13二次根式的乘除法

專題1.3二次根式乘除運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握二次根式的乘除法法則和化簡二次根式的常用方法，熟練進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算.2.理解并應(yīng)用積的算術(shù)平方根和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行簡單運(yùn)算3.了解最簡二次根式的概念，能運(yùn)用二次根式的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行化簡.【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、二次根式的乘法及積的算術(shù)平方根

1.乘法法則：（≥0，≥0）,即兩個(gè)二次根式相乘，根指數(shù)不變，只把被開方數(shù)相乘.要點(diǎn)詮釋：①多個(gè)二次根式相乘時(shí)二次根式的乘法法則也適用，即a?b?c……k=a?b?c……k（a≥0,b②當(dāng)二次根號(hào)外有因數(shù)(式)時(shí)，可以類比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則計(jì)算，即ma?nb=mna?b??（a≥0,b≥0)2.積的算術(shù)平方根:

（≥0，≥0）,即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.

要點(diǎn)詮釋：歸納化簡步驟①把被開方數(shù)分解因式(或因數(shù))②把各因式(或因數(shù))積的算術(shù)平方根化為每個(gè)因式(或因數(shù))的算術(shù)平方根的積③如果因式中有平方式(或平方數(shù))，應(yīng)用a2=|a|，把這個(gè)因式(或因數(shù))開出來,將二次根式化簡知識(shí)點(diǎn)二、最簡二次根式把分母中的根號(hào)化去,使分母變成有理數(shù)的這個(gè)過程就叫做分母有理化（1）二次根式中被開方數(shù)不含有分母；（2）二次根式中被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.滿足這兩個(gè)條件的二次根式叫最簡二次根式.特別說明：二次根式化成最簡二次根式主要有以下兩種情況：被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)或分式；（2）含有能開方的因數(shù)或因式.知識(shí)點(diǎn)三、二次根式的除法及商的算術(shù)平方根1.除法法則：（≥0，>0）,即兩個(gè)二次根式相除，根指數(shù)不變，把被開方數(shù)相除。要點(diǎn)詮釋：當(dāng)二次根式根號(hào)外的因數(shù)(式)不為1時(shí)，可類比單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則，易得2.商的算術(shù)平方根的性質(zhì):

（≥0，>0），即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.

【典型例題】類型一、最簡二次根式1.下列根式中，不是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】B．【解析】解：因?yàn)?=2，因此不是最簡二次根式．故選B．【總結(jié)升華】規(guī)律總結(jié)：滿足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式．（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．【變式】化簡（1）（2）【答案】(1)原式==;（2）原式=2.已知0<<,化簡.【答案與解析】原式===【總結(jié)升華】成立的條件是>0;若<0,則.類型二、二次根式的乘除法3．計(jì)算(1)；(2)×；(3)3×÷2；(4)；【答案與解析】原式=．原式===×=×=；（3）原式＝（4)==×2=2.【總結(jié)升華】直接利用計(jì)算即可．【變式】各式是否正確，不正確的請予以改正：

(1)；(2)×=4××=4×=4=8.【答案】(1)不正確．改正：=＝×=2×3=6；(2)不正確．改正：×=×===＝4.4.計(jì)算：（1）4÷（﹣）×．（2）計(jì)算：÷×．【答案與解析】解：（1）原式=﹣2÷×=﹣×=．（2）原式÷×==．【點(diǎn)撥】掌握乘除運(yùn)算的法則，并能靈活運(yùn)用.5．小東在學(xué)習(xí)了后，認(rèn)為也成立，因此他認(rèn)為一個(gè)化簡過程：=是正確的．（1）你認(rèn)為他的化簡對(duì)嗎？如果不對(duì)，請寫出正確的化簡過程；（2）說明成立的條件；（3）問是否成立，如果成立，說明成立的條件．【答案】（1）他的化簡不對(duì)，正確化簡過程見解析；（2）a≥0，b＞0；（3）a≤0，b＜0【分析】（1）根據(jù)二次根式的被開方數(shù)的非負(fù)性即可解答；（2）根據(jù)二次根式的被開方數(shù)的非負(fù)性和分母不為0即可解答；（3）根據(jù)二次根式的被開方數(shù)的非負(fù)性和分母不為0即可解答．解：（1）他的化簡不對(duì)，正確的化簡過程為：==2；（2）若成立，則a≥0，b＞0；（3）∵當(dāng)﹣a≥0，﹣b＞0時(shí)，成立，當(dāng)a≤0，b＜0時(shí)，成立．【點(diǎn)撥】本題考查二次根式有意義的條件、分式有意義的條件、二次根式的乘除法，熟知二次根式除法法則適用的條件是解答的關(guān)鍵．【變式】．已知：（1）求和的值（2）若，求x的值（3）若，求a的值【答案】（1），；（2）x=0.236；（3）a=2.36．【分析】（1），，再利用二次根式的乘法法則即可得出；（2），再利用二次根式的乘法法則即可得出答案；（3）由二次根式的乘法法則可將化為，由此可得a的值．解：（1），；（2）∵，故x=0.236；（3）由可得，即，故a=2.36．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的乘法法則．熟練掌握二次根式的乘法法則是解題關(guān)鍵．二次根式的乘除運(yùn)算（專項(xiàng)練習(xí)）1.下列計(jì)算正確的是（）A．×= B．x8÷x2=x4 C．（2a）3=6a3 D．3a5?2a3=6a6【答案】A．【解析】A、×=，正確；B、x8÷x2=x6，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、（2a）3=8a3，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、3a5?2a3=6a8，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.2.當(dāng)<0,<0時(shí)，化簡得（）A．B.C.D.【答案】C【解析】原式===.3.在中，最簡二次根式有（）A．1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)【答案】A4.化簡二次根式的正確結(jié)果是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】.5.下列二次根式中屬于最簡二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A、不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、是最簡二次根式，故本選項(xiàng)正確；6.已知，化簡二次根式的正確結(jié)果為（）.A.B.C.D.【答案】D【解析】因?yàn)?，是被開方數(shù)，所以y<0,x<0.所以原式===7．設(shè)的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則的值是（

）A．6 B． C．12 D．【答案】A【分析】首先根據(jù)的整數(shù)部分可確定的值，進(jìn)而確定的值，然后將與的值代入計(jì)算即可得到所求代數(shù)式的值．【詳解】∵，∴，∴的整數(shù)部分，∴小數(shù)部分，∴．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，正確確定的整數(shù)部分與小數(shù)部分的值是解題關(guān)鍵．8．如圖．從一個(gè)大正方形中裁去面積為m2和cm2的兩個(gè)小正方形，則留下的陰影部分的面積為（

）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【答案】D【分析】直接利用正方形的性質(zhì)得出兩個(gè)小正方形的邊長，進(jìn)而得出大正方形的邊長，即可得出答案．【詳解】解：∵兩個(gè)小正方形面積為8cm2和18cm2，∴大正方形邊長為：，∴大正方形面積為（5）2=50，∴留下的陰影部分面積和為：50818=24（cm2）故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的應(yīng)用，正確得出大正方形的邊長是解題關(guān)鍵．9．如果最簡二次根式與是同類二次根式，那么x的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義：二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．進(jìn)行求解即可．【詳解】∵最簡二次根式與是同類二次根式，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查同類二次根式，熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．10．若，則代數(shù)式的值為（

）A．7 B．4 C．3 D．【答案】C【分析】先將代數(shù)式變形為，再代入即可求解．【詳解】解：．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了求代數(shù)式的值，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵，也可將x的值直接代入計(jì)算．11．估計(jì)的值應(yīng)在（

）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算進(jìn)行化簡，進(jìn)而估算即可求解．【詳解】解：原式＝，，，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，無數(shù)的估算，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．12．已知x=1+，y=1，則代數(shù)式的值為（）A．2 B．±2 C．4 D．【答案】A【詳解】∵x=1+，y=1，∴==2，故選A.二.填空題13.計(jì)算：=．【答案】12．【解析】=3×÷=3=12．14.等式成立的條件是．【答案】a≥3.【解析】由題意得，，解得：a≥3．15．計(jì)算：(1)=_______；(2)=________.【答案】（1）；（2）6.16.化簡：（1）=_________,(2)=___________.【答案】(1);(2).【解析】（1）.原式=;(2).原式=.17.若=0，則=_______________.【答案】1【解析】因?yàn)?0，所以2x≥0，x2≥0，所以x=2;則原式=.18.有如下判斷：（1）(2)=1(3)(4)（5）（6）成立的條件是同號(hào).其中正確的有_____個(gè).【答案】2個(gè)【解析】只有（1），（3）正確.19．若的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則的值是___________．【答案】【分析】首先根據(jù)的取值范圍得出a，b的值進(jìn)而求出即可．【詳解】解：∵，的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，∴a=1，b=∴故答案為：【點(diǎn)睛】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，得出a，b的值是解題關(guān)鍵．20．化簡；（1）_____________；（2）___________；（3）_____________；【答案】

，

，

．【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算，然后利用二次根式性質(zhì)化簡即可；（2）先把被開方式因式分解，利用二次根式性質(zhì)化簡，化簡結(jié)果也可即可；（3）利用乘方的逆運(yùn)算分出一次冪與10次冪即，再利用積的乘方逆運(yùn)將底數(shù)用平方差公式化簡后再與一次冪因式相乘．【詳解】解:（1）；（2）；（3）故答案為（1）；（2）；（3）．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的乘法乘方混合運(yùn)算，掌握二次根式性質(zhì)，二次根式乘方與乘法運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．三、綜合題21.先化簡，再求值：，其中.【解析】原式=當(dāng)時(shí)，原式=.22．已知，求的值．【答案】【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義求出、的值，再把進(jìn)行變形，最后把、的值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：∵∴，，解得：，，∵，當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式的化簡求值，二次根式的性質(zhì)，絕對(duì)值的性質(zhì)．理解和掌握絕對(duì)值，二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．當(dāng)時(shí)，求的值．如圖是小亮和小芳的解答過程：(1)的解法是錯(cuò)誤的；(2)錯(cuò)誤的原因在于未能正確地運(yùn)用二次根式的性質(zhì)：；(3)當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)小亮(2)(3)2【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可求出答案．（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可求出答案．（3）根據(jù)的范圍判斷與的符號(hào)，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可求出答案．【詳解】（1）原式，，∵，∴，∴原式，故小亮的解法錯(cuò)誤，故答案為：小亮．（2），故答案為：．（3）∵，，，∴原式，．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．24．若最簡二次根式與可以合并．(1)求的值；(2)對(duì)于任意不相等的兩個(gè)數(shù)，，定義一種運(yùn)算“※”如下：※＝，如：3※2＝＝．請求※[※（－2）]的值．【答案】(1)6(2)【分析】（1）根據(jù)同類二次根式的性質(zhì)列出等式即可求解a；（2）代入a的值，根據(jù)新定義的運(yùn)算法則即可求解．【詳解】（1）∵最簡二次根式與可以合并，∴，∴，（2）當(dāng)時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了同類二次根式的性質(zhì)、新定義下的實(shí)數(shù)的運(yùn)算等式，理解新定義的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．25．先閱讀，后解答：，；像上述解題過程中，與、與相乘，積不含有二次根式，我們可將這兩個(gè)式子稱為互為有理化因式，上述解題過程也稱為分母有理化．(1)的有理化因式是______；的有理化因式是______．(2)（4）