河北省邯鄲市部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期月考（一）數(shù)學(xué)試卷 含解析

2025新高考單科模擬綜合卷（一）數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在本試卷和答題卡相應(yīng)位置上.3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效.4．考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.某地有8個(gè)快遞收件點(diǎn)，在某天接收到的快遞個(gè)數(shù)分別為360，284，290，300，188，240，260，288，則這組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)為75的快遞個(gè)數(shù)為（）A.290 B.295 C.300 D.330【答案】B【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的知識(shí)求得正確答案.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?88，240，260，284，288，290，300，360，，所以分位數(shù)為.故選：B2.已知數(shù)列是無(wú)窮項(xiàng)等比數(shù)列，公比為，則“”是“數(shù)列單調(diào)遞增”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比的不同情形，分析數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合充分條件、必要條件得解.【詳解】若，，則數(shù)列an單調(diào)遞減，故不能推出數(shù)列an單調(diào)遞增；若an單調(diào)遞增，則，，或，，不能推出，所以“”是“數(shù)列an單調(diào)遞增”的既不充分也不必要條件，故選：D．3.已知圓與雙曲線的漸近線相切，則該雙曲線的離心率是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由雙曲線方程，求得其一條漸近線的方程，再由圓，求得圓心為，半徑，利用直線與圓相切，即可求得，得到答案．【詳解】由雙曲線，可得其一條漸近線的方程為，即，又由圓，可得圓心為，半徑，則圓心到直線的距離為，則，可得，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的離心率的求解，以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4.已知向量，，若向量在向量上的投影向量為，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量投影的概念運(yùn)算求出，再利用向量數(shù)量積運(yùn)算求得結(jié)果.【詳解】由題在上的投影向量為，又，，即，.故選：A.5.冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字“冬”（如圖1甲）為靈感來(lái)源，結(jié)合中國(guó)書(shū)法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國(guó)傳統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國(guó)際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國(guó)在新時(shí)代的新形象?新夢(mèng)想.某同學(xué)查閱資料得知，書(shū)法中的一些特殊畫(huà)筆都有固定的角度，比如彎折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書(shū)法中的美學(xué)要求.該同學(xué)取端點(diǎn)繪制了△ABD（如圖乙），測(cè)得，若點(diǎn)C恰好在邊BD上，請(qǐng)幫忙計(jì)算sin∠ACD的值（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)三條邊求出，利用平方關(guān)系得到，即可根據(jù)等腰三角形求解.【詳解】由題意，在中，由余弦定理可得，，因?yàn)椋裕谥?，由得，故選：C6.2023年9月8日，杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)火炬?zhèn)鬟f啟動(dòng)儀式在西湖涌金公園廣場(chǎng)舉行．秉持杭州亞運(yùn)會(huì)“綠色、智能、節(jié)儉、文明”的辦賽理念，本次亞運(yùn)會(huì)火炬?zhèn)鬟f線路的籌劃聚焦簡(jiǎn)約、規(guī)模適度．在杭州某路段傳遞活動(dòng)由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成．若第一棒火炬手只能從甲、乙、丙中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案種數(shù)為（）A.18 B.24 C.36 D.48【答案】B【解析】【分析】分第一棒為丙、第一棒為甲或乙兩種情況討論，分別計(jì)算可得.【詳解】當(dāng)?shù)谝话魹楸麜r(shí)，排列方案有種；當(dāng)?shù)谝话魹榧谆蛞視r(shí)，排列方案有種；故不同的傳遞方案有種.故選：B7.已知是三角形的一個(gè)內(nèi)角，滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,可求的值，進(jìn)而利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)，即可計(jì)算得解．【詳解】因?yàn)?，兩邊平方得，即，可得，因?yàn)槭侨切蔚囊粋€(gè)內(nèi)角，且，所以，所以，得，又因?yàn)?，，?lián)立解得：，，故有：，從而有．故選：B．8.已知橢圓：的焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，且滿足，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，先根據(jù)，得，，代入橢圓方程可得，進(jìn)而解方程可得.【詳解】如圖，：的圖象，則，，其中，設(shè)，，則，，，，因，得，故，得，由得，得即，得由，得，又，，化簡(jiǎn)得，又橢圓離心率，所以，得.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，，，則（）A. B.的實(shí)部依次成等比數(shù)列C. D.的虛部依次成等差數(shù)列【答案】ABC【解析】【分析】由題意由復(fù)數(shù)乘除法分別將化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)加法、共軛復(fù)數(shù)的概念即可判斷A；復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部以及等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念即可判斷BD，由復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可判斷C.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，故A正確；因?yàn)椋?，的?shí)部分別為1，3，9，所以，，的實(shí)部依次成等比數(shù)列，故B正確；因?yàn)?，，的虛部分別為，，1，所以，，的虛部依次不成等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤；，故C正確.故選：ABC10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．則（）A.的圖象關(guān)于中心對(duì)稱B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù)的圖象D.將函數(shù)的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象【答案】ABD【解析】【分析】由題意首先求出函數(shù)的表達(dá)式，對(duì)于A，直接代入檢驗(yàn)即可；對(duì)于B，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性、正弦函數(shù)單調(diào)性判斷即可；對(duì)于CD，直接由三角函數(shù)的平移、伸縮變換法則進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】由圖象可知，，解得，又，所以，即，結(jié)合，可知，所以函數(shù)的表達(dá)式為，對(duì)于A，由于，即的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將函數(shù)的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象，故D正確.故選：ABD.11.定義在R上的函數(shù)滿足，，.若，記函數(shù)的最大值與最小值分別為、，則下列說(shuō)法正確的是（）A.為的一個(gè)周期 B.C.若，則 D.在上單調(diào)遞增【答案】ABC【解析】【分析】結(jié)合已知求得為的一個(gè)周期，從而A正確；將等式兩側(cè)對(duì)應(yīng)函數(shù)分別求導(dǎo)，得，即可判斷B正確；利用中心對(duì)稱性質(zhì)求值判斷C正確；根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷D錯(cuò)誤.【詳解】由，將x替換成，得．因?yàn)?，由上面兩個(gè)式子，．將x替換成，，所以．所以，所以為的一個(gè)周期，A正確；將等式兩側(cè)對(duì)應(yīng)函數(shù)分別求導(dǎo)，得，即成立，B正確；滿足，即函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，函數(shù)的最大值和最小值點(diǎn)一定存在關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以，解得，C正確；已知條件中函數(shù)沒(méi)有單調(diào)性，無(wú)法判斷在上是否單調(diào)遞增，D錯(cuò)誤.故選：ABC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若集合，，，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】6【解析】【分析】先求出集合，然后由，從而求解.【詳解】由，解得，所以，因?yàn)?，，所以，所以的最小值?故答案為：.13.甲?乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和.若，則__________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得，再結(jié)合圓心角之和可將分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.【詳解】解：設(shè)母線長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故答案為：.14.已知實(shí)數(shù)，滿足，，則__________．【答案】1【解析】【分析】由可變形為，故考慮構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性化簡(jiǎn)等式，由此可求.【詳解】因?yàn)?，化?jiǎn)得．所以，又，構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)，在上都為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，由，∴，解得，，∴．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值；（2）若直線是曲線的一條切線，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)正負(fù)可確定在上的單調(diào)性，由單調(diào)性可確定最值點(diǎn)并求得最值；（2）設(shè)切點(diǎn)為，結(jié)合切線斜率可構(gòu)造方程組求得和的值.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，又，，.小問(wèn)2詳解】由題意知：，設(shè)直線與相切于點(diǎn)，則，消去得：，解得：，則，解得：.16.“村BA”后，貴州“村超”又火出圈!所謂“村超”，其實(shí)是目前火爆全網(wǎng)的貴州鄉(xiāng)村體育賽事一一榕江（三寶侗寨）和美鄉(xiāng)村足球超級(jí)聯(lián)賽，被大家簡(jiǎn)稱為“村超”.“村超”的民族風(fēng)?鄉(xiāng)土味?歡樂(lè)感，讓每個(gè)人盡情享受著足球帶來(lái)的快樂(lè).某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團(tuán).足球社團(tuán)為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男?女同學(xué)各50名進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：

喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生

20

女生15

合計(jì)

100附：.0.10.050.010.0050.0012.7063.84166357.87910.828（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否有的把握認(rèn)為該中學(xué)學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)？（2）社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡足球?qū)W生中抽取了2名男生和1名女生示范定點(diǎn)射門.據(jù)統(tǒng)計(jì)，這兩名男生進(jìn)球的概率均為，這名女生進(jìn)球的概率為，每人射門一次，假設(shè)各人進(jìn)球相互獨(dú)立，求3人進(jìn)球總次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）有的把握認(rèn)為該中學(xué)學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)男女生各50名及表中數(shù)據(jù)即可填寫(xiě)列聯(lián)表，然后根據(jù)計(jì)算從而求解.（2）根據(jù)題意可知的所有可能取值為，列出分布列，計(jì)算出期望從而求解.【小問(wèn)1詳解】依題意，列聯(lián)表如下：

喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生302050女生153550合計(jì)4555100零假設(shè)：該中學(xué)學(xué)生喜歡足球與性別無(wú)關(guān)，的觀測(cè)值為，，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，所以有的把握認(rèn)為該中學(xué)學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān).【小問(wèn)2詳解】依題意，的所有可能取值為，，所以的分布列為：0123數(shù)學(xué)期.17.如圖，多面體由正四棱錐和正四面體組合而成.（1）證明：平面；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用正四棱錐與正四面體的性質(zhì)得到多面體的棱長(zhǎng)全相等，從而利用線面垂直的判定定理證得四點(diǎn)共面，再利用線面平行的判定定理即可得解；（2）依題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求得線面角，從而得解.【小問(wèn)1詳解】分別取的中點(diǎn)，連接，由題意可知多面體的棱長(zhǎng)全相等，且四邊形為正方形，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，同理平?又平面平面，所以四點(diǎn)共面.又因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平?【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z，則，即，令，則，所以.設(shè)與平面所成角為，則，即與平面所成角的正弦值為.18.已知拋物線為拋物線外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為（在軸兩側(cè)），與分別交軸于.（1）若點(diǎn)在直線上，證明直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；（2）若點(diǎn)在曲線上，求四邊形的面積的范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合處的切線方程求得直線所過(guò)定點(diǎn).（2）先求得四邊形的面積的表達(dá)式，然后利用導(dǎo)數(shù)求得面積的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，直線，聯(lián)立，可得.在軸兩側(cè)，，，由得，所以點(diǎn)處的切線方程為，整理得，同理可求得點(diǎn)處的切線方程為，由，可得，又在直線上，.直線過(guò)定點(diǎn)0,2.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得在曲線上，.由（1）可知，，，令在單調(diào)遞增，四邊形的面積的范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解拋物線的切線方程，有兩種方法，一種是利用判別式法，即設(shè)出切線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)后利用判別式為0列方程來(lái)求得切線方程；另一種是利用導(dǎo)數(shù)的方法，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率，進(jìn)而求得切線方程.19.已知有窮數(shù)列中的每一項(xiàng)都是不大于的正整數(shù).對(duì)于滿足的整數(shù)，令集合.記集合中元素的個(gè)數(shù)為（約定空集的元素個(gè)數(shù)為0）.（1）若，求及；（2）若，求證：互不相同；（3）已知，若對(duì)任意的正整數(shù)都有或，求的值.【答案】（1），.（2）證明見(jiàn)解析（3）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）觀察數(shù)列，結(jié)合題意得到及；（2）先得到，故，再由得到，從而證明出結(jié)論；（3）由題意得或，令，得到或，當(dāng)時(shí)得到，當(dāng)時(shí)，考慮或兩種情況，求出答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，則；【小問(wèn)2詳解】依題意，則有，因此，又因?yàn)?，所以所以互不相?【小問(wèn)3詳解】依題意由或，知或.令，可得或，對(duì)于成立，故或.①當(dāng)時(shí)，，所以.②當(dāng)時(shí)，或.當(dāng)時(shí)，由或，有，同理，所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)有，令，可得或，即或.令，