數(shù)字信號(hào)處理原理配套習(xí)題答案 第3章離散時(shí)間信號(hào)的頻域分析習(xí)題解答

3.1設(shè)Xeiω和Yeiω分別是xn1xn?n05x解2DTFTx?34所以DTFT5=n=?∞+∞xn=或者DTFT6dX所以DTFT(7)因（DTFT3.2已知X求Xejω的傅里葉反變換解:因?yàn)楫?dāng)ω0<ω<ω0時(shí),所以x=3.3線性非移變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)Hejω=Hejωy證明:假設(shè)輸人信號(hào)xn=eiωy上式說明，當(dāng)輸入信號(hào)為復(fù)指數(shù)序列時(shí)，輸出序列仍是復(fù)指數(shù)序列，且頻率相同，但幅度和相位決定系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，即有xy=上式中Heiω是ω的偶函數(shù)，相位函數(shù)是ω的奇函數(shù)，即Hejωy3.4試求以下序列的傅里葉變換。13xn=解2==343.5已知xn=解:序列xDTFT=DTFTx03.6若序列?n是實(shí)因果序列，其傅里葉變換的實(shí)部如下式求序列?n及其傅里葉變換H解：因?yàn)?/p>

H?H3.7若序列?n是實(shí)因果序列，?0=1，其傅里葉變換的虛部為H1ejω解而DTFT則?所以H3.8設(shè)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)?n=x完成下面各題：12分別求出解:(1)系統(tǒng)輸出為

y由2DTFTDTFTDTFT=3.9已知xat=2cos2πf0t，式中f0=1寫出2寫出3分別求出解:X=2πδω?2π=2πδ2xxn3===800而3.10求下列序列的Z變換，指出收斂域，并畫出零極點(diǎn)圖。1an41nn≥15解:1由Z變換的定義可知X=極點(diǎn)為z=a,z=a?1，零點(diǎn)為z=0,z=∞，因?yàn)閍z<1，且az?1<1，即得Z變換的收斂域?yàn)閍Matlab實(shí)現(xiàn)程序如下：cleara=0.5;b=0c=1?zplaneb,c圖3.1零極點(diǎn)圖2極點(diǎn)為z=12，收斂域?yàn)閦>圖3.2零極點(diǎn)圖3Z極點(diǎn)為z=12，零點(diǎn)為z=0，收斂域?yàn)閦<1圖3.3零極點(diǎn)圖4由Z變換的定義可知X因?yàn)閯tX極點(diǎn)為z=1,z=0，零點(diǎn)為z=∞，而Xz的收斂域和dXzdz的收斂域相同，所以Xz收斂域?yàn)閦圖3.4零極點(diǎn)圖5Y所以X極點(diǎn)為z=ejω0,z=圖3.5零極點(diǎn)圖6y=cosφ?cos則

Y=而

x則

X極點(diǎn)為z=reiω0,z=re?jω圖3.6零極點(diǎn)圖3.11求序列xn=n解令再令i=nX3.12用長(zhǎng)除法、留數(shù)定理法和部分12X3解：1長(zhǎng)除法：由于是右邊序列，所以按降冪級(jí)數(shù)排列，X所以x留數(shù)法:xn=12πjc11+當(dāng)在c內(nèi)有z=?12一個(gè)極點(diǎn)，則有x由于xn為因果序列,故n<0時(shí)，xn部分分式法：由題得，因?yàn)閦x2長(zhǎng)除法：由于極點(diǎn)為z=14，收斂域?yàn)閦<14，X所以x留數(shù)法：xn=12πjc1?2當(dāng)nx當(dāng)nx當(dāng)nx綜上所述，有部分分式法：X則Xz=8?71?14z?1，x3長(zhǎng)除法：因?yàn)闃O點(diǎn)為z=1a，由z>1a可知Xx留數(shù)法：xn=12πjcz?a1?azzx當(dāng)n=0時(shí)，Xzzn?1在cx當(dāng)n<0x部分分式法：X3.13已知一個(gè)線性非移變系統(tǒng)，用差分方程描述如下y求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)Hz，求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)?？梢钥闯鱿到y(tǒng)為一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)，求滿足上述差分方程的一個(gè)穩(wěn)定（但非因果）系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。解：(1)差分方程兩邊取Z變換得：Y系統(tǒng)函數(shù)為

H零點(diǎn)為z=0,極點(diǎn)為z1=1+52,圖3.7 零極點(diǎn)圖（2）H3H得到?此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，但非因果。3.14設(shè)一個(gè)線性非移變系統(tǒng)的因果系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為Hz23證明這個(gè)系統(tǒng)是一個(gè)全通系統(tǒng)。解：1由題意可得系統(tǒng)函數(shù)有一個(gè)極點(diǎn)z=a，若要求它是一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)，該系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)應(yīng)全部在單位圓內(nèi)，因此a<1，因?yàn)閍為實(shí)數(shù)，所以一1<2系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)為z=a?1,極點(diǎn)為z=aa0a01/aRe(z)Im(z)圖3.83H因此，此系統(tǒng)是一個(gè)全通系統(tǒng)。3.15設(shè)線性非移變系統(tǒng)的差分方程為y試求它的單位沖激響應(yīng)，并判斷它是否為因果系統(tǒng)，是否為穩(wěn)定系統(tǒng)。解：在差分方程兩邊求Z變換得1所以該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為HH該系統(tǒng)的極點(diǎn)有z=13當(dāng)|z|<1/3時(shí)，?(n)=?3/8?[因?yàn)槭諗坑虿缓?，所以是非因果系統(tǒng)；收斂域不含單位圓，不是穩(wěn)定系統(tǒng)。(2)當(dāng)1/3<|z|<3因?yàn)槭諗坑虿缓蓿允欠且蚬到y(tǒng)；收斂域含單位圓，是穩(wěn)定系統(tǒng)。當(dāng)3<|z|時(shí)，因?yàn)槭諗坑虬蓿允且蚬到y(tǒng)；收斂域不含單位圓，不是穩(wěn)定系統(tǒng)。3.16某系統(tǒng)的差分方程為y求輸人為xn=12解:對(duì)差分方程的兩邊取單邊Z變換，得Y將初始條件代人上式整理得YY=故零輸入響應(yīng)y由xY=故零狀態(tài)響應(yīng)為y綜上所述，系統(tǒng)的相應(yīng)為y3.17設(shè)確定性序列xn的自相關(guān)函數(shù)為

rxx=n=?∞∞xnxn+m

，試用xn解:Z令n+m=iZ所以Z由于Xeiω是單位圓上的Z變換，所以3.18已知線性因果網(wǎng)絡(luò)用下面差分方程描述y1求網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)2寫出頻率響應(yīng)He3設(shè)輸入解:1對(duì)差分方程兩邊取Z變換得Y系統(tǒng)函數(shù)為H因?yàn)镠所以?2

系統(tǒng)的零點(diǎn)為z=?0.9，極點(diǎn)為z=0.9，如圖3.9所示。將系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)記為He①當(dāng)②隨ω的增大，由0變到π，B越來越小,A越來越大，則∣Hejω∣越來越??；④隨ω的繼續(xù)增大，由π變到2π,B越來越大,A越來越小⑤當(dāng)ω=2π時(shí)0Re(z)0Re(z)Im(z)-110π2πHω19圖3.9幅頻特性圖3X其中,Y所以，當(dāng)輸入為xny3.19研究一個(gè)線性非移變的系統(tǒng)，其差分方程為y判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定，是否因果沒有限制；研究這個(gè)差分方程的零極點(diǎn)圖，求系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的三種可能的選擇方案，驗(yàn)證每一種方案都滿足差分方程。解:對(duì)所給的差分方程的兩邊作Z變換得YH則系統(tǒng)函數(shù)為可求得極點(diǎn)為z1=2,z21當(dāng)收斂域?經(jīng)驗(yàn)證，將以上的單位抽樣響應(yīng)代入原方程計(jì)算，兩邊相等，即滿足差分方程。(2)?3當(dāng)收斂區(qū)域?yàn)?經(jīng)驗(yàn)證，將以上的單位抽樣響應(yīng)代入原方程計(jì)算，兩邊相等，即滿足差分方程。2.20若序列?nH求序列?n及其傅里葉變換H解：因?yàn)镠令z=H求上式逆Z變換，得序列?n的共軛對(duì)稱序列?則F因?yàn)?n是因果序列,?e當(dāng)n≥1?當(dāng)n=0F所以?又因?yàn)?所以??其對(duì)應(yīng)的傅里葉變換為H3.21試用Matlab編程計(jì)算習(xí)題3.8和3.9。解：（1）3.8題編程。求系統(tǒng)輸出yncloseall;clear;a=0.5;n=100;x=[102];h=a.^[0:n-1];%(a)卷積輸出y=conv(x，h);figure(1)，plot(0:length(y)-1，y)圖3.10卷積結(jié)果圖計(jì)算x(n)，h(n)，y(n)的傅里葉變換，代碼如下。%代碼中，有一個(gè)可替換的參數(shù)，其中對(duì)于x(n)，BBB=1+2*exp(-2*j*w)，結(jié)果參看圖3.11；%對(duì)于h(n)，BBB=1./(1-0.5*exp(-j*w))，結(jié)果參看圖3.12;對(duì)于y(n)，BBB=1./(1-%0.5*exp(-j*w))+2*exp(-2*j*w)./(1-0.5*exp(-j*w))，結(jié)果參看圖3.13。closeall;clear;figure;w=[0:0.1:pi];func=BBB;%計(jì)算復(fù)數(shù)的幅值magnitude=abs(func);subplot(1，2，1)plot(w，magnitude)xlabel('頻率')ylabel('幅值')%計(jì)算相位phase=angle(func);%將相位轉(zhuǎn)換為度phase_in_degrees=phase*180/pi;subplot(1，2，2)plot(w，phase_in_degrees)xlabel('頻率')ylabel('相位/度')圖3.11x(n)的頻譜圖3.12h(n)的頻譜圖3.13y(n)的頻譜（2）3.9題編程。x由奈奎斯特采樣定理：XajΩcloseall;clear;figure;w=[-2000:1:2000];func=zeros(1，length(w));fori=-100:100func=func+dirac(w-800*i-200)+dirac(w-800*i+200);endfunc=800*pi*func;%計(jì)算復(fù)數(shù)的幅值magnitude=abs(func);magnitude(magnitude==inf)=3;plot(w，magnitude)xlabel('頻率')ylabel('幅值')圖3.14xaX(n)傅里葉變換：Xejωcloseall;clear;figure;w=[0:0.1:pi];func=zeros(1，length(w));fori=1:1000func=func+exp(j*(pi/2-w)*i)+exp(-j*(pi/2-w)*i);end%計(jì)算復(fù)數(shù)的幅值magnitude=abs(func);subplo