江蘇省徐州市豐縣2023-2024學年九年級上學期期中數(shù)學試卷（含答案解析）

2023-2024學年豐縣九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．用配方法解方程x2-2x-8=0，下列配方正確的是（）A．（x-1）2=8 B．（x-1）2=9 C．（x-1）2=82 D．（x-1）2=122．已知⊙O的半徑為2，點P在⊙O外，則OP的長不可能是（）A．1 B．2.5 C．3.5 D．43．關于x的一元二次方程x2+mx=3x+5化為一般形式后不含一次項，則m的值為（）A．0 B．±3 C．3 D．-34．給出下列說法：①半徑相等的圓是等圓；②長度相等的弧是等??；③以2cm長為半徑的圓有無數(shù)個；④平面上任意三點能確定一個圓，其中正確的有（）A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④5．關于二次函數(shù)y=2(x-1)2+3，下列說法正確的是（）A．圖象的對稱軸是直線x=-1 B．圖象與x軸有兩個交點C．當x＞1時，y的值隨x值的增大而增大 D．當x=1時，y取得最大值，且最大值為36．一種微波爐每臺成本價原來是500元，經(jīng)過兩次技術改進后，成本降為256元，設平均每次降價的百分率為x，則下列方程正確的是（）A．500（1-x）2=256B．256（1+x）2=500C．256（1+x2）=500D．500（1-2x）=4007．以正六邊形的頂點為旋轉(zhuǎn)中心，按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使得新正六邊形的頂點落在直線上，則正六邊形至少旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為（）A． B． C． D．8．二次函數(shù)的圖像如圖所示，若關于x的一元二次方程（t為實數(shù)）的解滿足，則t的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）9．拋物線與y軸的交點坐標是．10．如圖，⊙O的半徑是5，∠AOB＝60°，則AB＝_____．11．若關于x的一元二次方程的一個根是，則的值是__．12．已知一元二次方程的兩個根為、，則的值為__．13．如圖，在⊙中，直徑與弦交于點．，連接，過點的切線與的延長線交于點．若，則__°．14．如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個扇形．若母線長l為9cm，圓錐的底面圓的半徑r為3cm，則扇形的圓心角為__°．15．二次函數(shù)的部分對應值列表如下：x…0135…y…66…則一元二次方程的解為__．16．已知二次函數(shù)的圖象與坐標軸有三個公共點，則k的取值范圍是__．17．如圖，已知拋物線經(jīng)過點A、B，且軸，，則__．18．如圖，點A是半圓上的三等分點，B是弧的中點，P是直徑上一動點．的半徑為2，寫出的最小值__．三、解答題（本大題共8小題，共76分）19．解方程：（1）；（2）．20．下表是二次函數(shù)的部分取值情況：x…0123…y…0c43n…根據(jù)表中信息，回答下列問題：（1）二次函數(shù)圖象的頂點坐標是，；（2）在圖中的平面直角坐標系內(nèi)描點畫出該二次函數(shù)的圖象，觀察圖象，寫出時x的取值范圍；（3）該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣平移可以得到的圖象？（4）若拋物線上兩點的橫坐標滿足，則0(填“＞”“＜”或“＝”)．21．（1）教材重現(xiàn)：在中，是所對的圓心角，是所對的圓周角，我們在數(shù)學課上探索兩者之間的關系時，要根據(jù)圓心O與的位置關系進行分類．圖1是其中一種情況，請你在圖2和圖3中畫出其它兩種情況的圖形，并從圖2，圖3中任選一種情況證明；（2）知識應用：如圖4，點C在上，連接、，點P為外一點，平分，交于點D，連接，若，，求證：為的切線．22．直播購物逐漸走進了人們的生活．某電商在抖音上對一款成本價為30元的小商品進行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價每降低1元，日銷售量增加2件．商家想盡快銷售完該款商品，采取降價措施增加銷量．（1）若日利潤保持不變，每件售價應定為多少元？（2）每件商品降價多少元時日利潤最大？23．河上有一座橋孔為拋物線形的拱橋，水面寬為6米時，水面離橋孔頂部4米．如圖1，橋孔與水面交于A、B兩點，以點A為坐標原點，所在水平線為橫軸，過原點的鉛垂線為縱軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．（1）請求出此拋物線對應的二次函數(shù)表達式；（2）因降暴雨水位上升米，一艘裝滿貨物的小船，露出水面部分的高為，寬為（橫截面如圖2），暴雨后，這艘小船能從這座石拱橋下通過嗎？請說明理由．24．如圖，是的直徑，點A和點E是上位于的兩側(cè)的點，，，垂足為D，、的延長線交于點G，的延長線交于點F．（1）判斷的形狀并說明理由；（2）若，，求的直徑的長．25．【問題提出】學習過扇形面積的計算方法后，小明、小麗和小宇開展以下學習討論：小明：三角形的中線可以把三角形的面積二等分，那么能不能畫一條線把扇形的面積二等分呢？小麗：可以，這是一條過圓心的直線……小明：可能是一條弧線嗎？小宇：根據(jù)扇形面積計算公式，扇形的圓心角和半徑?jīng)Q定扇形面積的大小，把問題轉(zhuǎn)化成，在原來扇形內(nèi)部作一個小扇形，它們的圓心角相等且面積比是，推算出此時兩個扇形的半徑比為a．小麗：我們以前遇到過一類特殊三角形兩邊的比值恰好也是a！……【嘗試解決】已知扇形，（1）請你用圓規(guī)和無刻度的直尺在圖1中，作出符合小麗所說方案的直線；（2）①小宇談話中提到的a的值為；②參考三位同學的談話，請你在圖2中用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點O為圓心的圓弧，使扇形的面積被這條圓弧平分．（提醒：以上所有作圖均不寫作法，需保留作圖痕跡）26．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖像與x軸交于點A，與y軸交于點B，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點A、B．（1），；（2）若點M是第三象限內(nèi)拋物線上的一動點，過點M作垂直于x軸，垂足為點C，交直線于點D，連接，當時：①求點M的坐標；②直線上是否存在點E，使為直角三角形？若存在，直接寫出符合條件的所有點E的坐標；若不存在，請說明理由．（3）拋物線上是否存在點N（不與點A、B重合），使得O、A、B、N四點共圓，如果存在求出點N的坐標，如果不存在，請說明理由．參考答案一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．B【解析】本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關鍵．先移項，再配方，最后得出選項即可．【詳解】解：x2-2x-8=0，移項，得x2-2x=8，配方得：x2-2x+1=8+1，（x-1）2=9．故選：B．2．A【解析】【分析】本題考查了點與圓的位置關系，當點與圓心的距離d大于半徑r時，點在圓外；當點與圓心的距離d等于半徑r時，點在圓上；當點與圓心的距離d小于半徑r時，點在圓內(nèi)，由此可解．【詳解】解：A，時，，點P在內(nèi)，與已知矛盾，符合題意；B，時，，點P在外；C，時，，點P在外；D，時，，點P在外；故選：A．3．C【解析】【分析】此題考查了一元二次方程定義，解題關鍵是理解一元二次方程的一般形式，將一元二次方程化為一般式，根據(jù)不含一次項可得一次項系數(shù)為0，求解即可．【詳解】解：方程化為一般形式為：由題意可得：解得故選：C4．B【解析】【分析】本題考查的是圓的認識，根據(jù)等圓、等弧和半圓的定義以及確定圓的條件，分別進行判斷．【詳解】解：①半徑相等的圓是等圓，故①正確；②同圓或等圓中，長度相等的弧是等弧，故②不正確；③以長為半徑的圓有無數(shù)個，沒有指定圓心，故③正確；④平面上不共線的三點能確定一個圓，故④不正確；故選：B．5．C【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，根據(jù)二次項系數(shù)大于0，以及解析式為頂點式可得二次函數(shù)開口向上，對稱軸為直線，由此可得當時，y的值隨x值的增大而增大且當時，y取得最小值，且最小值為3，則二次函數(shù)的函數(shù)值恒大于等于3，即二次函數(shù)與x軸沒有交點，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵二次函數(shù)解析式為，，∴二次函數(shù)開口向上，對稱軸為直線，故A說法錯誤，不符合題意；∴當時，y的值隨x值的增大而減小，當時，y的值隨x值的增大而增大，故C說法正確，符合題意；∴當時，y取得最小值，且最小值為3，故D說法錯誤，不符合題意；∴，∴二次函數(shù)與x軸沒有交點，故B說法錯誤，不符合題意；故選C．6．A【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應用．根據(jù)題意正確的列方程是解題的關鍵．由題意知，第一次降價后成本為，第二次降價后成本為，然后根據(jù)題意列方程即可．【詳解】解：由題意知，第一次降價后成本為，第二次降價后成本為，依題意得，，故選：A．7．B【解析】【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)應用，熟練掌握多邊形內(nèi)角和及外角和的計算方法是解題的關鍵，連接，根據(jù)正六邊形的外角為，可得，，再根據(jù)，可得，進而得到正六邊形至少旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．【詳解】解：連接，∵正六邊形的每個外角，∴正六邊形的每個內(nèi)角，∴，，∵∴∴∴正六邊形至少旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為故選：B．8．D【解析】【分析】本題主要考查了拋物線與x軸的交點，學會利用圖像法解決問題，畫出圖象是解決問題的關鍵．如圖，關于x的一元二次方的解就是拋物線與直線的交點的橫坐標，然后利用圖像法即可解決問題．【詳解】解：如圖：關于x的一元二次方程的解就是拋物線與直線的交點的橫坐標，∵，∴，∴拋物線的對稱軸為，且最大值為4，當時，由圖像可知關于x的一元二次方程（t為實數(shù)），在的范圍內(nèi)有解，∴解滿足，則t的取值范圍是．故選：D．二、填空題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）9．【解析】【分析】本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點的坐標特征的理解和掌握，把代入拋物線中，求y的值，即可求出答案．知道拋物線與y軸交點的橫坐標等于0是解此題的關鍵．【詳解】解：把代入拋物線，得：，∴拋物線與y軸的交點坐標是，故答案為．10．5【解析】【分析】由OA=OB，得△OAB為等邊三角形進行解答．【詳解】解：∵OA=OB=5，∠AOB=60°，∴△OAB等邊三角形，故AB=5，故答案為：5．【點睛】本題考查了圓的認識；等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關鍵．11．2【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程解的定義，代數(shù)式求值，熟知一元二次方程解的定義是解題的關鍵．根據(jù)一元二次方程解的定義把代入到得出，然后進行求解即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程的一個解是，∴，∴，∴．故答案為：2．12．##【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系：若是一元二次方程的兩根，，．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得出，將代數(shù)式化簡，然后整體代入即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程的兩個根為，∴，∴，故答案為：．13．【解析】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，解題的關鍵是熟悉圓的切線垂直于過切點的半徑和弧之間的關系．由得出，根據(jù)，，即可求出的度數(shù)，從而可求出，由是⊙的切線可得，在四邊形中，利用四邊形的內(nèi)角和即可求解．【詳解】，，是的外角，，，，是⊙的切線，，四邊形的內(nèi)角和為，，故答案為：．14．120【解析】【分析】本題考查圓錐側(cè)面展開圖的圓心角，根據(jù)圓錐的底面周長等于扇形的弧長，列出等式，求解即可．【詳解】解：由題意，得：，解得：；故答案為：120．15．0或2【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)與一元二次方程的關系，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關鍵．先求出對稱軸，由表格中的數(shù)據(jù)可知：當時，，利用二次函數(shù)的對稱性即可即可．掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關鍵．【詳解】解：由拋物線的對稱性質(zhì)知，對稱軸是直線．根據(jù)表格可知：當時，，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知：當時，，所以一元二次方程的解為或．故答案為：0或2．16．且【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)與軸的交點，根據(jù)，且解出的范圍即可求出答案．解題的關鍵是正確列出進行計算．【詳解】解：由題意可知：且，解得：且，故答案為：且．17．##0.25【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關鍵．如圖，記與軸的交點為，圖象對稱軸為軸，則，，設，則，解得，，或（舍去），則，，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：如圖，記與軸的交點為，∵，∴對稱軸軸，∵軸，，∴，∴，設，將代入得，，解得，，或（舍去），∴，，，∴，，∴，故答案為：．18．【解析】【分析】作點A關于的對稱點，由，得到當點，，三點共線時，取得最小值，即的長度，連接交圓于P，根據(jù)題意得到，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】作點A關于的對稱點，∴∴∴當點，，三點共線時，取得最小值，即的長度，∴連接交圓于P，則點P即是所求作的點，∵A是半圓上一個三等分點，∴，又∵點B是弧的中點，∴∴在中，由勾股定理得：∴的最小值是．故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，兩點之間線段最短，勾股定理，以及圓周角定理，解決此題的關鍵是確定點P的位置．根據(jù)軸對稱的知識，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，根據(jù)已知條件發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形．三、解答題（本大題共8小題，共76分）19．（1）（2）【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程．（1）整理后，利用直接開平方法求解即可；（2）整理后，利用公式法求解即可．【小問1詳解】解：整理得，開方得，或，解得；【小問2詳解】解：原方程可化為，．，，，解得．20．（1），3（2），圖見解析（3）拋物線向左平移1個單位，向下平移4個單位即可得到的圖象（4）【解析】【分析】（1）將代入得，解得，，則，然后作答即可；（2）描點作圖，由圖象可知時x的取值范圍為，（3）根據(jù)左加右減、上加下減進行作答即可；（4）由題意知，當時，隨的增大而減小，由，可得，然后求解判斷即可．【小問1詳解】解：將代入得，，解得，，∴，∴頂點坐標為，故答案為：，3；【小問2詳解】解：作圖如下：∴時x的取值范圍為，故答案為：；【小問3詳解】解：∵∴拋物線向左平移1個單位，向下平移4個單位即可得到的圖象；【小問4詳解】解：由題意知，當時，隨的增大而減小，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，根據(jù)交點確定不等式的解集，畫二次函數(shù)圖象．熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關鍵．21．（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）①連接，并延長交于點，根據(jù)等邊對等角得，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求證結(jié)論；②連接，并延長交于點D，根據(jù)等邊對等角得，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求證結(jié)論．（2）根據(jù)圓周角定理得，再根據(jù)等邊三角形的判定及性質(zhì)得，，再根據(jù)等角對等邊及切線的判定定理即可求證結(jié)論．【詳解】（1）①如圖2，連接，并延長交于點，圖2，，，，，，．②如圖3，連接，并延長交于點D，，，，，，，．（2），，平分，，又，是等邊三角形，，，，，，，，為的切線．【點睛】本題考查了切線的判定、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握相關判定及性質(zhì)是解題的關鍵．22．（1）40元（2）10元【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應用，二次函數(shù)的最值，解題的關鍵是：（1）設每件售價應定為元，則每件的銷售利潤為元，日銷售量為件，利用該種小商品的日銷售利潤每件的銷售利潤日銷售量，即可得出關于的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）列出的方程求解最大值即可．【小問1詳解】解：設每件降價元，則每件的銷售利潤為元，日銷售量為件，依題意得：整理得：，解得：（不合題意，舍去），．每件售價應定為（元）．答：每件售價應定為40元．【小問2詳解】設日利潤元，每件降價元．當時，最大，此時（元）答：每件商品降價10元時日利潤最大．23．（1）（2）不能，理由見解析【解析】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的應用、二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是：（1）根據(jù)點A的坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征結(jié)合水高求出可通過船的最高高度（寬度固定）．（1）根據(jù)點A的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）代入求出x值，再求出可通過船的最大寬度，將其與比較后即可得出結(jié)論．【小問1詳解】解：由題意可知，該拋物線頂點坐標為設拋物線函數(shù)關系式為，把代入，得，，∴這個二次函數(shù)的表達式為；【小問2詳解】水位上升后船頂部距原來水面高：把代入得，，，∴此時對應的橋孔寬度為．，∴暴雨后這艘船不能從這座拱橋下通過．24．（1）是等腰三角形，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）圓周角定理，得到，同角的余角相等，得到，等弧所對的圓周角相等，得到，進而得到，即可得出結(jié)論；（2）等角的余角相等，得到，進而得到，進而求出的長，勾股定理，求出的長，連接，設半徑，利用勾股定理求出的值即可．【小問1詳解】解：是等腰三角形．為直徑，，，，．，，，，，，是等腰三角形．【小問2詳解】中，，又，，，，，，，在Rt中，．連接，設半徑，則，在Rt中，，．的直徑．【點睛】本題考查圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握直徑所對的圓周角為直角，以及等弧所對的圓周角相等，是解題的關鍵．25．（1）見解析（2）①；②見解析【解析】【分析】本題考查扇形的面積公式，尺規(guī)作圖--作角平分線，作垂線．（1）根據(jù)扇形的面積公式，得到半徑相同的兩個扇形的面積比等于圓心角的度數(shù)比，即可得到的角平分線，平分扇形的面積，作的角平分線，即可；（2）①根據(jù)扇形的面積公式，得到圓心角