浙江省錢塘聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第二學(xué)期錢塘聯(lián)盟期中聯(lián)考高一年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)滿足，則為（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式計算可得.【詳解】，，.故選：D2.將水平放置的用斜二測畫法得到的直觀圖如圖所示，已知，，則邊的實際長度為（）A. B.6 C.5 D.【答案】C【解析】【分析】利用斜二測畫法，確定的特征，求出即可.【詳解】依題意，在中，，所以.故選：C3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充分必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量平行的坐標表示，求得的充要條件，結(jié)合集合之間的包含關(guān)系，判斷即可.【詳解】根據(jù)題意，等價于，解得或；又是的真子集，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.在同一直角坐標系中，函數(shù)的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通過分析正比例函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的特征可得解.【詳解】函數(shù)，由對數(shù)函數(shù)可知，且，當時，為過原點的減函數(shù)，為減函數(shù)，則B錯誤，D正確；當時，為過原點的增函數(shù)，為增函數(shù)，則A錯誤，C錯誤；故選：D.5.如圖所示，在矩形中，，點在邊上運動（包含端點），則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以為坐標原點建立直角坐標系，設(shè)，得，根據(jù)的范圍即可求出的范圍.【詳解】以為坐標原點，建立如圖所示直角坐標系，因為在矩形中，，則，又點在邊上運動（包含端點），設(shè)，則，，則，因為，所以，故選：D.6.已知向量在的投影向量為，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義及模長公式的坐標表示求解即可.【詳解】因為，所以，在的投影向量為，所以，即，解得.故選：B.7.在中，三個內(nèi)角對應(yīng)的邊為，且．若僅有唯一解，則下列關(guān)于的取值不一定成立的是（）A.或 B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由正弦定理得，因為僅有唯一解，所以的值確定，進而通過討論的值，得到的取值范圍，則可得到關(guān)于的取值不一定成立的選項.【詳解】由正弦定理得：，所以，因為，所以，因為僅有唯一解，所以的值確定，當時，僅有唯一解，此時，則，當時，，僅有唯一解，此時，當，且時，有兩解，不符合題意，綜上：若僅有唯一解，則或.故選：B．8.如圖，一個正三棱臺的上、下底面邊長分別為和，高是，則正三棱臺的側(cè)面積及外接球體積分別為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合正三棱臺的結(jié)構(gòu)特征求出斜高，進而求出側(cè)面積；利用球的截面小圓性質(zhì)求出球半徑，再求出球的體積.【詳解】在正三棱臺中，分別是上、下底面中心，則cm，連接并延長交于，連接并延長交于，連接，過作于，，在中，，，三棱臺斜高，所以正三棱臺的側(cè)面積（）；顯然正三棱臺的外接球球心在射線上，令球半徑為，球截平面、平面所得圓半徑，設(shè)，顯然，則球心在正三棱臺外，，于是，解得，所以正三棱臺的外接球體積（）.故選：C二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列四個結(jié)論正確的有（）A.用一個平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分為圓臺；B.斜棱柱的側(cè)面可能有矩形；C.正棱錐的底面是正多邊形；D.球面可以看作一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面．【答案】BCD【解析】【分析】對A，根據(jù)圓臺的定義可判斷；對B，根據(jù)斜棱柱的結(jié)構(gòu)特征，舉例說明；對C，根據(jù)正棱錐的定義可判斷；對D，根據(jù)球的定義判斷.【詳解】對于A，根據(jù)圓臺的定義，用一個平行于底面的平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分為圓臺，故A錯誤；對于B，斜棱柱的側(cè)面是平行四邊形，也有可能是矩形，如圖三棱柱，側(cè)面為矩形，故B正確；對于C，根據(jù)正棱錐的定義，正棱錐的底面是正多邊形，故C正確；對于D，球面可以看作一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，故D正確．故選：BCD.10.已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，下列四個命題中正確的是（）A若，則一定有；B.若是銳角三角形，則一定有成立；C.若，則一定是直角三角形；D.若，則一定是銳角三角形．【答案】ABC【解析】【分析】利用正弦定理邊角互化可以判斷出A正確；由三角形內(nèi)角和為，結(jié)合誘導(dǎo)公式可推得B正確；利用正弦定理及余弦定理即可判斷出C正確；利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及正弦定理及余弦定理結(jié)合三角形知識判斷出D.【詳解】對于A，因為，所以由正弦定理得（為外接圓的半徑），所以，所以A正確；對于B，若為銳角三角形，可得且，可得，且，即，根據(jù)正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，所以，又，所以，所以，所以，故B正確；對于C，因為，由正弦定理可得，即，所以，所以，因為，，則，所以，則，所以為直角三角形，故C正確；對于D，若，則，由正弦定理得，由余弦定理，所以角為銳角，但不一定是銳角三角形，故D錯誤；故選：ABC.11.已知函數(shù)．則下列說法正確的是（）A.若，則為偶函數(shù)；B.若，則單調(diào)遞增；C.若，則函數(shù)的最小值為2；D.若時，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，則．【答案】AC【解析】【分析】對于A，利用奇偶性的定義即可判斷；對于B，利用導(dǎo)數(shù)的正負即可判斷；對于C，化簡后利用基本不等式即可判斷；對于D，利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，得到不等式組，求解即可.【詳解】若，，則，所以為偶函數(shù)，故A正確；若，，因為，所以函數(shù)和都是減函數(shù)，所以是減函數(shù)，故B錯誤；若，則，當且僅當時，即時等號成立，故C正確；若時，，，函數(shù)和均為減函數(shù)，所以為減函數(shù)，則在區(qū)間上為減函數(shù)，要函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，則或由，即，即，即，解得，由，即，即，解得，則無解，由上可知，時，，時，則無解，故D錯誤.故選：AC.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則=______.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類求解．【詳解】由題意，解得．故答案為：－1【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的分類，屬于基礎(chǔ)題．13.若，則的值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件求出，再將所求式子弦化切代入運算得解.【詳解】因為，所以，.故答案為：.14.如圖，在中，是的中點，與交于點．設(shè)，則______；若，則______．【答案】①.##0.5②.【解析】【分析】利用平面向量的線性運算，結(jié)合共線向量定理、平面向量基本定理求出即可；再利用數(shù)量積的運算律結(jié)合已知求出.【詳解】由是的中點，得，而在上，即，于是，又，則，又E，O，C三點共線，因此，解得，則，而，不共線，所以，；顯然，則，因此，解得，所以．故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量.（1）已知，求向量與的夾角；（2）若，求實數(shù)的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用向量坐標夾角公式進行求解；（2）先計算得到，，再利用向量垂直，數(shù)量積為0列出方程，求出的值.【小問1詳解】因為，所以，故，因為，所以向量與的夾角；【小問2詳解】，，由于，所以，解得：或，從而或16.如圖所示，在邊長為的正三角形中，E、F依次是、的中點，，，，D、H、G為垂足，若將繞旋轉(zhuǎn)，（1）求陰影部分形成的幾何體的表面積.（2）求陰影部分形成的幾何體的體積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】旋轉(zhuǎn)后幾何體是一個圓錐，從上面挖去一個圓柱，根據(jù)數(shù)據(jù)利用面積公式和體積公式，可求其表面積與體積.【詳解】由題意知，旋轉(zhuǎn)后幾何體是一個圓錐，從上面挖去一個圓柱，且圓錐的底面半徑為4，高為，圓柱的底面半徑為2，高為，所求旋轉(zhuǎn)體的表面積由三部分組成：圓錐的底面、側(cè)面，圓柱的側(cè)面.圓錐的底面積為，圓錐的側(cè)面積為，圓柱側(cè)面積為，故所求幾何體的表面積為.陰影部分形成的幾何體的體積為.【點睛】本題考查組合體的面積問題，考查空間想象能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.17.中，內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求角；（2）若點為邊上靠近的三等分點，且，求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計算可得；（2）依題意可得，在中利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，從而求出面積的最大值.【小問1詳解】因為，由正弦定理可得，即，由余弦定理，又，所以.【小問2詳解】因為點是邊上靠近的三等分點，即，所以，在中、，由余弦定理，即，所以，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，即面積的最大值.18.已知平面向量．設(shè)函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）若函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個單位，橫坐標伸長到原來的2倍得到，且關(guān)于的方程在上恰有三個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍和的值．【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標表示求出，再利用二倍角公式、輔助角公式化簡并求出周期.（2）求出函數(shù)的解析式，作出函數(shù)在上的圖象及直線，數(shù)形結(jié)合求出實數(shù)的范圍及的值.【小問1詳解】由，得，所以的最小正周期.【小問2詳解】由（1）知，，則，關(guān)于的方程在上恰有三個不同的實數(shù)根，于是直線與函數(shù)在上的圖象有3個不同的公共點，在同一坐標系內(nèi)作出直線與函數(shù)在上的圖象，如圖，顯然，當時，直線與函數(shù)在上的圖象有3個不同的公共點，且點關(guān)于直線對稱，點關(guān)于直線對稱，因此，，，所以實數(shù)的取值范圍是，.【點睛】思路點睛：涉及給定函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍問題，可以通過分離參數(shù)，等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合推理作答.19.杭州世紀中心是杭州最高樓，同時是浙江省最高的雙子塔樓，建筑高度310米，以杭州拼音首字母“”為外形藍本，被稱為杭州之門，雙塔的設(shè)計像一對翅膀，結(jié)合了杭州文化的城市之形，拱橋之意。某位高中生想運用所學(xué)知識測量驗證一下高度，通過查閱資料獲取了兩種測量方案．方案一（“兩次測角法”）：如圖一，在雙子塔附近廣場上的點測得雙子塔頂部的仰角為，正對雙子塔前進了米后，到達點，在點測得雙子塔頂部的仰角為，然后計算出雙子塔的高度.方案二（“鏡面反射法”）：如圖二，在雙子塔附近廣場上，進行兩個操作步驟：①將平面鏡置于地面上，人后退至從鏡中能看到雙子塔的頂部位置，測量出人與鏡子的距離為米；②正對雙子塔，將鏡子后移米，重復(fù)①中的操作，測量出人與鏡子的距離為米．然后計算出雙子塔的高度.實際操作中，方案一測量