中考初中數(shù)學(xué)-必考知識(shí)點(diǎn)分類全總結(jié)

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中考初中數(shù)學(xué)-必考知識(shí)點(diǎn)分類全總結(jié)

第一講數(shù)與式(一)

1.實(shí)數(shù)的有關(guān)概念

(1)實(shí)數(shù)分類：實(shí)數(shù)還可以分為：正實(shí)數(shù)、零、負(fù)實(shí)數(shù)；

有理數(shù)還可以分為：正有理數(shù)、零、負(fù)有理數(shù)。

解題中需考慮數(shù)的取值范圍時(shí)，常常用到這種分類方法。特別要注意0是自

然數(shù)。

(2)數(shù)軸

數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向和單位長度。

實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，這種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是數(shù)學(xué)中把數(shù)和形結(jié)合起

來的重要基礎(chǔ)。

在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

[a(a>0)

|a|=<0(a=0)

(3)絕小但<0)對(duì)值

絕對(duì)值的代數(shù)意義：

絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距

離。

(4)相反數(shù)、倒數(shù)

相反數(shù)以及倒數(shù)都是成對(duì)出現(xiàn)的，零的相反數(shù)是零，零沒有倒數(shù)。"任意一對(duì)相

反數(shù)的和是零"和"互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)的積是1"的特性常作為計(jì)算與變形的技

15.

(5)三種非負(fù)數(shù)

同、a?、4<a>0)形式的數(shù)都表示非負(fù)數(shù)。"幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和(積)仍是非負(fù)

數(shù)"與"幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則必定每個(gè)非負(fù)數(shù)都同時(shí)為零”的結(jié)論常用于

化簡求值。

(6)平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念

(7)易錯(cuò)知識(shí)辨析

(1)近似數(shù)、有效數(shù)字如0.030是2個(gè)有效數(shù)字(3,0)精確到千分位；3.14x

105是3個(gè)有效數(shù)字；精確到千位.3.14萬是3個(gè)有效數(shù)字(3,1,4)精確到

百位.

(2)絕對(duì)值國=2的解為尸垃;而|-2|=2，但少部分同學(xué)寫成|-2|=±2.

(3)在已知中，以非負(fù)數(shù)a?、同、,320)之和為零作為條件，解決有關(guān)問題.

2.實(shí)數(shù)的運(yùn)算

(1)實(shí)數(shù)的加、減、乘、除、乘方、開方運(yùn)算，整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算。

(2)有理數(shù)的運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)范圍仍然適用；實(shí)數(shù)的運(yùn)算律、運(yùn)算順序。

(3)加法及乘法的運(yùn)算律可用于實(shí)數(shù)運(yùn)算的巧算。

(4)近似數(shù)的精確度、有效數(shù)字、科學(xué)記數(shù)法的形式為。。(其中iWa|<io.n為

整數(shù))。

(5)實(shí)數(shù)大小的比較：兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小，正數(shù)大于零和一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)正

數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較大；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較小。常用方法：①數(shù)軸圖示

法。②作差法。③平方法等。

第二講數(shù)與式(二)

一、整式的概念

地項(xiàng)式——單項(xiàng)式的次數(shù)系數(shù)

多項(xiàng)式——多項(xiàng)式的次數(shù)項(xiàng)數(shù)系數(shù)——升降扉排列

(1)整式中只含有一項(xiàng)的是單項(xiàng)式，否則是多項(xiàng)式，單獨(dú)的字母或常數(shù)是單項(xiàng)

式；

(2)單項(xiàng)式的次數(shù)是所有字母的指數(shù)之和；多項(xiàng)式的次數(shù)是多項(xiàng)式中最高次項(xiàng)

的次數(shù)；

(3)單項(xiàng)式的系數(shù)，多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)的系數(shù)均包括它前面的符號(hào)

(4)同類項(xiàng)概念的兩個(gè)相同與兩個(gè)無關(guān)：

兩個(gè)相同：一是所含字母相同，二是相同字母的指數(shù)相同；

兩個(gè)無關(guān)：一是與系數(shù)的大小無關(guān)，二是與字母的順序無關(guān)；

(5)整式加減的實(shí)質(zhì)是合并同類項(xiàng)；

(6)因式分解與整式乘法的過程恰為相反。

2.整式的運(yùn)算

1)單項(xiàng)式：數(shù)字與字母的積組成的的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式,單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或者一個(gè)

字母也是單項(xiàng)式，如5,a,-3a,ab/2是單項(xiàng)式，而a+b和小不是單項(xiàng)

式。

①單項(xiàng)式的系數(shù)：單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)。如-3a的系數(shù)-3,

ab/2的系數(shù)1/2

注意：單項(xiàng)式的系數(shù)一定不能忽略符號(hào)！

②單項(xiàng)式的次數(shù)：單項(xiàng)式中的所有字母的指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)。如-2a

的次數(shù)為1，-xy2的次數(shù)是3,ab/5的次數(shù)是2

2）多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。如a+b、?、x+1等等

多項(xiàng)式的項(xiàng)：多項(xiàng)式中每一個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫

做常數(shù)項(xiàng)。例如多項(xiàng)式2x3-31-1中有三項(xiàng)，分別是2x3、-3/和-1，其中_1

是常數(shù)項(xiàng)。

多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式的次數(shù)由多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)決定，次數(shù)最

高的項(xiàng)的次數(shù)就是該多項(xiàng)式的次數(shù)，例如：多項(xiàng)式2x3-3x2-1的次數(shù)是3,

4a%+3ab2-1的次數(shù)是5

多項(xiàng)式的降（升）幕排列：把一個(gè)多項(xiàng)式按照某一字母的指數(shù)從大到小（或

從小到大）的順序排列起來，叫做把多項(xiàng)式按照這個(gè)字母的降（升）幕排

歹I」。

3.同類項(xiàng)與合并同類項(xiàng)

1）同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。幾個(gè)常

數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)。例如，分與-3分,m2n3與小2都是同類項(xiàng),而°廬舟不是同

類項(xiàng)。

注意：幾個(gè)單項(xiàng)式是同類項(xiàng)的條件只有兩介：1所含字母相同2相同字母的

指數(shù)分別相同。同時(shí)具備這兩個(gè)條件的單項(xiàng)式是同類項(xiàng)，缺一不可

幾個(gè)單項(xiàng)式是否是同類項(xiàng)，與他們的系數(shù)無關(guān)，與字母的排列順序無

咨

2）合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)

合并同類項(xiàng)法則：同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指

數(shù)不變。

注意：不是同類項(xiàng)不能合并

4.去括號(hào)與添括號(hào)

1）去括號(hào)法則：括號(hào)前面是+,去掉+,括號(hào)里各項(xiàng)不變號(hào)；括號(hào)前面是-,去掉

-,括號(hào)里各項(xiàng)改變符號(hào)

注意：去括號(hào)法則的理論實(shí)質(zhì)是乘法法的分配率。例如十（a+b-c）

=(+1)(a+b-c)=a+b-c;-(a+b-c)=(-1)(a+b-c)=-a-b+c

2）添加括號(hào)法則：括號(hào)前面添+,括號(hào)里面的各項(xiàng)符號(hào)不改變;括號(hào)前面添-，

括號(hào)里面的各項(xiàng)符號(hào)都改變；

5.整式的加減運(yùn)算

整式的加減就是合并同類項(xiàng)。

整式的加減的步驟與方法：1.去括號(hào)2.合并同類項(xiàng)

6.整式的乘法運(yùn)算

1）幕的乘法運(yùn)算

L同底數(shù)幕的乘法法則：同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即

a'"-hn=a"14"（m、n都是正整數(shù)）

ii.幕的乘方法則：幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即

（a"'）"=amn（m、n都是正整數(shù)）

iii.積的乘方法則：積的乘方等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的幕相

乘,即（ab）m=a"V（m是正整數(shù)）

2）單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法法則：幾個(gè)單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的鬲

分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變作為積的因式：例如

-3a-2a2b=（-3x2）?-a'-b=-6?h

3）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)分配律，用單項(xiàng)

式去乘多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)，再把所得的積相加

4)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先把一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)

乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即

(a+b)(m+〃+/)=aim+〃+/)+h(m+〃+/)=am+an+R+bm+bn+bl

5)乘法公式

i.平方差公式：兩數(shù)和與兩數(shù)差的積，等于他們的平方差，即(“+/>)(“-?―

右圖是平方差公式的幾何背景示意圖：

ii.完全平方公式：兩數(shù)和的平方等于它們的平方和加上它們乘積的2倍，兩數(shù)

差的平方等于它們的平方和減去它們乘積的2倍，即("+”="：+2"+力

(a-b)~=-2ab+b~

下圖為兩數(shù)和與兩數(shù)差的完全平方公式的幾何意義示意圖：

7.整式除法

1)同底數(shù)鬲的除法法則：同底數(shù)鬲相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即：

a』』"",其中"0,加>〃,且m、n都是正整數(shù);

當(dāng)用=”時(shí),，+/=b=/=1

2)零指數(shù)幕：規(guī)定"不等于零的任何實(shí)數(shù)的零次幕都等于1",即J=股，0)

3)負(fù)整數(shù)指數(shù)鬲：規(guī)定任何不等于零的實(shí)數(shù)的-n(n是正整數(shù))次幕，都等于這

個(gè)數(shù)的n次幕的倒數(shù)，即「=二("0)

a

aab

注意：弟入零指數(shù)幕和負(fù)整數(shù)幕以后，指數(shù)的范圍由正整數(shù)擴(kuò)大到整數(shù)，這里

需要強(qiáng)調(diào)的是指數(shù)范圍擴(kuò)大后，幕的性質(zhì)仍然成立，但必須注意，當(dāng)指數(shù)是零

或負(fù)整數(shù)時(shí)工【不能為零

4)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則

兩個(gè)單項(xiàng)式相除，把它們的系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除以后，作為商的因式；對(duì)

于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式。例如：

-21a帆1+3而=(-21+3卜(心<0,(/>’-rb)c=-lab2c

5)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得的商

相力口IBP+bm+cm)^m=am-i-m+bmm+cm-i-in=a+b+c

注意：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，所得的商仍是多項(xiàng)式，并且商的項(xiàng)數(shù)和原多項(xiàng)式的

項(xiàng)數(shù)相同。

8.因式分解

多項(xiàng)式的因式分解，就是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積?分解因式要進(jìn)行到每一

個(gè)因式都不能再分解為止.分解因式的常用方法有：

(1)提公因式法

如多項(xiàng)式am卜hm+cm=tn(a+〃+c).

其中m叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式，m既可以是一個(gè)單項(xiàng)式，也可以是一個(gè)

多項(xiàng)式.

(2)運(yùn)用公式法，即用

a:-b^<a*bXa-b).日中在中

a'±2ab+b'=(a±”'，與田如宋?

a'1b*=(a1bXa'+ab+b')

(3)十字相乘法

對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為I的二次三項(xiàng)式V、必+4,尋找滿足ab=q,a+b=p的a,

?

b,如有，則/+pr+”(x+v4b):對(duì)于般的一次二項(xiàng)式外f-l)X+C(a/0)、尋找滿足

a〔a2=a,C1C2=c,a1C2+a2cl=b的a］，a2,J,C2,如有，貝!J

ax'+hx4-c=(<7rv+(1)(<?,v+c:).

(4)分組分解法：把各項(xiàng)適當(dāng)分組，先使分解因式能分組進(jìn)行，再使分解因

式在各組之間進(jìn)行.

分組時(shí)要用到添括號(hào)：括號(hào)前面是"+”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；括

號(hào)前面是號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào).

二、分式的概念

1.分式的定義：整式A除以整式B,可以表示成，的形式。如果除式B中含有字

母，那么稱［為分式，其中A稱為分式的分子，B為分式的分母。

D

對(duì)于任意一個(gè)分式，分母都不能為零。

2.分式的約分

3?分式的通分

4.分式的性質(zhì)

(1)牛*…)(2)已知分式g,分式的值為正：a與b同號(hào)；分式的值為負(fù)：

onob

a與b異號(hào)；分式的值為零：a=0且b/0;分式有意義：b.0o

(3)零指數(shù)"。=1("0)

(4)負(fù)整數(shù)指數(shù)a，=；(aHO.p為正夠數(shù)).

ap

ronmtn

a.a=a,

(5)整數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)E—a-(a，OK

—=a/

(ab)n=anbn

上述等式中的m、n可以是0或負(fù)整數(shù).

三、根式的有關(guān)概念

1.平方根：若x2=a(a>0)，則x叫做a的平方根，記為±6。

注意：①正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；②0的平方根是0；③負(fù)數(shù)

沒有平方根；

2.算術(shù)平方根：一個(gè)數(shù)的正的平方根叫做算術(shù)平方根；

3.立方根：若x3=a(a>0)，則x叫做a的立方根，記為小。

4.最簡二次根式

被開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次

根式，叫做最簡二次根式。

5.同類二次根式：化簡后被開方數(shù)相同的二次根式。

知識(shí)點(diǎn)7二次根式的性質(zhì)

①6(a±0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；②(〃尸=心20)

[a(a>0)I

③(A)'=|a|=?0(a=0)(3)J^=-p(a>0,h>0)

⑤-Jab=4a-4b(a>0,h>0)

知識(shí)點(diǎn)8二次根式的運(yùn)算

(1)二次根式的加減

二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡二次根式，再把同類二次根式分

別合并.

(2)二次根式的乘法

二次根式相乘，等于各個(gè)因式的被開方數(shù)的積的算術(shù)平方根，即

7a17b=7ab(a>O.b>0)

二次根式的和相乘，可參照多項(xiàng)式的乘法進(jìn)行.

兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，那么這兩個(gè)

二次根式互為有理化因式.

(3)二次根式的除法

二次根式相除，通常先寫成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化

因式，把分母的根號(hào)化去(或分子、分母約分).把分母的根號(hào)化去，叫做分母有

理化.

第三講方程

知識(shí)要點(diǎn)

一、方程有關(guān)概念

1、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫方程的解，含有一個(gè)

未知數(shù)的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判斷方程無解的過程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程變形時(shí)，產(chǎn)生的不適合原方程的根叫做原方程的增

根。

二、一元方程

1、一元一次方程

(1)一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b=O(其中x是未知數(shù)，a、b是已知

數(shù)，awO)

(2)一元一次方程的最簡形式：ax=b(其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，a

W0)

(3)解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)和系

數(shù)化為1。

(4)一元一次方程有唯一的一個(gè)解。

2、一元二次方程

(1)一元二次方程的一般形式：ax2+/?+c=0(其中X是未知數(shù)，a、b、c是

已知數(shù)，awO)

(2)一元二次方程的解法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法

(3)一元二次方程解法的選擇順序是：先特殊后一般，如沒有要求，一般不

用配方法。

(4)一元二次方程的根的判別式：A=b、4“,

當(dāng)△>0時(shí)。方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△=()時(shí)0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)A<0時(shí)。方程沒有實(shí)數(shù)根，無解；

當(dāng)ANO時(shí)o方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

(5)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：

若是一兀二次方程爾+加+C=0的兩個(gè)根，那么：X+工,=-2,X,-X,=-

aa

(6)以兩個(gè)數(shù)“三為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是：

2

x-(x,-bx2)x-bxlx2=0

三、分式方程

(1)定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

(2)分式方程的解法：

一般解法：去分母法，方程兩邊都乘以最簡公分母。

特殊方法：換元法。

(3)檢驗(yàn)方法：一般把求得的未知數(shù)的值代入最簡公分母，使最簡公分母不

為0的就是原方程的根；使得最簡公分母為0的就是原方程的增根，增根必須舍

去，也可以把求得的未知數(shù)的值代入原方程檢驗(yàn)。

第四講方程組

四、方程組

1、方程組的解：方程組中各方程的公共解叫做方程組的解。

2、解方程組：求方程組的解或判斷方程組無解的過程叫做解方程組

3、一次方程組:

(1)二元一次方程組：

一般形式：+y=q(q.a,你A.W不全為0)

解法：代入消元法和加減消元法

解的個(gè)數(shù)：有唯一的解，或無解，當(dāng)兩個(gè)方程相同時(shí)有無數(shù)的解。

(2)三元一次方程組：

解法：代入消元法和加減消元法

4、二元二次方程組：

(1)定義：由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組以及由兩

個(gè)二元二次方程組成的方程組叫做二元二次方程組。

(2)解法：消元，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程，或者降次，轉(zhuǎn)化為二元一次方程

組.

第五講不等式和不等式組

知識(shí)要點(diǎn)：

1、不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解。

2、不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的解的全體叫做這個(gè)不等式的解集。

3、不等式的解集在數(shù)軸上的表示：

(1)x>a:數(shù)軸上表示a的點(diǎn)畫成空心圓圈，表示a的點(diǎn)的右邊部分來表示；

(2)x<a:數(shù)軸上表示a的點(diǎn)畫成空心圓圈，表示a的點(diǎn)的左邊部分來表示；

(3)x>a:數(shù)軸上表示a的點(diǎn)畫成實(shí)心圓點(diǎn)，表示a的點(diǎn)及表示a的點(diǎn)的右邊部

分來表示；

(4)x<a:數(shù)軸上表示a的點(diǎn)畫成實(shí)心圓點(diǎn)，表示a的點(diǎn)及表示a的點(diǎn)的左邊部

分來表示。

在數(shù)軸上表示大于3的數(shù)的點(diǎn)應(yīng)該是數(shù)3所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的右邊。畫圖時(shí)要注意方向

(向右)和端點(diǎn)(不包括數(shù)3,在對(duì)應(yīng)點(diǎn)畫空心圓圈)。如圖所示:

II,1,1,2.

-10I2345

同樣，如果某個(gè)不等式的解集為XW-2,那么它表示x取-2左邊的點(diǎn)

畫實(shí)心圓點(diǎn)。如圖所示：

總結(jié)：在數(shù)軸上表示不等式解集的要點(diǎn)：

小于向左畫，大于向右畫；無等號(hào)畫空心圓圈，有等號(hào)畫圓點(diǎn)。

4、不等式的性質(zhì):

(1)不等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不

變；

(2)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；

(3)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。

5、一元一次不等式：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1,系數(shù)不等于

0的不等式，叫做一元一次不等式。

6、解一元一次不等式的一般步驟：

(1)去分母；(2)去括號(hào)；(3)移項(xiàng)；(4)合并同類項(xiàng)；(5)未知數(shù)的系

數(shù)化為1。

通過這些步驟可以把一元一次不等式轉(zhuǎn)化為x>a(x2a)或x<a(x?a)的形

式。

7、一元一次不等式組：由幾個(gè)含有同一個(gè)未知數(shù)的一次不等式組成的不等式組叫

做一元一次不等式組。

8、不等式組的解集：不等式組中所有的不等式的解集的公共部分叫做這個(gè)不等式

組的解集。

不等式組（a憶口

數(shù)軸表示解集

<b）訣

x>a同大取

(1)—(!>—A---------?

x>babx>b

大

x<a同小取

(2)k

<b—H-x<a

小

x>a大小取

(3)看A

x<b9a<x<b

中

兩邊無

(4)

x>b無解

ab解

9、解不等式組：求不等式組解集的過程叫做解不等式組。

10、解一元一次不等式組的一般步驟：先分別解不等式組中的各個(gè)不等式，然后再

求出這幾個(gè)不等式解集的公共部分。

11、應(yīng)用一元一次不等式（組）的知識(shí)解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題。

第六講函數(shù)

知識(shí)要點(diǎn)：

1、平面直角坐標(biāo)系與點(diǎn)的坐標(biāo)

一個(gè)平面被平面直角坐標(biāo)分成四個(gè)象限，平面內(nèi)的點(diǎn)可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)來表示

平面內(nèi)的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，各象限內(nèi)點(diǎn)都有自己的特征，特別要注

意坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的特征。點(diǎn)P(X、y)在X軸上。y=0,X為任意實(shí)數(shù)，

點(diǎn)P(x、y)在y軸上，。x=0,y為任意實(shí)數(shù)，點(diǎn)P(x、y)在坐標(biāo)原點(diǎn)。x

=0,y=0o

2、對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

點(diǎn)P(x、y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Pi的坐標(biāo)為(x,-y);關(guān)于y軸的對(duì)稱軸點(diǎn)

P2的坐標(biāo)為(-x,y);

關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P3為(-x,-y)

3、距離與點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系

點(diǎn)P(a,b)到x軸的距離等于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，即|b|

點(diǎn)P(a,b)到y(tǒng)軸的距離等于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值,BP|a|

點(diǎn)P(a,b)到原點(diǎn)的距離等于：百萬

4、與函數(shù)有關(guān)的概念

函數(shù)的定義，函數(shù)自變量及函數(shù)值；函數(shù)自變量的取值必須使解析式有意義當(dāng)

解析式是整式時(shí)，自變量取一切實(shí)數(shù)，當(dāng)解析式是分式時(shí)，要使分母不為零，當(dāng)解

析式是根式時(shí)，自變量的取值要使被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，特別地，在一個(gè)函數(shù)關(guān)系

中，同時(shí)有幾種代數(shù)式，函數(shù)自變量的取值范圍應(yīng)是各種代數(shù)式中自變量取值范圍

的公共部分。

5、已知函數(shù)解析式，判斷點(diǎn)P(x,y)是否在函數(shù)圖像上的方法，若點(diǎn)P(x,y)

的坐標(biāo)適合函數(shù)解析式，則點(diǎn)P在其圖象上；若點(diǎn)P在圖象上，則P(x,y)的

坐標(biāo)適合函數(shù)解析式.

6、列函數(shù)解析式解決實(shí)際問題

設(shè)x為自變量，y為x的函數(shù),先列出關(guān)于x,y的二元方程，再用x的代數(shù)式

表示y,最后寫出自變量的取值范圍，要注意使自變量在實(shí)際問題中有意義。

7、一次函數(shù)與正比例函數(shù)的定義：

y=kx+b（k,b是常數(shù)，kA0）那么y叫做x的一次函數(shù)，特別地當(dāng)b=0

時(shí)，一次函數(shù)y=kx+b就成為y=kx（k是常數(shù)，心0）這時(shí)，y叫做x的正比例

函數(shù)。

8、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

一次函數(shù)丫=kx+b的圖象是經(jīng)過點(diǎn)（0,b）和點(diǎn)（-3°）的一條直線，k

值決定直線自左向右是上升還是下降，b值決定直線交于y軸的正半軸還是負(fù)半軸

或過原點(diǎn)。

9、兩條直線的位置關(guān)系

設(shè)直線，1和，2的解析式為y=Kx+bi和y2=k2x+b2則它們的位置關(guān)系由系數(shù)

關(guān)系確定

klHlQo㈠與，2相交，

ki=k2,b1^b2G>與f2平行

10、k的求法

待定系數(shù)法

11、反比例函數(shù)的定義

開?如：y=;或y=kx-（k是常數(shù)且k/0）叫做反比例函數(shù)，也可以寫成xy=k

（k/0）形式，它表明在反比例函數(shù)中自變量x與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y之積等于已知

常數(shù)匕

12、反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)

反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，同時(shí)又是

直線y=x或y=-x為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，當(dāng)k>0時(shí)，圖像的兩個(gè)分支分別在

一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小，當(dāng)k<0時(shí)，圖象的兩個(gè)分支分

別在二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。

13、反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義。

過雙曲線上任意一點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線PA、PB所得矩形的PAOB的面積

為因。

14、二次函數(shù)的定義

形如：y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù)，awO)那么y叫做x的二次函數(shù)，它常用

的三種基本形式。

一般式:y=ax2+bx+c(awO)

頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(aw0)

交點(diǎn)式：y=a(x-Xi)(x-x2)(awO,x*X2是圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐

標(biāo))

15、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a/0)的圖象是以(-產(chǎn)券)為頂點(diǎn)，以直線y

=-?為對(duì)稱軸的拋物線。

2a

在a>0時(shí)，拋物線開口向上，在對(duì)稱軸的左側(cè)，即x<一；時(shí)，y隨x的增大而

2a

減??；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)X>-；時(shí)，y隨著x的增大而增大。

2a

在a<0時(shí)，拋物線開口向下，在對(duì)稱軸的左側(cè)，即x<-2時(shí)，y隨著x的增大

2a

而增大。在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)X>時(shí)，y隨著X的增大而減小。

2a

當(dāng)2>0,在*=；時(shí)，y有最小值，y最小值=專生,

2a4a

當(dāng)a<0,在x=4時(shí)，y有最大值，y最大值=坦薩.

16、二次函次圖象的平移

二次函數(shù)圖象的平移只要移動(dòng)頂點(diǎn)坐標(biāo)即可。

17、二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。

(1)與丫軸永遠(yuǎn)有交點(diǎn)(0,c)

(2)在b2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，A(X】，0)、B(x2,0)

這兩點(diǎn)距離為

AB=|X!-x2|,(Xi、X2是ax2+bx+c=0的兩個(gè)根)。

在b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)。

在b2-4ac<0時(shí)，則拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。

18、求二次函數(shù)的最大值

常見的有兩種方法：(1)直接代入頂點(diǎn)坐標(biāo)公式(-?.??)0

2a4a

(2)將y=ax?+bx+c配方，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)值分析。

兩種方法各有所長，第一種方法過程簡單，第二種方法有技巧。

19拋物線y=ax'+bx+c中，“也C的作用

(1)“決定開口方向及開口大小，這與中的“完全一樣.

(2)/，和“共同決定拋物韁蝌由的位置.由于拋物線+及+’的對(duì)稱軸是直線、乙故:

2a

①方=。時(shí)，對(duì)稱軸為,軸;②4(即“、方同號(hào))時(shí)對(duì)稱軸在,軸左側(cè)；

a

③5(即“、〃異號(hào)附對(duì)稱軸在,軸右側(cè).

a

(3)c的大小決定拋物線尸爾+bx+，與j軸交點(diǎn)的位置.

當(dāng)工=。時(shí)，”C,???拋物線y=ax'+c與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0,，):

①。=0,拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；②c>0,與V軸交于正半軸；③與,軸交于負(fù)半軸.

以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在,軸右側(cè)，則

b

-a<o.

20.直線與拋物線的交點(diǎn)

(1)V軸與拋物線F=ax1+bx+c得交點(diǎn)為(o、C)

(2)與一軸平行的直線“〃與拋物線y=ax'+bx+c有且只有一個(gè)交點(diǎn)(%，/+從+

(3)拋物線與、軸的交點(diǎn)

二次函數(shù)心一+公+c的圖像與,軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)L、與，是對(duì)應(yīng)一元二次

方程

"X4-bx+C=。的兩個(gè)翔根拋物線與,軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的■元二次方程的根

的判另斌判定：

①有兩個(gè)交點(diǎn)=A>0=拋物線與、軸相交；

②有一個(gè)交點(diǎn)頃點(diǎn)在、,軸上)。A=0o拋物線與、軸相切；

③沒有交點(diǎn)cA<0O拋物線與.1軸相離.

(4)平行于、軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

同(3)一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱

坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為￡,則橫坐標(biāo)是M+bx+c=A的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

⑸一次函數(shù)」=0)的圖像/與二次函數(shù)r二爾+6+G，。)的圖像G的交點(diǎn),由方

程組

\y=LX+"的解的數(shù)目來確定:

[y=ax~+hx+c

①方程組有兩組不同的解時(shí)O/與G有兩個(gè)交點(diǎn);

②方程組只有一組解時(shí)=/與G只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無解時(shí)=/與G沒有交

點(diǎn).

(6)拋物線與、軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線尸小+/>、?+,?與、軸兩交點(diǎn)為

4卬01鳳J,o),由于七、4是方程a—+/wc+c=0的兩個(gè)根,故田+三二一山丫2二￡

aa

1/~hY_4c-Jh1-4acVA

,4B=|x,-V?|=g-x：y?丐J~=一丁=可

21.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系:

(1)一元二次方程y=ax2+/>x+c就是二次函數(shù)%,M+bx+c當(dāng)函數(shù)y的值為0時(shí)的情況.

(2)二次函數(shù)y-aC+bx+c的圖象與,軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交

點(diǎn)、沒有交點(diǎn)；當(dāng)二次函數(shù)「=ax2+bx+c的圖象與、軸有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

就是當(dāng)r=0時(shí)自變量,的值，即一元二次方程/+及+”。的根.

(3)當(dāng)二次函數(shù)),=爾+辰+,的圖象與,軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程P=小+加+c

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)「=江+岳+c的圖象與、軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則

一元二次方程爾+〃x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)廣分+歷+’的圖象與

X軸沒有交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程分+6+”。沒有實(shí)數(shù)根

第七講統(tǒng)計(jì)與概率

知識(shí)要點(diǎn)：

1、調(diào)蟄收集數(shù)據(jù)過程的一般步驟

調(diào)查收集數(shù)據(jù)的過程一般有下列六步：明確調(diào)查問題、確定調(diào)查對(duì)象、選擇調(diào)杳

方法、展開調(diào)查、記錄結(jié)果、得出結(jié)論.

2、調(diào)查收集數(shù)據(jù)的方法

普查是通過調(diào)查總體的方式來收集數(shù)據(jù)的，抽樣調(diào)查是通過調(diào)查樣本方式來收集

數(shù)據(jù)的.

3、統(tǒng)計(jì)圖

條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖是三種最常用的統(tǒng)計(jì)圖.這三種統(tǒng)計(jì)圖各

具特點(diǎn)：條形統(tǒng)計(jì)圖可以直觀地反映出數(shù)據(jù)的數(shù)量特征；折線統(tǒng)計(jì)圖可以直觀地反

映出數(shù)據(jù)的數(shù)量變化規(guī)律；扇形統(tǒng)計(jì)圖可以直觀地反映出各部分?jǐn)?shù)量在總量中所占

的份額.

4、總體、個(gè)體、樣本、樣本容量

我們把所要考查的對(duì)象的全體叫做總體，把組成總體的每一個(gè)考查對(duì)象叫做個(gè)

體.從總體中取出的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本.樣本中包含的個(gè)體的個(gè)數(shù)叫

做樣本容量.

5、簡單的隨機(jī)抽樣

用抽簽的辦法決定哪些個(gè)體進(jìn)入樣本.統(tǒng)計(jì)學(xué)家們稱這種理想的抽樣方法為簡單

的隨機(jī)抽樣.

6、頻數(shù)、頻率

在記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)稱為頻數(shù).每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)與總次

數(shù)的比值(或者百分比)稱為頻率.

7、繪制頻數(shù)分布直方圖的步驟

①計(jì)算最大值與最小值的差；②決定黜巨和組數(shù)；③決定分點(diǎn)；④畫頻數(shù)分布

表；⑤畫出頻數(shù)分

布直方圖.

8、平均數(shù)

在一組數(shù)據(jù)中，用數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)就得到這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).

9、中位數(shù)

將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，位于正中間位置的數(shù)(或正中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均

數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

10、眾數(shù)

在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)頻數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

11、加權(quán)平均數(shù).

在一組數(shù)據(jù)中，各個(gè)數(shù)在總結(jié)果中所占的百分比稱為這個(gè)數(shù)的權(quán)重，每個(gè)數(shù)乘以

它相應(yīng)的權(quán)重后所得的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù).

12、極差

一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差稱為極差.

13、方差：

我們可以用"先平均，再求差，然后平方，最后再平均"得到的結(jié)果表示一組數(shù)

據(jù)偏離平均值的情況，這個(gè)結(jié)果通常稱為方差.

計(jì)算方差的公式：設(shè)一組數(shù)據(jù)是，，乂必—球是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。則這組數(shù)據(jù)

的方差是：

S2=5卜1一天『+(x2—又尸+(x?-X)2+…+(Xn-X)2]

14、標(biāo)準(zhǔn)差：

一組數(shù)據(jù)的方差的算術(shù)平方根，叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.

用公式可表示為：

s=-x);+(x,-x)?+-+(x?-x)']

15、確定事件

那些無需通過實(shí)驗(yàn)就能夠預(yù)先確定它們?cè)诿恳淮螌?shí)驗(yàn)中都一定會(huì)發(fā)生的事件稱為

必然事件.那些在每一次實(shí)驗(yàn)中都一定不會(huì)發(fā)生的事件稱為不可能事件.必然事

件和不可能事件統(tǒng)稱為確定事件.

16、隨機(jī)事件

無法預(yù)先確定在一次實(shí)驗(yàn)中會(huì)不會(huì)發(fā)生的事件稱為不確定事件或隨機(jī)事件.

億瞬

表示一個(gè)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)，叫做該事件的概率.

18、概率的理論計(jì)算方法有:①樹狀圖法；②列表法.

第八講圖形的認(rèn)識(shí)

1、生活中的立體圖形

⑴生活中的常見立體圖形有：球體、柱體、錐體，它們之間的關(guān)系如下所示

伊I柱

柱體棱柱/器

I五棱柱

［圓錐

立體圖形,錐體枝錐fI四.校格錐

1卜五棱錐

球體

⑵多面體：由平面圍成的立體圖形叫做多面體

2、由立體圖形到視圖

（1）視圖：①直棱柱、圓柱、圓錐、球的三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖）

②簡單的幾何體與其三視圖、展開圖

③由三視圖猜想物體的形狀

⑵通過典型實(shí)例，知道這種關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用（如物體的包裝）.

俯視圖反映物體的長和寬，主視圖反映了它的長和高，左視圖反映了寬和高.所

以主視圖和俯視圖的長度相等，且互相對(duì)正，即"長對(duì)正"主視圖與左視圖的高

度相等，且互相平齊，即"高平齊"俯視圖與左視圖的寬度相等，即“寬相等"

3、立體圖形的展開圖

圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，一邊長為母線的長，另一邊是底面的周長.

圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，其中扇形的半徑是圓錐的母線長，弧長是底面圓

的周長

正方形的展開圖的形狀比較多

知識(shí)點(diǎn)4、平行投影和中心投影

平行投影：在平行光線的照射下，物體所產(chǎn)生的影稱為平行投影.

(1)在平行光線的照射下，不同物體的物高與影長成比例.

⑵物體在陽光下的影長與方向隨時(shí)間的變化而變化

⑶太陽光可以看作是一束平行光線

中心投影：在點(diǎn)光源的照射下，物體所產(chǎn)生的影稱為中心投影.

①在點(diǎn)光源的照射下，不同物體的物高與影長不成比例.

②在燈光下，不同位置的物體，影子的長短和方向都是不同的，但是任何物體上

的一點(diǎn)與其影子的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線一定經(jīng)過光源所在的點(diǎn).

5、線段、射線、直線

(1)連接兩點(diǎn)的所有線中，線段最短.

線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩端的距離相等

(2)射線、線段可以看作直線的一部分

6、角

由公共端點(diǎn)的兩條射線所組成的圖形叫做角

1周角=2平角=4直角=360度

互余和互補(bǔ)：如果兩個(gè)角之和是一個(gè)直角，那么這兩個(gè)角互余

如果兩個(gè)角之和是一個(gè)平角，那么這兩個(gè)角互補(bǔ)

7、垂直

(1)兩條直線相交的四個(gè)角中有一個(gè)為直角時(shí)，稱這兩條直線互相垂直，交點(diǎn)

叫垂足.

(2)在同一平面內(nèi)，經(jīng)過直線外(上)一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線垂

直.

(3)直線外這個(gè)點(diǎn)到垂足間的線段叫做點(diǎn)到直線的距離.

8、平行線

⑴平行線:在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線.

⑵兩條直線被第三條直線所截，出現(xiàn)的三種角：同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角.

直線m截直線a,b成如圖所示的8個(gè)角，在圖中：

同位角:z1和N5,z2和N6,z3和N7,z4和N8;

內(nèi)錯(cuò)角：N3和N5,z4和N6;

同旁內(nèi)角：N3和N6,N4和N5.

⑶平行公理經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.

（4）平行線的判定方法：

同位角相等，兩直線平行;內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行;同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平

行.

另外，平行于同一直線的兩條直線互相平行.垂直于同一直線的兩條直線互相平

行.

⑸平行線的性質(zhì)：

兩直線平行，同位角相等.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.兩直線平行，同旁內(nèi)角

互補(bǔ).

過直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線平行于已知直線.

第九講解直角三角形和三角函數(shù)

知識(shí)要點(diǎn)：

1三角形的邊、角關(guān)系

①三角形任］可兩邊之和大于第三邊;

②三角形任何I兩邊之差小于第三邊；

③三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°;

④三角形三個(gè)外角的和等于360°;

⑤三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；

⑥三角形一個(gè)外角大于彳E可一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。

2三角形的主要線段和外心、內(nèi)心

①三角形的角平分線、中線、高；

②三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的外心，三角形的外心

到各頂點(diǎn)的距離相等；

③三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心到

三邊的距離相等；

④連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三

邊且等于第三邊的一半。

3等腰三角形

等腰三角形的識(shí)別：

①有兩邊相等的三角形是等腰三角形；

②有兩角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）；

③三邊相等的三角形是等邊三角形；

④三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；

⑤有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形。

等腰三角形的性質(zhì)：

①等邊對(duì)等角；

②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合；

③等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，底邊的中垂線是它的對(duì)稱軸；

④等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都等于60°.

4直角三角形

直角三角形的識(shí)別：

①有一個(gè)角等于90。的三角形是直角三角形;

②有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；

③勾股定理的逆定理：如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這

個(gè)三角形是直角三角形。

直角三角形的性質(zhì):

①直角三角形的兩個(gè)銳角互余；

②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

③勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

5全等三角形

定義、判定、性質(zhì)

6相似三角形

定義

相似角陷[兩對(duì)應(yīng)邊的比相等,夾角相等

,用判定方法,兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等

I[:.條對(duì)應(yīng)邊的比相等

I對(duì)應(yīng)邊的比j

相似三角形的性4對(duì)應(yīng)高的比產(chǎn)—

I周長比1!

1（面積比=相似比平方

7銳角三角函數(shù)與解直角三角形

⑴勾股定理：直角三角形兩直角邊“、卜的平方和等于斜邊，的平方。卜+』

⑵如下圖，在RfABC中,zC為直角，則NA的銳角三角函數(shù)為（NA可換成n

B）：

表達(dá)

定義取值范圍關(guān)系（A+B=90）

\式

0<sinJ<1

正

,乙4的時(shí)邊sinA=cosB

-斜邊QA為銳

弦

角）cosA=sinB

,/4的銘邊sin2A+cos2A=1

皿=斜邊

余0<cosA<1

弦（NA為銳

角）

lan/I>0

tanA-cotB

正,的對(duì)邊

tan力-----，…為銳

NA的銘邊(NA

切cotA-tanB

角)

倒數(shù))

cotA

cotJ>0

余.///的鄰邊

cotA-----------------tan/I-cotJ=I

//的對(duì)邊(NA為銳

切

角)

⑶任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正

弦值。

sinA-cosB由/#/A-900、sinA=cos(900-J)

cosA=sinB得NB二—cosA=sin(900-A)

⑷任意銳角的正切值等于它的余角的余切值；任意銳角的余切值等于它的余角的正

切值。

tanA-cotB由/4+N6=9(T、tanA=cot(90°A)

得/B=9(T-/A>

cotJ=tan5cotA-tanfOO1'-A)

（5）0。、30。、45。、60。、90。特殊角的三角函數(shù)值（重要）

三角函數(shù)0°30°45°60°90°

sina

cosa

-

lana

-

coter

（6）正弦、余弦的增減性：

當(dāng)0。%?90。時(shí)，sin”隨”的增大而增大，cos“隨”的增大而減小。

⑺正切、余切的增減性：

當(dāng)0°<0<90。時(shí)，tan“隨〃的增大而增大，cot“隨〃的增大而減小。

（8）解直角三角形的定義：已知邊和角（兩個(gè)，其中必有一邊）-所有未知的邊和

角。

依據(jù)：①邊的關(guān)系②角的關(guān)系：A+B=90。；③邊角關(guān)系：三角函

數(shù)的定義。（注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法）

（9）應(yīng)用舉例：

①仰角：視線在水平線上方的角；俯角：視線在水平線下方的角。

②坡面的鉛直高度八和水平寬度/的比叫做坡度（坡比）。用字母，表示，即

坡度一般寫成1：，"的形式，如i=1:5等。

把坡面與水平面的夾角記作“（叫做坡角），那么:%⑶,八

（io）從某點(diǎn)的指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方位角。如圖3,

OA、OB、OC、0D的方向角分別是：45。、135。、225°.

（io）指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90。的水平角，叫做方向角。如圖

4,0A、OB、OC、OD的方向角分別是：北偏東30°（東北方向），南偏

東45。（東南方向），

南偏西60。（西南方向），北偏西60°（西北方向）。

第十講四邊形

知識(shí)要點(diǎn)：

1：圖形的變換與鑲嵌

.--------------------rl軸對(duì)稱I------------------------------

圖

圖rl生活中的對(duì)稱現(xiàn)象H工

案

形------------------------------H中心對(duì)?稱|-------------------

欣

變

賞

換

-T生活中的平移與旋轉(zhuǎn)用1一二：

1王韜一干科學(xué)吧旎轉(zhuǎn)規(guī)律卜便轉(zhuǎn)作國_與

與

設(shè)

耀

汁

橫------------------------r|同一型號(hào)能鍬嵌的圖|-----------

U生活中的鍬原HY

-----------------------U正多邊形的組丁丁嵌------------

2:四邊形的定義、判定及性質(zhì)T

q內(nèi)用和

車

高夕卜角和

情