2024高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破橢圓的性質(zhì)與應(yīng)用含解析

橢圓的性質(zhì)與應(yīng)用單選題1、（2024年高考北京卷理數(shù)）已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，則（）A．a(chǎn)2=2b2 B．3a2=4b2C．a(chǎn)=2b D．3a=4b【答案】B【解析】橢圓的離心率，化簡(jiǎn)得，故選B.2、（北京師范高校附屬試驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三第一學(xué)期12月月考）△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A（-4，0），B（4，0），它的周長(zhǎng)是18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是()A．x225+C．x216+【答案】D【解析】∵|AB|+|AC|+|BC|=18∴|AC|+|BC|=10>|AB|所以定點(diǎn)C的軌跡為以A,B為焦點(diǎn)的橢圓，去掉A,B,C共線(xiàn)的狀況，即2a=10,c=4∴b2=9∴3、（2024年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)）若拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=（）A．2 B．3C．4 D．8【答案】D【解析】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，所以，解得，故選D．4、（河北省衡水中學(xué)2025屆高三第一次摸底考試）已知橢圓和直線(xiàn)，若過(guò)的左焦點(diǎn)和下頂點(diǎn)的直線(xiàn)與平行，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直線(xiàn)的斜率為，過(guò)的左焦點(diǎn)和下頂點(diǎn)的直線(xiàn)與平行，所以，又，所以，故選A.5、（河北省衡水中學(xué)2025屆高三第十次模擬考試數(shù)學(xué)（理)試題）如圖，設(shè)橢圓：的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，為橢圓在其次象限上的點(diǎn)，直線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)，若直線(xiàn)平分線(xiàn)段于，則橢圓的離心率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖，設(shè)AC中點(diǎn)為M，連接OM，則OM為△ABC的中位線(xiàn)，于是△OFM∽△AFB，且，即=可得e==．故答案為：．6、（2024年高考全國(guó)Ⅱ理數(shù)）已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過(guò)且斜率為的直線(xiàn)上，為等腰三角形，，則的離心率為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)闉榈妊切危?，由的斜率為可得，所以，，由正弦定理得，所以，所以，，故選D．7、（2024年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)）已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過(guò)F2的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn)．若，，則C的方程為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．所求橢圓方程為，故選B．法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補(bǔ)，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B．8、（2025屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期五調(diào)考試）已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由橢圓定義可知：，，則，所以，因?yàn)?，即，，?.二、多選題9、（2025屆山東省臨沂市高三上期末）已知P是橢圓C：上的動(dòng)點(diǎn)，Q是圓D：上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A．C的焦距為B．C的離心率為C．圓D在C的內(nèi)部D．的最小值為【答案】BC【解析】，，則C的焦距為，.設(shè)（），則，所以圓D在C的內(nèi)部，且的最小值為.故選：BC.10、（2010栟茶中學(xué)期末）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是A．當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，△的周長(zhǎng)是6 B．當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，△面積的最大值為 C．存在點(diǎn)，使 D．的取值范圍是，【答案】．【解析】：由橢圓方程可知，，從而．據(jù)橢圓定義，，又，所以△的周長(zhǎng)是6，項(xiàng)正確．設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)?，則．因?yàn)?，則△面積的最大值為，項(xiàng)正確．由圖可知，當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，為最大．此時(shí)，，又，則△為正三角形，，所以不存在點(diǎn)，使，項(xiàng)錯(cuò)誤．由圖可知，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，取最大值，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)時(shí)，取最小值，此時(shí)，所以，，項(xiàng)正確，故選：11、（2024秋?漳州期末）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，，是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A． B．離心率 C．△面積的最大值為 D．以線(xiàn)段為直徑的圓與直線(xiàn)相切【答案】【解析】：由橢圓可知，，，，所以左、右焦點(diǎn)為，，依據(jù)橢圓的定義，故正確；離心率，故錯(cuò)誤；所以△面積的最大值為，故錯(cuò)誤；由原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，所以以線(xiàn)段為直徑的圓與直線(xiàn)相切，故正確；故選：．12、（2024?淄博一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線(xiàn)與橢圓相交于點(diǎn)、，則A．當(dāng)時(shí)，的面積為 B．不存在使為直角三角形 C．存在使四邊形面積最大 D．存在，使的周長(zhǎng)最大【答案】【解析】：如圖所示：，對(duì)于選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，，的面積為，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，可以得出，當(dāng)時(shí)，，依據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，存在使為直角三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：依據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)時(shí)，四邊形面積最大，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：由橢圓的定義得，的周長(zhǎng)，，，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，，即直線(xiàn)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)最大，此時(shí)直線(xiàn)的方程為，但是，所以不存在，使的周長(zhǎng)最大，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：．三、填空題13、（2025屆浙江省嘉興市3月模擬）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的一點(diǎn)，若直線(xiàn)的斜率為，且，則橢圓的離心率為_(kāi)_______．【答案】．【解析】設(shè)，由直線(xiàn)的斜率為，知，且，即得，由及橢圓定義知，由余弦定理即可得，，即，化簡(jiǎn)得，故或3（舍）即．故答案為：14、（2024年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)）設(shè)為橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為_(kāi)__________.【答案】【解析】由已知可得，，∴．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，又，解得，，解得（舍去），的坐標(biāo)為．15、（2024·浙江高三）如圖，過(guò)橢圓的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別作斜率為的直線(xiàn)交橢圓C上半部分于A，B兩點(diǎn)，記△AOF1，△BOF2的面積分別為S1，S2，若S1：S2＝7：5，則橢圓C離心率為_(kāi)____．【答案】【解析】作點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B1，可得S，則有，所以．將直線(xiàn)AB1方程，代入橢圓方程后，，整理可得：（b2+8a2）y2﹣4b2cy+8b4＝0，由韋達(dá)定理解得，，三式聯(lián)立，可解得離心率．故答案為：．16、（2025屆浙江省杭州市高三3月模擬）設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是C上一點(diǎn)，且滿(mǎn)意的面積為則的取值范圍是____.【答案】【解析】依題意，，所以，則，而，所以.由于，，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知：，所以，所以，解得.故答案為：17、（2024年高考浙江卷）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方，若線(xiàn)段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，則直線(xiàn)的斜率是___________．【答案】【解析】方法1：如圖，設(shè)F1為橢圓右焦點(diǎn).由題意可知，由中位線(xiàn)定理可得，設(shè)，可得，與方程聯(lián)立，可解得（舍），又點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方，求得，所以.方法2：（焦半徑公式應(yīng)用）由題意可知，由中位線(xiàn)定理可得，即，從而可求得，所以.18、（2025屆浙江省中學(xué)發(fā)展共同體高三上期末）已知橢圓的內(nèi)接的頂點(diǎn)為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，右焦點(diǎn)，線(xiàn)段中點(diǎn)為，且，則橢圓離心率的取值范圍是___________.【答案】【解析】由題意可設(shè)，，線(xiàn)段中點(diǎn)為，且，可得為的重心，設(shè)，，由重心坐標(biāo)公式可得，，，即有的中點(diǎn)，可得，，由題意可得點(diǎn)在橢圓內(nèi)，可得，由，可得，即有.故答案為：.19、（2025屆浙江省杭州市建人高復(fù)高三4月模擬）雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為，過(guò)的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)左支于兩點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交雙曲線(xiàn)右支于點(diǎn)，若，則該雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)________【答案】【解析】取雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn),連接，延長(zhǎng)交雙曲線(xiàn)于，連接，（如圖）由，可得四邊形為矩形，設(shè)，由對(duì)稱(chēng)性可得：，，即有，由雙曲線(xiàn)的定義可得：，①在直角三角形中，，可得，②由①②可得，即，代入①可得：，化簡(jiǎn)可得：，即有故答案為：20、（2024年高考浙江卷）已知點(diǎn)P(0，1)，橢圓+y2=m(m>1)上兩點(diǎn)A，B滿(mǎn)意=2，則當(dāng)m=___________時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的肯定值最大．【答案】【解析】設(shè)，，由得，，所以，因?yàn)?，在橢圓上，所以，，所以，所以，與對(duì)應(yīng)相減得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值．解答題21、（2024·浙江溫州中學(xué)3月高考模擬）已知直線(xiàn)與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)，與圓相交于兩點(diǎn).（I）求與的關(guān)系式；（II）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).若當(dāng)時(shí)，的面積取到最大值，求橢圓的離心率.【解析】（I）由，得，則化簡(jiǎn)整理，得；（Ⅱ）因點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故的面積是的面積的兩倍.所以當(dāng)時(shí)，的面積取到最大值，此時(shí)，從而原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，又，故.再由（I），得，則.又，故，即，從而，即.22、（2024年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線(xiàn)x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線(xiàn)CD過(guò)定點(diǎn).【解析】（1）由題設(shè)得A（–a，0），B（a，0），G（0，1）.則，=（a，–1）.由=8得a2–1=8，即a=3.所以E的方程為+y2=1．（2）設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）.若t≠0，設(shè)直線(xiàn)CD的方程為x=my+n，由題意可知–3<n<3.由于直線(xiàn)PA的方程為y=（x+3），所以y1=（x1+3）.直線(xiàn)PB的方程為y=（x–3），所以y2=（x2–3）.可得3y1（x2–3）=y2（x1+3）.由于，故，可得，即①將代入得所以，．代入①式得解得n=–3（含去），n=.故直線(xiàn)CD的方程為，即直線(xiàn)CD過(guò)定點(diǎn)（，0）．若t=0，則直線(xiàn)CD的方程為y=0，過(guò)點(diǎn)（，0）.綜上，直線(xiàn)CD過(guò)定點(diǎn)（，0）.23、（2025屆浙江省嘉興市5月模擬）設(shè)點(diǎn)為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，．（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作圓：的切線(xiàn)，，分別交拋物線(xiàn)于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求面積的最小值．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，故所求拋物線(xiàn)方程為.（2）點(diǎn)為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，則，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)為，則，得，是方程（*）式的兩個(gè)根，所以，，設(shè)，因直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)A，則得，所以，即，同理，設(shè)直線(xiàn)，則，，又，，所以令，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.24、（2024年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)）已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線(xiàn)C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合．過(guò)F且與x軸垂直的直線(xiàn)交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且．（1）求C1的離心率；（2）設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn)，若|MF|=5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解析】（1）由已知可設(shè)的方程為，其中.不妨設(shè)在第一象限，由題設(shè)得的縱坐標(biāo)分別為，；的縱坐標(biāo)分別為，，故，.由得，即，解得（舍去），.所以的離心率為.（2）由（1）知，，故，設(shè)，則，，故.①由于的準(zhǔn)線(xiàn)為，所以，而，故，代入①得，即，解得（舍去），.所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為，的標(biāo)準(zhǔn)方程為.25、（2024年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)）已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點(diǎn)．（1）求的方程；（2）若點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線(xiàn)上，且，，求的面積．【解析】（1）由題設(shè)可得，得，所以的方程為.（2）設(shè)，依據(jù)對(duì)稱(chēng)性可設(shè)，由題意知，由已知可得，直線(xiàn)BP的方程為，所以，，因?yàn)?，所以，將代入的方程，解得?由直線(xiàn)BP的方程得或8.所以點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.，直線(xiàn)的方程為，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，故的面積為.，直線(xiàn)的方程為，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，故的面積為.綜上，的面積為.26、（2025屆山東省泰安市高三上期末）已知橢圓的離心率e滿(mǎn)意，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)C(0，－2)，過(guò)點(diǎn)C作一條與y軸不重合的直線(xiàn)l，直線(xiàn)l交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)BP，BQ分別交x軸于點(diǎn)M，N；當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，l的斜率為．(1)求橢圓E的方程；(2)證明：為定值．【解析】（1）由解得或（