河北省石家莊市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考模擬考試數(shù)學(xué)試題 含解析

河北省石家莊市2025屆高三年級10月聯(lián)考模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共7小題，每小題5分，共35分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合對數(shù)函數(shù)定義域，解不等式得到，根據(jù)交集概念得到答案.【詳解】，由對數(shù)函數(shù)定義域可知，故故選：C2.已知數(shù)列滿足，且，則的通項公式為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】給兩邊同時加一個數(shù)，構(gòu)造成等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的通項公式求解的通項公式即可.【詳解】設(shè)，即，所以，解得，所以，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以．故選：C.3.如圖，在直三棱柱中，，，分別是棱，，的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把直三棱柱補成一個底面為菱形的直四棱柱，利用平移法找到異面直線與所成的角，再結(jié)合余弦定理求解即可.【詳解】把直三棱柱補成一個底面為菱形的直四棱柱，如圖所示：因為，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以異面直線AD與EF所成的角為或其補角，不妨設(shè)，因為，所以，所以為等邊三角形，所以，，所以，因為為邊長為的等邊三角形，所以，又因為，所以在中，由余弦定理可得，故異面直線與所成角的余弦值為.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查立體幾何，解題關(guān)鍵是合理補形，然后利用平移法結(jié)合余弦定理，得到所要求的余弦值即可．4.已知平面向量滿足：，且在上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由投影向量的定義可得，再由向量的夾角公式，代入計算，即可求解.【詳解】因為在上的投影向量為，即，所以，又，，所以，且，則.故選：C5.已知定義在上的函數(shù)滿足，其圖象經(jīng)過點，且對任意，且，恒成立，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意得知，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，由此可得出該函數(shù)在上單調(diào)遞減，，由分類討論即可.【詳解】，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，該函數(shù)圖象經(jīng)過點，則，且有，對任意，且，恒成立，可設(shè)，則，，即.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由此可得該函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，符合題意；當時，即時，則有，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，得，此時；當時，即時，則有，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，此時，綜上所述，不等式的解集為.故選：D.6.若函數(shù)在0,4上有3個零點，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)在上零點的個數(shù)，討論的范圍，分別確定在0,4上零點的個數(shù)，進一步確定的范圍，進而可得答案.【詳解】令，則或，由得a=2，當時，，在0,4上沒有零點，則在上應(yīng)有3個零點，所以，即，與聯(lián)立得；當a=2時，在上有1個零點2，在上，因為，所以，所以有3個零點，不滿足題意；當時，在上有2個零點，在上應(yīng)有1個零點，所以，即，與聯(lián)立得，綜上得的取值范圍是.故C正確.故選：C.7.已知橢圓左右焦點分別為，的三個頂點均在上，分別落在線段上且軸，若，則（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出圖象，由題意可知，從而可得，在和中，分別求得，從而可得，即有，，過作于，可得，為中點，即可得解.【詳解】如圖所示：由題意可知，設(shè)橢圓的半長軸為，則，在中，，在中，，所以，整理得：，即解得：或，當時，，不滿足題意，故舍去；當時，，滿足題意，且，過作于，則，所以,所以，故為中點，所以.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是在和中，分別求得，建立等量關(guān)系，求得.二、多選題：本題共4小題，共24分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．8.下列說法中正確的是（）A.若函數(shù)為奇函數(shù)，則；B.在中，是的充要條件；C.若數(shù)列為常數(shù)列，則既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列；D.若復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位)，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解A，由正弦定理即可判斷B，根據(jù)反例即可判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡，即可根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求解D.【詳解】對于A，若函數(shù)定義域中不包含x=0，如fx=1x對于B，在中，，反之，也成立，所以B正確；對于C，當時，an為常數(shù)列，是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列，所以C錯誤；對于D，所以D正確.故選：BD9.設(shè)正實數(shù)m，n滿足，則（）A.的最小值為3 B.的最大值為2C.的最大值為1 D.的最小值為【答案】BC【解析】【分析】由基本不等式逐項求解判斷即可.【詳解】因為正實數(shù)m，n滿足，所以，當且僅當，即，，等號成立，故A錯誤；，當且僅當時，等號成立，所以，故B正確；，所以，當且僅當時，等號成立，故C正確；，當且僅當時，等號成立，故D錯誤；故選：BC10.如圖，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝，∠BAA1＝，∠CAA1＝，，，點O是與的交點，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.平面⊥平面【答案】ABD【解析】【分析】利用空間向量的線性運算，逐步把用基向量表示出來即可判斷A，對于B,C,D,則可以選擇，，為平面的一組基，分別用表示出相關(guān)向量，再運用向量數(shù)量積的運算律求向量模長和驗證向量垂直，即可判斷B,C;對于D項，計算推得，再由即可證得平面，最后由線面垂直得面面垂直即可.【詳解】對于A，因，故A正確；對于B，不妨設(shè)，，，則構(gòu)成空間的一個基底.則依題意：由A可得，，則，則，故B正確；對于C，因，故故C錯誤；對于D，如圖取的中點E，連接，則，因為，E為的中點，所以.又，故有.因為，平面，所以平面,又平面，故平面⊥平面，即D正確.故選：ABD.11.函數(shù)，關(guān)于x的方程，則下列正確的是（）A.函數(shù)的值域為RB.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為C.當時，則方程有4個不相等實數(shù)根D.若方程有3個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是【答案】BD【解析】【分析】先分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值情況并作出函數(shù)的圖象，對于A和B，由分析以及圖象即可得解；由對于C和D，由方程得解為與，再根據(jù)條件樹形結(jié)合依次分析兩解對應(yīng)的根的情況即可得解.【詳解】①當時，，則在單調(diào)遞減，且漸近線為軸和，恒有.②當時，，，當，在0,1單調(diào)遞增；當，在1,+∞單調(diào)遞減，故，且恒有，綜上①②可知，，綜上，作出函數(shù)大致圖象，如下圖：對于A，由上可知函數(shù)的值域為，故A錯誤；對于B，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，故B正確；對于C，當時，則方程，解得或，由，得或，有兩個實數(shù)根；由圖象可知，由得此時有不相等的實數(shù)根，且均不為，也不為，所以當時，則方程有6個不相等的實數(shù)根，故C錯誤；對于D，若關(guān)于x的方程有3個不相等的實數(shù)根，即方程與方程共有3個不相等的實數(shù)根，又因為已有兩個不等的實數(shù)根，則方程有且僅有1個根，且不為.所以與有且僅有1個公共點，由圖象可知，滿足題意，即m的取值范圍是，故D正確.故選：BD.【點睛】思路點睛：先研究函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)值的分布情況，接著作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合使得問題更直觀，進而即可進一步研究函數(shù)的性質(zhì)情況：研究方程的根的個數(shù)問題，可先解方程得與，再根據(jù)條件依次分析兩解對應(yīng)的根的情況并樹形結(jié)合即可得解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)，且，則的值為_____.【答案】【解析】【分析】結(jié)合分段函數(shù)解析式，分別在，條件下化簡方程求即可.【詳解】因為函數(shù)當時，，方程，可化為，所以，解得；當時，方程，可化為，所以，故，矛盾，故時，不存在滿足條件，所以.故答案為:13.在棱長為透明密閉的正方形容器中，裝有容器總體積一半的水（不計容器壁的厚度），將該正方體容器繞旋轉(zhuǎn)，并始終保持所在直線與水平平面平行，則在旋轉(zhuǎn)過程中容器中水的水面面積的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)點在上，點在CD上，滿足，則原問題等價于求解四邊形的最大值.建立空間直角坐標系，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得旋轉(zhuǎn)過程中容器中水的水面面積的最大值.【詳解】如圖所示，在棱長為的正方體中，點在上，點在CD上，滿足，則原問題等價于求解四邊形的最大值.作于點，當EG最大時，四邊形有最大值.建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，設(shè)，由于，由可得：，則：，故,故：，由可得：.故：，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當或時，取得最大值，此時取得最大值，最大值為：.【點睛】本題主要考查等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，空間向量的應(yīng)用，函數(shù)最值的求解等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.14.已知等差數(shù)列的前項和為，且.數(shù)列的前項和為.給出下列四個結(jié)論：①；②；③使成立的的最大值為4048；④當時，取得最小值.其中所有正確結(jié)論的序號是_____________.【答案】①②④【解析】【分析】由與的關(guān)系即可判斷①；由等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷②③；由數(shù)列的正負規(guī)律即可判斷④.【詳解】，，所以，故①正確；因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，公差，所以，因為，所以，由，所以，即，故②正確；因為，，所以成立的的最大值為，故③不正確；因為，，所以當時，，當時，，當時，，所以當時，取得最小值，故④正確.故答案為：①②④.【點睛】方法點睛：解決數(shù)列前項和的最值問題的一般方法有以下兩類：（1）先求出數(shù)列的前項和，再通過的符號研究數(shù)列的單調(diào)性求最值，或轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值求解；（2）不求數(shù)列的前項和，通過對數(shù)列通項的符號變化規(guī)律找到所有的正負轉(zhuǎn)折項，如：利用條件來找最大時可能的項數(shù)，利用條件來找最小時可能的項數(shù)，需要注意的是，由于首項的特殊性（無前一項），最值也可能在處就取到.四、解答題：本題共5小題，共60分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.在銳角中，a，b，c分別為內(nèi)角A、B，C的對邊，且.（1）求A的大?。唬?）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助正弦定理將角化邊后，借助余弦定理計算即可得；（2）由為銳角三角形可得角的范圍，再借助三角恒等變換化簡后計算即可得.【小問1詳解】由題及正弦定理得：，即，則，∵，∴；【小問2詳解】由為銳角三角形知，，故，則，有，即，故的取值范圍為.16.已知橢圓：的右焦點F在直線上，A，B分別為的左、右頂點，且.（1）求C的標準方程；（2）是否存在過點的直線交C于M，N兩點，使得直線，的斜率之和等于-1？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在，.【解析】【分析】（1）先求出點的坐標，得出橢圓中的，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)可出答案.（2）設(shè)直線的方程為：，Mx1,y1，N【小問1詳解】設(shè)右焦點Fc,0直線與x軸的交點為1,0，所以橢圓C右焦點F坐標為1,0，故在橢圓C中，由題意，結(jié)合，則，，所以橢圓C的方程為：；【小問2詳解】當直線的斜率為0時，顯然不滿足條件，當直線的傾斜角不為時，設(shè)直線的方程為：，Mx1,y1由，可得，由題意，則，，由，由，即，故存在滿足條件的直線，直線的方程為：.17.已知函數(shù)．（1）若，，求曲線在處切線的方程（2）討論函數(shù)的單調(diào)性（3）若，對任意兩個不同的，不等式恒成立，求的最小值．【答案】（1）（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）通過曲線在某一點的切線的相關(guān)知識直接求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)，對參數(shù)分類討論，即可求解單調(diào)性；（3）設(shè)，將原表達式化為，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)為上的減函數(shù)，參變分離求解函數(shù)的最值即可.【小問1詳解】若，，則，可得，所以，且，所以曲線在處的切線的方程為，即為；【小問2詳解】，當時，f′x>0，在x∈當時，令，解得，當時，f′x<0，在上單調(diào)遞減，當時，f′x>0，在上單調(diào)遞增.綜上，當時，在x∈0,+∞上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問3詳解】因為，，所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，則由可化為，設(shè)，則，所以為上的減函數(shù)，即在上恒成立，等價于在上恒成立，即在上恒成立，又，所以，所以，而函數(shù)在上是增函數(shù)，所以（當且僅當，時等號成立）．所以．即的最小值為.【點睛】思路點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性是常見方法，本題第（3）問通過為上的減函數(shù)，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進而求解答案.18.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在，【解析】【詳解】試題分析：（1）由面面垂直性質(zhì)定理知AB⊥平面；根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理可知，再由線面垂直判定定理可知平面；（2）取的中點，連結(jié)，，以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法可求出直線與平面所成角的正弦值；（3）假設(shè)存在，根據(jù)A，P，M三點共線，設(shè)，根據(jù)平面，即，求的值，即可求出的值.試題解析：（1）因為平面平面，，所以平面，所以，又因為，所以平面；（2）取的中點，連結(jié)，，因為，所以.又因為平面，平面平面，所以平面.因為平面，所以.因為，所以.如圖建立空間直角坐標系，由題意得，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則.所以.又，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）設(shè)是棱上一點，則存在使得.因此點.因為平面，所以平面當且僅當，即，解得.所以在棱上存在點使得平面，此時.考點：1.空間垂直判定與性質(zhì)；2.異面直線所成角的計算；3.空間向量的運用.19