數字信號處理原理配套習題答案 第3章離散時間信號的頻域分析習題解答

3.1設Xeiω和Yeiω分別是xn1xn?n05x解2DTFTx?34所以DTFT5=n=?∞+∞xn=或者DTFT6dX所以DTFT(7)因（DTFT3.2已知X求Xejω的傅里葉反變換解:因為當ω0<ω<ω0時,所以x=3.3線性非移變系統(tǒng)的頻率響應Hejω=Hejωy證明:假設輸人信號xn=eiωy上式說明，當輸入信號為復指數序列時，輸出序列仍是復指數序列，且頻率相同，但幅度和相位決定系統(tǒng)的頻率響應，即有xy=上式中Heiω是ω的偶函數，相位函數是ω的奇函數，即Hejωy3.4試求以下序列的傅里葉變換。13xn=解2==343.5已知xn=解:序列xDTFT=DTFTx03.6若序列?n是實因果序列，其傅里葉變換的實部如下式求序列?n及其傅里葉變換H解：因為

H?H3.7若序列?n是實因果序列，?0=1，其傅里葉變換的虛部為H1ejω解而DTFT則?所以H3.8設系統(tǒng)的單位沖激響應?n=x完成下面各題：12分別求出解:(1)系統(tǒng)輸出為

y由2DTFTDTFTDTFT=3.9已知xat=2cos2πf0t，式中f0=1寫出2寫出3分別求出解:X=2πδω?2π=2πδ2xxn3===800而3.10求下列序列的Z變換，指出收斂域，并畫出零極點圖。1an41nn≥15解:1由Z變換的定義可知X=極點為z=a,z=a?1，零點為z=0,z=∞，因為az<1，且az?1<1，即得Z變換的收斂域為aMatlab實現(xiàn)程序如下：cleara=0.5;b=0c=1?zplaneb,c圖3.1零極點圖2極點為z=12，收斂域為z>圖3.2零極點圖3Z極點為z=12，零點為z=0，收斂域為z<1圖3.3零極點圖4由Z變換的定義可知X因為則X極點為z=1,z=0，零點為z=∞，而Xz的收斂域和dXzdz的收斂域相同，所以Xz收斂域為z圖3.4零極點圖5Y所以X極點為z=ejω0,z=圖3.5零極點圖6y=cosφ?cos則

Y=而

x則

X極點為z=reiω0,z=re?jω圖3.6零極點圖3.11求序列xn=n解令再令i=nX3.12用長除法、留數定理法和部分12X3解：1長除法：由于是右邊序列，所以按降冪級數排列，X所以x留數法:xn=12πjc11+當在c內有z=?12一個極點，則有x由于xn為因果序列,故n<0時，xn部分分式法：由題得，因為zx2長除法：由于極點為z=14，收斂域為z<14，X所以x留數法：xn=12πjc1?2當nx當nx當nx綜上所述，有部分分式法：X則Xz=8?71?14z?1，x3長除法：因為極點為z=1a，由z>1a可知Xx留數法：xn=12πjcz?a1?azzx當n=0時，Xzzn?1在cx當n<0x部分分式法：X3.13已知一個線性非移變系統(tǒng)，用差分方程描述如下y求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數Hz，求系統(tǒng)的單位沖激響應。可以看出系統(tǒng)為一個不穩(wěn)定系統(tǒng)，求滿足上述差分方程的一個穩(wěn)定（但非因果）系統(tǒng)的沖激響應。解：(1)差分方程兩邊取Z變換得：Y系統(tǒng)函數為

H零點為z=0,極點為z1=1+52,圖3.7 零極點圖（2）H3H得到?此時系統(tǒng)穩(wěn)定，但非因果。3.14設一個線性非移變系統(tǒng)的因果系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數為Hz23證明這個系統(tǒng)是一個全通系統(tǒng)。解：1由題意可得系統(tǒng)函數有一個極點z=a，若要求它是一個穩(wěn)定系統(tǒng)，該系統(tǒng)函數的極點應全部在單位圓內，因此a<1，因為a為實數，所以一1<2系統(tǒng)函數的零點為z=a?1,極點為z=aa0a01/aRe(z)Im(z)圖3.83H因此，此系統(tǒng)是一個全通系統(tǒng)。3.15設線性非移變系統(tǒng)的差分方程為y試求它的單位沖激響應，并判斷它是否為因果系統(tǒng)，是否為穩(wěn)定系統(tǒng)。解：在差分方程兩邊求Z變換得1所以該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數為HH該系統(tǒng)的極點有z=13當|z|<1/3時，?(n)=?3/8?[因為收斂域不含∞，所以是非因果系統(tǒng)；收斂域不含單位圓，不是穩(wěn)定系統(tǒng)。(2)當1/3<|z|<3因為收斂域不含∞，所以是非因果系統(tǒng)；收斂域含單位圓，是穩(wěn)定系統(tǒng)。當3<|z|時，因為收斂域包含∞，所以是因果系統(tǒng)；收斂域不含單位圓，不是穩(wěn)定系統(tǒng)。3.16某系統(tǒng)的差分方程為y求輸人為xn=12解:對差分方程的兩邊取單邊Z變換，得Y將初始條件代人上式整理得YY=故零輸入響應y由xY=故零狀態(tài)響應為y綜上所述，系統(tǒng)的相應為y3.17設確定性序列xn的自相關函數為

rxx=n=?∞∞xnxn+m

，試用xn解:Z令n+m=iZ所以Z由于Xeiω是單位圓上的Z變換，所以3.18已知線性因果網絡用下面差分方程描述y1求網絡的系統(tǒng)函數2寫出頻率響應He3設輸入解:1對差分方程兩邊取Z變換得Y系統(tǒng)函數為H因為H所以?2

系統(tǒng)的零點為z=?0.9，極點為z=0.9，如圖3.9所示。將系統(tǒng)的幅頻響應記為He①當②隨ω的增大，由0變到π，B越來越小,A越來越大，則∣Hejω∣越來越??；④隨ω的繼續(xù)增大，由π變到2π,B越來越大,A越來越小⑤當ω=2π時0Re(z)0Re(z)Im(z)-110π2πHω19圖3.9幅頻特性圖3X其中,Y所以，當輸入為xny3.19研究一個線性非移變的系統(tǒng)，其差分方程為y判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定，是否因果沒有限制；研究這個差分方程的零極點圖，求系統(tǒng)單位沖激響應的三種可能的選擇方案，驗證每一種方案都滿足差分方程。解:對所給的差分方程的兩邊作Z變換得YH則系統(tǒng)函數為可求得極點為z1=2,z21當收斂域?經驗證，將以上的單位抽樣響應代入原方程計算，兩邊相等，即滿足差分方程。(2)?3當收斂區(qū)域為?經驗證，將以上的單位抽樣響應代入原方程計算，兩邊相等，即滿足差分方程。2.20若序列?nH求序列?n及其傅里葉變換H解：因為H令z=H求上式逆Z變換，得序列?n的共軛對稱序列?則F因為?n是因果序列,?e當n≥1?當n=0F所以?又因為?所以??其對應的傅里葉變換為H3.21試用Matlab編程計算習題3.8和3.9。解：（1）3.8題編程。求系統(tǒng)輸出yncloseall;clear;a=0.5;n=100;x=[102];h=a.^[0:n-1];%(a)卷積輸出y=conv(x，h);figure(1)，plot(0:length(y)-1，y)圖3.10卷積結果圖計算x(n)，h(n)，y(n)的傅里葉變換，代碼如下。%代碼中，有一個可替換的參數，其中對于x(n)，BBB=1+2*exp(-2*j*w)，結果參看圖3.11；%對于h(n)，BBB=1./(1-0.5*exp(-j*w))，結果參看圖3.12;對于y(n)，BBB=1./(1-%0.5*exp(-j*w))+2*exp(-2*j*w)./(1-0.5*exp(-j*w))，結果參看圖3.13。closeall;clear;figure;w=[0:0.1:pi];func=BBB;%計算復數的幅值magnitude=abs(func);subplot(1，2，1)plot(w，magnitude)xlabel('頻率')ylabel('幅值')%計算相位phase=angle(func);%將相位轉換為度phase_in_degrees=phase*180/pi;subplot(1，2，2)plot(w，phase_in_degrees)xlabel('頻率')ylabel('相位/度')圖3.11x(n)的頻譜圖3.12h(n)的頻譜圖3.13y(n)的頻譜（2）3.9題編程。x由奈奎斯特采樣定理：XajΩcloseall;clear;figure;w=[-2000:1:2000];func=zeros(1，length(w));fori=-100:100func=func+dirac(w-800*i-200)+dirac(w-800*i+200);endfunc=800*pi*func;%計算復數的幅值magnitude=abs(func);magnitude(magnitude==inf)=3;plot(w，magnitude)xlabel('頻率')ylabel('幅值')圖3.14xaX(n)傅里葉變換：Xejωcloseall;clear;figure;w=[0:0.1:pi];func=zeros(1，length(w));fori=1:1000func=func+exp(j*(pi/2-w)*i)+exp(-j*(pi/2-w)*i);end%計算復數的幅值magnitude=abs(func);subplo