數(shù)學(xué)示范教案：第一章第二節(jié)任意角的三角函數(shù)（第二課時）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第一章第二節(jié)任意角的三角函數(shù)第二課時作者：蘇飛文,南安僑光中學(xué)教師，本教學(xué)設(shè)計獲福建省教學(xué)設(shè)計大賽二等獎eq\o（\s\up7(），\s\do5(整體設(shè)計）)教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課是三角函數(shù)這一章里最重要的一節(jié)課,它是本章的基礎(chǔ)，主要是從通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，從而很好地理解任意角的三角函數(shù)的定義．在《課程標(biāo)準(zhǔn)》中：三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型,在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用．《課程標(biāo)準(zhǔn)》還要求我們借助單位圓去理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切）的定義．在本模塊中，學(xué)生將通過實例學(xué)習(xí)三角函數(shù)及其基本性質(zhì),體會三角函數(shù)在解決具有變化規(guī)律的問題中的作用．學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析我們的課堂教學(xué)常用“高起點、大容量、快推進"的做法，忽略了知識的發(fā)生發(fā)展過程，以騰出更多的時間對學(xué)生加以反復(fù)的訓(xùn)練，無形增加了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，泯滅了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣．我們雖然刻意地去改變教學(xué)的方式，但仍有太多舊時的痕跡，若為了新課程而新課程又會使得美景變成了幻影，失去新課程自然與清純之味．所以如何進行《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗）》(以下簡稱課程標(biāo)準(zhǔn))的教學(xué)設(shè)計就很值得思考探索．如何讓學(xué)生把對初中銳角三角函數(shù)的定義及解直角三角形的知識遷移到學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)的定義中？《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗)解讀》中在三角函數(shù)的教學(xué)中，教師應(yīng)該關(guān)注以下兩點:第一、根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗,創(chuàng)設(shè)豐富的情境，例如單調(diào)彈簧振子，圓上一點的運動，以及音樂、波浪、潮汐、四季變化等實例,使學(xué)生感受周期現(xiàn)象的廣泛存在,認(rèn)識周期現(xiàn)象的變化規(guī)律，體會三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要模型以及三角函數(shù)模型的意義．第二、注重三角函數(shù)模型的運用即運用三角函數(shù)模型刻畫和描述周期變化的現(xiàn)象（周期振蕩現(xiàn)象)，解決一些實際問題，這也是《課程標(biāo)準(zhǔn)》在三角函數(shù)內(nèi)容處理上的一個突出特點．根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的指導(dǎo)思想，任意角的三角函數(shù)的教學(xué)應(yīng)該幫助學(xué)生解決好兩個問題：其一：能從實際問題中識別并建立起三角函數(shù)的模型；其二:借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義并認(rèn)識其定義域、函數(shù)值的符號．設(shè)計理念本節(jié)課通過多媒體信息技術(shù)展示摩天輪旋轉(zhuǎn)及生成的圖象,讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活,激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)的樂趣．并通過問題的探究，體驗“數(shù)學(xué)是過程的思想”，改變課程實施過程中的強調(diào)接受學(xué)習(xí)，死記硬背，機械訓(xùn)練的現(xiàn)狀,倡導(dǎo)學(xué)生主動參與,樂于探究，勤于動手，培養(yǎng)學(xué)生收集和處理信息的能力，獲得新知識的能力,分析與解決問題的能力以及交流合作的能力．教學(xué)目標(biāo)1．借助摩天輪的情景問題很好地融合初中對三角函數(shù)的定義,也能在直角坐標(biāo)系中，很好地將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡,通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程,從而很好地理解任意角的三角函數(shù)的定義．2．從任意角的三角函數(shù)的定義認(rèn)識其定義域、函數(shù)值的符號．3．能初步應(yīng)用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關(guān)的一些簡單問題．教學(xué)重點與難點1．教學(xué)重點:任意角三角函數(shù)的定義．2．教學(xué)難點：正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域．eq\o(\s\up7（），\s\do5（教學(xué)過程））第一部分—-情景引入問題1:如圖1是一個摩天輪，假設(shè)它的中心離地面的高度為h0,它的直徑為2R，逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動一周需要360秒，若現(xiàn)在你坐在座艙中，從初始位置OA出發(fā)，過了30秒后，你離地面的高度h為多少?過了45秒呢？過了t秒呢？圖1設(shè)計意圖高中學(xué)生已經(jīng)具有豐富的生活經(jīng)驗和一定的科學(xué)知識，因此選擇感興趣的、與其生活實際密切相關(guān)的素材，此情景設(shè)計應(yīng)該有助于學(xué)生對知識的發(fā)生發(fā)展的理解．這個數(shù)學(xué)模型很好地融合了初中對三角函數(shù)的定義，也能放在直角坐標(biāo)系中，很好地將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡，揭示函數(shù)的本質(zhì)．第二部分-—復(fù)習(xí)回顧銳角三角函數(shù)讓學(xué)生自主思考如何解決問題：“過了30秒后,你離地面的高度為多少？"分析：作圖如圖2很容易知道：從起始位置OA運動30秒后到達P點位置，由題意知∠AOP＝30°，作PH垂直地面交OA于M，又知MH＝h0,所以本問題轉(zhuǎn)變成求PH再次轉(zhuǎn)變?yōu)榍驪M。圖2要求PM就是回到初中所學(xué)的解直角三角形的問題即銳角的三角函數(shù)．問題2：銳角α的正弦函數(shù)如何定義?學(xué)生自主探究：學(xué)生很容易得到圖3sinα＝eq\f(|MP|，｜OP|）＝eq\f（|MP|，R)?｜MP｜＝Rsinα?|PH|＝h0＋Rsinα?h＝h0＋Rsinα，所以學(xué)生很自然得到“過了30秒后,過了45秒，你離地面的高度h為多少”．h1＝h0＋Rsin30°;h2＝h0＋Rsin45°.教師總結(jié)：t°在銳角的范圍中,h＝h0＋Rsint°.第三部分——引入新課問題3：請問t的范圍為多少？隨著時間的推移，你離地面的高度h為多少？能不能猜想h＝h0＋Rsint°？分析：若想做到這一點,就得把銳角的正弦推廣到任意角的正弦．今天我們就要來學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)．問題4:如圖4建立直角坐標(biāo)系,設(shè)點P(xP，yP），你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點的坐標(biāo)來表示銳角α的正弦函數(shù)的定義嗎？能否也定義其他函數(shù)(余弦、正切）？圖4學(xué)生自主探究:sinα＝eq\f(|MP|,|OP｜）＝eq\f(yP,R)，cosα＝eq\f（｜OM|,｜OP｜）＝eq\f（xP,R），tanα＝eq\f（｜MP｜，｜OM｜)＝eq\f（yP，xP)。問題5：改變終邊上的點的位置，這三個比值會改變嗎？為什么?分析：先由學(xué)生回答問題，教師再引導(dǎo)學(xué)生選幾個點，計算比值，獲得具體認(rèn)識,并由相似三角形的性質(zhì)證明．設(shè)計意圖讓學(xué)生深刻理解體會三角函數(shù)值不會隨著終邊上的點的位置的改變而改變，只與角有關(guān)系．通過摩天輪的演示，讓學(xué)生感受到第一象限角的正弦可以跟銳角正弦的定義一樣．問題6：大家根據(jù)第一象限角的正弦函數(shù)的定義，能否也給出第二象限角的定義呢？學(xué)生自主探究：學(xué)生通過上面已知知識得到sinα＝eq\f（｜MP｜，|OP｜）＝eq\f(yP,R），學(xué)生定義好第二象限角后,讓學(xué)生自己算出摩天輪座艙在第150秒時,離地面的高度h？通過摩天輪知道：h＝h0＋Rsin150°＝h1＝h0＋Rsin30°,由此得到：sin150°＝eq\f(1,2)。設(shè)計意圖通過這個，讓學(xué)生檢驗當(dāng)α為第二象限角時sinα＝eq\f(|MP｜，|OP|)＝eq\f（yP，R)是否正確．問題7：當(dāng)α為第三象限或第四象限角時，sinα＝eq\f（｜MP｜,|OP|)能成立嗎？設(shè)計意圖讓學(xué)生通過模型，檢驗定義是否正確，從中讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)正、負(fù)符號的偏差．（可以讓學(xué)生取t＝210，從而h＝h0＋Rsin210°，得到sin210°＝－eq\f（1，2），發(fā)現(xiàn)這與sinα＝eq\f(｜MP|,｜OP|)不相符，實際上是sinα＝eq\f（－|MP｜,|OP|)。）教師總結(jié)：我們通過這個模型知道如何在某些范圍內(nèi)計算自己此時離地面的高度,用數(shù)學(xué)模型h＝h0＋Rsint°來表示，當(dāng)摩天輪轉(zhuǎn)動時，角度的概念也不知不覺地推廣到了任意角，對于任意角的正弦不能只是依賴于角所在的直角三角形中的對邊的長度比斜邊長度了，我們更應(yīng)該用點P的橫坐標(biāo)來代替|MP|或－|MP｜，那么這樣就能夠很好地表示出任意角的正弦函數(shù)的定義．第四部分——給出任意角的三角函數(shù)的定義如圖5，已知點P(x，y)為角α終邊上的點，點P到頂點O的距離為R,則圖5sinα＝eq\f(y，R)(α∈R）cosα＝eq\f（x,R）(α∈R)tanα＝eq\f(y,x）(α≠eq\f(π,2）＋kπ）分析：讓學(xué)生通過剛才的模型進一步體驗任意角三角函數(shù)的定義要點：點、點的坐標(biāo)、點到頂點的距離．問題8：當(dāng)摩天輪的半徑R＝1時,三角函數(shù)的定義會發(fā)生怎樣的變化？學(xué)生自主探究:sinα＝y(tǒng),cosα＝x,tanα＝eq\f(y，x）.教師引導(dǎo)學(xué)生進行對比，學(xué)生通過對比發(fā)現(xiàn)取到原點的距離為1的點可以使表達式簡化．教師進一步給出單位圓的定義．給出下列表格，讓學(xué)生自己補充完整.三角函數(shù)定義一:｜OP|＝1定義二：|OP｜＝R定義域sinαyeq\f(y，R）α∈Rcosαxeq\f(x,R)α∈Rtanαeq\f(y,x）eq\f(y,x)α≠eq\f（π，2）＋kπ及時歸納總結(jié)有利學(xué)生對所學(xué)知識的鞏固和掌握．第五部分--例題講解例1已知角α的終邊經(jīng)過點P0(－3,－4)，求角α的正弦、余弦和正切值．分析：讓學(xué)生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)賣,用上面的定義二就可以得到答案．例2求eq\f(5π,3）的正弦、余弦和正切值．學(xué)生自主探究：讓學(xué)生自己思考并獨立完成．然后與課本的解答對比一下，發(fā)現(xiàn)本題的難點．教師講解：本題題意很簡單，但是如何入手卻是難點,關(guān)鍵是對本節(jié)課的三角函數(shù)定義的要點有沒有領(lǐng)會清楚(任意角三角函數(shù)的定義要點:點、點的坐標(biāo)、點到頂點的距離），因此本題的重點之處是如何利用單位圓找到這個點P,如圖6可以知道∠POM＝eq\f(π,3），又點P在第四象限,得到P（eq\f(1,2），－eq\f（\r(3）,2)),這樣就可以很容易得到本題的答案．圖6 不妨讓學(xué)生取R＝｜OP|＝4，能否也得到點P的坐標(biāo),得到的三角函數(shù)值是否與單位圓的一樣？這樣可以讓學(xué)生更深刻地體驗三角函數(shù)的定義．例3求證：當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時，角θ為第三象限角．eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ<0，，tanθ>0.））eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（①,②)）活動：教師引導(dǎo)學(xué)生討論驗證在不同的象限內(nèi)各個三角函數(shù)值的符號有什么樣的關(guān)系,提示學(xué)生從三角函數(shù)的定義出發(fā)來探究其內(nèi)在的關(guān)系．可以知道：三角函數(shù)的定義告訴我們,各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號,取決于x，y的符號,當(dāng)點P在第一、二象限時，縱坐標(biāo)y>0，點P在第三、四象限時，縱坐標(biāo)y〈0,所以正弦函數(shù)值對于第一、二象限角是正的，對于第三、四象限角是負(fù)的；同樣地，余弦函數(shù)在第一、四象限是正的，在第二、三象限是負(fù)的；正切函數(shù)在第一、三象限是正的，在第二、四象限是負(fù)的．第六部分——鞏固練習(xí)練習(xí)1.例2變式：求eq\f(7π，6)的正弦、余弦和正切值．練習(xí)2.問題9：通過觀察摩天輪的旋轉(zhuǎn),三角函數(shù)的角的終邊所在象限不同，請說說三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的三角函數(shù)值的符號．獨立完成課本本節(jié)的“探究”．設(shè)計意圖練習(xí)1、練習(xí)2的設(shè)計與例2、例3銜接，主要目的是幫助學(xué)生鞏固三角函數(shù)的本質(zhì)特征,引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)利用坐標(biāo)平面內(nèi)的點的坐標(biāo)特征自主探究三角函數(shù)的有關(guān)問題的思想方法．并在特殊情形中體會數(shù)形結(jié)合的思想方法．第七部分——小結(jié)與作業(yè)學(xué)生自我總結(jié)作業(yè)：課本本節(jié)練習(xí)1，2,3eq\o(\s\up7（），\s\do5（教學(xué)反思))1．教學(xué)設(shè)計緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，重點放在任意角的三角函數(shù)的理解上．背景創(chuàng)設(shè)是學(xué)生熟悉的摩天輪，認(rèn)知過程符合學(xué)生的認(rèn)知特點和學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律——具體到抽象,現(xiàn)象到本質(zhì)，特殊到一般，這樣有利于學(xué)生的思考．2．情景設(shè)計的數(shù)學(xué)模型很好地融合初中對三角函數(shù)的定義，也能很好地引入在直角坐標(biāo)系中，很好地將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡，同時能夠揭示函數(shù)的本質(zhì)．3．通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，讓學(xué)生在情境中活動，在活動中體驗數(shù)學(xué)與自然和社會的聯(lián)系、新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系,在體驗中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的價值，它滲透了蘊涵在知識中的思想方法和研究性學(xué)習(xí)的策略，使學(xué)生在理解數(shù)學(xué)的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展．這和課程標(biāo)準(zhǔn)的理念是一致的．4．《標(biāo)準(zhǔn)》把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識作為其目標(biāo)之一，在教學(xué)中不僅要突出知識的來龍去脈還要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)應(yīng)用實踐的空間，促進學(xué)