數(shù)學(xué)示范教案：第三章第一節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（第四課時）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第三章第一節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式第四課時作者：鄭吉星eq\o（\s\up7()，\s\do5(整體設(shè)計(jì)）)教學(xué)分析“二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了兩角和與差的三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究具有“二倍角”關(guān)系的正弦、余弦、正切公式的,它既是兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又為以后求三角函數(shù)值、化簡、證明提供了非常有用的理論工具．通過對二倍角的推導(dǎo)知道，二倍角的內(nèi)涵是：揭示具有倍數(shù)關(guān)系的兩個三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，通過推導(dǎo)還讓學(xué)生加深理解了高中數(shù)學(xué)由一般到特殊的化歸思想．因此本節(jié)內(nèi)容也是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算和邏輯推理能力的重要內(nèi)容，對培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力都有著十分重要的意義．本節(jié)課通過教師提出問題、設(shè)置情境及對和角公式中α、β關(guān)系的特殊情形α＝β時的簡化，讓學(xué)生在探究中既感到自然、易于接受，還可清晰知道和角的三角函數(shù)與倍角公式的聯(lián)系，同時也讓學(xué)生學(xué)會怎樣發(fā)現(xiàn)規(guī)律及體會由一般到特殊的化歸思想．這一切教師要引導(dǎo)學(xué)生自己去做，因?yàn)椤稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出：“要讓學(xué)生在參與特定的數(shù)學(xué)活動，在具體情境中初步認(rèn)識對象的特征，獲得一些體驗(yàn)”．在實(shí)際教學(xué)過程中不要過多地補(bǔ)充一些高技巧、高難度的練習(xí)，更不要再補(bǔ)充一些較為復(fù)雜的積化和差或和差化積的恒等變換，否則就違背了新課標(biāo)在這一章的編寫意圖和新課改精神三維目標(biāo)1．通過讓學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)二倍角公式，了解它們之間、以及它們與和角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，并通過強(qiáng)化題目的訓(xùn)練，加深對二倍角公式的理解，培養(yǎng)運(yùn)算能力及邏輯推理能力，從而提高解決問題的能力．2．通過二倍角的正弦、余弦、正切公式的運(yùn)用,會進(jìn)行簡單的求值、化簡、恒等證明．體會化歸這一基本數(shù)學(xué)思想在發(fā)現(xiàn)中和求值、化簡、恒等證明中所起的作用．使學(xué)生進(jìn)一步掌握聯(lián)系變化的觀點(diǎn)，自覺地利用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)來分析問題,提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力．3．通過本節(jié)學(xué)習(xí),引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟?qū)ふ覕?shù)學(xué)規(guī)律的方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，以及善于發(fā)現(xiàn)和勇于探索的科學(xué)精神．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：二倍角公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn):如何靈活應(yīng)用和、差、倍角公式進(jìn)行三角式化簡、求值、證明恒等式．課時安排1課時eq\o（\s\up7(),\s\do5（教學(xué)過程)）導(dǎo)入新課思路1。(復(fù)習(xí)導(dǎo)入）請學(xué)生回憶上兩節(jié)共同探討的和角公式、差角公式，并回憶這組公式的來龍去脈，然后讓學(xué)生默寫這六個公式．教師引導(dǎo)學(xué)生：和角公式與差角公式是可以互相化歸的．當(dāng)兩角相等時，兩角之和便為此角的二倍，那么是否可把和角公式化歸為二倍角公式呢？今天，我們進(jìn)一步探討一下二倍角的問題，請同學(xué)們思考一下，應(yīng)解決哪些問題呢?由此展開新課．思路2.（問題導(dǎo)入)出示問題,讓學(xué)生計(jì)算，若sinα＝eq\f(3,5），α∈（eq\f(π,2)，π)，求sin2α，cos2α的值．學(xué)生會很容易看出：sin2α＝sin(α＋α）＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα的，以此展開新課，并由此展開聯(lián)想推出其他公式．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究)）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出問題)）①還記得和角的正弦、余弦、正切公式嗎？(請學(xué)生默寫出來,并由一名學(xué)生到黑板默寫）②你寫的這三個公式中角α、β會有特殊關(guān)系α＝β嗎？此時公式變成什么形式？③在得到的C2α公式中，還有其他表示形式嗎?④細(xì)心觀察二倍角公式的結(jié)構(gòu)，有什么特征呢？⑤能看出公式中角的含義嗎？思考過公式成立的條件嗎？⑥讓學(xué)生填空：老師隨機(jī)給出等號一邊括號內(nèi)的角,學(xué)生回答等號另一邊括號內(nèi)的角，稍后兩人為一組，做填數(shù)游戲：sin（)＝2sin(）cos(），cos（)＝cos2(）－sin2(）．⑦思考過公式的逆用嗎？想一想C2α還有哪些變形?⑧請思考以下問題:sin2α＝2sinα嗎？cos2α＝2cosα嗎？tan2α＝2tanα嗎？活動：問題①,學(xué)生默寫完后，教師打出課件，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察正弦、余弦的和角公式，提醒學(xué)生注意公式中的α,β，既然可以是任意角,怎么任意的?你會有些什么樣的奇妙想法呢？并鼓勵學(xué)生大膽試一試．如果學(xué)生想到α，β會有相等這個特殊情況，教師就此進(jìn)入下一個問題，如果學(xué)生沒想到這種特殊情況，教師適當(dāng)點(diǎn)撥進(jìn)入問題②，然后找一名學(xué)生到黑板進(jìn)行簡化，其他學(xué)生在自己的座位上簡化，教師再與學(xué)生一起集體訂正黑板上的書寫，最后學(xué)生都不難得出以下式子,鼓勵學(xué)生嘗試一下,對得出的結(jié)論給出解釋．這個過程教師要舍得花時間,充分地讓學(xué)生去思考、去探究,并初步地感受二倍角的意義．同時開拓學(xué)生的思維空間，為學(xué)生將來遇到的3α或3β等角的探究附設(shè)類比聯(lián)想的源泉．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ?sin2α＝2sinαcosα(S2α）；cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ?cos2α＝cos2α－sin2α（C2α）；tan（α＋β）＝eq\f（tanα＋tanβ,1－tanαtanβ）?tan2α＝eq\f(2tanα，1－tan2α)(T2α)．這時教師適時地向?qū)W生指出,我們把這三個公式分別叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書，確切明了二倍角的含義，以后的“倍角”專指“二倍角”、教師適時提出問題③，點(diǎn)撥學(xué)生結(jié)合sin2α＋cos2α＝1思考，因此二倍角的余弦公式又可表示為以下右表中的公式．sin2α＝2sinαcosαS2αcos2α＝cos2α－sin2αC2αtan2α＝T2αcos2α＝2cos2α－1cos2α＝1－2sin2α這時教師點(diǎn)出，這些公式都叫做倍角公式(用多媒體演示)．倍角公式給出了α的三角函數(shù)與2α的三角函數(shù)之間的關(guān)系．問題④，教師指導(dǎo)學(xué)生，這組公式用途很廣,并與學(xué)生一起觀察公式的特征并記憶，首先公式左邊角是右邊角的2倍；左邊是2α的三角函數(shù)的一次式，右邊是α的三角函數(shù)的二次式，即左到右→升冪縮角,右到左→降冪擴(kuò)角．二倍角的正弦是單項(xiàng)式，余弦是多項(xiàng)式，正切是分式．問題⑤，因?yàn)檫€沒有應(yīng)用，對公式中的含義學(xué)生可能還理解不到位，教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察思考并初步感性認(rèn)識到：（Ⅰ）這里的“倍角”專指“二倍角”，遇到“三倍角”等名詞時，“三"字等不可省去;（Ⅱ)通過二倍角公式，可以用單角的三角函數(shù)表示二倍角的三角函數(shù)；(Ⅲ)二倍角公式是兩角和的三角函數(shù)公式的特殊情況；（Ⅳ）公式(S2α），（C2α)中的角α沒有限制，都是α∈R。但公式(T2α）需在α≠eq\f（1，2)kπ＋eq\f(π,4）和α≠kπ＋eq\f(π,2）(k∈Z）時才成立，這一條件限制要引起學(xué)生的注意．但是當(dāng)α＝kπ＋eq\f(π,2），k∈Z時，雖然tanα不存在，此時不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用誘導(dǎo)公式．問題⑥，填空是為了讓學(xué)生明了二倍角的相對性，即二倍角公式不僅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，eq\f(α，2）是eq\f(α，4)的二倍,3α是eq\f(3α，2)的二倍，eq\f(α,3）是eq\f(α,6）的二倍，eq\f(π,2)－α是eq\f(π,4)－eq\f（α,2)的二倍等,所有這些都可以應(yīng)用二倍角公式．例如：sineq\f(α，2）＝2sineq\f（α，4)coseq\f（α,4)，coseq\f（α，3）＝cos2eq\f（α,6)－sin2eq\f（α，6)等等．問題⑦，本組公式的靈活運(yùn)用還在于它的逆用以及它的變形用，這點(diǎn)教師更要提醒學(xué)生引起足夠的注意．如:sin3αcos3α＝eq\f（1,2）sin6α,4sineq\f(α,4）coseq\f（α，4)＝2(2sineq\f(α，4）coseq\f(α,4）)＝2sineq\f（α，2)，eq\f（2tan40°，1－tan240°）＝tan80°，cos22α－sin22α＝cos4α，2tanα＝tan2α（1－tan2α）等等．問題⑧，一般情況下：sin2α≠2sinα，cos2α≠2cosα，tan2α≠2tanα.若sin2α＝2sinα，則2sinαcosα＝2sinα,即sinα＝0或cosα＝1，此時α＝kπ（k∈Z）．若cos2α＝2cosα，則2cos2α－2cosα－1＝0，即cosα＝eq\f（1－\r(3），2)（cosα＝eq\f（1＋\r(3)，2)舍去）．若tan2α＝2tanα,則eq\f（2tanα,1－tan2α)＝2tanα，∴tanα＝0,即α＝kπ(k∈Z)．解答:①～⑧（略)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例)）思路1例1已知sin2α＝eq\f(5，13）,eq\f(π，4）〈α〈eq\f（π，2）,求sin4α，cos4α,tan4α的值．活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中角的關(guān)系,觀察所給條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)，注意二倍角公式的選用，領(lǐng)悟“倍角”是相對的這一換元思想．讓學(xué)生體會“倍"的深刻含義，它是描述兩個數(shù)量之間關(guān)系的．本題中的已知條件給出了2α的正弦值．由于4α是2α的二倍角，因此可以考慮用倍角公式．本例是直接應(yīng)用二倍角公式解題，目的是為了讓學(xué)生初步熟悉二倍角的應(yīng)用，理解二倍角的相對性，教師大膽放手，可讓學(xué)生自己獨(dú)立探究完成．解：由eq\f(π，4）〈α〈eq\f(π，2），得eq\f（π,2)〈2α〈π。又∵sin2α＝eq\f（5,13),∴cos2α＝－eq\r（1－sin22α)＝－eq\r(1－\f(5，13)2)＝－eq\f(12,13)。于是sin4α＝sin[2×（2α)］＝2sin2αcos2α＝2×eq\f(5,13)×（－eq\f(12，13）)＝－eq\f(120，169)；cos4α＝cos[2×(2α）］＝1－2sin22α＝1－2×（eq\f(5,13）)2＝eq\f（119,169）；tan4α＝eq\f(sin4α，cos4α)＝(－eq\f(120，169））×eq\f(169，119)＝－eq\f(120，119）。點(diǎn)評：學(xué)生由問題中條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)不難想象出解法,但要提醒學(xué)生注意，在解題時注意優(yōu)化問題的解答過程，使問題的解答簡捷、巧妙、規(guī)范，并達(dá)到熟練掌握的程度．本節(jié)公式的基本應(yīng)用是高考的熱點(diǎn).變式訓(xùn)練1．不查表,求值：sin15°＋cos15°.解:原式＝eq\r（sin15°＋cos15°2)＝eq\r（sin215°＋2sin15°cos15°＋cos215°)＝eq\f(\r（6），2)。點(diǎn)評:本題在兩角和與差的學(xué)習(xí)中已經(jīng)解決過,現(xiàn)用二倍角公式給出另外的解法，讓學(xué)生體會它們之間的聯(lián)系,體會數(shù)學(xué)變化的魅力．2．若eq\f（cos2α，sinα－\f(π，4)）＝－eq\f（\r(2)，2)，則cosα＋sinα的值為（）A．－eq\f（\r(7），2）B．－eq\f(1,2）C.eq\f(1，2）D.eq\f(\r(7）,2)答案：C3．下列各式中，值為eq\f(\r（3）,2）的是(）A．2sin15°－cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°－1D．sin215°＋cos215°答案:B例2證明eq\f（1＋sin2θ－cos2θ,1＋sin2θ＋cos2θ)＝tanθ?；顒樱合茸寣W(xué)生思考一會，鼓勵學(xué)生充分發(fā)揮聰明才智，戰(zhàn)勝它，并力爭一題多解．教師可點(diǎn)撥學(xué)生想一想，到現(xiàn)在為止，所學(xué)的證明三角恒等式的方法大致有幾種：從復(fù)雜一端化向簡單一端；兩邊化簡,中間碰頭；化切為弦;還可以利用分析綜合法解決，有時幾種方法會同時使用等．對找不到思考方向的學(xué)生，教師點(diǎn)出:可否再添加一種，化倍角為單角？這可否成為證明三角恒等式的一種方法？再適時引導(dǎo)，前面學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時曾用到“1"的代換，對“1”的妙用大家深有體會，這里可否在“1”上做做文章？待學(xué)生探究解決方法后，可找?guī)讉€學(xué)生到黑板書寫解答過程，以便對照點(diǎn)評及給學(xué)生以啟發(fā)．點(diǎn)評時對能夠善于運(yùn)用所學(xué)的新知識解決問題的學(xué)生給予表揚(yáng);對暫時找不到思路的學(xué)生給予點(diǎn)撥、鼓勵．強(qiáng)調(diào)“1"的妙用，妙在它在三角恒等式中一旦出現(xiàn),在證明過程中就會起到至關(guān)重要的作用，在今后的證題中，萬萬不要忽視它．證明:方法一：左＝eq\f（sin2θ＋1－cos2θ,sin2θ＋1＋cos2θ）＝eq\f（2sinθcosθ＋1＋1－2cos2θ，2sinθcosθ＋1＋2cos2θ－1)＝eq\f(sinθcosθ＋1－cos2θ,sinθcosθ＋cos2θ)＝eq\f（sinθcosθ＋sin2θ，sinθcosθ＋cos2θ)＝eq\f（sinθcosθ＋sinθ，cosθsinθ＋cosθ）＝tanθ＝右．所以，原式成立．方法二：左＝eq\f（sin2θ＋cos2θ＋sin2θ＋sin2θ－cos2θ，sin2θ＋cos2θ＋sin2θ＋cos2θ－sin2θ)＝eq\f（sin2θ＋2sin2θ，sin2θ＋2cos2θ）＝eq\f(2sinθsinθ＋cosθ，2cosθsinθ＋cosθ)＝tanθ＝右．方法三:左＝eq\f(1＋sin2θ－cos2θ，1＋sin2θ＋cos2θ）＝eq\f(sin2θ＋cos2θ＋2sinθ·cosθ－cos2θ－sin2θ,sin2θ＋cos2θ＋2sinθ·cosθ＋cos2θ－sin2θ）＝eq\f（sinθ＋cosθ2－cosθ＋sinθcosθ－sinθ,sinθ＋cosθ2＋cosθ＋sinθcosθ－sinθ）＝eq\f(sinθ＋cosθsinθ＋cosθ＋sinθ－cosθ,sinθ＋cosθsinθ＋cosθ＋cosθ－sinθ）＝eq\f(sinθ＋cosθ·2sinθ，sinθ＋cosθ·2cosθ）＝tanθ＝右．點(diǎn)評：以上幾種方法大致遵循以下規(guī)律：首先從復(fù)雜端化向簡單端；第二，化倍角為單角，這是我們今天剛剛學(xué)習(xí)的;第三，證題中注意對數(shù)字的處理，尤其“1”的代換的妙用，請同學(xué)們在探究中仔細(xì)體會這點(diǎn)．在這道題中通常用的幾種方法都用到了,不論用哪一種方法，都要思路清晰，書寫規(guī)范才是．思路2例1求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．活動：本例是一道靈活應(yīng)用二倍角公式的經(jīng)典例題，有一定難度，但也是訓(xùn)練學(xué)生思維能力的一道好題．本題需要公式的逆用，逆用公式的先決條件是認(rèn)識公式的本質(zhì)，要善于把表象的東西拿開,正確捕捉公式的本質(zhì)屬性，以便合理運(yùn)用公式．教學(xué)中教師可讓學(xué)生充分進(jìn)行討論探究,不要輕易告訴學(xué)生解法，可適時點(diǎn)撥學(xué)生需要做怎樣的變化，又需怎樣應(yīng)用二倍角公式．并點(diǎn)撥學(xué)生結(jié)合誘導(dǎo)公式思考．學(xué)生經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn)，如果用誘導(dǎo)公式把10°,30°,50°，70°正弦的積化為20°，40°，60°，80°余弦的積，其中60°是特殊角，很容易發(fā)現(xiàn)40°是20°的2倍,80°是40°的2倍,故可考慮逆用二倍角公式．解：原式＝cos80°cos60°cos40°cos20°＝eq\f(23·sin20°cos20°cos40°cos80°，23·2sin20°)＝eq\f(sin160°，16sin20°)＝eq\f（sin20°，16sin20°）＝eq\f（1，16）。點(diǎn)評：二倍角公式是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要知識點(diǎn)之一，又是解答許多數(shù)學(xué)問題的重要模型和工具，具有靈活多變,技巧性強(qiáng)的特點(diǎn),要注意在訓(xùn)練中細(xì)心體會其變化規(guī)律．例2在△ABC中，cosA＝eq\f（4,5）,tanB＝2,求tan（2A＋2B）的值．活動：解:方法一：在△ABC中，由cosA＝eq\f（4，5），0〈A<π，得sinA＝eq\r（1－cos2A)＝eq\r(1－\f(4，5)2）＝eq\f(3,5）.所以tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(3,5）×eq\f（5，4)＝eq\f(3,4）,tan2A＝eq\f(2tanA，1－tan2A)＝eq\f（2×\f(3,4），1－\f（3,4）2)＝eq\f（24，7）.又tanB＝2,所以tan2B＝eq\f(2tanB,1－tan2B）＝eq\f(2×2，1－22)＝－eq\f（4，3）。于是tan(2A＋2B)＝eq\f（tan2A＋tan2B,1－tan2Atan2B）＝eq\f（\f(24,7)－\f(4,3),1－\f（24，7）×－\f（4,3))＝eq\f（44，117)。方法二:在△ABC中，由cosA＝eq\f（4，5)，0<A〈π，得sinA＝eq\r(1－cos2A）＝eq\r（1－\f（4,5)2）＝eq\f（3，5）。所以tanA＝eq\f(sinA，cosA)＝eq\f（3，5）×eq\f（5，4)＝eq\f(3,4）.又tanB＝2，所以tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB）＝eq\f（\f（3,4)＋2,1－\f（3,4）×2）＝－eq\f（11，2)。于是tan(2A＋2B)＝tan[2（A＋B）］＝eq\f(2tanA＋B,1－tan2A＋B)＝eq\f（2×－\f（11，2)，1－－\f（11，2)2)＝eq\f(44，117）.點(diǎn)評：以上兩種方法都是對倍角公式、和角公式的聯(lián)合運(yùn)用，本質(zhì)上沒有區(qū)別，其目的是為了鼓勵學(xué)生用不同的思路去思考，以拓展學(xué)生的視野.變式訓(xùn)練化簡eq\f（1＋cos4α＋sin4α，1－cos4α＋sin4α）。解:原式＝eq\f（2cos22α＋2sin2αcos2α,2sin22α＋2sin2αcos2α)＝eq\f（2cos2αcos2α＋sin2α,2sin2αsin2α＋cos2α）＝cot2α。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（知能訓(xùn)練))已知cosα＝eq\f(1,7），cos(α－β)＝eq\f(13,14)，且0〈β<α〈eq\f（π，2)，(1）求tan2α的值；（2)求β.解：(1）由cosα＝eq\f(1，7),0<α<eq\f(π,2)，得sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r（1－\f（1,7)2）＝eq\f(4\r（3),7）?！鄑anα＝eq\f（sinα,cosα)＝eq\f(4\r(3），7)×eq\f(7,1)＝4eq\r(3).于是tan2α＝eq\f（2tanα，1－tan2α)＝eq\f(2×4\r（3),1－4\r(3）2)＝－eq\f（8\r（3)，47）.（2）由0〈β<α<eq\f(π，2），得0〈α－β〈eq\f（π,2).又∵cos(α－β)＝eq\f(13，14），∴sin（α－β)＝eq\r（1－cos2α－β)＝eq\r（1－\f（13,14）2)＝eq\f（3\r(3)，14）.由β＝α－（α－β），得cosβ＝cos［α－(α－β)]＝cosαcos(α－β）＋sinαsin（α－β)＝eq\f（1,7）×eq\f（13，14）＋eq\f（4\r(3)，7）×eq\f(3\r（3），14)＝eq\f(1，2)?！唳拢絜q\f（π,3）.點(diǎn)評：本題主要考查三角恒等變形的主要基本公式、三角函數(shù)值的符號，已知三角函數(shù)值求角以及計(jì)算能力．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)））課本習(xí)題3。1A組15、16、17。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課題小結(jié)））1．先由學(xué)生回顧本節(jié)課都學(xué)到了什么?有哪些收獲？對前面學(xué)過的兩角和公式有什么新的認(rèn)識？對三角函數(shù)式子的變化有什么新的認(rèn)識?怎樣用二倍角公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值與恒等式證明．2．教師畫龍點(diǎn)睛：本節(jié)課要理解并掌握二倍角公式及其推導(dǎo)，明白從一般到特殊的思想，并要正確熟練地運(yùn)用二倍角公式解題．在解題時要注意分析三角函數(shù)名稱、角的關(guān)系,一個題目能給出多種解法，從中比較最佳解決問題的途徑，以達(dá)到優(yōu)化解題過程，規(guī)范解題步驟,領(lǐng)悟變換思路,強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法之目的．eq\o(\s\up7()，\s\do5(設(shè)計(jì)感想))1．新課改的核心理念是：以學(xué)生發(fā)展為本．本節(jié)課的設(shè)計(jì)流程從回顧→探索→應(yīng)用，充分體現(xiàn)了“學(xué)生主體、主動探索、培養(yǎng)能力"的新課改理念，體現(xiàn)“活動、開放、綜合”的創(chuàng)新教學(xué)模式．本節(jié)在學(xué)生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在這個活動過程中，由一般化歸為特殊的基本數(shù)學(xué)思想方法就深深地留在了學(xué)生記憶中．本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)流程還是比較流暢的．2．縱觀本教案的設(shè)計(jì)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)二倍角后就是應(yīng)用，至于如何訓(xùn)練二倍角公式正用，逆用,變形用倒成了次要的了．而學(xué)生從探究活動過程中學(xué)會了怎樣去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，又發(fā)現(xiàn)了怎樣逆用公式及活用公式，那才是深層的，那才是我們中學(xué)數(shù)學(xué)教育的最終目的．3．教學(xué)矛盾的主要方面是學(xué)生的學(xué)，學(xué)是中心，會學(xué)是目的，根據(jù)高中三角函數(shù)的推理特點(diǎn)，本節(jié)主要是教給學(xué)生“回顧公式、探索特殊情形、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、推導(dǎo)公式、學(xué)習(xí)應(yīng)用”的探索創(chuàng)新式學(xué)習(xí)方法．這樣做增加了學(xué)生溫故知新的空間，增強(qiáng)了學(xué)生的參與意識,教給了學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、探索推導(dǎo)、獲取新知的途徑,讓學(xué)生真正嘗試到探索的喜悅,真正成為教學(xué)的主體．學(xué)生會體會到數(shù)學(xué)的美，產(chǎn)生一種成功感，從而提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．eq\o(\s\up7(）,\s\do5(備課資料)）一、三角變換中的“一致代換”法在三角變換中，“一致代換”法是一種重要的方法，所謂“一致代換”法，即在三角變換中，化“異角”“異名”“異次”為“同角”“同名”“同次”的方法．它主要包括:在三角函數(shù)式中，①如果只含同角三角函數(shù)，一般應(yīng)從變化函數(shù)名稱入手,盡量化為同名函數(shù)，常用“化弦法”；②如果含有異角，一般應(yīng)從變化角入手，盡量化不同角為同角，變復(fù)角為單角；③如果含有異次冪，一般利用升冪或降冪公式化異次冪為同次冪．二、備用習(xí)題1．求值：eq\f（1,sin10°)－eq\f(\r(3），cos10°）.答案：原式＝eq\f（cos10°－\r(3）sin10°,sin10°cos10°）＝eq\f(2\f（1，2）cos10°－\f(\r（3)，2）sin10°，sin10°cos10°)＝eq\f（4sin30°cos10°－cos30°sin10°，2sin10°cos10°)＝eq\f（4sin30°－10°,sin20°)＝4。2．化簡：cos36°cos72°。答案:原式＝eq\f（2sin36°cos36°·cos72°，2sin36°）＝eq\f（2sin72°cos72°，4sin36°）＝eq\f（sin144°,4sin36°)＝eq\f（1,4）.3．化簡:cosαcoseq\f(α,2)coseq\f(α,22）coseq\f(α，23)·…·coseq\f(α，2n－1）.答案：先將原式同乘除因式sineq\f（α,2n－1),然后逐次使用倍角公式，則原式＝.eq\f(sin2α，2nsin\f(α,2n－1））4．求值:sin6°sin42°sin66°sin78°.答案:原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°＝sin6°cos12°cos24°cos48°＝eq\f(24cos6°sin6°cos12°cos24°cos48°，24cos6°)＝eq\f(sin96°，24cos6°)＝eq