河北省邯鄲市部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期月考(一)數(shù)學(xué)試卷 含解析_第1頁(yè)
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2025新高考單科模擬綜合卷(一)數(shù)學(xué)考生注意:1.本試卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘.2.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在本試卷和答題卡相應(yīng)位置上.3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效.4.考試結(jié)束后,將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某地有8個(gè)快遞收件點(diǎn),在某天接收到的快遞個(gè)數(shù)分別為360,284,290,300,188,240,260,288,則這組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)為75的快遞個(gè)數(shù)為()A.290 B.295 C.300 D.330【答案】B【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的知識(shí)求得正確答案.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?88,240,260,284,288,290,300,360,,所以分位數(shù)為.故選:B2.已知數(shù)列是無(wú)窮項(xiàng)等比數(shù)列,公比為,則“”是“數(shù)列單調(diào)遞增”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比的不同情形,分析數(shù)列的單調(diào)性,結(jié)合充分條件、必要條件得解.【詳解】若,,則數(shù)列an單調(diào)遞減,故不能推出數(shù)列an單調(diào)遞增;若an單調(diào)遞增,則,,或,,不能推出,所以“”是“數(shù)列an單調(diào)遞增”的既不充分也不必要條件,故選:D.3.已知圓與雙曲線的漸近線相切,則該雙曲線的離心率是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由雙曲線方程,求得其一條漸近線的方程,再由圓,求得圓心為,半徑,利用直線與圓相切,即可求得,得到答案.【詳解】由雙曲線,可得其一條漸近線的方程為,即,又由圓,可得圓心為,半徑,則圓心到直線的距離為,則,可得,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的離心率的求解,以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4.已知向量,,若向量在向量上的投影向量為,則()A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量投影的概念運(yùn)算求出,再利用向量數(shù)量積運(yùn)算求得結(jié)果.【詳解】由題在上的投影向量為,又,,即,.故選:A.5.冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字“冬”(如圖1甲)為靈感來(lái)源,結(jié)合中國(guó)書(shū)法的藝術(shù)形態(tài),將悠久的中國(guó)傳統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國(guó)際化風(fēng)格融為一體,呈現(xiàn)出中國(guó)在新時(shí)代的新形象?新夢(mèng)想.某同學(xué)查閱資料得知,書(shū)法中的一些特殊畫(huà)筆都有固定的角度,比如彎折位置通常采用30°,45°,60°,90°,120°,150°等特殊角度.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書(shū)法中的美學(xué)要求.該同學(xué)取端點(diǎn)繪制了△ABD(如圖乙),測(cè)得,若點(diǎn)C恰好在邊BD上,請(qǐng)幫忙計(jì)算sin∠ACD的值()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)三條邊求出,利用平方關(guān)系得到,即可根據(jù)等腰三角形求解.【詳解】由題意,在中,由余弦定理可得,,因?yàn)?,所以,在中,由得,故選:C6.2023年9月8日,杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)火炬?zhèn)鬟f啟動(dòng)儀式在西湖涌金公園廣場(chǎng)舉行.秉持杭州亞運(yùn)會(huì)“綠色、智能、節(jié)儉、文明”的辦賽理念,本次亞運(yùn)會(huì)火炬?zhèn)鬟f線路的籌劃聚焦簡(jiǎn)約、規(guī)模適度.在杭州某路段傳遞活動(dòng)由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成.若第一棒火炬手只能從甲、乙、丙中產(chǎn)生,最后一棒火炬手只能從甲、乙中產(chǎn)生,則不同的傳遞方案種數(shù)為()A.18 B.24 C.36 D.48【答案】B【解析】【分析】分第一棒為丙、第一棒為甲或乙兩種情況討論,分別計(jì)算可得.【詳解】當(dāng)?shù)谝话魹楸麜r(shí),排列方案有種;當(dāng)?shù)谝话魹榧谆蛞視r(shí),排列方案有種;故不同的傳遞方案有種.故選:B7.已知是三角形的一個(gè)內(nèi)角,滿足,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,可求的值,進(jìn)而利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn),即可計(jì)算得解.【詳解】因?yàn)椋瑑蛇吰椒降?,即,可得,因?yàn)槭侨切蔚囊粋€(gè)內(nèi)角,且,所以,所以,得,又因?yàn)?,,?lián)立解得:,,故有:,從而有.故選:B.8.已知橢圓:的焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)在上,點(diǎn)在軸上,且滿足,,則的離心率為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè),先根據(jù),得,,代入橢圓方程可得,進(jìn)而解方程可得.【詳解】如圖,:的圖象,則,,其中,設(shè),,則,,,,因,得,故,得,由得,得即,得由,得,又,,化簡(jiǎn)得,又橢圓離心率,所以,得.故選:D二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分,在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù),,,則()A. B.的實(shí)部依次成等比數(shù)列C. D.的虛部依次成等差數(shù)列【答案】ABC【解析】【分析】由題意由復(fù)數(shù)乘除法分別將化簡(jiǎn),再由復(fù)數(shù)加法、共軛復(fù)數(shù)的概念即可判斷A;復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部以及等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念即可判斷BD,由復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可判斷C.【詳解】因?yàn)?,,所以,所以,故A正確;因?yàn)?,,的?shí)部分別為1,3,9,所以,,的實(shí)部依次成等比數(shù)列,故B正確;因?yàn)?,,的虛部分別為,,1,所以,,的虛部依次不成等差數(shù)列,故D錯(cuò)誤;,故C正確.故選:ABC10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.則()A.的圖象關(guān)于中心對(duì)稱B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù)的圖象D.將函數(shù)的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的,得到函數(shù)的圖象【答案】ABD【解析】【分析】由題意首先求出函數(shù)的表達(dá)式,對(duì)于A,直接代入檢驗(yàn)即可;對(duì)于B,由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性、正弦函數(shù)單調(diào)性判斷即可;對(duì)于CD,直接由三角函數(shù)的平移、伸縮變換法則進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】由圖象可知,,解得,又,所以,即,結(jié)合,可知,所以函數(shù)的表達(dá)式為,對(duì)于A,由于,即的圖象關(guān)于中心對(duì)稱,故A正確;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),,由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增,故B正確;對(duì)于C,函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù),故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,將函數(shù)的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的,得到函數(shù)的圖象,故D正確.故選:ABD.11.定義在R上的函數(shù)滿足,,.若,記函數(shù)的最大值與最小值分別為、,則下列說(shuō)法正確的是()A.為的一個(gè)周期 B.C.若,則 D.在上單調(diào)遞增【答案】ABC【解析】【分析】結(jié)合已知求得為的一個(gè)周期,從而A正確;將等式兩側(cè)對(duì)應(yīng)函數(shù)分別求導(dǎo),得,即可判斷B正確;利用中心對(duì)稱性質(zhì)求值判斷C正確;根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷D錯(cuò)誤.【詳解】由,將x替換成,得.因?yàn)?,由上面兩個(gè)式子,.將x替換成,,所以.所以,所以為的一個(gè)周期,A正確;將等式兩側(cè)對(duì)應(yīng)函數(shù)分別求導(dǎo),得,即成立,B正確;滿足,即函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,函數(shù)的最大值和最小值點(diǎn)一定存在關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的對(duì)應(yīng)關(guān)系,所以,解得,C正確;已知條件中函數(shù)沒(méi)有單調(diào)性,無(wú)法判斷在上是否單調(diào)遞增,D錯(cuò)誤.故選:ABC.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.若集合,,,則的最小值為_(kāi)_________.【答案】6【解析】【分析】先求出集合,然后由,從而求解.【詳解】由,解得,所以,因?yàn)?,,所以,所以的最小值?故答案為:.13.甲?乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等,側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為,側(cè)面積分別為和,體積分別為和.若,則__________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為,甲圓錐底面半徑為,乙圓錐底面圓半徑為,根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得,再結(jié)合圓心角之和可將分別用表示,再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高,再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.【詳解】解:設(shè)母線長(zhǎng)為,甲圓錐底面半徑為,乙圓錐底面圓半徑為,則,所以,又,則,所以,所以甲圓錐的高,乙圓錐的高,所以.故答案為:.14.已知實(shí)數(shù),滿足,,則__________.【答案】1【解析】【分析】由可變形為,故考慮構(gòu)造函數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性化簡(jiǎn)等式,由此可求.【詳解】因?yàn)?,化?jiǎn)得.所以,又,構(gòu)造函數(shù),因?yàn)楹瘮?shù),在上都為增函數(shù),所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù),由,∴,解得,,∴.故答案為:.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí),求在區(qū)間上的最值;(2)若直線是曲線的一條切線,求的值.【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)求導(dǎo)后,根據(jù)正負(fù)可確定在上的單調(diào)性,由單調(diào)性可確定最值點(diǎn)并求得最值;(2)設(shè)切點(diǎn)為,結(jié)合切線斜率可構(gòu)造方程組求得和的值.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí),,則,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,,,又,,.小問(wèn)2詳解】由題意知:,設(shè)直線與相切于點(diǎn),則,消去得:,解得:,則,解得:.16.“村BA”后,貴州“村超”又火出圈!所謂“村超”,其實(shí)是目前火爆全網(wǎng)的貴州鄉(xiāng)村體育賽事一一榕江(三寶侗寨)和美鄉(xiāng)村足球超級(jí)聯(lián)賽,被大家簡(jiǎn)稱為“村超”.“村超”的民族風(fēng)?鄉(xiāng)土味?歡樂(lè)感,讓每個(gè)人盡情享受著足球帶來(lái)的快樂(lè).某校為了豐富學(xué)生課余生活,組建了足球社團(tuán).足球社團(tuán)為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān),隨機(jī)抽取了男?女同學(xué)各50名進(jìn)行調(diào)查,部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示:

喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生

20

女生15

合計(jì)

100附:.0.10.050.010.0050.0012.7063.84166357.87910.828(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表,依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否有的把握認(rèn)為該中學(xué)學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)?(2)社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡足球?qū)W生中抽取了2名男生和1名女生示范定點(diǎn)射門(mén).據(jù)統(tǒng)計(jì),這兩名男生進(jìn)球的概率均為,這名女生進(jìn)球的概率為,每人射門(mén)一次,假設(shè)各人進(jìn)球相互獨(dú)立,求3人進(jìn)球總次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)有的把握認(rèn)為該中學(xué)學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)(2)分布列見(jiàn)解析,【解析】【分析】(1)根據(jù)男女生各50名及表中數(shù)據(jù)即可填寫(xiě)列聯(lián)表,然后根據(jù)計(jì)算從而求解.(2)根據(jù)題意可知的所有可能取值為,列出分布列,計(jì)算出期望從而求解.【小問(wèn)1詳解】依題意,列聯(lián)表如下:

喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生302050女生153550合計(jì)4555100零假設(shè):該中學(xué)學(xué)生喜歡足球與性別無(wú)關(guān),的觀測(cè)值為,,根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷不成立,所以有的把握認(rèn)為該中學(xué)學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān).【小問(wèn)2詳解】依題意,的所有可能取值為,,所以的分布列為:0123數(shù)學(xué)期.17.如圖,多面體由正四棱錐和正四面體組合而成.(1)證明:平面;(2)求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】(1)利用正四棱錐與正四面體的性質(zhì)得到多面體的棱長(zhǎng)全相等,從而利用線面垂直的判定定理證得四點(diǎn)共面,再利用線面平行的判定定理即可得解;(2)依題意建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法求得線面角,從而得解.【小問(wèn)1詳解】分別取的中點(diǎn),連接,由題意可知多面體的棱長(zhǎng)全相等,且四邊形為正方形,所以,因?yàn)槠矫?,所以平面,同理平?又平面平面,所以四點(diǎn)共面.又因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?,所以,又平面平面,所以平?【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn),以所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則,所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z,則,即,令,則,所以.設(shè)與平面所成角為,則,即與平面所成角的正弦值為.18.已知拋物線為拋物線外一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為(在軸兩側(cè)),與分別交軸于.(1)若點(diǎn)在直線上,證明直線過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn);(2)若點(diǎn)在曲線上,求四邊形的面積的范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析,定點(diǎn)(2)【解析】【分析】(1)設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立,化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系,結(jié)合處的切線方程求得直線所過(guò)定點(diǎn).(2)先求得四邊形的面積的表達(dá)式,然后利用導(dǎo)數(shù)求得面積的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】設(shè),直線,聯(lián)立,可得.在軸兩側(cè),,,由得,所以點(diǎn)處的切線方程為,整理得,同理可求得點(diǎn)處的切線方程為,由,可得,又在直線上,.直線過(guò)定點(diǎn)0,2.【小問(wèn)2詳解】由(1)可得在曲線上,.由(1)可知,,,令在單調(diào)遞增,四邊形的面積的范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:求解拋物線的切線方程,有兩種方法,一種是利用判別式法,即設(shè)出切線的方程并與拋物線方程聯(lián)立,化簡(jiǎn)后利用判別式為0列方程來(lái)求得切線方程;另一種是利用導(dǎo)數(shù)的方法,利用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率,進(jìn)而求得切線方程.19.已知有窮數(shù)列中的每一項(xiàng)都是不大于的正整數(shù).對(duì)于滿足的整數(shù),令集合.記集合中元素的個(gè)數(shù)為(約定空集的元素個(gè)數(shù)為0).(1)若,求及;(2)若,求證:互不相同;(3)已知,若對(duì)任意的正整數(shù)都有或,求的值.【答案】(1),.(2)證明見(jiàn)解析(3)答案見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)觀察數(shù)列,結(jié)合題意得到及;(2)先得到,故,再由得到,從而證明出結(jié)論;(3)由題意得或,令,得到或,當(dāng)時(shí)得到,當(dāng)時(shí),考慮或兩種情況,求出答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋裕瑒t;【小問(wèn)2詳解】依題意,則有,因此,又因?yàn)?,所以所以互不相?【小問(wèn)3詳解】依題意由或,知或.令,可得或,對(duì)于成立,故或.①當(dāng)時(shí),,所以.②當(dāng)時(shí),或.當(dāng)時(shí),由或,有,同理,所以當(dāng)時(shí),此時(shí)有,令,可得或,即或.令,

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