初一數(shù)學(xué)(人教版)實(shí)際問題與一元一次方程(七)-1教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號2020QJ07SXRJ058學(xué)科數(shù)學(xué)年級七年級學(xué)期第一學(xué)期課題實(shí)際問題與一元一次方程（七）——行程問題教科書書名：數(shù)學(xué)七年級上冊出版社：人民教育出版社出版日期：年月教學(xué)人員姓名單位授課教師胡波平北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)指導(dǎo)教師黃婉華北京市西城區(qū)教育研修學(xué)院教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1．熟練掌握時間、速度、路程之間的基本關(guān)系；并能通過劃關(guān)鍵詞，畫線段圖，列表格等方式不重不漏地找出行程問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系。2.在具體問題的分析與解決的過程，經(jīng)歷利用字母表示未知量，借助圖表尋找量與量之間的關(guān)系過程，體會“方程”是解決實(shí)際問題的有效模型．3.在問題的解決中，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程與方法，提升對數(shù)學(xué)問題學(xué)習(xí)與研究的興趣.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：能通過數(shù)形結(jié)合的方式不重不漏地找出行程問題中隱蔽的數(shù)量關(guān)系，設(shè)恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，建立方程模型。教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動復(fù)習(xí)引入1、行程問題三個基本量：速度、時間、路程。2、三個量的基本關(guān)系及變形：路程=速度×?xí)r間速度=路程÷時間時間=路程÷當(dāng)知時間、速度、路程中的兩個量時，可以通過基本關(guān)系及變形關(guān)系求出剩余的一個量。3、練習(xí)：已知速度為a千米/小時，時間為5小時，則路程為___5a_______已知時間為2小時，路程為m+30千米，則速度為____m+30已知速度為30千米/小時，路程為2x-15千米，則時間為_2例題講解例：小剛和小強(qiáng)分別從A,B兩地同時出發(fā)，小剛騎自行車，小強(qiáng)步行，沿同一條路線相向勻速而行，出發(fā)后2h兩人相遇，相遇時小剛比小強(qiáng)多行進(jìn)24km,相遇后0.5h小剛到達(dá)B地，兩人的行進(jìn)速度分別是多少?相遇后經(jīng)過多少時間小強(qiáng)到達(dá)A地?分析步驟：首先我們要讀題，在讀第一遍題時，要邊讀邊圈畫題中的關(guān)鍵詞語，通過讀題我們得到的信息有：小剛和小強(qiáng)分別從A,B同時出發(fā)相向而行；這是行程問題中的相遇問題；行進(jìn)過程分為兩個階段：相遇前和相遇后。接下來，我們進(jìn)行第二遍讀題，并借助線段圖，將題目中小剛和小強(qiáng)的行進(jìn)過程以及量與量之間的數(shù)量關(guān)系直觀地呈現(xiàn)出來。如圖，用一條線段表示A,B之間距離，小剛由左向右騎行，小強(qiáng)由右向左步行，在C處相遇?！皠蛩佟保簝扇怂俣热潭疾蛔?。小剛相遇前速度=小剛相遇后速度①“2h后相遇”：同時到達(dá)同一地點(diǎn).時間信息：小剛相遇前時間=小強(qiáng)相遇前時間=2h。位置信息：小剛相遇前路程+小強(qiáng)相遇路程=A、B兩地距離②“相遇時小剛比小強(qiáng)多行進(jìn)24km”。小剛相遇前路程-小強(qiáng)相遇前路程=24km③“相遇后0.5h小剛到達(dá)B地”。小剛相遇后路程=小強(qiáng)相遇前路程④也有同學(xué)可能通過看圖，在“小剛相遇后路程=小強(qiáng)相遇前路程④”的基礎(chǔ)上得到“小剛0.5h所行路程=小強(qiáng)2h所行路程”,進(jìn)而得到“小剛的速度=小強(qiáng)的速度的4倍?！贝颂帯靶偟乃俣?4小強(qiáng)的速度?！焙汀靶傁嘤龊舐烦?小強(qiáng)相遇前路程④”的含義是相同的，用其中一個，不能重復(fù)使用。在此我們用圖形上最直接得到的路程關(guān)系?！靶傁嘤龊舐烦?小強(qiáng)相遇前路程④”含有未知量的相等關(guān)系有：小剛相遇前速度=小剛相遇后速度①小剛相遇前路程+小強(qiáng)相遇路程=A、B兩地距離②小剛相遇前路程-小強(qiáng)相遇前路程=24km③小剛相遇后所行路程=小強(qiáng)相遇前所行路程④小剛相遇前路程=小剛相遇前速度×2⑤小強(qiáng)相遇前路程=小強(qiáng)相遇前速度×2⑥小剛相遇后路程=小剛相遇后速度×0.5⑦找到相等關(guān)系后，需要我們將所有量表示出來，同樣借助表格梳理清楚。不難看出時間都已知，將其填入表格。表格中呈現(xiàn)的未知量有六個，還有一個未知量是A、B兩地距離。我們只能在其中選一個設(shè)為未知數(shù)，利用含未知量的相等關(guān)系將其它未知量用含該字母的式子表示出來。設(shè)誰為未知數(shù)呢？先考慮問什么就設(shè)什么，即設(shè)速度，小剛的速度比小強(qiáng)的大，先考慮設(shè)小的速度即小強(qiáng)的速度。（方法1）若設(shè)小強(qiáng)的速度為xkm/h，我們要將它看成已知量去表示別的未知量。從速度與速度的關(guān)系看，我們找出的相等關(guān)系中，含小強(qiáng)速度的，只能通過小強(qiáng)相遇前自己三個基本量的關(guān)系，來表示其它量。即“小強(qiáng)相遇前路程=小強(qiáng)相遇前速度×2⑥”得小強(qiáng)相遇前路程為2xkm，用了的相等關(guān)系做好標(biāo)記，再通過小強(qiáng)與小剛路程的關(guān)系表示與小剛有關(guān)的未知量。比如用“小剛相遇前路程-小強(qiáng)相遇前路程=24km③”得小剛相遇前路程為2x+24km，從路程與路程或距離的關(guān)系來看，與“小剛相遇前路程”有關(guān)的相等關(guān)系“小剛相遇前路程+小強(qiáng)相遇前路程=A、B兩地距離②”，但這個相等關(guān)系中“A、B兩地距離”未知，沒法表示。因此仍然用小剛相遇前自己三個基本量之間的關(guān)系“小剛相遇前路程=小剛相遇前速度×2⑤”得小剛相遇前的速度為2x+242km/h，再利用“小剛相遇前速度=小剛相遇后速度①”得相遇后的速度也為2x+242km/h，利用“小剛相遇后路程=小剛相遇后速度×0.5從整理表格，列方程的過程中，我們發(fā)現(xiàn)沒有用到等量關(guān)系②，小剛相遇前路程+小強(qiáng)相遇路程=A、B兩地距離②題目也沒有問A、B兩地距離，那我們在后面的分析中就不關(guān)注這個等量關(guān)系了。（方法2）設(shè)小強(qiáng)的速度為xkm/h，依次根據(jù)相等關(guān)系⑥④⑦①⑤根據(jù)“小剛相遇前路程-小強(qiáng)相遇前路程=24km”③列方程4x小結(jié)：對于表格中的6個未知量，在設(shè)小強(qiáng)的速度為xkm/h的情況下，還剩5個未知量，我們可以通過①③④⑤⑥⑦六個相等關(guān)系中任意5個來將這些未知量用含有x的式子表示出來，剩下的一個列方程。進(jìn)而解方程求出未知數(shù)x的值，那么所有未知量就能求出來。因此實(shí)際問題中有幾個未知量，就需要幾個含未知量的相等關(guān)系，才能列方程求出這些未知量的值。如果增加考慮“由于本題，關(guān)于小剛的信息更多，可設(shè)小剛的速度為xkm/h。依次根據(jù)相等關(guān)系①⑤⑦③⑥填表。根據(jù)“小剛相遇后所行路程=小強(qiáng)相遇前所行路程”④得方程0.5x=2x-24解：設(shè)小剛的速度為xkm/h，則小剛相遇前行駛路程為2xkm，小強(qiáng)相遇前行駛路程為2x-24km，小剛相遇后的路程為0.5xkm，解方程0.50.5-1.5x=-24x檢驗(yàn)x=16小強(qiáng)的速度為0.5相遇點(diǎn)距離A的距離為2×16=32(km)所以小強(qiáng)相遇后到達(dá)A的時間為32÷4=8(h)答：小剛的速度為16km/h，小強(qiáng)的速度為本節(jié)小結(jié)現(xiàn)在我們小結(jié)一下本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容。本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了列方程解行程問題。（1）列方程解行程問題的關(guān)鍵是理清行程中的每個過程，線段圖能直觀地反應(yīng)研究對象的運(yùn)動過程，便于找出路程之間的相等關(guān)系。（2）相等關(guān)系主要分兩類：題目每句話中隱含的時間、路程、速度信息以及研究對象每個運(yùn)動階段的基本關(guān)系。（3）有幾個未知量就要找出幾個含這些未知量的相等關(guān)系。（4）表格能幫助我們清晰的整理出題目所有涉及的量，注意按對象、階段、基本量來列表。在借助圖表尋找數(shù)量之間的關(guān)系時，要設(shè)恰當(dāng)未知量，用合適的相等關(guān)系列方程．這樣可使所列的方程相對簡單，接下來的解方程的過程也簡捷些。（5）列方程解決實(shí)際問題的難點(diǎn)是從實(shí)際問題到列出方程這個過程，下面我們一起總結(jié)這個過程的步驟和方法。思考練習(xí)練習(xí)：一輛卡車從甲地勻速開往乙地，出發(fā)2小時后，一輛轎車從甲地出發(fā)去追這輛卡車，轎車的速度比卡車的速度快30千米每小時，但轎車行駛一個小時后突遇故障，修理15分鐘后，又上路追這輛卡車，但速度減小了13，按步驟進(jìn)行分析：首先我們要讀題，在讀第一遍題時，要邊讀邊圈畫題中的關(guān)鍵詞語，通過讀題我們得到的信息有：卡車和轎車都從甲地出發(fā)，轎車追卡車；這是行程問題中的追及問題；本題涉及卡車和轎車，卡車全程運(yùn)動狀態(tài)沒有變化。而轎車運(yùn)動狀態(tài)分為兩個階段：故障前和故障后。第二遍讀題，逐句分析，畫線段圖，“一輛卡車從甲地勻速開往乙地，出發(fā)2小時后，一輛轎車從甲地出發(fā)去追這輛卡車”“轎車的速度比卡車的速度快30千米每小時”轎車故障前的速度=卡車速度+30千米每小時①“但轎車行駛一個小時后突遇故障”“修理15分鐘后”“又上路追這輛卡車，但速度減小了13轎車故障后的速度=轎車故障前速度×23結(jié)果用兩個小時才追上這輛卡車”追上：同一時間到達(dá)同一地點(diǎn)。用線段圖呈現(xiàn)。時間信息：兩輛車又都行駛了兩小時。位置信息：兩輛車的終點(diǎn)相同，由于全程起點(diǎn)相同，所以能得到全程兩車路程相等。即轎車的全部路程=卡車的全部路程而卡車全程運(yùn)動狀態(tài)一致，而轎車的全路程由兩段組成，前面的信息也是分段給的，我們將該相等關(guān)系換一個說法，得：轎車故障前的路程+轎車故障后的路程=卡車的全部路程③特別的：卡車全程，轎車故障前后都有自己的基本關(guān)系。卡車的全部路程=卡車速度×?xí)r間卡車全程時間為：2+1+14+2=即卡車的全部路程=卡車速度×214④

轎車故障前路程=轎車故障前速度×1轎車故障后路程=轎車故障后速度×2檢查相等關(guān)系漏、重。所有等量關(guān)系：轎車故障前的速度=卡車速度+30千米每小時①轎車故障后的速度=轎車故障前速度×23轎車故障前的路程+轎車故障后的路程=卡車的全部路程③卡車的全部路程=卡車速度×214④

轎車故障前路程=轎車故障前速度×1轎車故障后路程=轎車故障后速度×2前三個，由題目關(guān)鍵信息得到，由于時間均為已知量，所以主要是速度和路程的關(guān)系，也沒有能互相推得的信息。后三個是由時間、速度、路程基本關(guān)系得到得相等關(guān)系。涉及轎車故障前后路程、速度以及卡車路程，六個未知量，六個相等關(guān)系。應(yīng)該沒有重復(fù)或漏掉的相等關(guān)系。設(shè)未知數(shù)，列表格將所有量表示出來：運(yùn)動過程轎車和卡車兩個對象，可以用縱向來表示；轎車運(yùn)動過程分故障前后，在轎車下位縱向表示。時間、速度、路程三個基本量放在橫向。先講已知得時間填入。六個未知量中，設(shè)其中一個為未知數(shù)x，先考慮問什么，設(shè)什么。（方法1）設(shè)卡車速度為xkm/h。利用相等關(guān)系①②④⑤⑥根據(jù)“轎車故障前的路程+轎車故障后