第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì)-綜合檢測3（拔尖卷）（解析版）

第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)本卷滿分150分，考試時間120分鐘。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為A． B．C． D．【試題來源】四川省峨眉第二中學(xué)校2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期10月月考【答案】C【分析】由題可得，即求．【解析】由的定義域為，可知，，即，的定義域為．故選C．2．若方程在區(qū)間有解，則函數(shù)圖象可能是A． B．C． D．【試題來源】寧夏海原第一中學(xué)2022屆高三上學(xué)期第一次月考（理）【答案】D【分析】由題意可得在區(qū)間上，能夠成立，結(jié)合所給的選項，得出結(jié)論【解析】方程在區(qū)間上有解，在區(qū)間上，能夠成立，結(jié)合所給的選項，只有D選項符合．故選D．3．如果函數(shù)滿足對任意，都有成立，那么實數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【試題來源】河南省焦作市普通高中2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中考試【答案】D【分析】根據(jù)對任意，都有成立可判斷是上的減函數(shù)，列出不等式求解．【解析】對任意，都有成立，是上的減函數(shù)，，解得，實數(shù)的取值范圍是．故選D4．下列說法正確的是A．冪函數(shù)始終經(jīng)過點和B．若函數(shù)，則對于任意的，都有C．若函數(shù)圖象經(jīng)過點，則其解析式為D．若函數(shù)，則函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增【試題來源】河南省新鄭市2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次階段性檢測【答案】C【分析】利用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷．【解析】當(dāng)時，冪函數(shù)始終經(jīng)過點和；當(dāng)時，例如：在處沒有定義，故錯誤；任意的，，要證，即，即，當(dāng)時，不滿足上式，故不正確；函數(shù)圖象經(jīng)過點，所以，所以，解析式為，故正確；因為函數(shù)，其中，所以函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，故不正確．故選．5．設(shè)，若是的最小值，則的取值范圍是A． B．C． D．【試題來源】天津市楊村第一中學(xué)等七校2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考【答案】D【分析】當(dāng)a<0時，顯然f(0)不是f(x)的最小值，當(dāng)a≥0時，解不等式：即可求解．【解析】當(dāng)a<0時，顯然f(0)不是f(x)的最小值，當(dāng)a≥0時，f(0)=a2，由題意得恒成立，而時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以只需，解得，又a≥0，所以．故選D．6．若函數(shù)為奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，又，則的解集為A． B．C． D．【試題來源】天津市楊村第一中學(xué)等七校2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考【答案】C【分析】根據(jù)為奇函數(shù)可把化為，分類討論后可得不等式的解集．【解析】因為為奇函數(shù)，所以，所以即．當(dāng)時，等價于也即是，因為在內(nèi)是增函數(shù)，故可得．因為在內(nèi)是增函數(shù)且為奇函數(shù)，故在內(nèi)是增函數(shù)，又．當(dāng)時，等價于也即是，故可得．綜上，的解集為．故選C．7．已知某旅游城市在過去的一個月內(nèi)（以30天計），第t天的旅游人數(shù)（萬人）近似地滿足，而人均消費(fèi)（元）近似地滿足．則求該城市旅游日收益的最小值是A．480 B．120C．441 D．141【試題來源】2021-2022高一上學(xué)期數(shù)學(xué)新教材配套提升訓(xùn)練（人教A版2019必修第一冊）【答案】C【分析】分別考慮當(dāng)?shù)那闆r，利用旅游人數(shù)乘以人均消費(fèi)計算出旅游日收益：當(dāng)時，利用基本不等式求解出旅游日收益的最小值，當(dāng)時，直接根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分析出旅游日收益的最小值，由此求得最終結(jié)果．【解析】記旅游日收益為，當(dāng)時，，，所以，所以所以，取等號時；當(dāng)時，，，所以，顯然在上單調(diào)遞減，所以，由上可知旅游日收益的最小值為萬元，故選C．【名師點睛】本題屬于分段函數(shù)的實際應(yīng)用問題，解答本題的關(guān)鍵在于對的合理分類，并通過函數(shù)的單調(diào)性以及基本不等式等方法完成函數(shù)最值的分析；解答函數(shù)的實際應(yīng)用問題時，一定要注意分析定義域．8．已知函數(shù)的定義域為，對任意，有，且，若對任意恒成立，則的取值范圍為A． B．C． D．【試題來源】河南省平頂山市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期階段性檢測（文）【答案】C【分析】由已知不等式確定新函數(shù)是增函數(shù)，利用單調(diào)性把不等式進(jìn)行化簡，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一次不等式恒成立，利用一次函數(shù)性質(zhì)得不等關(guān)系，從而得結(jié)論．【解析】因為，因此由得，即，所以函數(shù)是上的增函數(shù)，不等式化為，即，所以對恒成立，對恒成立，所以，解得或．故選C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．如圖是函數(shù)的圖象，則函數(shù)在下列區(qū)間單調(diào)遞增的是A． B．C． D．【試題來源】廣西桂林市第十八中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期開學(xué)考試【答案】AC【分析】本題可結(jié)合函數(shù)圖象得出結(jié)果．【解析】結(jié)合圖象易知，函數(shù)在區(qū)間、、上單調(diào)遞增，故選AC．10．已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是A． B．C．在上單調(diào)遞增 D．的值域為【試題來源】重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)校2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第二次定時訓(xùn)練【答案】CD【分析】根據(jù)分段函數(shù)和函數(shù)周期性的相關(guān)知識，對每個選項逐一分析即可．【解析】對于A選項，，故錯誤；對于B選項，，故錯誤；對于C選項，由=可知是周期為1的周期函數(shù)，判斷在上的單調(diào)性可轉(zhuǎn)化為在上的單調(diào)性即可，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故正確；對于D選項，當(dāng)時，，當(dāng)時，時，，因為當(dāng)時，=，它是周期為1的周期函數(shù)，所以當(dāng)時，，綜上可得的值域為，故正確．故選CD．11．函數(shù)s=f（t）的圖象如圖所示（圖象與t正半軸無限接近，但永遠(yuǎn)不相交），則下列說法正確的是A．函數(shù)s=f（t）的定義城為[-3，+∞）B．函數(shù)s=f（t）的值域為（0，5]C．當(dāng)s∈[1，2]時，有兩個不同的t值與之對應(yīng)D．當(dāng)時，【試題來源】廣東省佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考【答案】BD【分析】由函數(shù)的定義域值域與單調(diào)性結(jié)合圖象逐一判斷即可求解【解析】對于A：由圖象可知函數(shù)s=f（t）在沒有圖象，故定義城不是[-3，+∞），故A錯誤；對于B：由圖象可知函數(shù)s=f（t）的值域為（0，5]，故B正確；對于C：由圖象可知，當(dāng)時，有3個不同的t值與之對應(yīng)，故C錯誤；對于D：由圖象可知函數(shù)s=f（t）在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，故D正確；故選BD.12．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為對于實數(shù)x，符號表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，，定義函數(shù)，則下列命題中正確的是A．函數(shù)的最大值為1；B．函數(shù)的最小值為0C．函數(shù)的圖象與直線有無數(shù)個交點D．函數(shù)是增函數(shù)【試題來源】山東省濟(jì)寧市育才中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期10月月考【答案】BC【分析】由題意求出函數(shù)的解析式，即可求解．【解析】由題意，對于A：函數(shù)，故A錯誤；對于B：函數(shù)的最小值為0，故B正確；對于C：函數(shù)的圖象與直線有無數(shù)個交點，故C正確；對于D：函數(shù)不是上的增函數(shù)，故D錯誤；故選BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則實數(shù)的取值范圍為___________．【試題來源】吉林省吉林市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第一次調(diào)研測試（理）【答案】【分析】利用函數(shù)為偶函數(shù)，可得，在上單調(diào)遞減，可得，求解即可【解析】由題意，函數(shù)為偶函數(shù)，故，又在上單調(diào)遞減，，故，，故答案為.14．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則滿足成立的實數(shù)a的取值范圍為___________．【試題來源】江西省新余市重點高中2022屆高三上學(xué)期第二次月考（理）【答案】【分析】利用冪函數(shù)的定義及性質(zhì)求出m值，再解一元二次不等式即可得解．【解析】因函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得或，當(dāng)時，是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，與已知的圖象關(guān)于原點對稱矛盾，當(dāng)時，是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，于是得，不等式化為，即，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為．故答案為15．已知函數(shù)，若對于任意給定的不等實數(shù)，，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________．【試題來源】天津市楊村第一中學(xué)等七校2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考【答案】【分析】依題意可得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，則函數(shù)在各段均單調(diào)遞增且在斷點處函數(shù)值需滿足不等關(guān)系，即可得到不等式組，解得即可；【解析】因為對于任意給定的不等實數(shù)，，不等式恒成立，所以在定義域上單調(diào)遞增，又，所以，解得，即；故答案為16．已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)，其值域也是R，并且對任意，都有，則等于___________．【試題來源】黑龍江省漠河市高級中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考【答案】2021【解析】因?qū)θ我?，都有，則取，有，取，有，于是得，又函數(shù)在R上的單調(diào)，則，因函數(shù)的值域也是R，令，則有，因此，，即，則有，所以．故答案為2021四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）畫出函數(shù)（）的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問題：（1）當(dāng)時，比較與的大??；（2）是否存在，使得？【答案】（1）＜；（2）不存在．【分析】（1）根據(jù)圖象得到函數(shù)的單調(diào)性，即得解；（2）根據(jù)函數(shù)的最小值判斷得解．【解析】（1）函數(shù)的圖象如圖所示，當(dāng)時，由于函數(shù)單調(diào)遞增，所以＜；（2）由圖得當(dāng)時，函數(shù)取到最小值，所以不存在，使得．18．（12分）已知函數(shù)，.（1）判斷并用定義證明的單調(diào)性；（2）求的值域．【試題來源】湖北省武漢市第三中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期10月月考【答案】（1）增函數(shù)，證明見解析；（2）．【分析】（1）定義法證明函數(shù)單調(diào)性步驟：取點、作差、判號；（2）結(jié)合第一問求得的函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的值域．【解析】（1）為增函數(shù)，證明如下：，，，因為，，，可得，所以在上為增函數(shù)．（2）由第一問可知該函數(shù)在上為增函數(shù)，則當(dāng)，有最小值，當(dāng)，有最大值．因為，，所以函數(shù)值域為．19．（12分）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)．（1）求的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求實數(shù)的值．【試題來源】河南省焦作市普通高中2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中考試【答案】（1）的解析式為；（2）實數(shù)的值為2．【分析】（1）由冪函數(shù)可知，在結(jié)合冪函數(shù)為偶函數(shù)進(jìn)行取舍；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷出函數(shù)在上的最大值為，代入求參數(shù)即可．【解析】（1）由冪函數(shù)可知，解得或當(dāng)時，，函數(shù)為偶函數(shù)，符合題意；當(dāng)時，，不符合題意；故求的解析式為；（2）由（1）得，函數(shù)的對稱軸為，開口朝上，，，由題意得在區(qū)間上，解得，所以實數(shù)的值為2．20．（12分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，．（1）求函數(shù)的解析式；（2）函數(shù)，當(dāng)時，求函數(shù)的最小值．【試題來源】天津市楊村第一中學(xué)等七校2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考【答案】（1）；（2）答案不唯一，具體見解析．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性來求得的解析式．（2）先求得的解析式，對進(jìn)行分類討論，由此求得的最小值．【解析】（1）函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，此時，，又當(dāng)時，，，，函數(shù)的解析式為．（2）函數(shù)，二次函數(shù)對稱軸為，當(dāng)時，即時，，當(dāng)時，即時，，當(dāng)時，即時，，綜上，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，．21．（12分）已知函數(shù)的定義域為，且對任意的，都有成立．若當(dāng)時，．（1）試判斷的奇偶性；（2）試判斷的單調(diào)性；（3）解不等式．【試題來源】河南省南陽市六校2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次聯(lián)考【答案】（1）奇函數(shù)；（2）在上為減函數(shù)；（3）．【分析】（1）用賦值法先求出，再令，即可得證；（2）對已知等式賦值，令，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性定義，即可證明結(jié)論；（3）利用單調(diào)性和奇偶性，轉(zhuǎn)化為自變量的不等量關(guān)系，即可解出不等式．【解析】（1）函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱．令，則，令，則，，是奇函數(shù)（2）任取，且，由題意得，，，，又，在上為減函數(shù)．（3）由（2）得，，即，解得，．不等式的解集為．22．（12分）已知二次函數(shù)．（1）設(shè)，，函