初中數(shù)學(xué)《隱形圓》模型梳理與題型分類含答案解析

隱形圓(4大模型與6類題型)隱形圓模型是初中數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)點(diǎn)，常用于解決一些看似沒有直接使用圓的知識(shí)但實(shí).本專題梳理了隱形圓四大】定點(diǎn)定長(zhǎng)模型(1)(2)如圖1OA=OB=OCABC在以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓上.由圓周角定理可得：∠ABC=121212∠AOC,∠ACB=∠AOB,∠=∠BOC.圖1】90°圓周角模型2△ABC中，∠C=90°CC的軌跡是以AB為直徑的⊙O(不包含AB兩點(diǎn))．圖2】定弦定角模型⊙OABAB所對(duì)的圓周角都相等；(AB所對(duì)的劣弧(AB))1AB及線段AB所對(duì)的∠CC不唯一．當(dāng)∠C<90°C∠C=90°時(shí)CAB是⊙O∠C>90°C在劣弧上運(yùn)動(dòng)．∠A+∠C=1800ABCD在圓OABCD四點(diǎn)共圓.圖3......................................................3;】90°圓周角模型...................................................6;.....................................................11；.....................................................15；.........................................................20；.........................................................23.】定點(diǎn)定長(zhǎng)模型1.(23-24九年級(jí)上·福建福州·期末)△ABC中，AB=4DE分別是邊AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)(不與△ABC的頂點(diǎn)重合)AE,相交于點(diǎn)F接BF∠BDF+∠=180°BF的最小值為．243433【【3/∠BDF+∠=180°，F(xiàn)在以O(shè)為圓心OA的長(zhǎng)為半徑∠AOC=120°的圓弧上運(yùn)動(dòng)△AOB≌△COB，∠DFE=120°，∠AFC=120°，OA,OC,OB,，OA=OC=,BF≥OB-，進(jìn)行求解即可．△AOB為含30度角的直角三角形解∵等邊△ABC，∴∠ABC=60°AB=BC，∵∠BDF+∠=180°，∴∠DFE+∠ABC=360°-∠BDF+∠=180°，∴∠DFE=120°，∴∠AFC=120°，∴點(diǎn)F在以O(shè)為圓心OA的長(zhǎng)為半徑OA=OC=,BF≥OB-，∵AB=BCOB=OB,OA=OC，∠AOC=120°的圓弧上運(yùn)動(dòng)OA,OC,OB,，∴△AOB≌△COB，1212∴∠ABO=∠CBO=∠ABC=30°∠AOB=∠BOC=∠AOC=60°，∴∠=90°，∴BO=2AOAB=3AO=4，43∴AO=3，8343∴BO=2OA=3=AO=3，3；434∴BF≤3，BF的最小值為343故答案為3．【30度角的直角三角形F的運(yùn)動(dòng)軌跡．一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值2.(24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè))如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正方形∠PBC+∠PDC=45°CP的最小值是()31222A.2-2DB.C.2-1中，求出∠BPD=135°P∠BPD=135°P在正方形A為圓心，ABAPACAPC三點(diǎn)共線時(shí)，CPAC-APAC和AP∠BPDP的軌跡．解：∵四邊形是正方形，∴∠=90°，在凹四邊形中，∵∠=90°∠PBC+∠PDC=45°∴∠BPC+∠CPD=360°-∠-(∠PBC+∠PDC)=225°，∴∠BPD=360°-(∠BPC+∠CPD)始終為135°，得點(diǎn)P∠BPD=135°P在正方形A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓弧APAC，，由解圖可得AP+CP≥ACAPC三點(diǎn)共線時(shí)，CPAC-AP，在Rt△ABC中，∵AB=BC=1，∴AC=AB2+BC2=2，∵AP=AB=1，∴CP=AC-AP=2-1，故選：D．3.(24-25九年級(jí)上·江蘇宿遷)中，AB=6BC=8EF分別是邊ABBC上=4G是的中點(diǎn)，AGCG面積的最小值為()4A.30B.32C.3538DACBGG在以B為圓心，2B作BH⊥AC于HG在BH上時(shí)，△ACGACBG，∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°S=48，∵=4G為的中點(diǎn)，1∴BG==2，2∴G在以B為圓心，2為半徑的圓弧上，過B作BH⊥AC于H，當(dāng)G在BH上時(shí)，△ACG面積取最小值，四邊形面積=三角形ACG面積+三角形面積，即四邊形面積=三角形ACG面積+24．設(shè)圓弧交BH于面積取最小值，由勾股定理得：AC=62+82=10，1212∵AC?BH=AB?BC，∴BH=4.8，∴H=2.8，12即四邊形面積的最小值=×10×2.8+24=38．故選：D．斜邊的直線等于斜邊的一半確定出G點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．】90°圓周角模型4.(2024·湖南婁底·一模)的邊長(zhǎng)為aEF分別在BCBE=CFAE與BF相交于點(diǎn)G接CGCG的最小值為．55-1a290°的圓周角所對(duì)的弦是直徑是解答本題的關(guān)鍵．通過證明△ABE≌△BCF證∠AGB=90°G在以ABG在OC與弧的交點(diǎn)處時(shí)，CGOC的長(zhǎng)即可求解．解：∵四邊形是正方形，∴∠ABC=∠BCF=90°AB=BC=a，AB=BC∴在△ABE和△BCF中，∠ABC=∠BCFBE=CF∴△ABE≌△BCF，∴∠=∠CBF，∵∠ABF+∠CBF=90°，∴∠ABF+∠=90°，∴∠AGB=90°，∴點(diǎn)G在以AB為直徑的一段弧上運(yùn)動(dòng)，設(shè)AB的中點(diǎn)為OG在OC與弧的交點(diǎn)處時(shí)，CG最短，∵AB=a，a2∴OB=OG=，a2522∴OC=+a2=a，5-1a2∴CG=OC-OG=5-1a，．25.(23-24九年級(jí)下·山東日照)的邊長(zhǎng)為2FCF,DF∠ADF=∠DCFE是ADEB,EB+長(zhǎng)度的最小值為()6A.13-1AB.10-1C.105+1∠ADC=90°∠DFC=90°F在以為直徑的半圓上移動(dòng)，的中點(diǎn)為O關(guān)于直線AD對(duì)稱的正方形ADC的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是BO交AD于EO于FF的長(zhǎng)即為EB+解：∵四邊形是正方形，∴∠ADC=90°，∴∠ADF+∠=90°，∵∠ADF=∠DCF，∴∠DCF+∠=90°，∴∠DFC=90°，∴點(diǎn)F在以為直徑的半圓上移動(dòng)，的中點(diǎn)為O關(guān)于直線AD對(duì)稱的正方形ADC的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是B，連接O交AD于EO于FF的長(zhǎng)即為EB+的長(zhǎng)度最小值，=1，∵∠C=90°,C=C==2，∴OC=3，∴=C2+OC2=13，∴F=13-1，∴FD+FE的長(zhǎng)度最小值為13-1，故選：A．理解點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．6.(24-25九年級(jí)上·廣東深圳·開學(xué)考試)如圖，EF是正方形的邊ADAE=DF．連接CF交BD于點(diǎn)GBE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長(zhǎng)為1DH長(zhǎng)度的最小值是()7525-1252A.-1B.C.5-1B可判定△ABE≌△DCF∠ABE=∠DCF∠DCG=∠∠AHB=90°AB的中點(diǎn)OH的運(yùn)動(dòng)軌跡為以O(shè)為圓心，=1212AB=OHD三點(diǎn)共線時(shí)，DH解：∵四邊形是正方形，∴AB=AD==1，∠=∠=90°，∠ADG=∠CDG，∵∠+∠G=90°，在△ABE和△DCF中，AB=∠=∠，AE=DF∴△ABE≌△DCF()，∴∠ABE=∠DCF，在△ADG和△中，AD=∠ADG=∠，DG=DG∴△ADG≌△CDG()，∴∠DCG=∠，∴∠ABE=∠，∴∠ABE+∠=90°，∴∠AHB=90°，AB的中點(diǎn)O，12∴OA=，1212∴H的運(yùn)動(dòng)軌跡為以O(shè)為圓心，=AB=為半徑的半圓，如圖，當(dāng)OHD三點(diǎn)共線時(shí)，DH最小，∴=2+AD212==+12252，∴DH=-525-1212==-；故選：B．8鍵．】定弦定角模型7.(22-23九年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí))如圖，是△ABCAB=2∠ACB=45°長(zhǎng)的最大值為()A.1+2AB.4-2C.24AB上方作以AB為斜邊的等腰直角三角形△AOBC在以O(shè)為圓心，OA經(jīng)過圓心時(shí)解AB上方作以AB為斜邊的等腰直角三角形△AOB，∵∠ACB=45°∴點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵AB=2，∴OA=OC=2，當(dāng)經(jīng)過圓心時(shí)最長(zhǎng)∵是△ABC的高，12∴AD=BD==AB=1此時(shí)=OC+=2+1，故選：A．C在以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．8.(20-21九年級(jí)上·江蘇無錫·期末)AB分別在x軸上和函數(shù)y=x的圖象上，AB=4CB⊥ABBC=2OC的最大值為()A.22+2B.22+4C.2525+29Ay=x與x軸的夾角為45°ABAD,,∠=45°△DCBDC+DC≥OC可求得OC的最大值A(chǔ)BAD,,，∵y=x與x軸的夾角為45°，12∴∠AOB=45°=∠∴A,O,B在⊙D上，∵AB=4∠=90°，∴BD=AD=22，∴∠ABD=45°∵BC⊥AB∴∠=90°∴∠CBD=45°∴△中BC=2,BD=22,∠CBD=45°過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E則BE=CE=2=∴=CB=2∵+DC≥OC∴當(dāng)O,D,C三點(diǎn)共線時(shí)，OC取得最大值，最大值為+DC=+DC=22+2故選A⊙D是解決本題的關(guān)鍵．9.(19-20九年級(jí)上·浙江寧波·期末)Rt△ABC中，∠=90°BC=2P是△ABC∠PBC=∠PCAAP長(zhǎng)的最小值為()1013A.0.5B.2-1C.2-2C∠PBC+∠PCB=45°∠BPC=135°P在以BC為弦的⊙OOA交BC于P′BC所對(duì)的圓周角∠BQC∠BOC=90°得到△OBCABOCOA=BC=2OB=2關(guān)系得到AP≥OA-OP(當(dāng)且僅當(dāng)APOP點(diǎn)在P′位置)AP的最小值.解：解：∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠ACB=45°∠PCB+∠PCA=45°，∵∠PBC=∠PCA，∴∠PBC+∠PCB=45°，∴∠BPC=135°，∴點(diǎn)P在以BC為弦的⊙OOA交BC于P′，作BC所對(duì)的圓周角∠BQC∠BCQ=180°-∠BPC=45°，∴∠BOC=2∠BQC=90°，∴△OBC為等腰直角三角形，∴四邊形ABOC為正方形，∴OA=BC=2，22∴OB=BC=2，∵AP≥OA-OP(當(dāng)且僅當(dāng)APOP點(diǎn)在P′位置)，∴AP的最小值為2-2．故選：C．..推論：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.10.(22-23九年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí))中，∠ABC=∠D=90°接AC，點(diǎn)F為邊BF交AC于點(diǎn)EAB=AE∠FGC+∠FBG=90°∠BFG+2∠GFC=722180°AD=BG=4CG的長(zhǎng)為．8與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H∠FGC=∠ABF∠GFC=∠BFD11722理得到∠H=∠ACBBH=BC∠H=∠H=45°AD=DH=AH=AD2+DH2=7CGEFEG明CE=CGCE=CG=xBH=BC=4+xAE=AB=x-3AC=2x-3AB2+BC2=AC2x-32+x+42=2x-32與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，∵∠FGC+∠FBG=90°∠FBG+∠ABF=∠ABC=90°∴∠FGC=∠ABF，∵∠BFG+2∠GFC=180°∠BFG+∠BFD+∠CFG=180°，∴2∠GFC=∠BFD+∠CFG，∴∠GFC=∠BFD，∵∠H+∠ABF+∠BFD=180°=∠ACB+∠FGC+∠GFC，∴∠H=∠ACB，∵∠ABC=90°，∴∠H=∠ACB=45°BH=BC，∵∠ADH=90°，∴∠H=∠H=45°，722∴AD=DH=，∴AH=AD2+DH2=7，∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∵∠FGC=∠ABE∠=∠AEB，∴∠FGC=∠，∴點(diǎn)CGEF連接EG，∴∠GFC=∠CEG∠BFD=∠CGE，∵∠GFC=∠BFD，∴∠CGE=∠CEG，∴CE=CG，設(shè)CE=CG=xBH=BC=BG+CG=4+x，∴AE=AB=BH-AH=x+4-7=x-3，∴AC=AE+CE=x-3+x=2x-3，由勾股定理得，AB2+BC2=AC2，∴x-32+x+42=2x-32，解得x=-1()或x=8，∴CG=8，故答案為：8共圓．11.(24-25九年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí))ABC中，AB=5,P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，PD12⊥BC,PE⊥ACD,E則的最小值為．154PCCP的中點(diǎn)OOEO作⊥于H△是頂角為120°OE的值最小時(shí)，PC的最小值．PCCP的中點(diǎn)OOE點(diǎn)O作⊥于H，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°AB=BC=AC=5，∵PD⊥BCPE⊥AC，∴∠PEC=∠PDC=90°，∵OP=OC，∴OE=OP=OC=，∴CDPE四點(diǎn)共圓，∴∠=2∠=120°，∴當(dāng)OE的值最小時(shí)，的值最小，532534CP⊥AB時(shí)，PC=時(shí)OE最小，OE=，∵OE=⊥，∴DH=EH∠=∠=60°，∴∠OEH=30°，12538∴=OE=，158∴DH=EH=OE2-2=，15∴=2DH=，4154∴的值最小為，15故答案為：．430°CP⊥AB時(shí)OE最小是解題的關(guān)鍵．12.(23-24九年級(jí)下·江蘇南京·階段練習(xí))△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=2P是射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，∠CPD=90°PC=PD接ADCDAD+的最小值是．1325AC中點(diǎn)HDH交AB于點(diǎn)G接BD,PHDH⊥AC時(shí)，DH△AD=CDAD,AD+∠AHD=∠CHD=∠ACB=90°出DH∥BC中點(diǎn)為O∠CHD=∠CPD=90°C,H,P,D在以點(diǎn)O為圓心∠CHP+∠PDC=180°∠ABC=45°B在圓O上，進(jìn)而推出∠CBD+∠CPD=180°∠CBD=90°BCHDHD=BC=2定理即可計(jì)算出解AC中點(diǎn)H接DH交AB于點(diǎn)GBD,PH，當(dāng)DH⊥AC時(shí)，DH有最小值，∵點(diǎn)H是AC中點(diǎn)，DH⊥AC，∴△是等腰三角形，∴AD=CD，∵AH,CH是定值，DH有最小值時(shí)，即AD,AD+有最小值，∵∠AHD=∠CHD=∠ACB=90°，∴DH∥BC，設(shè)中點(diǎn)為O，∵∠CHD=∠CPD=90°，∴點(diǎn)C,H,P,D在以點(diǎn)O為圓心為直徑的圓上，∴∠CHP+∠PDC=180°，∵∠ABC=45°，∴此時(shí)點(diǎn)B在圓O上，∴∠CBD+∠CPD=180°，∴∠CBD=90°，∵DH∥BC，∴四邊形BCHD是矩形，∴HD=BC=2，1∵HC=AC=1，2在Rt△CHD中，∴=CH2+HD2=5，∴AD+的最小值為2=25，故答案為：25．1411.(2023·山東泰安·中考真題)Rt△AOB的一條直角邊OB在xA的坐標(biāo)為(-64)Rt△中，∠=90°=43∠D=30°BCM是BC接AM．將Rt△以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AM的最小值是()A.3B.62-4C.213-22A到E得AE=ABOECEA的坐標(biāo)為(-64)得到BE=812證明AM是△BCEAM=CERt△得到OC=4C在以O(shè)為圓4M在線段OE上時(shí)，CEAMCE的到EAE=ABOECE，∵Rt△AOB的一條直角邊OB在xA的坐標(biāo)為(-64)，∴AB=4OB=6，∴AE=AB=4，∴BE=8，∵點(diǎn)M為BCA為BE中點(diǎn)，∴AM是△BCE的中位線，1∴AM=CE；2在Rt△中，∠=90°=43∠D=30°，33∴OC==4，∵將Rt△以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，∴點(diǎn)C在以O(shè)4的圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)M在線段OE上時(shí)，CEAM有最小值，∵OE=BE2+OB2=10，∴CE的最小值為10-4=6，∴AM的最小值為3，故選A．30度角152.(2022·廣西柳州·中考真題)中，AB=4G是BCE是正方形內(nèi)一個(gè)EG=2繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF接CFCF長(zhǎng)的最小值為．25-2EG=2E在以G2AE△≌△()得AE=CFAEG三點(diǎn)共線時(shí)，AECFEG=2E在以G2AE，∵正方形ABCD，∴AD=,∠ADC=90°，∴∠ADC=∠EDF=90°，∴∠=∠，∵=DF，∴△≌△CDF()，∴AE=CF，∴當(dāng)AEG三點(diǎn)共線時(shí)，AECF最短，∵G位BC中點(diǎn)，BC=AB=4，∴BG=2，此時(shí)AG=BG2+AB2=此時(shí)AE=25-2，22+42=25，所以CF的最小值為：25-2.故答案為：25-2本性質(zhì)求解線段的最小值是解本題的關(guān)鍵．23.(2022·遼寧撫順·中考真題)的邊長(zhǎng)為10G是邊E是邊AD上BE△ABE沿BE翻折得到△FBE接GF．當(dāng)GF最小時(shí)，AE的長(zhǎng)是．1655-5(誰動(dòng)誰定)(比如將軍飲馬模