山東省濟寧市梁山縣2024-2025學年高二上學期數(shù)學期中模擬題含答案

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出直線的斜率，再根據(jù)傾斜角的正切值等于斜率，結合傾斜角的范圍即可求解.【詳解】由可得，所以直線的斜率為，設直線的傾斜角為，則，因為，所以，故選：D.2.如圖，在空間四邊形中，設分別是，的中點，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量的平行四邊形法則得出，再由平面向量的三角形加法運算法則即可得出結果.【詳解】解：由題可知，分別是，的中點，根據(jù)平面向量的平行四邊形法則，可得，再由平面向量的三角形加法法則，得出：.故選：C.3.如圖是一個古典概型的樣本空間和隨機事件，其中，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)韋恩圖，進行分析，結合古典概型計算即可.【詳解】，則,則.故選：B4.已知圓的一條直徑的兩個端點分別在x軸和y軸上，圓心坐標為，則此圓的方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，設這條直徑與軸交點為，與軸交點為，圓的半徑為；由中點坐標公式可得，即可求出的值，再結合兩點間距離公式可求出的值，根據(jù)圓的標準方程，即可求出結果．【詳解】根據(jù)題意，圓的一條直徑的兩個端點分別在軸和軸上，設這條直徑與軸交點為，與軸交點為，圓的半徑為；又由圓心坐標為，則有，解可得，又，所以，所以圓的方程為：.故選：B．【點睛】本題考查圓的標準方程的求法，屬于基礎題．5.設aR，則“a＝1”是“直線：ax＋2y－1＝0與直線：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】∵當a=1時，直線：x+2y﹣1=0與直線：x+2y+4=0，兩條直線的斜率都是，截距不相等，得到兩條直線平行，故前者是后者的充分條件，∵當兩條直線平行時，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要條件．故選A．考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；直線的一般式方程與直線的平行關系．6.已知曲線，則的最大值，最小值分別為（）A.＋2，－2 B.＋2，C.，－2 D.，【答案】C【解析】【分析】由題意可得曲線表示的圖形為以為圓心，2為半徑的半圓，表示半圓上的動點與點的距離，作出圖象，結合圖象求解即可．【詳解】由，可知，，且有，表示的圖形為以為圓心，2為半徑的半圓，如圖所示：又因為表示半圓上的動點與點的距離，又因為，所以的最小值為，當動點與圖中點重合時，取最大值，故選：C．7.在下列命題中：①若向量共線，則向量所在的直線平行；②若向量所在的直線為異面直線，則向量一定不共面；③若三個向量兩兩共面，則向量共面；④已知空間的三個向量，則對于空間的任意一個向量總存在實數(shù)使得其中正確命題的個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量共線，共面的性質逐一分析每個選項.【詳解】對于①，若向量共線，則向量所在的直線平行，也可能共線，故①錯誤；對于②，由于向量可以平移，兩個向量一定共面，故②錯誤；對于③，任意兩個向量自然是兩兩共面，三個向量則不一定共面，例如空間直角坐標系軸所在的向量兩兩共面，但是顯然軸不共面，故③錯誤；對于④，若共線時，顯然共面，于是只能表示和共面的向量，對于空間中的任意向量則不一定成立，故④錯誤.于是四個選項都是錯的.故選：A8.已知動點與兩個定點的距離之比為2，那么直線的斜率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，求出點的軌跡方程，數(shù)形結合求得直線的斜率范圍.詳解】設動點Mx,y，則，化簡得，所以點的軌跡為圓，如圖，過點作圓的切線，連接，則，，所以，同理，則直線的斜率范圍為.故選：C.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．9.已知直線l一個方向向量為，且經(jīng)過點，則下列結論中正確的是（）A.與直線垂直B.的傾斜角等于C.在y軸上的截距為D.圓上存在兩個點到直線的距離等于【答案】AD【解析】【分析】由直線的方向向量可求得直線的斜率，從而可求出直線的傾斜角和直線方程，進而可判斷A，B，C，利用圓心到直線的距離確定直線與圓的位置關系，再找到圓周上的點到直線的最近距離，即可判斷D.【詳解】因為直線的一個方向向量，所以直線的斜率，又直線經(jīng)過點，代入點斜式方程可得，，即直線的方程為：.對于A，將直線化為斜截式方程可得，，斜率為，又直線的斜率，因為，所以直線與直線垂直，故A正確；對于B，由直線的斜率為，設直線的傾斜角為，，則，所以，故B不正確；對于C，令，代入直線的方程，得，即直線在軸上的截距等于，故C不正確；對于D，圓的圓心到直線的距離d=2332因此直線與圓相離，又圓上點到直線的最近距離為，因此可得圓上存在兩個點到直線的距離等于，故D正確；故選：AD.10.下列命題正確的是（）A.設A，B是兩個隨機事件，“A與是互斥事件”是“與互為對立事件”的充分不必要條件B.若，則事件A，B相互獨立與A，B互斥一定不能同時成立C.若三個事件A，B，C兩兩獨立，則滿足D.若事件A，B相互獨立，，則【答案】BD【解析】【分析】通過運用互斥事件、獨立事件以及充分條件和必要條件，即可解答.【詳解】A選項：互斥事件是指兩個事件不可能同時發(fā)生，而對立事件是指兩個互斥事件中必有一個發(fā)生，互斥事件是對立事件的必要條件，但對立事件是互斥事件的充分條件，所以“A與是互斥事件”是“與互為對立事件”的必要不充分條件，故A選項錯誤；B選項：若事件A，B相互獨立與A，B互斥同時成立，那么若事件A，B相互獨立，則；若事件A，B互斥，則，兩者矛盾，故B選項正確；C選項：考慮投擲兩個骰子，記事件為第一個骰子的點數(shù)為奇數(shù)，事件為第二個骰子點數(shù)為奇數(shù)，事件為兩個骰子的點數(shù)之和為奇數(shù)，于是有，,故C選項錯誤；D選項：由題意，又因為事件,相互獨立，所以故D選項正確；故選：BD.11.公元前3世紀，古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中，曾研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結果：平面內到兩定點距離之比等于已知數(shù)的動點軌跡為直線或圓.后世把這種圓稱為阿波羅尼斯圓.已知直角坐標系中，，滿足的點P的軌跡為C，則下列結論正確的是（）A.點P的軌跡是以為圓心，為半徑的圓B.軌跡C上的點到直線的最小距離為C.若點在軌跡C上，則的最小值是D.圓與軌跡C有公共點，則a的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】利用兩點距離公式計算可判定A，利用直線與圓的位置關系可判定B、C，利用兩圓的位置關系可判定D.【詳解】設Px,y，由，整理得，顯然點P的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故A正確；圓心到直線的距離，所以軌跡C上的點到直線的最小距離為，故B錯誤；設，易知圓心到直線的距離，故C正確；易知圓的半徑為2，則其與軌跡C相交或相外切時符合題意，則圓心距，解之得，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分12.體育課上甲、乙兩名同學進行投籃比賽（甲、乙各投籃一次），甲投中的概率為0.7，乙投中的概率為0.8，則甲、乙兩人恰好有一人投中的概率為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)相互獨立事件的乘法概率公式即可求解.【詳解】記“甲投中”，“乙投中”，則，所以甲、乙兩人恰好有一人投中的概率為故答案為：0.38.13.設，向量，，，且，，則__________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)空間向量平行和垂直的坐標表示求出和的值，進而可得的坐標，再由模長的坐標表示計算模長即可求解.【詳解】因為，，，且，，所以，12=y?4=1所以，，，所以.故答案為：.14.設，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】可得直線分別過定點和且垂直，可得設，則，,,則，利用正弦函數(shù)的性質求值域即可．詳解】由題意可知，動直線，經(jīng)過定點，動直線即，經(jīng)過定點，時，動直線和動直線的斜率之積為，時，也垂直，所以兩直線始終垂直，又P是兩條直線的交點，，．設，則，，由且，可得，，，，，，故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：因為，設，則，，則，即可求得的取值范圍.四、解答題：本大題共6小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.若直線的方程為.（1）若直線與直線垂直，求的值；（2）若直線在兩軸上的截距相等，求該直線的方程.【答案】（1）1；（2），．【解析】【分析】（1）直線與直線垂直，可得，解得．（2）當時，直線化為：．不滿足題意．當時，可得直線與坐標軸的交點，．根據(jù)直線在兩軸上的截距相等，即可得出．【詳解】解：（1）直線與直線垂直，，解得．（2）當時，直線化：．不滿足題意．當時，可得直線與坐標軸的交點，．直線在兩軸上的截距相等，，解得：．該直線的方程為：，．【點睛】本題考查了直線的方程、相互垂直的直線斜率之間關系、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．16.在平行四邊形中，，,將沿折起，使得平面平面，如圖．（1）求證：；（2）若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質定理確定平面，即可求證；（2）建系，求得直線的方向向量和平面的法向量，代入夾角公式即可.【小問1詳解】因為平面，平面平面平面所以平面又平面所以．【小問2詳解】過點在平面內作，如圖．由（1）知平面平面所以．以為坐標原點，分別以的方向為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐坐標系．依題意，．則．設平面的法向量．則即．取得平面的一個法向量．設直線與平面所成角為，則sinθ=cos<n即直線與平面所成角的正弦值為．17.某校為了厚植文化自信?增強學生的愛國情懷，特舉辦“中國詩詞精髓”知識競賽活動，比賽中只有兩道題目，比賽按先題后題的答題順序各答1次，答對題得2分，答對題得3分，答錯得0分.已知學生甲答對題的概率為，答對題的概率為，其中，學生乙答對題的概率為，答對題的概率為，且甲乙各自在答兩題的結果互不影響.已知甲比賽后得5分的概率為，得3分的概率為.（1）求的值；（2）求比賽后，甲乙總得分不低于8分的概率.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由概率乘法公式列出等式求解即可.（2）記甲得分為i分的事件為，乙得分為i分的事件為，從而得到不低于8分的事件為，再結合概率加法、乘法公式即可求解.【小問1詳解】由題意得，解得.【小問2詳解】比賽結束后，甲?乙個人得分可能為.記甲得分為i分的事件為，乙得分為i分的事件為，相互獨立，記兩輪投籃后甲總得分不低于8分為事件E，則，且彼此互斥.易得.，所以所以兩輪投籃后，甲總得分不低于8分的概率為.18.如果，，，，是以為直徑的圓上一段圓弧，是以為直徑的圓上一段圓弧，是以為直徑的圓上一段圓弧，三段弧構成曲線，（1）求所在圓與所在圓的公共弦方程；（2）求與的公切線方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出兩段弧所在的圓的方程，兩個圓的方程相減即可得公共弦所在的直線的方程；（2）設出公切線的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑即可求解.【詳解】（1）所在的圓是以為圓心，半徑為的圓，所以所在圓的方程為，所在的圓是以為圓心，半徑為的圓，所以所在圓的方程為，兩圓的方程相減可得：即；（2）因為所在的圓是以為圓心，半徑為的圓，所在的圓是以為圓心，半徑為的圓，所以與所在圓的的公切線平行于經(jīng)過點、的直線，所以所求切線的斜率為，設公切線的方程為，則點到的距離，解得：或（舍）所以公切線的方程為.19.四棱錐中，平面，，，，，是的中點，在線段上，且滿足．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（3）在線段上是否存在點，使得與平面所成角的正弦值是，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解答（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）取的中點，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可求解；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法求解平面與平面的夾角，即可求解；（3）設，利用空間向量法求解與平面的夾角，從而求解.【小問1詳解】如圖1，取的中點，連接.因為且，又