故選：C8.定義在R上的函數(shù)滿足：，且，當(dāng)時，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得函數(shù)的周期為，然后求得其一個周期的值域，即可得到結(jié)果.【詳解】由可得，即關(guān)于對稱，即，由可得關(guān)于對稱，即，所以，令，則，代入可得，即，則，所以的周期為，由是定義在R上的函數(shù)，且關(guān)于對稱，可得，又當(dāng)時，，即，所以，當(dāng)時，，且關(guān)于對稱，則時，，又關(guān)于對稱，則時，，即在一個周期內(nèi)的值域為，則的最小值為.故選：B【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的對稱性與周期性：（1）若，則函數(shù)關(guān)于中心對稱；（2）若，則函數(shù)關(guān)于對稱；（3）若，則函數(shù)周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對但不全得3分，有錯選的得0分．9.從中隨機(jī)取一個數(shù)記為a，從中隨機(jī)取一個數(shù)記為b，則下列說法正確的是（）A.事件“為偶數(shù)”的概率為B.事件“ab為偶數(shù)”的概率為C.設(shè)，則X的數(shù)學(xué)期望為D.設(shè)，則在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12【答案】ABD【解析】【分析】確定從中隨機(jī)取一個數(shù)，從中隨機(jī)取一個數(shù)的所有可能取法數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計算可判斷ABD；根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計算可判斷C；【詳解】從中隨機(jī)取一個數(shù)記為a，從中隨機(jī)取一個數(shù)記為b，共有（種）可能；對于A，當(dāng)時，時，為偶數(shù)；當(dāng)時，時，為偶數(shù)；故共有4種可能，則事件“為偶數(shù)”的概率為，A正確；對于B，當(dāng)時，時，為偶數(shù)；當(dāng)時，時，為偶數(shù)；此時共有（種）可能，故事件“ab為偶數(shù)”的概率為，B正確；對于C，的取值可能為，則,故，C錯誤；對于D，的取值可能為，，，故在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12，D正確，故選：ABD10.在直棱柱中，底面為正方形，，為線段上動點，，分別為和的中點，則下列說法正確的是（）A.若，則經(jīng)過，，三點的直棱柱的截面為四邊形B.直線與所成角的余弦值為C.三棱錐的體積為定值D.的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】作出經(jīng)過，，三點的截面，判斷A的真假；作出異面直線與所成的角，利用等腰三角形的性質(zhì)，求角的余弦，判斷B的真假；判斷點到平面的距離是否為定值，可判斷C的真假；轉(zhuǎn)化成平面上兩點之間線段最短，并求出最小值，可判斷D的真假.【詳解】對A：如圖：直線交直線于，設(shè).因為，因為三點共線，所以，因為，所以.所以點在線段上.設(shè)射線與射線交于點，連接交于點.在線段上取點，使；在線段上取點，使.依次連接，可得經(jīng)過，，三點的直棱柱的截面，可見截面不是四邊形，故A錯誤；對B：如圖：因為，所以即為異面直線與所成的角，設(shè)為.在中，，，所以，故B正確；對C：易知平面平面，平面，所以平面.點，所以到平面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值.故C正確；對D：如圖將繞旋轉(zhuǎn)，使共面，則.過作與直線垂直，垂足為.在中，，，，所以，，，所以.故D正確.故選：BCD11.一條動直線與圓相切，并與圓相交于點A，B，點P為定直線上動點，則下列說法正確的是（）A.存在直線，使得以AB為直徑的圓與相切B.的最小值為C.的最大值為D.的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】對A，數(shù)形結(jié)合求出點到直線距離的最小值與比較可判斷；對B，C，根據(jù)向量數(shù)量積運算結(jié)合，運算得解判斷；對D，直線上點使得最小等同于求直線上一點，的最小值問題，設(shè)，Ax1,y1，Bx2,y2，利用直線對稱列式運算求解.【詳解】設(shè)線段的中點為，根據(jù)圓的對稱性可知點在圓上，則，坐標(biāo)原點到直線的距離為，由圖易知，，對于A，點到直線距離的最小值為，且，所以以為直徑的圓與相離，故A錯誤；對于C，，，故C正確；對于B，，，故B正確；對于D，由于兩點在圓上，且，點到直線的距離，求直線上點使得最小等同于求直線上一點，的最小值問題，設(shè)，Ax1,y1，Bx2,則，直線，，由，消去整理得，即，即，，，同理，，，，的最小值為，所以最小值為，故D正確.故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題D選項解題的關(guān)鍵是將求直線上點使得最小值轉(zhuǎn)化為求直線上一點，的最小值問題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若的展開式中存在項，則由滿足條件的所有正整數(shù)m從小到大排列構(gòu)成的數(shù)列的通項公式為__________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)二項展開中含有的項滿足的條件，再根據(jù)為正整數(shù)求出數(shù)列an的通項公式.【詳解】展開式的通項為，由于展開式中存在項，令，則，所以.故答案為：13.設(shè)雙曲線（）的右頂點為F，且F是拋物線的焦點．過點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，滿足，若點A也在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為__________．【答案】##【解析】【分析】求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出點坐標(biāo)，再結(jié)合已知求出雙曲線的離心率.【詳解】拋物線的焦點，直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，由消去得：，設(shè)，則，由，得，由對稱性不妨令點在第一象限，解得，，由點在雙曲線上得，，又，解得，所以雙曲線C的離心率.故答案為：14.已知，則的最小值為__________．【答案】2【解析】【分析】變形函數(shù)，換元構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)分段探討單調(diào)性求出最小值.【詳解】函數(shù)，令，令，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最小值2.故答案為：2【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用對數(shù)運算法則變形，再換元構(gòu)造新函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足．（1）若，，求的面積；（2）記BC邊中點為D，，若A為鈍角，求x的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理及三角形面積公式得解；（2）利用向量的運算及余弦定理得出與的關(guān)系，再由基本不等式及為鈍角得出范圍即可.【小問1詳解】因為，所以，又，即，所以，即，所以.【小問2詳解】因為BC邊的中點為D，所以,所以，又，所以，在三角形中，，所以，所以，即，又A為鈍角，則，解得，故由，可得，所以.16.如圖所示，在四棱錐中，，，．（1）若平面，證明：平面；（2）若底面，，二面角的正弦值為，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形三邊長可得到三角形角度，再根據(jù)線面垂直得到線線垂直，結(jié)合同一平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線平行，即可得到線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，由空間向量夾角的余弦公式列方程，即可得求答案.【小問1詳解】證明：∵，，，即，∴，即，∵平面，平面，∴，∴，又平面，平面，∴平面；【小問2詳解】∵底面，底面，∴，，又，以點為原點，以所在的直線為軸，過點作的平行線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：令，則，，則，，設(shè)平面的法向量為n1=∴，令，則，∴，設(shè)平面的法向量為，∴，令，則，∴，∵二面角的正弦值為，則余弦值為，又二面角為銳角，∴，解得，所以.17.已知橢圓，的下頂點為，左、右焦點分別為和，離心率為，過的直線與橢圓相交于，兩點．若直線垂直于，則的周長為．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與坐標(biāo)軸不垂直，點關(guān)于軸的對稱點為，試判斷直線是否過定點，并說明理由．【答案】（1）（2），理由見詳解.【解析】【分析】（1）據(jù)題意可知是正三角形，由直線垂直于，可證，由此可知，，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，，則，得到直線方程，直曲聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得，進(jìn)而得到，代入直線方程可求出定點.【小問1詳解】由題意可知，因為離心率為，所以，所以，故是正三角形，如圖所示：若直線，則直線垂直平分線段，所以，由于的周長為，故的周長為，由定義可知：，所以的周長為，故，所以，故，所以橢圓的方程：.【小問2詳解】由題意可設(shè)直線的方程為，，則，如圖所示：可得直線的方程為：，因為，將其代入直線方程，可得，可整理得：，聯(lián)立方程得，則，所以，即，將其代入式中，可得直線方程為：，可見直線過定點，所以直線過定點，坐標(biāo)為.18已知函數(shù)，．（1）若，證明：；（2）若，求a的取值范圍；（3）若，記，討論函數(shù)的零點個數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）答案見解析.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究區(qū)間單調(diào)性，即可證結(jié)論；（2）問題化為研究時恒成立，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求右側(cè)最值，即可得范圍；（3）根據(jù)解析式有，在將問題化為研究與在上的交點情況，討論參數(shù)a的符號，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究交點，即可確定原函數(shù)零點個數(shù).【小問1詳解】由題設(shè)且，則，所以在上遞減，故，得證；【小問2詳解】由解析式，易知時恒成立，當(dāng)，只需恒成立，令且，則，令，則，即在上遞增，所以，故，即在上遞增，且，對于，，則，故在上遞增，且時，綜上，，即.【小問3詳解】由題設(shè)，且定義域為，顯然，令，且，只需研究與在上的交點情況，若，則在上遞減，在上遞增，且時，而，即在上遞減，且，又，則，在處的圖象遞減趨勢比的圖象平緩，故與在上有且僅有一個交點，此時，在有兩個零點；若，在恒成立，而恒成立，故與在上無交點，此時，在有一個零點；綜上，時有兩個零點；時有一個零點.19.乒乓球比賽有兩種賽制，其中就有“5局3勝制”和“7局4勝制”，“5局3勝制”指5局中勝3局的一方取得勝利，“7局4勝制”指7局中勝4局的一方取得勝利．（1）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，若采用5局3勝制，比賽結(jié)束算一場比賽，甲獲勝的概率為0.8；若采用7局4勝制，比賽結(jié)束算一場比賽，甲獲勝的概率為0.9．已知甲、乙兩人共進(jìn)行了場比賽，請根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，來推斷賽制是否對甲獲勝的場數(shù)有影響．（2）若甲、乙兩人采用5局3勝制比賽，設(shè)甲每局比賽的勝率均為p，沒有平局．記事件“甲只要取得3局比賽的勝利比賽結(jié)束且甲獲勝”為A，事件“兩人賽滿5局，甲至少取得3局比賽勝利且甲獲勝”為B，試證明：．（3）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局比賽甲的勝率都是，沒有平局．若采用“賽滿局，勝方至少取得n局勝利”的賽制，甲獲勝的概率記為．若采用“賽滿局，勝方至少取得局勝利”的賽制，甲獲勝的概率記為，試比較與的大?。剑?，其中．0.050.0250.0103.8415.0246.635【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)寫出列聯(lián)表，應(yīng)用卡方公式得，討論參數(shù)結(jié)合獨立檢驗基本思想即得答