2024-2025學年九年級上學期數(shù)學期中滿分沖刺之選擇壓軸題（蘇科版）（含答案解析）

2024-2025學年九年級上學期數(shù)學期中滿分沖刺選擇壓軸題姓名：_________班級：_________學號：_________考點一、一元二次方程的解1．（23-24九年級上·江蘇揚州·階段練習）關于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1（a，m，b均為常數(shù)，a≠0），則方程a（x+3+m）2+b=0的解是（

）A．-1或-4 B．-2或1 C．1或3 D．-5或-22．（23-24九年級上·江蘇鹽城·期中）若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=1，x2=-3，則關于y的方程a（y-1）2+b（y-1）+c=0的解為（

）A．－2 B．2 C．-2或2 D．以上都不對3．（21-22九年級上·江蘇蘇州·期中）若關于x的一元二次方程x2-（k+3）x+2k+2=0有一根小于1，一根大于1，則k的取值范圍是（）A．k≠0 B．k＜0 C．k＜-1 D．k＞0考點二、關于一元二次方程的代數(shù)式求值4．（23-24九年級上·江蘇連云港·階段練習）若a是方程x2+3x-1=0的一個根，則a2+3a+2022=（

）A．-2021 B．2023 C．2021 D．20225．（2023·浙江·模擬預測）若a，b滿足，，且，則的值為（

）A． B． C． D．6．（23-24九年級上·江蘇宿遷·階段練習）已知一元二次方程的一個根是，則的值是（

）A． B． C． D．考點三、一元二次方程的判別式及根與系數(shù)的關系7．（24-25九年級上·江蘇蘇州·階段練習）若關于x的一元二次方程有實數(shù)根，則整數(shù)k的最大值為（

）A．4 B．5 C．6 D．78．（23-24八年級下·浙江·期中）已知關于x的一元二次方程，有下列結論：①當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當時，方程不可能有兩個異號的實數(shù)根；③當時，方程的兩個實數(shù)根不可能都小于1．其中正確的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．39．（2024·湖北·二模）已知關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根和，且，m的值為（

）A．或1 B．或0 C． D．110．（2024·江蘇無錫·一模）設是關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，且，則m的值為（）A．1 B． C．3或 D．1或考點四、一元二次方程的結論判斷問題11．（24-25九年級上·江蘇泰州·階段練習）對于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若c是方程的一個根，則一定有成立；③若是一元二次方程的根，則．其中正確的是（

）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③12．（2024·江蘇宿遷·三模）關于x的一元二次方程有以下命題：①若，則

②若方程的兩根為和，則③若上述方程有兩個相等的實數(shù)根，則必有實數(shù)根；④若是該方程的一個根，則一定是的一個根．其中真命題的個數(shù)（

）A．4 B．3 C．2 D．113．（23-24八年級下·浙江杭州·期中）對于代數(shù)式（，a，b，c為常數(shù)），下列說法正確的是（

）①若，則有兩個相等的實數(shù)根；②存在三個實數(shù)，使得；③若與方程的解相同，則．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③14．（23-24九年級上·江蘇宿遷·期中）對于一元二次方程，有下列說法：①若，則方程必有一個根為1；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若c是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則．其中正確的是（）A．只有① B．只有②④ C．只有①②③ D．只有①②④15．（23-24九年級上·江蘇連云港·階段練習）對于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則，其中正確的（

）A．只有①② B．只有①②④C．①②③④ D．只有①②③考點五、一元二次方程的實際問題16．（22-23九年級上·江蘇南京·階段練習）我國古代數(shù)學家趙爽（公元世紀）在其所著的《勾股圓方圖注》中記載過一元二次方程（正根）的幾何解法，以方程即為例說明，記載的方法是：構造如圖，大正方形的面積是．同時它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即，因此．則在下面四個構圖中，能正確說明方程解法的構圖是（

）A．B．C．D．17．（2024·安徽馬鞍山·三模）俗語有云：“一天不練手腳慢，兩天不練丟一半，三天不練門外漢，四天不練瞪眼看．”其意思是知識和技藝在學習后，如果不及時復習，那么學習過的東西就會被遺忘．假設每天“遺忘”的百分比是一樣的，根據(jù)“兩天不練丟一半”，則每天“遺忘”的百分比約為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．18．（2024·黑龍江佳木斯·三模）直播購物逐漸走進了人們的生活．某電商在抖音上對一款成本價為40元的小商品進行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過市場調查發(fā)現(xiàn)每件小商品售價每降低1元，日銷售量增加2件．若日利潤保持不變．商家想盡快銷售完該款商品．每件售價應定為多少元（

）A．45 B．50 C．55 D．6019．（23-24九年級上·山東德州·期中）如圖，在中，，，，動點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC向點C以的速度移動，若P、Q兩點分別從A、B兩點同時出發(fā)，在運動過程中，的最大面積是（）

A． B． C． D．20．（2024·四川達州·模擬預測）圖1是我國古代傳說中的洛書，圖2是洛書的數(shù)字表示．相傳，大禹時，洛陽西洛寧縣洛河中浮出神龜，背馱“洛書”，獻給大禹．大禹依此治水成功，遂劃天下為九州．又依此定九章大法，治理社會，流傳下來收入《尚書》中，名《洪范》．《易?系辭上》說：“河出圖，洛出書，圣人則之”．洛書是一個三階幻方，就是將已知的9個數(shù)填入3×3的方格中，使每一橫行、每一豎列以及兩條斜對角線上的數(shù)字之和都相等．圖3是一個不完整的幻方，根據(jù)幻方的規(guī)則，由已知數(shù)求出x的值應為（）A．或 B．1或 C．或4 D．1或4考點六、求圓中的最值問題21．（2024·山東日照·二模）直線與x，y軸分別交于A，B兩點，P是以為圓心，1為半徑的圓上一點，連接，則面積的最大值為（）A．27 B．10 C．23 D．3222．（23-24九年級上·浙江寧波·階段練習）一塊含角的直角三角板和一塊量角器如圖擺放（三角板頂點A與量角器0刻度處重合），量角器與三角板交于點D，經測量知，點E為中點，點F為弧上一動點，則的最小值為（）A．9 B． C． D．23．（22-23九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點，點P在以C-2,0為圓心，1為半徑的上運動，點Q是的中點，則長的最大值為（

）A． B． C． D．24．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，矩形中，，，動點E，F(xiàn)分別從點A，C同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿，向終點B，D運動，過點E，F(xiàn)作直線l，過點A作直線l的垂線，垂足為G，則的最大值為（

）

A． B． C．2 D．125．（23-24九年級上·江蘇揚州·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，，，半徑為5，P為上任意一點，E是的中點，則的最小值是（）A． B． C． D．考點七、垂徑定理求線段的長26．（24-25九年級上·江蘇泰州·階段練習）已知為的直徑，C為上一點，將繞著點A順時針旋轉一定的角度后得到，交于E點，若點D在上．若半徑是5，，則弦的長度為（

）A．6 B．7 C．8 D．927．（21-22九年級上·江蘇常州·期中）如圖，已知直線交于兩點，是的直徑，點為上一點，且平分，過作，垂足為，且，的直徑為20，則的長等于（）A．8 B．12 C．16 D．1828．（23-24九年級上·江蘇南通·期末）如圖，在中，半徑，弦，是弦上的動點（不含端點，），若線段長為正整數(shù)，則點的個數(shù)有（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個29．（2024九年級上·江蘇·專題練習）如圖，已知的半徑為10，的一條弦，若內的一點P恰好在上，則線段的長度為整數(shù)的值有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個30．（2024·江蘇宿遷·二模）七巧板被西方人稱為“東方魔術”，如圖，小米同學運用數(shù)學知識設計徽標，將邊長為的正方形分割成的七巧板拼成了一個軸對稱圖形，取名為“火箭”，過該圖形的，，三個頂點作圓，則該圓的半徑長上（

）A． B． C． D．考點八、圓的有關性質及計算31．（24-25九年級上·江蘇南京·階段練習）如圖，四邊形內接于，交的延長線于點，若平分，，，則的長為（

）．A．2 B．3 C． D．32．（23-24九年級上·江蘇無錫·期中）如圖，是的內接三角形，，D是邊上一點，連接并延長交于點E．若，則的半徑為（

）A． B． C． D．33．（2024九年級上·江蘇·專題練習）如圖，在中，，為的切線，為切點，，則和的面積之比為（）A． B． C． D．134．（23-24九年級下·江蘇南京·階段練習）如圖，點C是以為直徑的半圓上一個動點（不與點A、B重合），且，若，整數(shù)m的值為（）A．7 B．5或6 C．6或7 D．5或6或735．（24-25九年級上·湖南長沙·階段練習）如圖，點E是的內心，的延長線和的外接圓相交于點D，與相交于點G，則下列結論：①；②若點G為的中點，則；③連接，若，則；④．其中一定正確的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1考點九、點與圓的位置關系36．（2024·湖南衡陽·一模）如圖，在中，，是邊上的高，，若圓C是以點C為圓心，2為半徑的圓，那么下列說法正確的是（

）A．點D在圓C上，點A，B均在圓C外 B．點D在圓C內，點A，B均在圓C外C．點A，B，D均在圓C外 D．點A在圓C外，點D在圓C內，點B在圓C上37．（2024·河北保定·二模）如圖，在直角坐標系中，存在三個定點分別為，，，順次連接，現(xiàn)添加一點，使得，那么的長不可能為（

）A．4 B．7 C．11 D．15考點十、利用直線與圓的位置關系求半徑的范圍38．（23-24九年級下·河南周口·開學考試）如圖，為等邊三角形的高，點O在的延長線上，且，的半徑為1，若將繞點C按順時針方向旋轉，在旋轉的過程中，與等邊三角形的邊只有一個公共點的情況一共出現(xiàn)（）A．3次 B．4次 C．5次 D．6次39．（2024·河南許昌·二模）如圖，平面直角坐標系中，經過三點，點D是上的一動點．當點D到弦的距離最大時，點D的坐標是（

）A． B． C． D．40．（2024·山東菏澤·一模）在直角三角形中，，，，以點C為圓心作，半徑為，已知直線和有交點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．考點十一、切線的性質與判定41．（23-24九年級上·江蘇常州·期中）如圖，在中，，以為直徑的交于點D．過點C作，在上取一點E，使，連接．對于下列結論：①；②；③為的切線；④，其中一定正確的結論是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④42．（2022·河北石家莊·一模）如圖1和圖2，已知點P是上一點，用直尺和圓規(guī)過點P作一條直線，使它與相切于點P．以下是甲、乙兩人的作法：甲：如圖1，連接，以點P為圓心，長為半徑畫弧交于點A，連接并延長，再在上截取，直線即為所求；乙：如圖2，作直徑，在上取一點B（異于點P，A），連接和，過點P作，則直線即為所求．對于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的是（）

A．甲、乙兩人的作法都正確 B．甲、乙兩人的作法都錯誤C．甲的作法正確，乙的作法錯誤 D．甲的作法錯誤，乙的作法正確43．（2019·江蘇常州·二模）如圖，⊙O的內接△ABC的外角∠ACE的平分線交⊙O于點D．DF⊥AC，垂足為F，DE⊥BC，垂足為E．給出下列4個結論：①CE＝CF；②∠ACB＝∠EDF；③DE是⊙O的切線；④．其中一定成立的是（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④考點十二、切線長定理的綜合44．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，在中，，為中線，若，，設與的內切圓半徑分別為，，那么的值為（

）A． B． C． D．45．（23-24九年級上·云南玉溪·期末）如圖，的內切圓與，，分別相切于點，，，且，，，則陰影部分（即四邊形）的面積為（）

A． B． C． D．46．（2023·浙江杭州·二模）如圖，點為的內心，，，點，分別為，上的點，且．甲、乙兩人有如下判斷：甲：：乙：當時，的周長有最小值．則下列說法正確的的是（）A．只有甲正確 B．只有乙正確C．甲、乙都正確 D．甲、乙都錯誤47．（2023·山東濟南·三模）如圖，已知中，，，內切圓半徑為，則圖中陰影部分面積和是()A． B． C． D．考點十三、三角形的內心與內切圓48．（24-25九年級上·江蘇南通·階段練習）如圖，在中，，點在邊上，過的內心作于點．若，，則的長為（

）

A．8 B．9 C．10 D．1149．（2024·四川南充·三模）如圖，過外一點作的兩條切線，，切點分別為，，與交于點，與交于點，為的直徑．若，，則的長為（

）A．2 B．3 C． D．50．（22-23九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）我們知道：過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等．【問題解決】如圖，現(xiàn)有一塊邊長為的正方形空地，在邊取一點，以長為直徑，在這個正方形的空地內建一個半圓形兒童游樂場，過點劃出一條與這個半圓相切的分割線，正方形位于分割線右下方的部分作為娛樂區(qū)，娛樂區(qū)的最大面積等于（）A． B． C． D．51．（22-23九年級上·山東聊城·期末）如圖，在直角坐標系中，以點O為圓心，半徑為4的圓與y軸交于點B，點是圓外一點，直線與切于點C，與x軸交于點D，則點C的坐標為（

）A．，) B．(，) C．(，) D．，)考點十四、三角形的外接圓及外心52．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·一模）如圖，A、O在網(wǎng)格中小正方形的頂點處，每個小方格的邊長為1，在此網(wǎng)格中找兩個格點（即小正方形的頂點）B、C，使O為的外心，則的長度是（

）

A． B． C．4 D．53．（23-24九年級上·江蘇宿遷·階段練習）小穎同學在手工制作中，把一個邊長為6cm的等邊三角形紙片貼到一個圓形的紙片上，若三角形的三個頂點恰好都在這個圓上，則圓的半徑為（

）A．cm B．cm C．cm D．cm54．（23-24九年級上·廣西柳州·階段練習）在中，，，，，點P在射線上上運動，連接，交的外接圓于點D，則的最小值為（

）A．2 B．4 C． D．55．（2024·浙江·模擬預測）如圖，在中，I為內心，P為的外接圓上一點，于點E，于點F．設，，若，則（

）A． B． C． D．56．（23-24九年級上·江蘇無錫·期中）如圖，在中，且，點P為的內心，點O為邊中點，將繞點B順時針旋轉得到線段，連接，則長的最小值為（

）A． B． C． D．考點十五、正多邊形與圓57．（22-23九年級上·江蘇常州·期中）我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內切圓半徑為，小正方形的面積為，則大正方形的面積為（

）

A． B． C． D．58．（2024九年級下·江蘇常州·專題練習）如圖，已知邊長為2的正頂點A的坐標為，的中點D在y軸上，且在點A下方，點E是邊長為2、中心在原點的正六邊形的一個頂點，把這個正六邊形繞中心旋轉一周，在此過程中的最小值為（）A．3 B． C．4 D．59．（2024九年級上·江蘇·專題練習）如圖，是正六邊形的外接圓，若的半徑為6，則四邊形的周長是（）

A． B． C． D．60．（2024·江蘇蘇州·二模）圓周率是指圓的周長與圓的直徑的比值，我國南北朝時期的數(shù)學家祖沖之用“割圓術”將圓周率算到了小數(shù)后面第七位，成為當時世界上最先進的成就，“割圓術”是指用圓的內接正多邊形的周長來近似替代圓的周長，如圖所示，從正六邊形起算，并依次倍增，使誤差逐漸減?。攬A的內接正多邊形的邊數(shù)為360時，由“割圓術”可得圓周率的近似值可用代數(shù)式表示為（）

A． B． C． D．61．（2024·江蘇常州·二模）正五角星是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，在如圖所示的正五角星中，以、、、、為頂點的多邊形為正五邊形，其余各點都是對角線的交點，下列個結論①，②，③，④其中成立的結論是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④62．（2024·江蘇揚州·二模）我國魏晉時期數(shù)學家劉徽在《九章算術注》中提到了著名的“割圓術”，即利用圓的內接正多邊形逼近圓的方法來近似估算.如圖，利用內接正十二邊形的面積作近似估計，可得的估計值為（

）A． B． C．3 D．考點十六、扇形的有關計算63．（2024九年級上·江蘇·專題練習）如圖，半徑，將圓沿折疊，點與圓心重合，圖中陰影部分面積為（

）A． B． C． D．64．（21-22九年級上·廣西玉林·期末）如圖，在扇形中，，半徑，將扇形沿過點P的直線折疊，點O恰好落在上的點Q處，折痕交于點P，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．65．（2024·廣東深圳·模擬預測）每年8月8日是“全民健身日”．為了認真發(fā)展體育運動，增強人民體質，貫徹執(zhí)行《中華人民共和國體育法》，網(wǎng)上各種健身項目層出不窮．如圖是側抬腿運動，可以保證全身得到鍛煉！已知小敏大腿根部距腳尖，即，當其完成圖中一次動作時，腳尖劃過的軌跡長度為（

）．A． B． C． D．66．（2024·遼寧鐵嶺·三模）“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業(yè)生產中廣泛使用的一種圖形．如圖，分別以等邊三角形的三個頂點為圓心，邊長為半徑作弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”，若該“萊洛三角形”的面積為，則等邊三角形的邊長為（

）

A．1 B． C． D．267．（2024·江蘇蘇州·二模）若圓錐的側面展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的側面積與底面積的比為（

）A． B． C． D．考點十七、圓錐的有關計算68．（2024·甘肅武威·三模）如圖，將半徑為的圓形紙片沿折疊后，圓弧恰好能經過圓心，用圖中陰影部分的扇形圍成一個圓錐的側面，則這個圓錐的高為（）A． B． C． D．69．（2023·湖北十堰·中考真題）如圖，已知點C為圓錐母線的中點，為底面圓的直徑，，，一只螞蟻沿著圓錐的側面從A點爬到C點，則螞蟻爬行的最短路程為（

）

A．5 B． C． D．70．（20-21九年級上·江蘇蘇州·階段練習）如圖，圓錐的底面半徑R＝3，母線l＝5dm，AB為底面直徑，C為底面圓周上一點，∠COB＝150°，D為VB上一點，VD＝．現(xiàn)有一只螞蟻，沿圓錐表面從點C爬到D．則螞蟻爬行的最短路程是（）A．3 B．4 C． D．2參考答案考點一、一元二次方程的解1．（23-24九年級上·江蘇揚州·階段練習）關于x的方程的解是，（a，m，b均為常數(shù)，），則方程的解是（

）A．或 B．或1 C．1或3 D．或【答案】D【分析】本題考查方程的解．把方程a（x+3+m）2+b=0中的x+3看成整體，根據(jù)關于x的方程a（x+m）2+b=0的解可得x+3=-2或x+3=1，求解即可．【詳解】∵關于x的方程a（x+3+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，∴方程a（x+3+m）2+b=0變形為a[（x+3）+m]2+b=0，此方程的中x+3=-2或x+3=1，解得x1=5，x2=-2，∴方程a（x+m）2+b=0的解為：x1=5，x2=-2．故選：D2．（23-24九年級上·江蘇鹽城·期中）若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=1，x2=-3，則關于y的方程a（y-1）2+b（y-1）+c=0的解為（

）A．－2 B．2 C．-2或2 D．以上都不對【答案】C【分析】本題考查了用換元法解一元二次方程，一元二次方程的解，令y-1=t，則at2+bt+c=0，得出t1=1，t2=-3，即可解答．【詳解】解：令y-1=t，則方程a（y-1）2+b（y-1）+c=0可改寫為：at2+bt+c=0，∵一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=1，x2=-3，∴t1=1，t2=-3，∴y-1=1或y-1=-3，解得：y=2或-2，故選：C．3．（21-22九年級上·江蘇蘇州·期中）若關于x的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，則k的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用因式分解法求出方程的兩個根，再根據(jù)有一根小于1，一根大于1建立不等式，解不等式即可得．【詳解】解：，，解得，，這個方程有一根小于1，一根大于1，，解得，故選：B．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握利用因式分解法解一元二次方程是解題關鍵．考點二、關于一元二次方程的代數(shù)式求值4．（23-24九年級上·江蘇連云港·階段練習）若是方程的一個根，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程解的定義，代數(shù)式求值，把代入方程得到，再把代入代數(shù)式即可求解，掌握一元二次方程解的定義是解題的關鍵．【詳解】解：∵是方程的一個根，∴，∴，∴，故選：．5．（2023·浙江·模擬預測）若a，b滿足，，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將方程

的兩邊都除以得，進而得出a，為方程的兩個實數(shù)根，最后根據(jù)根與系數(shù)的關系進行求解．【詳解】由題意可知，將方程的兩邊都除以得，∵，，∴，為方程的兩個實數(shù)根，∴．故選：A．【點睛】本題考查一元二次方程的解，根與系數(shù)的關系，將方程變形，進而得出a，為方程的兩個實數(shù)根是解題的關鍵．6．（23-24九年級上·江蘇宿遷·階段練習）已知一元二次方程的一個根是，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了一元二次方程的解，把x=m代入方程求出m2-m-2=0，然后利用整體代入求值即可，解題的關鍵是熟記把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等．【詳解】解：將x=m代入原方程得：m2-m-2=0，∴m2-m=2，則2023-m2+m=2023-（m2-m）=2023-2=2021，故選：B．考點三、一元二次方程的判別式及根與系數(shù)的關系7．（24-25九年級上·江蘇蘇州·階段練習）若關于x的一元二次方程有實數(shù)根，則整數(shù)k的最大值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，根據(jù)二次項系數(shù)非零及根的判別式，即可得出關于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，再結合為整數(shù)即可找出最大的值．【詳解】解：關于的一元二次方程有實數(shù)根，，解得：且，為整數(shù)，的最大值為4，故選：A．8．（23-24八年級下·浙江·期中）已知關于x的一元二次方程，有下列結論：①當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當時，方程不可能有兩個異號的實數(shù)根；③當時，方程的兩個實數(shù)根不可能都小于1．其中正確的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本題主要考查了根的判別式，先根據(jù)方程，求出根的判別式，①根據(jù)a的范圍，判斷根的判別式的大小，從而進行解答；②先根據(jù)已知條件，判斷方程根的情況，利用根與系數(shù)的關系，求出兩根之積，進行判斷；③利用一元二次方程的求根公式，求出兩根，再根據(jù)a的范圍進行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∴①當時，，方程有兩個不相等的實根，故①正確，②當時，兩根之積，方程的兩根異號，故②錯誤，③∵，∴方程的根為，∴，，∴方程的兩個實根不可能都小于1，故③正確．故選：C．9．（2024·湖北·二模）已知關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根和，且，m的值為（

）A．或1 B．或0 C． D．1【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系和跟的判別式，先根據(jù)根的情況得出判別式為非負數(shù)，求出m的范圍，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系求出兩根之和，根據(jù)，得出或，然后代入求解即可．【詳解】解：∵一元二次方程有兩個實數(shù)根，∴，∴，∵一元二次方程有兩個實數(shù)根和，∴，∵，∴或，當時，，解得；當，即時，，解得，綜上，，故選：D．10．（2024·江蘇無錫·一模）設是關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，且，則m的值為（）A．1 B． C．3或 D．1或【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)關系：．先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得出，再得出，得出關于m的一元二次方程，求解，再根據(jù)判別式檢驗即可．【詳解】解：∵是關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴，∵，∴，整理得：，，解得：或，當時，原方程為，，則原方程有實數(shù)根，符合題意；當時，原方程為，，則原方程無實數(shù)根，不符合題意；綜上：．故選：A．考點四、一元二次方程的結論判斷問題11．（24-25九年級上·江蘇泰州·階段練習）對于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若c是方程的一個根，則一定有成立；③若是一元二次方程的根，則．其中正確的是（

）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③【答案】C【分析】本題主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質，熟練掌握一元二次方程的根，一元二次方程的根的判別式，等式的性質是解決本題的關鍵．根據(jù)一元二次方程的根的含義可判斷②③，一元二次方程的根的判別式可判斷①，從而可得答案．【詳解】解：①當時，，那么一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根或有兩個相等的實數(shù)根，此時成立，①正確．②若c是方程的一個根，則．當，則；當，則不一定等于0，②不一定正確．③由是一元二次方程的根，得，∴，即，∴，則③正確．故選：C．12．（2024·江蘇宿遷·三模）關于x的一元二次方程有以下命題：①若，則

②若方程的兩根為和，則③若上述方程有兩個相等的實數(shù)根，則必有實數(shù)根；④若是該方程的一個根，則一定是的一個根．其中真命題的個數(shù)（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的知識，掌握一元二次方程解的概念和計算方法，根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．根據(jù)一元二次方程的解，把代入可判定命題①②；根據(jù)根的判別式可判定命題③；根據(jù)方程的根進行驗證即可判斷命題④；由此即可求解．【詳解】解：命題①，當x=-1時，一元二次方程為，∴x=-1是方程的解，即方程有實數(shù)解，∴，原命題為真命題；命題②，當時，一元二次方程為，當x=1時，一元二次方程為，∴聯(lián)立方程組得，∴解得，，∴，原命題為真命題；命題③，一元二次方程有兩個相等的實根，∴，∵，則，∴，∴當時，方程有兩個不相等的實根；當時，方程無實根，∴原命題是假命題；命題④，一元二次方程的一個根式，∴，∴，則，∵，∴，若是根，則，∴，∴原命題為真命題；綜上所述，是真命題的有①②④，共3個，故選：B．13．（23-24八年級下·浙江杭州·期中）對于代數(shù)式（，a，b，c為常數(shù)），下列說法正確的是（

）①若，則有兩個相等的實數(shù)根；②存在三個實數(shù)，使得；③若與方程的解相同，則．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】本題考查的知識點是一元二次方程，根據(jù)根的判別式判斷①；根據(jù)一元二次方程(為常數(shù))最多有兩個解判斷②；將方程的解代入即可判斷③．【詳解】解：①，方程有兩個相等的實數(shù)根．①正確；②一元二次方程（為常數(shù)）最多有兩個解，②錯誤；③方程的解為，將代入得，即：，將代入得，即：，∴，則，即：③正確．故選：B．14．（23-24九年級上·江蘇宿遷·期中）對于一元二次方程，有下列說法：①若，則方程必有一個根為1；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若c是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則．其中正確的是（）A．只有① B．只有②④ C．只有①②③ D．只有①②④【答案】B【分析】本題主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質，根據(jù)一元二次方程的根的含義、一元二次方程的根的判別式、等式的性質、一元二次方程的求根公式，對各選項分別討論，即可得出答案．【詳解】解：①當時，，∴方程必有一個根為，故①錯誤，不符合題意；②方程有兩個不相等的實根，則，那么，故方程必有兩個不相等的實根，故②正確，符合題意；③由c是方程的一個根，得．當，則；當，則不一定等于0，故③不一定正確，不符合題意；④若是一元二次方程的根，可得，把的值代入，可得，故④正確，符合題意．正確的結論為②④，故選：B．15．（23-24九年級上·江蘇連云港·階段練習）對于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則，其中正確的（

）A．只有①② B．只有①②④C．①②③④ D．只有①②③【答案】B【分析】本題考查根的判別式，一元二次方程的解．利用根的判別式，方程的解使方程成立，逐一進行判斷即可．【詳解】解：若，則方程有一個根為，則；故①正確；若方程有兩個不相等的實根，則：，則：的判別式為，∴方程必有兩個不相等的實根；故②正確；若是方程的一個根，則，當時，，故③錯誤；若是一元二次方程的根，則：，∴，∴；故④正確；故選B．考點五、一元二次方程的實際問題16．（22-23九年級上·江蘇南京·階段練習）我國古代數(shù)學家趙爽（公元世紀）在其所著的《勾股圓方圖注》中記載過一元二次方程（正根）的幾何解法，以方程即為例說明，記載的方法是：構造如圖，大正方形的面積是．同時它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即，因此．則在下面四個構圖中，能正確說明方程解法的構圖是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查一元二次方程的應用、完全平方公式的幾何背景等知識點，通過圖形直觀得到面積之間的關系并用代數(shù)式表示出來是解答本題的關鍵．根據(jù)題意，畫出方程，即的拼圖過程，由面積之間的關系即可解答．【詳解】解：方程，即的拼圖如圖所示：中間小正方形的邊長，其面積為25，大正方形的面積：，其邊長為7，因此，D選項所表示的圖形符合題意．故選：D．17．（2024·安徽馬鞍山·三模）俗語有云：“一天不練手腳慢，兩天不練丟一半，三天不練門外漢，四天不練瞪眼看．”其意思是知識和技藝在學習后，如果不及時復習，那么學習過的東西就會被遺忘．假設每天“遺忘”的百分比是一樣的，根據(jù)“兩天不練丟一半”，則每天“遺忘”的百分比約為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】該題主要考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，正確列出方程．設每天遺忘的百分比為，根據(jù)“兩天不練丟一半”列出方程解答即可．【詳解】解：設每天遺忘的百分比為，則，解得：．故選：C．18．（2024·黑龍江佳木斯·三模）直播購物逐漸走進了人們的生活．某電商在抖音上對一款成本價為40元的小商品進行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過市場調查發(fā)現(xiàn)每件小商品售價每降低1元，日銷售量增加2件．若日利潤保持不變．商家想盡快銷售完該款商品．每件售價應定為多少元（

）A．45 B．50 C．55 D．60【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．設每件售價應定為x元，依據(jù)按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過市場調查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價每降低1元，日銷售量增加2件列出等式解答即可．【詳解】解：設設每件售價應定為x元，根據(jù)題意，得解得：，，∵商家想盡快銷售完該款商品，∴，∴商家想盡快銷售完該款商品，每件售價應定為50元．故選：B．19．（23-24九年級上·山東德州·期中）如圖，在中，，，，動點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC向點C以的速度移動，若P、Q兩點分別從A、B兩點同時出發(fā)，在運動過程中，的最大面積是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是二次函數(shù)的應用，根據(jù)題意列出二次函數(shù)是解題的關鍵．設P、Q同時出發(fā)后經過，的面積為，則，，，進而得到S的表達式；由于S的表達式為二次函數(shù)的形式，將其化為頂點式，再結合t的取值范圍就能得出面積的最大值．【詳解】解：設P、Q同時出發(fā)后經過，的面積為Scm2．則，，，則．∵，，點P的運動速度為，點Q的運動速度為，∴，∴，∴時，S有最大值，最大值為9，即的最大面積為故選：C．20．（2024·四川達州·模擬預測）圖1是我國古代傳說中的洛書，圖2是洛書的數(shù)字表示．相傳，大禹時，洛陽西洛寧縣洛河中浮出神龜，背馱“洛書”，獻給大禹．大禹依此治水成功，遂劃天下為九州．又依此定九章大法，治理社會，流傳下來收入《尚書》中，名《洪范》．《易?系辭上》說：“河出圖，洛出書，圣人則之”．洛書是一個三階幻方，就是將已知的9個數(shù)填入3×3的方格中，使每一橫行、每一豎列以及兩條斜對角線上的數(shù)字之和都相等．圖3是一個不完整的幻方，根據(jù)幻方的規(guī)則，由已知數(shù)求出x的值應為（）A．或 B．1或 C．或4 D．1或4【答案】A【分析】本題考查幻方，解一元二次方程．根據(jù)幻方的規(guī)則得出方程是解題的關鍵．根據(jù)幻方的規(guī)則，得出方程，再求解方程即可．【詳解】解∶設幻方所填數(shù)如圖所示，∴，，由①得，由②由得：，解得：，，故選：A．考點六、求圓中的最值問題21．（2024·山東日照·二模）直線與x，y軸分別交于A，B兩點，P是以為圓心，1為半徑的圓上一點，連接，則面積的最大值為（）A．27 B．10 C．23 D．32【答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)與幾何的綜合應用，三角形的面積，點和圓的位置關系，解此題的關鍵是求出圓上的點到直線的最大距離．求出A、B的坐標，根據(jù)勾股定理求出，求出點C到的距離，即可求出圓C上點到的最大距離，根據(jù)面積公式求出即可．【詳解】解：∵直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，當時，，當時，，∴，∴，∵點P是以為圓心，1為半徑的圓上一點，過C作于M，連接，∴，∴，當P，C，M在一條直線時，最大，即的面積最大，即，∴面積的最大值，故選：D．22．（23-24九年級上·浙江寧波·階段練習）一塊含角的直角三角板和一塊量角器如圖擺放（三角板頂點A與量角器0刻度處重合），量角器與三角板交于點D，經測量知，點E為中點，點F為弧上一動點，則的最小值為（）A．9 B． C． D．【答案】C【分析】本題考查點到圓上的最值問題，等腰三角形的判定與性質，勾股定理及垂徑定理，設量角器刻度處為點G，為半圓的直徑，設的中點為O，則點O為圓心，連接，證明為等腰直角三角形，由當點O，E，F(xiàn)在一條直線上時，取得最小值，即可解答．【詳解】解：設量角器刻度處為點G，如圖，則為半圓的直徑，設的中點為O，則點O為圓心，連接，∵點E為中點，∴，，∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∵點F為弧上一動點，∴當點O，E，F(xiàn)在一條直線上時，取得最小值．∴的最小值為．故選：C．23．（22-23九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點，點P在以C-2,0為圓心，1為半徑的上運動，點Q是的中點，則長的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題,三角形中位線定理,圓的性質等知識點，熟練掌握正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的性質是解題關鍵．連結，根據(jù)反比例函數(shù)的中心對稱性可得，即得是的中位線，所以，當經過圓心C時，取得最大值，最大值為，求出，的值，即得答案．【詳解】連結，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點，點A與點B關于原點O對稱，，點Q是AP的中點，是的中位線，，當經過圓心C時，取得最大值，最大值為，聯(lián)立，解得或，，，，點P在1為半徑的上運動，，，長的最大值為．故選A．24．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，矩形中，，，動點E，F(xiàn)分別從點A，C同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿，向終點B，D運動，過點E，F(xiàn)作直線l，過點A作直線l的垂線，垂足為G，則的最大值為（

）

A． B． C．2 D．1【答案】D【分析】本題主要考查了矩形的性質、動點軌跡、與圓有關的位置關系等知識，根據(jù)矩形的性質以及直角三角形斜邊中線的性質確定G的軌跡是本題解題的關鍵．連接，交于點，取中點，連接，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質，可以得出的軌跡，從而求出的最大值．【詳解】解：連接，交于點，取中點，連接，如圖所示：

∵四邊形是矩形，∴，，，∴在中，，∴，∵，，在與中，，，，，共線，，是中點，∴在中，，的軌跡為以為圓心，為半徑即為直徑的圓?。嗟淖畲笾禐榈拈L，即．故選：D．25．（23-24九年級上·江蘇揚州·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，，，半徑為5，P為上任意一點，E是的中點，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查點與圓的位置關系，坐標與圖形的性質，三角形的中位線定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，正確尋找點E的運動軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題．如圖，連接，取的中點H，連接，利用三角形的中位線定理可得，推出點E的運動軌跡是以H為圓心半徑為2.5的圓，進而求解即可．【詳解】解：如圖，連接，，取的中點H，連接，．∵點E是的中點，點H是的中點，，點E的運動軌跡是以H為圓心半徑為2.5的圓，，，，，的最小值．故選B．考點七、垂徑定理求線段的長26．（24-25九年級上·江蘇泰州·階段練習）已知為的直徑，C為上一點，將繞著點A順時針旋轉一定的角度后得到，交于E點，若點D在上．若半徑是5，，則弦的長度為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】本題考查了旋轉的性質，圓的基本性質，線段垂直平分線的判定定理，三角形相似的判定及性質，勾股定理等；連接、，，連接交于，由旋轉的性質得，，與是等圓，由三角形相似判定方法得，由三角形相似的性質得求出，由勾股定理求出，據(jù)此即可求解．【詳解】解：如圖，連接、，，連接交于，半徑是5，，，，，由旋轉得：，，與是等圓，，，，，，，，，，是直徑，，，，，，，，，；故選：C．27．（21-22九年級上·江蘇常州·期中）如圖，已知直線交于兩點，是的直徑，點為上一點，且平分，過作，垂足為，且，的直徑為20，則的長等于（）A．8 B．12 C．16 D．18【答案】B【分析】根據(jù)題意連接，過作，利用角平分線定義得，繼而得到，再得到四邊形為矩形，再設，則，利用勾股定理即可得到本題答案．【詳解】解：連接，過作，垂足為，，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴四邊形為矩形，∴．∵，設，則，∵的直徑為20，∴，∴，在中，由勾股定理得．即，解得．∵，故舍去，∴，∴，∵，由垂徑定理知，F(xiàn)為的中點，∴．故選：B．【點睛】本題考查角平分線定義，平行線判定及性質，矩形判定及性質，勾股定理，垂徑定理等．28．（23-24九年級上·江蘇南通·期末）如圖，在中，半徑，弦，是弦上的動點（不含端點，），若線段長為正整數(shù)，則點的個數(shù)有（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】A【分析】此題考查了垂徑定理、勾股定理、垂線段最短，熟練掌握垂徑定理和勾股定理，求出是解題的關鍵．當P為的中點時最短，則，由勾股定理求出的長；當P與A或B重合時，最長，得出的范圍，再由為整數(shù)，得到所有可能的長即可．【詳解】解：連接，當P為的中點時，則，由垂徑定理得：，此時最短，在中，，，由勾股定理得：，即的最小值為3，當P與A或B重合時，最長，此時，∵是弦上的動點（不含端點，）∴，若線段的長度為正整數(shù)，∴或．根據(jù)對稱性可知，滿足條件的點P的個數(shù)有3個，故選：A．29．（2024九年級上·江蘇·專題練習）如圖，已知的半徑為10，的一條弦，若內的一點P恰好在上，則線段的長度為整數(shù)的值有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，連接，過點O作于點，根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)勾股定理求出，求出的范圍，計算即可．【詳解】解：如圖，連接，過點O作于點，則，由勾股定理得：，則，∴線段的長度為整數(shù)的值有6、7、8、9共4個，故選：C．30．（2024·江蘇宿遷·二模）七巧板被西方人稱為“東方魔術”，如圖，小米同學運用數(shù)學知識設計徽標，將邊長為的正方形分割成的七巧板拼成了一個軸對稱圖形，取名為“火箭”，過該圖形的，，三個頂點作圓，則該圓的半徑長上（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了七巧板，正方形的性質，確定圓的條件以及三角形的外接圓與外心，先求得，，利用垂徑定理求得的長，在中，由勾股定理求解即可，解題的關鍵是作出適當?shù)妮o助線，構造直角三角形．【詳解】解：∵將邊長為的正方形分割成的七巧板拼成了一個軸對稱圖形，如圖，連接，∴，，∴，設該圓的半徑長是，則，，在中，由勾股定理得，解得，∴該圓的半徑長是，故選：．考點八、圓的有關性質及計算31．（24-25九年級上·江蘇南京·階段練習）如圖，四邊形內接于，交的延長線于點，若平分，，，則的長為（

）．A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)圓內接四邊形對角互補得到，根據(jù)得到結合角平分線得到，即可得到：，從而得到，結合勾股定理即可得到答案；【詳解】解：連接，∵四邊形內接于，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，，，∴∴故選：D．【點睛】本題考查勾股定理及圓內接四邊形對角互補，同弧所對的圓周角相等，等角對等邊等知識，掌握這些知識是解題的關鍵．32．（23-24九年級上·江蘇無錫·期中）如圖，是的內接三角形，，D是邊上一點，連接并延長交于點E．若，則的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形的外接圓和外心，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．連接，，，根據(jù)等腰三角形的性質得到，根據(jù)等邊三角形的性質得到，根據(jù)相似三角形的判定和性質即可得到結論．【詳解】解：連接，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，即的半徑為，故選：A．33．（2024九年級上·江蘇·專題練習）如圖，在中，，為的切線，為切點，，則和的面積之比為（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了圓周角定理和全等三角形的判定與性質．連接，如圖，根據(jù)切線的性質得到，根據(jù)圓周角定理得到，再證明得到，然后利用得到．【詳解】解：連接，如圖，為的切線，為切點，，，為直徑，，，，，，，，在和中，，，，，，．故選：B34．（23-24九年級下·江蘇南京·階段練習）如圖，點C是以為直徑的半圓上一個動點（不與點A、B重合），且，若，整數(shù)m的值為（）A．7 B．5或6 C．6或7 D．5或6或7【答案】C【分析】本題考查了直徑所對的圓周角為直角、勾股定理，先把邊長設出來，根據(jù)直徑所對的角為直角，以及勾股定理可得到結果，注意設出來的邊長為整數(shù)．【詳解】設，則，∵點C是以為直徑的半圓上一個動點（不與點A、B重合），∴，∴，∴，∴，∵點C是以為直徑的半圓上一個動點（不與點A、B重合），∴，∴，∴，又∵m為整數(shù)，∴當或時，m為整數(shù)6或7，故選：C．35．（24-25九年級上·湖南長沙·階段練習）如圖，點E是的內心，的延長線和的外接圓相交于點D，與相交于點G，則下列結論：①；②若點G為的中點，則；③連接，若，則；④．其中一定正確的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本題考查三角形的內心和外接圓的有關知識、垂徑定理的推論、圓周角定理、等腰三角形的判定、三角形的內角和和外角性質等知識，根據(jù)相關知識逐個判斷即可．利用內心定義可判斷①；根據(jù)垂徑定理的推論可判斷②；根據(jù)三角形的內角和定理和內心定義可判斷③；根據(jù)三角形的外角性質、圓周角定理和等腰三角形的判定可判斷④．【詳解】解：∵點E是的內心，∴平分，∴，故①正確；設外接圓圓心為O，連接，則垂直平分，∵點G為的中點，∴點G為與的交點，即，故②正確；∵，∴，∵點E是的內心，∴，，∴，故③錯誤；∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故④正確，綜上，正確的有3個，故選：B．考點九、點與圓的位置關系36．（2024·湖南衡陽·一模）如圖，在中，，是邊上的高，，若圓C是以點C為圓心，2為半徑的圓，那么下列說法正確的是（

）A．點D在圓C上，點A，B均在圓C外 B．點D在圓C內，點A，B均在圓C外C．點A，B，D均在圓C外 D．點A在圓C外，點D在圓C內，點B在圓C上【答案】D【分析】本題考查了含有角的直角三角形，勾股定理，點與圓的位置關系．由題干條件得出兩個直角三角形中含角所對的直角邊等于斜邊的一半，即與，利用勾股定理即可求解出，再根據(jù)點與圓的位置關系判斷即可【詳解】在中，，則，∵，∴．∴．圓C是以點C為圓心，2為半徑的圓，，點A在圓C外，點D在圓C內，點B在圓C上故選：D．37．（2024·河北保定·二模）如圖，在直角坐標系中，存在三個定點分別為，，，順次連接，現(xiàn)添加一點，使得，那么的長不可能為（

）A．4 B．7 C．11 D．15【答案】A【分析】本題主要考查了坐標與圖形、勾股定理、點與圓的位置關系等知識，確定點所處的位置是解題關鍵．首先根據(jù)點的坐標，確定，由題意可知點在以點為圓心，以5為半徑的圓上，然后確定的取值范圍，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，∵，，，∴，，，∴，由題意可知，，則點在以點為圓心，以5為半徑的圓上，∴當點在線段上時，取最小值，此時，當點在線段的延長線上時，取最大值，此時，∴的取值范圍為，∴的長不可能是4，選項A符合題意，選項B、C、D不符合題意．故選：A．考點十、利用直線與圓的位置關系求半徑的范圍38．（23-24九年級下·河南周口·開學考試）如圖，為等邊三角形的高，點O在的延長線上，且，的半徑為1，若將繞點C按順時針方向旋轉，在旋轉的過程中，與等邊三角形的邊只有一個公共點的情況一共出現(xiàn)（）A．3次 B．4次 C．5次 D．6次【答案】C【分析】本題考查直線與圓的位置關系．延長交于點，根據(jù)線段的和差關系求出，根據(jù)等邊三角形的性質，得到，再根據(jù)直線和圓的位置關系進行判斷即可．【詳解】解：如圖，延長交于點，，；；是等邊三角形，為等邊三角形的高，，又∵的半徑為1，∴在旋轉過程中，與邊只有一個公共點的情況有2次，與邊有2次，與邊有1次，即交點為點，共5次．如圖：故選C．39．（2024·河南許昌·二模）如圖，平面直角坐標系中，經過三點，點D是上的一動點．當點D到弦的距離最大時，點D的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點P作于點E，作于點F，延長交于點D，此時點D到弦的距離最大，利用垂徑定理，勾股定理計算即可．本題考查了直線與圓的位置關系，矩形的判定和性質，勾股定理，垂徑定理，熟練掌握直線與圓的位置關系，勾股定理，垂徑定理是解題的關鍵．【詳解】解：∵點,∴,過點P作于點E，作于點F，延長交于點D，此時點D到弦的距離最大，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴點D到弦的距離最大為，∴點D的坐標為，故選A．．40．（2024·山東菏澤·一模）在直角三角形中，，，，以點C為圓心作，半徑為，已知直線和有交點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了直線與圓的位置關系、勾股定理，作于D，由勾股定理求出，由三角形的面積求出，可得以C為圓心，為半徑所作的圓與斜邊只有一個公共點，即可得直線和有交點，的取值范圍．【詳解】解：作于D，如圖所示：∵，∴，∵的面積，∴，即圓心C到的距離，∴以C為圓心的⊙C與直線有交點，則的取值范圍是：．故選：D．考點十一、切線的性質與判定41．（23-24九年級上·江蘇常州·期中）如圖，在中，，以為直徑的交于點D．過點C作，在上取一點E，使，連接．對于下列結論：①；②；③為的切線；④，其中一定正確的結論是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④【答案】B【分析】本題考查了三角形相似的判定和性質，圓的切線的判定，圓的性質，熟練掌握圓的性質，三角形相似的判定和性質是解題的關鍵．【詳解】∵，以為直徑的交于點D．∴，，∴，故①正確；∵，∴，∵，∴，∴，故②正確；∵，，∴，∴是三角形的中線，∴，∵，∴，∴為的切線，故③正確；無法判斷，故④錯誤，故選B．42．（2022·河北石家莊·一模）如圖1和圖2，已知點P是上一點，用直尺和圓規(guī)過點P作一條直線，使它與相切于點P．以下是甲、乙兩人的作法：甲：如圖1，連接，以點P為圓心，長為半徑畫弧交于點A，連接并延長，再在上截取，直線即為所求；乙：如圖2，作直徑，在上取一點B（異于點P，A），連接和，過點P作，則直線即為所求．對于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的是（）

A．甲、乙兩人的作法都正確 B．甲、乙兩人的作法都錯誤C．甲的作法正確，乙的作法錯誤 D．甲的作法錯誤，乙的作法正確【答案】A【分析】對于甲先證明是等邊三角形，得到，再由，得到，即可利用三角形外角的性質得到，則，即可證明是的切線；對于乙由直徑所對的圓周角是直角得到，則，進而得到，則，即可證明是的切線．【詳解】解：甲正確．理由：如圖1中，連接．∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的切線，乙正確．理由：∵是直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的切線，故選：A．

【點睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，等邊三角形的性質與判定，三角形外角的性質等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．43．（2019·江蘇常州·二模）如圖，⊙O的內接△ABC的外角∠ACE的平分線交⊙O于點D．DF⊥AC，垂足為F，DE⊥BC，垂足為E．給出下列4個結論：①CE＝CF；②∠ACB＝∠EDF；③DE是⊙O的切線；④．其中一定成立的是（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】D【分析】①易證△CDE≌△CDF，得CE＝CF；②∠ACB+∠ACE＝180°，根據(jù)四邊形內角和定理得∠ACE+∠EDF＝180°，所以∠ACB＝∠EDF；③無法證明DE是切線；④根據(jù)圓內接四邊形的外角等于內對角得∠DCE＝∠DAB，所以∠DAB＝∠DCA，根據(jù)圓周角定理判斷．【詳解】解：①∵∠DCE＝∠DCF，∠DEC＝∠DFC，DC＝DC，∴△CDE≌△CDF，得CE＝CF．故成立；②∵∠ACB+∠ACE＝180°，根據(jù)四邊形內角和定理得∠ACE+∠EDF＝180°，∴∠ACB＝∠EDF，故成立；③連接OD、OC．則∠ODC＝∠OCD．假如DE是切線，則OD⊥DE，∵BE⊥DE，∴OD∥BE，∠DCE＝∠ODC＝∠OCD，而∠DCE＝∠DCA，∠OCD≠∠DCA，故DE不是切線；④連接AD,根據(jù)圓內接四邊形的外角等于內對角得∠DCE＝∠DAB，∴∠DAB＝∠DCA，根據(jù)圓周角定理判斷弧AD＝弧BD．故成立．故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定,圓周角定理,切線的判定,圓的內接四邊形,考查知識點較多,綜合性強,熟悉圓的有關性質和定理是解題關鍵.考點十二、切線長定理的綜合44．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，在中，，為中線，若，，設與的內切圓半徑分別為，，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形的內切圓和面積，設的內切圓為，與分別相切于點，由，，得，，連接，由可得，即得，同理得，進而即可求解，正確地作出輔助線是解題的關鍵．【詳解】解：設的內切圓為，與分別相切于點，∵，，，∴，，∵為斜邊上的中線，∴，∴，連接，則，∵，且，，，∴，解得，同理可得，，解得，∴，故選：．45．（23-24九年級上·云南玉溪·期末）如圖，的內切圓與，，分別相切于點，，，且，，，則陰影部分（即四邊形）的面積為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形的內切圓，根據(jù)切線的性質，判斷出四邊形為正方形，利用直角三角形的內切圓的半徑的計算公式，求出的長，進一步求出陰影部分的面積即可，掌握直角三角形的內切圓的半徑的計算方法是解題的關鍵．【詳解】解：∵，，，，∵與，，分別相切于點，，，∴，，，，，∴，，∴四邊形是正方形，，∴，∴，故選：．46．（2023·浙江杭州·二模）如圖，點為的內心，，，點，分別為，上的點，且．甲、乙兩人有如下判斷：甲：：乙：當時，的周長有最小值．則下列說法正確的的是（）A．只有甲正確 B．只有乙正確C．甲、乙都正確 D．甲、乙都錯誤【答案】A【分析】此題主要考查了三角形的內心，全等三角形的判定和性質，解答此題的關鍵正確的作出輔助線構造全等三角形，難點是在解答的周長最小時，將三角形的各邊都用表示，并根據(jù)垂線段最短來判斷．連接，過點作于，于，依據(jù)“”判定和全等，從而得出，然后再根據(jù)四邊形的內角和等于即可對甲的說法進行判斷；過點作于點，則，根據(jù)得，進而得，據(jù)此得的周長為，只有當最小時，的周長為最小，然后根據(jù)“垂線段最短”可對乙的說法進行判斷．【詳解】解：連接，過點作于，于，點為的內心，是的平分線，又，，，在和中，，，，在四邊形中，，，又，，即：，，即：，故甲的說法正確；過點作于點，，是的平分線，，，又甲的說法正確；，，在中，，，，的周長為：，當最小時，的周長為最小，根據(jù)“垂線段最短”可知：當時，的周長為最小，，與一定不垂直，不是最小，的周長不是最小，故乙的說法不正確．故選：A．47．（2023·山東濟南·三模）如圖，已知中，，，內切圓半徑為，則圖中陰影部分面積和是()A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形的內切圓與內心，扇形面積的計算，解決本題的關鍵是掌握三角形的內切圓與內心；根據(jù)內切圓的性質可得圖中陰影部分面積和是的面積與扇形的面積的差，進而即可求解【詳解】解：是的內切圓，切點分別為，，，圖中陰影部分面積和是的面積扇形的面積，、分別是、的角平分線，，，，，，，，故選：A．考點十三、三角形的內心與內切圓48．（24-25九年級上·江蘇南通·階段練習）如圖，在中，，點在邊上，過的內心作于點．若，，則的長為（

）

A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】本題主要考查了三角形的內心，切線長定理．過點I作，，垂足分別為G，F(xiàn)，可得，，，設，，，再由，即可求解．【詳解】解：如圖，過點I作，，垂足分別為G，F(xiàn)，

∵點I為的內心，∴以為半徑的圓I是的內切圓，∴，，，設，，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，∴．故選：C．49．（2024·四川南充·三模）如圖，過外一點作的兩條切線，，切點分別為，，與交于點，與交于點，為的直徑．若，，則的長為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】此題重點考查切線的性質定理、切線長定理、等腰三角形的“三線合一”、直徑所對的圓周角是直角、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定與性質等知識，正確地作出輔助線是解題的關鍵．連接，由切線長定理得，，則，，由為的直徑，得，，則，，再證明是等邊三角形，得，求得，則，可證明是等邊三角形，則，于是得到問題的答案．【詳解】解：連接，，分別與相切于點，，，，，，為的直徑，，，，，，，是等邊三角形，，，，，是等邊三角形，，故選：B．50．（22-23九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）我們知道：過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等．【問題解決】如圖，現(xiàn)有一塊邊長為的正方形空地，在邊取一點，以長為直徑，在這個正方形的空地內建一個半圓形兒童游樂場，過點劃出一條與這個半圓相切的分割線，正方形位于分割線右下方的部分作為娛樂區(qū)，娛樂區(qū)的最大面積等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查切線的性質，正方形的性質，勾股定理，關鍵是掌握切線長定理．當半圓面積最大，即M與A重合時，娛樂區(qū)的面積最大，由切線長定理得到，，由勾股定理列出關于的方程，求出的長即可解決問題．【詳解】解：當半圓面積最大，即M與A重合時，娛樂區(qū)的面積最大，與半圓相切于H，交于P，∵四邊形是正方形，∴，∴分別是半圓的切線，∴，設，則，，，在中，，∴，∴，∴，∴娛樂區(qū)的最大面積梯形的面積．故選：C．51．（22-23九年級上·山東聊城·期末）如圖，在直角坐標系中，以點O為圓心，半徑為4的圓與y軸交于點B，點是圓外一點，直線與切于點C，與x軸交于點D，則點C的坐標為（

）A．，) B．(，) C．(，) D．，)【答案】C【分析】本題考查切線的判定和性質，坐標與圖形，平行線的判定和性質，全等三角形的判定和性質以及勾股定理，作軸于E，軸于H，連接，根據(jù)切線的性質即得出．根據(jù)平行線的性質可求出，由切線長定理可知．即易證，得出，．設，則．在中，利用勾股定理可求出x的值，即得出、的長，再根據(jù)等積法可求出的長，再次利用勾股定理可求出的長，即得出C點坐標，正確的作出輔助線構造全等三角形是關鍵．【詳解】解：如圖，作軸于E，軸于H，連接，∵，，∴，，軸，∴AB為的切線，∵直線與切于點C，∴，，在和中，∴，∴，，設，則，，在中，，即，解得，∴，，∵∴，∴=，在中，，∴C點坐標為(，)．故選：C．考點十四、三角形的外接圓及外心52．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·一模）如圖，A、O在網(wǎng)格中小正方形的頂點處，每個小方格的邊長為1，在此網(wǎng)格中找兩個格點（即小正方形的頂點）B、C，使O為的外心，則的長度是（

）

A． B． C．4 D．【答案】A【分析】本題考查外心的定義：外心是三角形外接圓的圓心，外心到三角形三個頂點的距離相等，也考查了勾股定理．根據(jù)題意作出圖形，得到點B和點C的位置，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，

∵點O為的外心，∴，點B和點C的位置如圖所示，∴，故選：A．53．（23-24九年級上·江蘇宿遷·階段練習）小穎同學在手工制作中，把一個邊長為6cm的等邊三角形紙片貼到一個圓形的紙片上，若三角形的三個頂點恰好都在這個圓上，則圓的半徑為（

）A．cm B．cm C．cm D．cm【答案】A【分析】本題主要考查了三角形的外接圓與外心，等邊三角形的性質，勾股定理解三角形的應用．依題意畫出圖形，連接，，過點作于點，利用等邊三角形的性質和垂徑定理得到，，在中，利用勾股定理即可求得的長．【詳解】解：由題意畫圖如下，則為等邊三角形，且內接于，

，．過點作于點，則，連接，，則，，．，，∴，在中，，，∴，．故選：A．54．（23-24九年級上·廣西柳州·階段練習）在中，，，，，點P在射線上上運動，連接，交的外接圓于點D，則的最小值為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了三角形的外接圓、勾股定理等，熟練掌握相關知識點是解決本題的關鍵．連接，得出是等腰直角三角形，求出，連接交劣弧于點，此時的長即為長的最小值．中，利用勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，連接，，，，，點在以點為圓心，長為半徑的劣弧上運動，，劣弧所對的圓周角為，是等腰直角三角形，，，連接交劣弧于點，此時的長即為長的最小值．，，，，長的最小值為2．故選：A．55．（2024·浙江·模擬預測）如圖，在中，I為內心，P為的外接圓上一點，于點E，于點F．設，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查三角形的內心，圓內接四邊形，根據(jù)內心為三角形的三條角平分線的交點，求出的度數(shù)，圓內接四邊形結合四邊形的內角和為360度，推出，即可得出結果．【詳解】解：∵在中，I為內心，，∴平分，平分，，∴，∴，∴，∵P為的外接圓上一點，∴，∵于點E，于點F，∴，∴，∴，∴，∴；故選B．56．（23-24九年級上·江蘇無錫·期中）如圖，在中，且，點P為的內心，點O為邊中點，將繞點B順時針旋轉得到線段，連接，則長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在的下方作等腰，使得．連接，過點K作交的延長線于點T．判斷出點P的運動軌跡，求出，可得結論．【詳解】解：在的下方作等腰，使得．連接，過點K作交的延長線于點T．∵點P是的內心，，∴，∴，∴，∴點P在以K為圓心，為半徑的圓上運動，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的最小值為．故選：C．【點睛】本題考查三角形的內心，勾股定理，旋轉變換等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．考點十五、正多邊形與圓57．（22-23九年級上·江蘇常州·期中）我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內切圓半徑為，小正方形的面積為，則大正方形的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】設直角三角形的三邊分別為，較長的直角邊為較短的直角邊為為斜邊，由切線長定理可得，直角三角形的內切圓的半徑等于，即，根據(jù)小正方的面積為49，可得，進而計算即即可求解．【詳解】解：設四個全等的直角三角形的三邊分別為，較長的直角邊為較短的直角邊為為斜邊，直角三角形的內切圓半徑為3，小正方形的面積為49，，①，②，，③，，解得或（舍去），大正方形的面積為，故選：B．【點睛】本題考查了切線長定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程組，掌握直角三角形的內切圓的半徑等于是解題的關鍵．58．（2024九年級下·江蘇常州·專題練習）如圖，已知邊長為2的正頂點A的坐標為，的中點D在y軸上，且在點A下方，點E是邊長為2、中心在原點的正六邊形的一個頂點，把這個正六邊形繞中心旋轉一周，在此過程中的最小值為（）A．3 B． C．4 D．【答案】B【分析】分析：首先得到當點E旋轉至y軸上時最小，然后分別求得、的長，最后求得的長即可．【詳解】解：如圖，連接，根據(jù)，當D，E，O三點共線時，最小；∵邊長為2的是等邊三角形，點A的坐標為，的中點D在y軸上，∴，，∴，∵正六邊形的邊長為2，∴，∴是等邊三角形，∴∴故選B．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，勾股定理，直角三角形的性質，正六邊形的性質，兩點之間線段最短，熟練掌握性質和應用是解題的關鍵．59．（2024九年級上·江蘇·專題練習）如圖，是正六邊形的外接圓，若的半徑為6，則四邊形的周長是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查正多邊形和圓，矩形，掌握正六邊形的性質，矩形的性質以及直角三角形的邊角關系是正確解答的關鍵．根據(jù)正六邊形的性質，矩形的性質以及直角三角形的邊角關系求出，即可．【詳解】解：如圖，連接，，，過點作于點，則，

點是正六邊形的中心，，，是正三角形，，在中，，，，，四邊形的周長是，故選：C60．（2024·江蘇蘇州·二模）圓周率是指圓的周長與圓的直徑的比值，我國南北朝時期的數(shù)學家祖沖之用“割圓術”將圓周率算到了小數(shù)后面第七位，成為當時世界上最先進的成就，“割圓術”是指用圓的內接正多邊形的周長來近似替代圓的周長，如圖所示，從正六邊形起算，并依次倍增，使誤差逐漸減?。攬A的內接正多邊形的邊數(shù)為360時，由“割圓術”可得圓周率的近似值可用代數(shù)式表示為（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了正余弦定理的應用，等腰三角形的性質，先根據(jù)題意得出頂角，再由等腰三角形性質可知，表示出，通過周長近似即可求解．【詳解】解：如圖：圓內接正360邊形被半徑分成360個全等的等腰三角形，其頂角，過點O作，垂足為C，

設，，，在中，，，∴由“割圓術”可得圓周率的近似值，故選：D．61．（2024·江蘇常州·二模）正五角星是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，在如圖所示的正五角星中，以、、、、為頂點的多邊形為正五邊形，其余各點都是對角線的交點，下列個結論①，②，③，④其中成立的結