2023屆江西省五市九校協(xié)作體高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1江西省五市九校協(xié)作體2023屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）試卷考試時(shí)間：120分鐘，分值：150分第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知全集，集合，，那么陰影部分表示的集合為A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由韋恩圖可知陰影部分表示的集合為，求出，計(jì)算得到〖答案〗〖詳析〗陰影部分表示的集合為，故選〖『點(diǎn)石成金』〗本題主要考查的是韋恩圖表達(dá)集合的關(guān)系和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.6〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗設(shè)，，利用復(fù)數(shù)幾何意義計(jì)算.〖詳析〗設(shè)，由已知，，所以點(diǎn)在單位圓上，而，表示點(diǎn)到的距離，故.故選：B〖『點(diǎn)石成金』〗本題考查求復(fù)數(shù)模的最大值，其實(shí)本題可以利用不等式來(lái)解決.3.甲、乙兩人各射擊一次，是否命中目標(biāo)互不影響，已知甲、乙兩人命中目標(biāo)的概率分別為，，則至少有一人命中目標(biāo)的概率（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗先根據(jù)題意求出甲、乙兩人各射擊一次，目標(biāo)沒(méi)被命中的概率，再利用對(duì)立事件的概率公式求解即可.〖詳析〗∵甲、乙兩人各射擊一次，目標(biāo)沒(méi)被命中的概率為，∴甲、乙兩人各射擊一次，目標(biāo)被命中的概率為.故選：D.4.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)已知式子結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系與平方關(guān)系，可求得的值，再由誘導(dǎo)公式求得的值.〖詳析〗解：①，由于代入①，得：，由于，所以，故，所以.故選：C.5.當(dāng)前疫情階段，口罩成為熱門商品，為了賺錢，小明決定在家制作兩種口罩：N95口罩和N90口罩.已知制作一只N95口罩需要2張熔噴布和2張針刺棉，制作一只N90口罩需要3張熔噴布和1張針刺棉，現(xiàn)小明手上有36張熔噴布和20張針刺棉，且一只N95口罩有4元利潤(rùn)，一只N90口罩有3元利潤(rùn)，為了獲得最大利潤(rùn)，那么小明應(yīng)該制作（）A.5只N95口罩，8只N90口罩 B.6只N95口罩，6只N90口罩C.7只N95口罩，6只N90口罩 D.6只N95口罩，8只N90口罩〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意，設(shè)出變量，列出約束條件，畫出可行域，求得最優(yōu)解，注意變量需要取整數(shù).〖詳析〗設(shè)制作x只N95口罩，y只N90口罩，根據(jù)題意有，可行域如圖所示：利潤(rùn)，目標(biāo)函數(shù)看作斜率為的直線，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)表示的直線經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)，且在y軸上的截距最大時(shí)，最大，由，求得最優(yōu)解，所以當(dāng)時(shí)，z的值最大，所以小明應(yīng)該制作6只N95口罩，8只N90口罩，故選：D.6.古希臘亞歷山大時(shí)期最后一位重要的幾何學(xué)家帕普斯（，公元3世紀(jì)末）在其代表作《數(shù)學(xué)匯編》中研究了“三線軌跡”問(wèn)題：即到兩條已知直線距離的乘積與到第三條直線距離的平方之比等于常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓錐曲線.今有平面內(nèi)三條給定的直線，，，且，均與垂直.若動(dòng)點(diǎn)M到的距離的乘積與到的距離的平方相等，則動(dòng)點(diǎn)M在直線之間的軌跡是（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意得到三條直線的關(guān)系，不妨設(shè)記為，直線為，為，進(jìn)而可根據(jù)條件表示出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，從而得出結(jié)論.〖詳析〗因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)三條給定的直線，，，且，均與垂直，所以，平行，又因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)M到的距離的乘積與到的距離的平方相等，記為，直線為，為，設(shè)，且動(dòng)點(diǎn)M在直線之間，所以M到的距離為，M到的距離為，M到的距離為，所以，若，則；若，則，所以，即，故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為圓.故選：A.7.已知橢圓：的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為，且焦距等于4，的延長(zhǎng)線交橢圓于點(diǎn)，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意得出直線的方程，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再結(jié)合即可求出的值，進(jìn)而求出橢圓的離心率.〖詳析〗由題意可知：，，則直線的方程為：，設(shè)，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，整理化簡(jiǎn)可得：，則，又因?yàn)?，所以，則有，解得：，所以，又，所以橢圓的離心率為，故選：.8.某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實(shí)踐課時(shí)，制作了一個(gè)工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），若其中一個(gè)截面圓的周長(zhǎng)為，則該球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗設(shè)截面圓半徑為，球的半徑為，根據(jù)截面圓的周長(zhǎng)求得，再利用求解.〖詳析〗設(shè)截面圓半徑為，球的半徑為，則球心到某一截面的距離為正方體棱長(zhǎng)的一半即2，根據(jù)截面圓的周長(zhǎng)可得，則，由題意知，即，∴該球的表面積為．故選：A9.八一起義紀(jì)念碑(如圖甲所示)是江西省南昌市的標(biāo)志性建筑，它坐落于南昌市中心的八一廣場(chǎng).紀(jì)念碑的碑身為長(zhǎng)方體，正北面是葉劍英元帥題寫的“八一南昌起義紀(jì)念塔”九個(gè)銅胎鎏金大字.建軍節(jié)那天，李華同學(xué)去八一廣場(chǎng)瞻仰紀(jì)念碑，把地面抽象為平面?碑身抽象為線段，李華同學(xué)抽象為點(diǎn)，則李華同學(xué)站在廣場(chǎng)上瞻仰紀(jì)念碑的情景可簡(jiǎn)化為如圖乙所示的數(shù)學(xué)模型，設(shè)A?B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，要使看上去最長(zhǎng)(可見角最大)，李華同學(xué)(點(diǎn))的坐標(biāo)為()甲乙A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)幾何關(guān)系表示出，利用基本不等式求其最大值即可判斷C的坐標(biāo)．〖詳析〗設(shè)，則C(c，0)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∵為銳角，故當(dāng)tan最大時(shí)，最大．故選：A．10.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，且，的延長(zhǎng)線交雙曲線于點(diǎn)，若雙曲線的離心率為，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗利用雙曲線的定義得到關(guān)于的表達(dá)式，在與中利用余弦定理求得與，從而求得關(guān)于的表達(dá)式，由此得解.〖詳析〗因?yàn)殡p曲線的離心率為，即，令，則，所以，，不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上時(shí)，如圖，記，則由雙曲線的定義得，所以，在中，，則，即，整理得，解得或（舍去），故，，在中，，則，即，整理得，解得，則，，所以；故選：B.11.如圖，已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，過(guò)點(diǎn)B作截面分別交側(cè)棱AC，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且四面體ABEF的體積為四面體ABCD體積的，則EF的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)已知可得的面積，由三角形面積公式和余弦定理，使用基本不等式可得.〖詳析〗由題知，所以，記，則，即.則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).所以a的最小值為故選：D12.已知關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則的最大值為（）A. B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗討論的取值范圍，利用函數(shù)圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，進(jìn)而得解．〖詳析〗解：關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，設(shè)，，若，對(duì)任意恒成立，則，對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)，的圖象，顯然，由圖可知，對(duì)任意不恒成立；當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)，的圖象，顯然，由圖可知，對(duì)任意不恒成立；當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)，的圖象，由圖可知，臨界條件是直線與曲線的圖象相切時(shí)，由，求導(dǎo)，設(shè)，解得，且，當(dāng)?shù)那芯€斜率為2時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為，故，所以，即，所以，令，求導(dǎo)，令，得，即，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)，函數(shù)取到最大值，且.故的最大值為．故選：D．〖『點(diǎn)石成金』〗本題考查了函數(shù)的恒成立問(wèn)題與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，屬于難題．解決本問(wèn)題的關(guān)鍵為討論的取值范圍，利用函數(shù)圖象，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立轉(zhuǎn)化為切線問(wèn)題，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，進(jìn)而得解．第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中常數(shù)項(xiàng)為_________．（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗〖祥解〗先求出的展開式中的常數(shù)項(xiàng)和的系數(shù)，再求的常數(shù)項(xiàng).〖詳析〗解：因?yàn)?，其中展開式的通項(xiàng)為，令得的常數(shù)項(xiàng)為，令，即得展開式中的系數(shù)為.所以的常數(shù)項(xiàng)為.故〖答案〗為：14.在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，，且，，則___________.〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和定義進(jìn)行求解即可.〖詳析〗在平行四邊形中，有，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，由因?yàn)椋杂?，解得：，故〖答案〗為?5.已知等比數(shù)列滿足：，，則的值為___________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗利用等比數(shù)列得性質(zhì)得出，再將所求式子通分代入即可求得.〖詳析〗因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，故〖答案〗為：1016.已知，，是正實(shí)數(shù)，且，則最小值為__________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由于，，是正實(shí)數(shù)，且，所以先結(jié)合基本不等式“1”的代換求的最小值，得，則，再根據(jù)基本不等式湊項(xiàng)法求的最小值，即可求得的最小值.〖詳析〗解：，由于，，是正實(shí)數(shù)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，所以時(shí)等號(hào)成立，則的最小值為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則最小值為.故〖答案〗為：.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～22為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選做題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17.已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)一切成立，求最小正整數(shù)m.〖答案〗（1）（2）2022〖解析〗〖祥解〗（1）由已知解方程，得，，由此能求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）由已知條件利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式先求出，從而得到，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列的前項(xiàng)和．由，得到，由此能求出最小正整數(shù)．〖小問(wèn)1詳析〗數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且，，，，是方程的兩個(gè)根，解方程，得，，，，．〖小問(wèn)2詳析〗由（1）得：，，數(shù)列的前項(xiàng)和：，且對(duì)一切成立，，解得，最小正整數(shù)為2022．18.如圖多面體中，四邊形是菱形，，平面，，（1）證明：平面平面；（2）在棱上有一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為，求點(diǎn)到平面的距離.〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）取的中點(diǎn)，連接交于，連接，，證明，利用平面，證明平面，從而平面平面；（2）建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出二面角，再求得的值，即可得到的坐標(biāo)，再利用空間向量法求出點(diǎn)到面的距離．〖小問(wèn)1詳析〗證明：取中點(diǎn)，連接交于，連接，，因?yàn)槭橇庑危?，且是的中點(diǎn)，所以且，又，，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以，又因?yàn)椋矫?，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；〖小?wèn)2詳析〗解：取的中點(diǎn)，由四邊形是菱形，，則，是正三角形，，，又平面，所以以原點(diǎn)，，，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)在棱上存在點(diǎn)使得平面與平面的夾角為，則，，，，，，則設(shè)，，所以，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，即，令，，得平面的法向量可以為，，解得，所以，則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，得，所以點(diǎn)到平面的距離.19.2020年8月，體育總局和教育部聯(lián)合提出了《關(guān)于深化體教融合，促進(jìn)青少年健康發(fā)展的意見》.某地區(qū)為落實(shí)該意見，初中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠(yuǎn)?擲實(shí)心球?1分鐘跳繩三項(xiàng)測(cè)試，三項(xiàng)考試滿分為50分，其中立定跳遠(yuǎn)15分，擲實(shí)心球15分，1分鐘跳繩20分.某學(xué)校在初三上學(xué)期開始時(shí)要掌握全年級(jí)學(xué)生每分鐘跳繩的情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，得到頻率分布直方圖(如圖所示)，且規(guī)定計(jì)分規(guī)則如下表：每分鐘跳繩個(gè)數(shù)得分17181920（1）現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于35分的概率；（2）若該校初三年級(jí)所有學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差.已知樣本方差(各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替).根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校初三年級(jí)學(xué)生經(jīng)過(guò)訓(xùn)練，正式測(cè)試時(shí)跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步.假設(shè)中考正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比初三上學(xué)期開始時(shí)個(gè)數(shù)增加10個(gè)，現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型：①全年級(jí)有1000名學(xué)生，預(yù)估正式測(cè)試每分鐘跳182個(gè)以上人數(shù)；(結(jié)果四舍五入到整數(shù))②若在全年級(jí)所有學(xué)生中任意選取3人，記正式測(cè)試時(shí)每分鐘跳195個(gè)以上的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望.附：若，則.〖答案〗（1）；（2）①人；②分布列〖答案〗見〖解析〗，數(shù)學(xué)期望：.〖解析〗〖祥解〗（1）分成兩人得分均為16分，或兩人中1人16分，1人17分兩種情況，計(jì)算得到〖答案〗；（2）①先計(jì)算，得到，代入公式計(jì)算得到〖答案〗；②每分鐘跳繩個(gè)數(shù)195以上的概率為0.5，計(jì)算概率得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到〖答案〗.〖詳析〗（1）由頻率分步直方圖得，得分為17，18的人數(shù)分別為6人，12人，所以兩人得分之和不大于35分為兩人得分均為17分，或兩人中1人17分1人18分，所以.（2）又，所以正式測(cè)試時(shí)，，所以，①所以，所以人；②由正態(tài)分布模型，任取1人，每分鐘跳繩個(gè)數(shù)195以上的概率為，即，所以，所以，所以的分布列為0123所以.答：（1）兩人得分之和不大于35分的概率為；（2）①每分鐘跳182個(gè)以上人數(shù)為841；②隨機(jī)變量的期望.〖『點(diǎn)石成金』〗方法『點(diǎn)石成金』：本題考查了概率的計(jì)算，分布列，數(shù)學(xué)期望，第二問(wèn)的關(guān)鍵點(diǎn)是計(jì)算出，從而得出，判斷出，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.20.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，且.（1）求橢圓的離心率；（2）橢圓的上頂點(diǎn)為，不過(guò)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，若，試問(wèn)直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.〖答案〗（1）（2）直線恒過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為〖解析〗〖祥解〗（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，，然后在由條件可得，，，然后利用余弦定理求解即可；（2）首先求出橢圓的方程，然后由可推出，然后設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程消元表示出、，然后由求出的值可得〖答案〗.〖小問(wèn)1詳析〗設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，四邊形為平行四邊形.又，所以而，所以，在四邊形中，，所以，在中，根據(jù)余弦定理得即化簡(jiǎn)得.所以橢圓的離心率；〖小問(wèn)2詳析〗因?yàn)闄E圓的上頂點(diǎn)為，所以，所以，又由（1）知，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.在中，，，所以，從而，又為線段的中點(diǎn)，即，所以，因此，從而，根據(jù)題意可知直線的斜率一定存在，設(shè)它的方程為，，，聯(lián)立消去得①，，根據(jù)韋達(dá)定理可得，，所以所以，整理得，解得或又直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以舍去，于是直線的方程為，恒過(guò)定點(diǎn)，該點(diǎn)在橢圓內(nèi)，滿足關(guān)于的方程①有兩個(gè)不相等的解，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.21.已知函數(shù)，.若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.〖答案〗（1）；（2）證明見〖解析〗．〖解析〗〖祥解〗(1)在內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)、，等價(jià)于在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、.研究的單調(diào)性和零點(diǎn)情況即可求出a的范圍；(2)設(shè)，由(1)知且，則，將a=代入要證的不等式，可將不等式化為，令，則不等式化為，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在(0，1)恒成立即可．〖小問(wèn)1詳析〗函數(shù)定義域?yàn)?，在?nèi)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)、，等價(jià)于在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、．設(shè)，由，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符題意；當(dāng)時(shí)，在上，單調(diào)遞增；在上，單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則必有，即，解得．易證，證明如下：令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故，故，得證．∴，又，∴在和上各有一個(gè)零點(diǎn)、，此時(shí)：00↓極小值↑極大值↓故在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)時(shí)，a的范圍為；〖小問(wèn)2詳析〗方法1：由(1)可知是的兩個(gè)零點(diǎn)，不防設(shè)，由且，得．∵．令，則，記，，則，令，．又，則，即，∴在上單調(diào)遞增，故，即成立．∴不等式成立．方法2：欲證，由，，則只需證：．不妨設(shè)，則且，則，∴，令，則，記，，由，即在上單調(diào)遞增，故，即成立.故．〖『點(diǎn)石成金』〗本題第一問(wèn)關(guān)鍵是找到x=1和x=，判斷，，從而根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷在和上各有一個(gè)零點(diǎn)；第二問(wèn)的關(guān)鍵是利用是的兩個(gè)零點(diǎn)用替換a，再利用換元將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量進(jìn)行證明．（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào).選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.以等邊三角形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形被稱為勒洛三角形．如圖，在極坐標(biāo)系中，曲邊三角形為勒洛三角形，且．以極點(diǎn)O為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求的極坐標(biāo)方程；（2）若曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），求曲線C與交點(diǎn)的極坐標(biāo)．〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）求得的直角坐標(biāo)方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程即可；（2）求得曲線的普通方程，結(jié)合的直角坐標(biāo)方程，求得交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)即可.〖小問(wèn)1詳析〗對(duì)點(diǎn)，設(shè)其直角坐標(biāo)為，則，即其直角坐標(biāo)為，故在直角坐標(biāo)系下的方程為：，由可得：，故的極坐標(biāo)方程為：.〖小問(wèn)2詳析〗由題可得曲線的普通方程為：，聯(lián)立，可得，解得或，又，故，則，即曲線C與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，設(shè)其極坐標(biāo)為，則，，即曲線C與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為.選修4-5：不等式選講23.已知函數(shù)．（1）當(dāng)a＝3時(shí)，解不等式；（2）若不等式的解集非空，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．〖答案〗（1）；（2）．〖解析〗〖祥解〗（1）由a＝3可得，去絕對(duì)值，分類討論解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由題意可得有解，運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得此不等式左邊的最小值，解a的不等式可得所求范圍．〖詳析〗（1）當(dāng)a＝3時(shí)，即為，等價(jià)于或或，解得或或，則原不等式的解集為；（2）不等式的解集非空等價(jià)于有解．由，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)），所以，解得，故a的取值范圍是．〖『點(diǎn)石成金』〗本題考查分類討論解絕對(duì)值不等式以及不等式能成立求參數(shù)的問(wèn)題，考查學(xué)生分類討論的思想，是一道容易題.

高考模擬試題PAGEPAGE1江西省五市九校協(xié)作體2023屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）試卷考試時(shí)間：120分鐘，分值：150分第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知全集，集合，，那么陰影部分表示的集合為A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由韋恩圖可知陰影部分表示的集合為，求出，計(jì)算得到〖答案〗〖詳析〗陰影部分表示的集合為，故選〖『點(diǎn)石成金』〗本題主要考查的是韋恩圖表達(dá)集合的關(guān)系和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.6〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗設(shè)，，利用復(fù)數(shù)幾何意義計(jì)算.〖詳析〗設(shè)，由已知，，所以點(diǎn)在單位圓上，而，表示點(diǎn)到的距離，故.故選：B〖『點(diǎn)石成金』〗本題考查求復(fù)數(shù)模的最大值，其實(shí)本題可以利用不等式來(lái)解決.3.甲、乙兩人各射擊一次，是否命中目標(biāo)互不影響，已知甲、乙兩人命中目標(biāo)的概率分別為，，則至少有一人命中目標(biāo)的概率（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗先根據(jù)題意求出甲、乙兩人各射擊一次，目標(biāo)沒(méi)被命中的概率，再利用對(duì)立事件的概率公式求解即可.〖詳析〗∵甲、乙兩人各射擊一次，目標(biāo)沒(méi)被命中的概率為，∴甲、乙兩人各射擊一次，目標(biāo)被命中的概率為.故選：D.4.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)已知式子結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系與平方關(guān)系，可求得的值，再由誘導(dǎo)公式求得的值.〖詳析〗解：①，由于代入①，得：，由于，所以，故，所以.故選：C.5.當(dāng)前疫情階段，口罩成為熱門商品，為了賺錢，小明決定在家制作兩種口罩：N95口罩和N90口罩.已知制作一只N95口罩需要2張熔噴布和2張針刺棉，制作一只N90口罩需要3張熔噴布和1張針刺棉，現(xiàn)小明手上有36張熔噴布和20張針刺棉，且一只N95口罩有4元利潤(rùn)，一只N90口罩有3元利潤(rùn)，為了獲得最大利潤(rùn)，那么小明應(yīng)該制作（）A.5只N95口罩，8只N90口罩 B.6只N95口罩，6只N90口罩C.7只N95口罩，6只N90口罩 D.6只N95口罩，8只N90口罩〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意，設(shè)出變量，列出約束條件，畫出可行域，求得最優(yōu)解，注意變量需要取整數(shù).〖詳析〗設(shè)制作x只N95口罩，y只N90口罩，根據(jù)題意有，可行域如圖所示：利潤(rùn)，目標(biāo)函數(shù)看作斜率為的直線，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)表示的直線經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)，且在y軸上的截距最大時(shí)，最大，由，求得最優(yōu)解，所以當(dāng)時(shí)，z的值最大，所以小明應(yīng)該制作6只N95口罩，8只N90口罩，故選：D.6.古希臘亞歷山大時(shí)期最后一位重要的幾何學(xué)家帕普斯（，公元3世紀(jì)末）在其代表作《數(shù)學(xué)匯編》中研究了“三線軌跡”問(wèn)題：即到兩條已知直線距離的乘積與到第三條直線距離的平方之比等于常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓錐曲線.今有平面內(nèi)三條給定的直線，，，且，均與垂直.若動(dòng)點(diǎn)M到的距離的乘積與到的距離的平方相等，則動(dòng)點(diǎn)M在直線之間的軌跡是（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意得到三條直線的關(guān)系，不妨設(shè)記為，直線為，為，進(jìn)而可根據(jù)條件表示出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，從而得出結(jié)論.〖詳析〗因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)三條給定的直線，，，且，均與垂直，所以，平行，又因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)M到的距離的乘積與到的距離的平方相等，記為，直線為，為，設(shè)，且動(dòng)點(diǎn)M在直線之間，所以M到的距離為，M到的距離為，M到的距離為，所以，若，則；若，則，所以，即，故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為圓.故選：A.7.已知橢圓：的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為，且焦距等于4，的延長(zhǎng)線交橢圓于點(diǎn)，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意得出直線的方程，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再結(jié)合即可求出的值，進(jìn)而求出橢圓的離心率.〖詳析〗由題意可知：，，則直線的方程為：，設(shè)，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，整理化簡(jiǎn)可得：，則，又因?yàn)?，所以，則有，解得：，所以，又，所以橢圓的離心率為，故選：.8.某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實(shí)踐課時(shí)，制作了一個(gè)工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），若其中一個(gè)截面圓的周長(zhǎng)為，則該球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗設(shè)截面圓半徑為，球的半徑為，根據(jù)截面圓的周長(zhǎng)求得，再利用求解.〖詳析〗設(shè)截面圓半徑為，球的半徑為，則球心到某一截面的距離為正方體棱長(zhǎng)的一半即2，根據(jù)截面圓的周長(zhǎng)可得，則，由題意知，即，∴該球的表面積為．故選：A9.八一起義紀(jì)念碑(如圖甲所示)是江西省南昌市的標(biāo)志性建筑，它坐落于南昌市中心的八一廣場(chǎng).紀(jì)念碑的碑身為長(zhǎng)方體，正北面是葉劍英元帥題寫的“八一南昌起義紀(jì)念塔”九個(gè)銅胎鎏金大字.建軍節(jié)那天，李華同學(xué)去八一廣場(chǎng)瞻仰紀(jì)念碑，把地面抽象為平面?碑身抽象為線段，李華同學(xué)抽象為點(diǎn)，則李華同學(xué)站在廣場(chǎng)上瞻仰紀(jì)念碑的情景可簡(jiǎn)化為如圖乙所示的數(shù)學(xué)模型，設(shè)A?B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，要使看上去最長(zhǎng)(可見角最大)，李華同學(xué)(點(diǎn))的坐標(biāo)為()甲乙A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)幾何關(guān)系表示出，利用基本不等式求其最大值即可判斷C的坐標(biāo)．〖詳析〗設(shè)，則C(c，0)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∵為銳角，故當(dāng)tan最大時(shí)，最大．故選：A．10.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，且，的延長(zhǎng)線交雙曲線于點(diǎn)，若雙曲線的離心率為，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗利用雙曲線的定義得到關(guān)于的表達(dá)式，在與中利用余弦定理求得與，從而求得關(guān)于的表達(dá)式，由此得解.〖詳析〗因?yàn)殡p曲線的離心率為，即，令，則，所以，，不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上時(shí)，如圖，記，則由雙曲線的定義得，所以，在中，，則，即，整理得，解得或（舍去），故，，在中，，則，即，整理得，解得，則，，所以；故選：B.11.如圖，已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，過(guò)點(diǎn)B作截面分別交側(cè)棱AC，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且四面體ABEF的體積為四面體ABCD體積的，則EF的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)已知可得的面積，由三角形面積公式和余弦定理，使用基本不等式可得.〖詳析〗由題知，所以，記，則，即.則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).所以a的最小值為故選：D12.已知關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則的最大值為（）A. B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗討論的取值范圍，利用函數(shù)圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，進(jìn)而得解．〖詳析〗解：關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，設(shè)，，若，對(duì)任意恒成立，則，對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)，的圖象，顯然，由圖可知，對(duì)任意不恒成立；當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)，的圖象，顯然，由圖可知，對(duì)任意不恒成立；當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)，的圖象，由圖可知，臨界條件是直線與曲線的圖象相切時(shí)，由，求導(dǎo)，設(shè)，解得，且，當(dāng)?shù)那芯€斜率為2時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為，故，所以，即，所以，令，求導(dǎo)，令，得，即，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)，函數(shù)取到最大值，且.故的最大值為．故選：D．〖『點(diǎn)石成金』〗本題考查了函數(shù)的恒成立問(wèn)題與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，屬于難題．解決本問(wèn)題的關(guān)鍵為討論的取值范圍，利用函數(shù)圖象，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立轉(zhuǎn)化為切線問(wèn)題，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，進(jìn)而得解．第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中常數(shù)項(xiàng)為_________．（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗〖祥解〗先求出的展開式中的常數(shù)項(xiàng)和的系數(shù)，再求的常數(shù)項(xiàng).〖詳析〗解：因?yàn)?，其中展開式的通項(xiàng)為，令得的常數(shù)項(xiàng)為，令，即得展開式中的系數(shù)為.所以的常數(shù)項(xiàng)為.故〖答案〗為：14.在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，，且，，則___________.〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和定義進(jìn)行求解即可.〖詳析〗在平行四邊形中，有，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，由因?yàn)椋杂桑獾茫?，故〖答案〗為?5.已知等比數(shù)列滿足：，，則的值為___________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗利用等比數(shù)列得性質(zhì)得出，再將所求式子通分代入即可求得.〖詳析〗因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，故〖答案〗為：1016.已知，，是正實(shí)數(shù)，且，則最小值為__________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由于，，是正實(shí)數(shù)，且，所以先結(jié)合基本不等式“1”的代換求的最小值，得，則，再根據(jù)基本不等式湊項(xiàng)法求的最小值，即可求得的最小值.〖詳析〗解：，由于，，是正實(shí)數(shù)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，所以時(shí)等號(hào)成立，則的最小值為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則最小值為.故〖答案〗為：.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～22為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選做題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17.已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)一切成立，求最小正整數(shù)m.〖答案〗（1）（2）2022〖解析〗〖祥解〗（1）由已知解方程，得，，由此能求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）由已知條件利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式先求出，從而得到，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列的前項(xiàng)和．由，得到，由此能求出最小正整數(shù)．〖小問(wèn)1詳析〗數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且，，，，是方程的兩個(gè)根，解方程，得，，，，．〖小問(wèn)2詳析〗由（1）得：，，數(shù)列的前項(xiàng)和：，且對(duì)一切成立，，解得，最小正整數(shù)為2022．18.如圖多面體中，四邊形是菱形，，平面，，（1）證明：平面平面；（2）在棱上有一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為，求點(diǎn)到平面的距離.〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）取的中點(diǎn)，連接交于，連接，，證明，利用平面，證明平面，從而平面平面；（2）建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出二面角，再求得的值，即可得到的坐標(biāo)，再利用空間向量法求出點(diǎn)到面的距離．〖小問(wèn)1詳析〗證明：取中點(diǎn)，連接交于，連接，，因?yàn)槭橇庑?，所以，且是的中點(diǎn)，所以且，又，，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；〖小?wèn)2詳析〗解：取的中點(diǎn)，由四邊形是菱形，，則，是正三角形，，，又平面，所以以原點(diǎn)，，，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)在棱上存在點(diǎn)使得平面與平面的夾角為，則，，，，，，則設(shè)，，所以，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，即，令，，得平面的法向量可以為，，解得，所以，則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，得，所以點(diǎn)到平面的距離.19.2020年8月，體育總局和教育部聯(lián)合提出了《關(guān)于深化體教融合，促進(jìn)青少年健康發(fā)展的意見》.某地區(qū)為落實(shí)該意見，初中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠(yuǎn)?擲實(shí)心球?1分鐘跳繩三項(xiàng)測(cè)試，三項(xiàng)考試滿分為50分，其中立定跳遠(yuǎn)15分，擲實(shí)心球15分，1分鐘跳繩20分.某學(xué)校在初三上學(xué)期開始時(shí)要掌握全年級(jí)學(xué)生每分鐘跳繩的情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，得到頻率分布直方圖(如圖所示)，且規(guī)定計(jì)分規(guī)則如下表：每分鐘跳繩個(gè)數(shù)得分17181920（1）現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于35分的概率；（2）若該校初三年級(jí)所有學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差.已知樣本方差(各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替).根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校初三年級(jí)學(xué)生經(jīng)過(guò)訓(xùn)練，正式測(cè)試時(shí)跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步.假設(shè)中考正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比初三上學(xué)期開始時(shí)個(gè)數(shù)增加10個(gè)，現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型：①全年級(jí)有1000名學(xué)生，預(yù)估正式測(cè)試每分鐘跳182個(gè)以上人數(shù)；(結(jié)果四舍五入到整數(shù))②若在全年級(jí)所有學(xué)生中任意選取3人，記正式測(cè)試時(shí)每分鐘跳195個(gè)以上的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望.附：若，則.〖答案〗（1）；（2）①人；②分布列〖答案〗見〖解析〗，數(shù)學(xué)期望：.〖解析〗〖祥解〗（1）分成兩人得分均為16分，或兩人中1人16分，1人17分兩種情況，計(jì)算得到〖答案〗；（2）①先計(jì)算，得到，代入公式計(jì)算得到〖答案〗；②每分鐘跳繩個(gè)數(shù)195以上的概率為0.5，計(jì)算概率得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到〖答案〗.〖詳析〗（1）由頻率分步直方圖得，得分為17，18的人數(shù)分別為6人，12人，所以兩人得分之和不大于35分為兩人得分均為17分，或兩人中1人17分1人18分，所以.（2）又，所以正式測(cè)試時(shí)，，所以，①所以，所以人；②由正態(tài)分布模型，任取1人，每分鐘跳繩個(gè)數(shù)195以上的概率為，即，所以，所以，所以的分布列為0123所以.答：（1）兩人得分之和不大于35分的概率為；（2）①每分鐘跳182個(gè)以上人數(shù)為841；②隨機(jī)變量的期望.〖『點(diǎn)石成金』〗方法『點(diǎn)石成金』：本題考查了概率的計(jì)算，分布列，數(shù)學(xué)期望，第二問(wèn)的關(guān)鍵點(diǎn)是計(jì)算出，從而得出，判斷出，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.20.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，且.（1）求橢圓的離心率；（2）橢圓的上頂點(diǎn)為，不過(guò)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，若，試問(wèn)直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.〖答案〗（1）（2）直線恒過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為〖解析〗〖祥解〗（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，，然后在由條件可得，，，然后利用余弦定理求解即可；（2）首先求出橢圓的方程，然后由可推出，然后設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程消元表示出、，然后由求出的值可得〖答案〗.〖小問(wèn)1詳析〗設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，四邊形為平行四邊形.又，所以而，所以，在四邊形中，，所以，在中，根據(jù)余弦定理得即化簡(jiǎn)得.所以橢圓的離心率；〖小問(wèn)2詳析〗因?yàn)闄E圓的上頂點(diǎn)為，所以，所以，又由（1）知，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.在中，，，所以，從而，又為線段的中點(diǎn)，即，所以，因此，從而，根據(jù)題意可知直線的斜率一