重慶市清華中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

重慶市清華中學(xué)校20232024學(xué)年高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．12．（5分）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若m∥n，m∥α，則n∥α B．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n C．若m∥n，m⊥α，則n⊥α D．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n3．（5分）在△ABC中，b＝6，c＝3，A＝60°，則此三角形外接圓面積為（）A．9 B．9π C．36 D．36π4．（5分）已知向量滿足，向量與的夾角為，則在方向上的投影向量為（）A． B． C． D．5．（5分）如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)，我們來(lái)重溫這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)，圓柱的表面積與球的表面積之比為（）A． B．2 C． D．6．（5分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，G為EF中點(diǎn)，則＝（）A． B． C． D．7．（5分）嵩岳寺塔位于河南鄭州登封市嵩岳寺內(nèi)，歷經(jīng)1400多年風(fēng)雨侵蝕，仍巍然屹立，是中國(guó)現(xiàn)存最早的磚塔．如圖，為測(cè)量塔的總高度AB，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得∠BCD＝30°，∠BDC＝45°，CD＝32m，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角為60°，則塔的總高度為（）A． B． C． D．8．（5分）在正四棱臺(tái)ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4，側(cè)棱，若P為B1C1的中點(diǎn)，則過(guò)B，D，P三點(diǎn)截面的面積為（）A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。（多選）9．（3分）已知復(fù)數(shù)z＝2﹣3i，其中i是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A．z的模等于13 B．z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限 C．z的共軛復(fù)數(shù)為﹣2﹣3i D．若z（m+4i）是純虛數(shù)，則m＝﹣6（多選）10．（3分）設(shè)向量，，則下列敘述錯(cuò)誤的是（）A．若與的夾角為鈍角，則k＜2且k≠﹣2 B．的最小值為2 C．與共線的單位向量只有一個(gè)為 D．若，則或（多選）11．（3分）在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝2AB＝2BB1＝6，點(diǎn)E為棱BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F是長(zhǎng)方形ADD1A1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且直線B1F，EF與平面ADD1A1所成角的大小相等，則（）A．A1F∥平面BCC1B1 B．三棱錐F﹣BB1E的體積為4 C．存在點(diǎn)F，使得A1F∥B1E D．線段A1F的長(zhǎng)度的取值范圍為[，]三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知△ABC利用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖為直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，則△ABC的面積是．13．（5分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱C1D1，A1D1的中點(diǎn)，則異面直線DE與AF所成角的余弦值是．14．（5分）設(shè)△ABC的三邊a，b，c所對(duì)的角分別為A，B，C．已知a2+4b2＝c2，則tanB的最大值為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）已知向量＝（﹣3，2），＝（1，m），且與＝（2，1）共線．（1）求m的值；（2）若與垂直，求實(shí)數(shù)λ的值．16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bcosA+a＝c．（1）求B的大小；（2）若c＝，a+b＝2，求△ABC的面積．17．（15分）如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為線段BC的中點(diǎn)，AB＝1，AD＝2，AA1＝．（Ⅰ）證明：DE⊥平面A1AE；（Ⅱ）求點(diǎn)A到平面A1ED的距離．18．（17分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠BAD＝60°，PA＝AD＝PD＝2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為PC，AB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；（Ⅱ）當(dāng)AP⊥BD時(shí)，求直線PC與平面PAD所成角的正弦值．19．（17分）如圖：在斜坐標(biāo)xOy系中，x軸、y軸相交成60°角，、分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量，若向量，則稱有序?qū)崝?shù)對(duì)?x，y?為向量的坐標(biāo)，記作．在此斜坐標(biāo)xOy系中，已知△ABC滿足：、．（1）求的值．（2）若坐標(biāo)原點(diǎn)O為△ABC的重心（注：在斜坐標(biāo)系下，若G為△ABC的重心，依然有成立）．①求△ABC的面積．②求滿足方程的實(shí)數(shù)m的值．參考答案與試題解析一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．1【解答】解：∵，∴z＝＝2﹣i，∴，∴的虛部是1．故選：D．2．（5分）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若m∥n，m∥α，則n∥α B．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n C．若m∥n，m⊥α，則n⊥α D．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n【解答】解：對(duì)于A，若m∥n，m∥α，則n∥α或n?α，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若α∥β，m?α，n?β，則m∥n或m與n異面，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若m∥n，m⊥α，由直線與平面垂直的性質(zhì)可得n⊥α，故C正確；對(duì)于D，若α⊥β，m?α，n?β，則m與n的關(guān)系為平行、相交或異面，故D錯(cuò)誤；故選：C．3．（5分）在△ABC中，b＝6，c＝3，A＝60°，則此三角形外接圓面積為（）A．9 B．9π C．36 D．36π【解答】解：∵在△ABC中，b＝6，c＝3，A＝60°，∴由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝36+9﹣18＝27，即a＝3，由正弦定理得：＝2R，即R＝＝＝3，∴三角形外接圓面積S＝πR2＝9π．故選：B．4．（5分）已知向量滿足，向量與的夾角為，則在方向上的投影向量為（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意，且向量與的夾角為，則在方向上的投影向量為||cos＜，＞＝＝．故選：C．5．（5分）如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)，我們來(lái)重溫這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)，圓柱的表面積與球的表面積之比為（）A． B．2 C． D．【解答】解：設(shè)球的半徑為R，因?yàn)榍蚴菆A柱的內(nèi)切球，則圓柱的底面半徑為R，高為2R．所以圓柱的表面積S1＝2πR2+2πR?2R＝6πR2，球的表面積S2＝4πR2，所以．即圓柱的表面積與球的表面積之比為．故選：C．6．（5分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，G為EF中點(diǎn)，則＝（）A． B． C． D．【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，G為EF中點(diǎn)，設(shè)B（2，0），則D（0，1），E（2，），F(xiàn)（1，1），∴G（，）；∴＝（，），＝（2，0），＝（0，1），設(shè)＝x+y，則（，）＝（2x，y），即，解得x＝，y＝；∴＝+．故選：C．7．（5分）嵩岳寺塔位于河南鄭州登封市嵩岳寺內(nèi)，歷經(jīng)1400多年風(fēng)雨侵蝕，仍巍然屹立，是中國(guó)現(xiàn)存最早的磚塔．如圖，為測(cè)量塔的總高度AB，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得∠BCD＝30°，∠BDC＝45°，CD＝32m，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角為60°，則塔的總高度為（）A． B． C． D．【解答】解：設(shè)AB＝h，則，在△BCD中，∴，即，解得，故選：B．8．（5分）在正四棱臺(tái)ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4，側(cè)棱，若P為B1C1的中點(diǎn)，則過(guò)B，D，P三點(diǎn)截面的面積為（）A． B． C． D．【解答】解：取C1D1的中點(diǎn)Q，連接PQ，B1D1，則，又BD∥B1D1，則PQ∥BD，又根據(jù)正四棱臺(tái)的性質(zhì)得DQ＝BP，則BDQP為等腰梯形，即過(guò)B，D，P三點(diǎn)截面為等腰梯形BDQP．取BC的中點(diǎn)M，連接MP，在等腰梯形B1C1CB中，，則，，在等腰梯形BDQP中，，，則梯形的高為，所以等腰梯形BDQP的面積．故選：A．二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。（多選）9．（3分）已知復(fù)數(shù)z＝2﹣3i，其中i是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A．z的模等于13 B．z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限 C．z的共軛復(fù)數(shù)為﹣2﹣3i D．若z（m+4i）是純虛數(shù)，則m＝﹣6【解答】解：∵z＝2﹣3i，∴，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（2，﹣3）位于第四象限，，故AC錯(cuò)誤，B正確，z（m+4i）＝（2﹣3i）（m+4i）＝2m+12+（8﹣3m）i為純虛數(shù)，則，解得m＝﹣6，故D正確．故選：BD．（多選）10．（3分）設(shè)向量，，則下列敘述錯(cuò)誤的是（）A．若與的夾角為鈍角，則k＜2且k≠﹣2 B．的最小值為2 C．與共線的單位向量只有一個(gè)為 D．若，則或【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，向量，，若與的夾角為鈍角，則有，解可得k＜2且k≠﹣2，A正確；對(duì)于B，向量，||＝≥4，必有||≥2，即的最小值為2，B正確；對(duì)于C，，||＝，與共線的單位向量有（，﹣）或（﹣，），C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，即k2+4＝4（1+1），解可得k＝±2，D錯(cuò)誤；故選：CD．（多選）11．（3分）在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝2AB＝2BB1＝6，點(diǎn)E為棱BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F是長(zhǎng)方形ADD1A1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且直線B1F，EF與平面ADD1A1所成角的大小相等，則（）A．A1F∥平面BCC1B1 B．三棱錐F﹣BB1E的體積為4 C．存在點(diǎn)F，使得A1F∥B1E D．線段A1F的長(zhǎng)度的取值范圍為[，]【解答】解：∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，A1F?平面ADD1A1，∴A1F∥平面BCC1B1，故A正確；，故B錯(cuò)誤；連接A1F，作EG∥CD交AD于G，連接FG，∵A1B1⊥平面ADD1A1，∴∠A1FB1為B1F與平面ADD1A1所成的角，∵EG⊥平面ADD1A1，∴∠EFG為EF與平面ADD1A1所成角．∵直線B1F，EF與平面ADD1A1所成角的大小相等，∴∠A1FB1＝∠EFG，則tan＝，又∵A1B1＝EG，∴A1F＝FG，則點(diǎn)F在A1G的中垂線上，即點(diǎn)F在線段HI上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)K重合時(shí)，A1F∥B1E，故C正確；∵BC＝2BB1＝6，E為棱BC上靠近C的三等分點(diǎn)，∴AA1＝3，AG＝4，則A1G＝5，∵cos，∴HG＝，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)I或點(diǎn)H處時(shí)，線段A1F的長(zhǎng)度取得最大值，最大值為，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)K處時(shí)，線段A1F的線段取得最小值，最小值為，∴線段A1F的長(zhǎng)度的取值范圍為[，]，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知△ABC利用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖為直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，則△ABC的面積是4．【解答】解：根據(jù)題意，△ABC的直觀圖為直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，則其直觀圖的面積S′＝×2×2＝2，則△ABC的面積S＝2S′＝4，故答案為：4．13．（5分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱C1D1，A1D1的中點(diǎn)，則異面直線DE與AF所成角的余弦值是．【解答】解：取A1B1的中點(diǎn)G，連接AG，F(xiàn)G，EG，如圖所示，∵A1G∥D1E，且A1G＝D1E，∴四邊形A1GED1為平行四邊形，∴AG∥DE，∴異面直線DE與AF所成角為∠FAG或其補(bǔ)角，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則AF＝＝，AG＝＝，F(xiàn)G＝＝，在△AGF中，由余弦定理可得cos∠FAG＝＝，故答案為：．14．（5分）設(shè)△ABC的三邊a，b，c所對(duì)的角分別為A，B，C．已知a2+4b2＝c2，則tanB的最大值為．【解答】解：已知a2+4b2＝c2，可得C是鈍角；那么＝＝＝﹣＝﹣，即tanC＝tanAtanB＝﹣tan（A+C）＝﹣＝﹣＝＝∵tanA＞0，∴＝．當(dāng)且僅當(dāng)tanA＝時(shí)等號(hào)成立，那么tanB．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）已知向量＝（﹣3，2），＝（1，m），且與＝（2，1）共線．（1）求m的值；（2）若與垂直，求實(shí)數(shù)λ的值．【解答】解：（1）．因?yàn)榕c共線，所以4×1﹣2（m﹣2）＝0，解得m＝4．（2）由（1）知，，所以，，．由與垂直，得，所以26﹣5（1+2λ）+17λ＝0，解得λ＝﹣3．16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bcosA+a＝c．（1）求B的大小；（2）若c＝，a+b＝2，求△ABC的面積．【解答】解：（1）∵bcosA+a＝c，∴由正弦定理可得sinBcosA+sinA＝sinC，又sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，∴sinA＝sinAcosB，∵sinA≠0，∴cosB＝，∵B∈（0，π），∴B＝．（2）∵B＝，c＝，∴由余弦定理可得cosB＝＝，整理可得a2﹣b2+3＝3a，又a+b＝2，解得a＝b＝1，∴S△ABC＝acsinB＝＝．17．（15分）如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為線段BC的中點(diǎn)，AB＝1，AD＝2，AA1＝．（Ⅰ）證明：DE⊥平面A1AE；（Ⅱ）求點(diǎn)A到平面A1ED的距離．【解答】證明：（Ⅰ）長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為線段BC的中點(diǎn)，，在△AED中，AE＝DE＝，AD＝2，∴AE⊥DE．∵A1A⊥平面ABCD，∴A1A⊥DE，∴DE⊥平面A1AE．（Ⅱ）由DE⊥平面A1AE，∴平面AA1E⊥平面A1ED，過(guò)A作AM⊥A1E，交A1E于M，由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可知，AM⊥平面A1ED，AM就是A到平面A1ED的距離，在△AA1E中，，AE⊥AA1，∴AM＝1．點(diǎn)A到平面A1ED的距離為：1．18．（17分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠BAD＝60°，PA＝AD＝PD＝2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為PC，AB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；（Ⅱ）當(dāng)AP⊥BD時(shí)，求直線PC與平面PAD所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）證明：取PD的中點(diǎn)M，連結(jié)AM，ME，∵F，M分別是PC，PD的中點(diǎn)，∴FM∥CD，F(xiàn)M＝CD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，∴AF∥CD，AF＝AB＝CD，∴AF∥ME，AF＝ME，∴四邊形AFEM是平行四邊形，∴EF∥