數(shù)學(xué)示范教案：第一章第四節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（第三課時(shí)）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第一章第四節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)第三課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.（類比導(dǎo)入）我們?cè)谘芯恳粋€(gè)函數(shù)的性質(zhì)時(shí),如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，往往通過它們的圖象來研究．先讓學(xué)生畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，從學(xué)生畫圖象、觀察圖象入手,由此展開正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)的探究．思路2.（直接導(dǎo)入)研究函數(shù)就是要討論函數(shù)的一些性質(zhì),y＝sinx，y＝cosx是函數(shù)，我們當(dāng)然也要探討它們的一些性質(zhì)．本節(jié)課，我們就來研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)最基本的幾條性質(zhì)．請(qǐng)同學(xué)們回想一下，一般來說，我們是從哪些方面去研究一個(gè)函數(shù)的性質(zhì)的呢(定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、最值）？然后逐一進(jìn)行探究．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究））eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出問題)）①回憶并畫出正弦曲線和余弦曲線，觀察它們的形狀及在坐標(biāo)系中的位置；②觀察正弦曲線和余弦曲線，說出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域各是什么?③觀察正弦曲線和余弦曲線，說出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域各是什么？由值域又能得到什么？④觀察正弦曲線和余弦曲線，函數(shù)值的變化有什么特點(diǎn)？⑤觀察正弦曲線和余弦曲線，它們都有哪些對(duì)稱？（1)（2）圖2活動(dòng):先讓學(xué)生充分思考、討論后再回答．對(duì)回答正確的學(xué)生，教師可鼓勵(lì)他們按自己的思路繼續(xù)探究，對(duì)找不到思路的學(xué)生,教師可參與到他們中去，并適時(shí)的給予點(diǎn)撥、指導(dǎo)．．對(duì)問題①,學(xué)生不一定畫準(zhǔn)確，教師要求學(xué)生盡量畫準(zhǔn)確，能畫出它們的變化趨勢(shì)．對(duì)問題②，學(xué)生很容易看出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集R〔或(－∞，＋∞)〕．對(duì)問題③，學(xué)生很容易觀察出正弦曲線和余弦曲線上、下都有界，得出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是[－1，1］．教師要引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)的角度思考并給出證明．∵正弦線、余弦線的長(zhǎng)度小于或等于單位圓的半徑的長(zhǎng)度,∴|sinx｜≤1,|cosx｜≤1，即－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1。也就是說，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是[－1,1]．對(duì)于正弦函數(shù)y＝sinx（x∈R），(1）當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z時(shí)，取得最大值1.（2）當(dāng)且僅當(dāng)x＝－eq\f（π,2)＋2kπ，k∈Z時(shí)，取得最小值－1.對(duì)于余弦函數(shù)y＝cosx（x∈R），(1)當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ，k∈Z時(shí)，取得最大值1。（2）當(dāng)且僅當(dāng)x＝（2k＋1)π,k∈Z時(shí)，取得最小值－1.對(duì)問題④,教師可引導(dǎo)、點(diǎn)撥學(xué)生先截取一段來看,選哪一段呢？如圖3,通過學(xué)生充分討論后確定，選圖象上的［－eq\f（π,2），eq\f（3π，2）]（如圖4)這段．教師還要強(qiáng)調(diào)為什么選這段，而不選[0,2π］的道理，其他類似．圖3圖4這個(gè)變化情況也可從下表中顯示出來:x－eq\f（π，2）…0…eq\f(π,2)…π…eq\f（3π，2）sinx－1010－1就是說，函數(shù)y＝sinx，x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)]．當(dāng)x∈［－eq\f（π，2),eq\f（π，2)］時(shí),曲線逐漸上升，是增函數(shù)，sinx的值由－1增大到1;當(dāng)x∈[eq\f（π，2），eq\f(3π，2）]時(shí)，曲線逐漸下降，是減函數(shù),sinx的值由1減小到－1.類似地，同樣可得y＝cosx，x∈[－π，π］的單調(diào)變化情況．教師要適時(shí)點(diǎn)撥、引導(dǎo)學(xué)生先如何恰當(dāng)?shù)剡x取余弦曲線的一段來研究，如圖5，為什么選[－π，π］，而不是選［0，2π]．圖5引導(dǎo)學(xué)生列出下表：x－π…－eq\f(π,2）…0…eq\f(π,2）…πcosx－1010－1結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性可知：正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間[－eq\f（π,2)＋2kπ，eq\f（π,2）＋2kπ]（k∈Z)上都是增函數(shù),其值從－1增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間[eq\f（π，2）＋2kπ，eq\f(3π，2）＋2kπ]（k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1。余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［(2k－1）π，2kπ](k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增加到1；在每一個(gè)閉區(qū)間［2kπ，（2k＋1)π］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1.對(duì)問題⑤，學(xué)生能直觀地得出：正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，余弦曲線關(guān)于y軸對(duì)稱．在R上，y＝sinx為奇函數(shù)，y＝cosx為偶函數(shù)．教師要恰時(shí)恰點(diǎn)地引導(dǎo)，怎樣用學(xué)過的知識(shí)方法給予證明？由誘導(dǎo)公式：∵sin（－x）＝－sinx，cos（－x）＝cosx,∴y＝sinx為奇函數(shù)，y＝cosx為偶函數(shù)．至此，一部分學(xué)生已經(jīng)看出來了,在正弦曲線、余弦曲線上還有其他的對(duì)稱點(diǎn)和對(duì)稱軸,如正弦曲線還關(guān)于直線x＝eq\f（π,2）對(duì)稱,余弦曲線還關(guān)于點(diǎn)（eq\f（π，2)，0)對(duì)稱等等,這是由它的周期性而來的．教師可就此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探討，為今后的學(xué)習(xí)埋下伏筆．討論結(jié)果:①略．②定義域?yàn)镽.③值域?yàn)閇－1，1］，最大值都是1，最小值都是－1.④單調(diào)性(略)．⑤奇偶性（略）．當(dāng)我們仔細(xì)對(duì)比正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)后,會(huì)發(fā)現(xiàn)它們有很多共同之處．我們不妨把兩個(gè)圖象中的直角坐標(biāo)系都去掉，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們其實(shí)都是同樣形狀的曲線,所以它們的定義域相同,都為R，值域也相同，都是［－1，1］,最大值都是1，最小值都是－1，只不過由于y軸放置的位置不同，使取得最大(或最?。┲档臅r(shí)刻不同；它們的周期相同，最小正周期都是2π；它們的圖象都是軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，且都是以圖象上函數(shù)值為零所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為對(duì)稱中心,以過最值點(diǎn)且垂直于x軸的直線為對(duì)稱軸．但是由于y軸的位置不同,對(duì)稱中心及對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)也不同．它們都不具備單調(diào)性，但都有單調(diào)區(qū)間，且都是增、減區(qū)間間隔出現(xiàn),也是由于y軸的位置改變,使增減區(qū)間的位置有所不同，也使奇偶性發(fā)生了改變．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（應(yīng)用示例)）思路1例1下列函數(shù)有最大值、最小值嗎？如果有，請(qǐng)寫出取最大值、最小值時(shí)的自變量x的集合，并說出最大值、最小值分別是什么．（1）y＝cosx＋1，x∈R；(2)y＝－3sin2x，x∈R。活動(dòng):通過這道例題直接鞏固所學(xué)的正弦、余弦的性質(zhì)．容易知道,這兩個(gè)函數(shù)都有最大值、最小值．課堂上可放手讓學(xué)生自己去探究,教師適時(shí)的指導(dǎo)、點(diǎn)撥、糾錯(cuò),并體會(huì)對(duì)應(yīng)取得最大(小)值的自變量為什么會(huì)有無窮多個(gè)．解：(1)使函數(shù)y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合,就是使函數(shù)y＝cosx,x∈R取得最大值的x的集合{x|x＝2kπ，k∈Z}；使函數(shù)y＝cosx＋1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函數(shù)y＝cosx,x∈R取得最小值的x的集合{x|x＝(2k＋1)π，k∈Z｝．函數(shù)y＝cosx＋1,x∈R的最大值是1＋1＝2，最小值是－1＋1＝0。（2）令z＝2x,使函數(shù)y＝－3sinz，z∈R取得最大值的z的集合是｛z|z＝－eq\f(π，2)＋2kπ,k∈Z｝，由2x＝z＝－eq\f（π，2）＋2kπ，得x＝－eq\f（π,4）＋kπ.因此使函數(shù)y＝－3sin2x,x∈R取得最大值的x的集合是{x|x＝－eq\f（π，4）＋kπ，k∈Z}．同理，使函數(shù)y＝－3sin2x，x∈R取得最小值的x的集合是｛x|x＝eq\f(π,4）＋kπ，k∈Z｝．函數(shù)y＝－3sin2x，x∈R的最大值是3，最小值是－3。點(diǎn)評(píng)：以前我們求過最值，本例也是求最值，但對(duì)應(yīng)的自變量x的值卻不唯一，這從正弦函數(shù)的周期性容易得到解釋．求解本例的基本依據(jù)是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大(?。┲档男再|(zhì)，對(duì)于形如y＝Asin(ωx＋φ）＋B的函數(shù)，一般通過變量代換（如設(shè)z＝ωx＋φ化歸為y＝Asinz＋B的形式），然后進(jìn)行求解．這種思想對(duì)于利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的其他性質(zhì)解決問題時(shí)也適用．例2利用三角函數(shù)的單調(diào)性,比較下列各組數(shù)的大小:（1)sin(－eq\f（π，18）)與sin（－eq\f(π，10））；(2）cos（－eq\f（23π，5)）與cos（－eq\f（17π，4))．活動(dòng)：學(xué)生很容易回憶起利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行大小比較，充分利用學(xué)生的知識(shí)遷移，有利于學(xué)生能力的快速提高．本例的兩組都是正弦或余弦，只需將角化為同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后根據(jù)單調(diào)性比較大小即可．課堂上教師要讓學(xué)生自己獨(dú)立地去操作，教師適時(shí)地點(diǎn)撥、糾錯(cuò)，對(duì)思考方法不對(duì)的學(xué)生給予幫助指導(dǎo)．解:（1）因?yàn)椋璭q\f(π,2）<－eq\f(π,10）<－eq\f（π,18）<0，正弦函數(shù)y＝sinx在區(qū)間［－eq\f（π，2）,0]上是增函數(shù),所以sin（－eq\f(π,18））〉sin（－eq\f（π,10))．（2)cos（－eq\f（23π,5）)＝coseq\f（23π，5）＝coseq\f（3π，5），cos（－eq\f（17π，4））＝coseq\f(17π,4)＝coseq\f(π，4）。因?yàn)?<eq\f（π,4）〈eq\f(3π，5)〈π,且函數(shù)y＝cosx，x∈[0，π]是減函數(shù)，所以coseq\f(π,4）>coseq\f(3π,5），即cos(－eq\f(23π,5）)<cos(－eq\f(17π,4))．點(diǎn)評(píng):推進(jìn)本例時(shí)應(yīng)提醒學(xué)生注意,在今后遇到的三角函數(shù)值大小比較時(shí)，必須將已知角化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，其次要注意首先大致地判斷一下有沒有符號(hào)不同的情況，以便快速解題，如本例中,coseq\f（π，4)>0,coseq\f（3π，5）<0，顯然大小立判．例3求函數(shù)y＝sin（eq\f(1,2）x＋eq\f（π,3)），x∈［－2π，2π］的單調(diào)遞增區(qū)間．活動(dòng)：可以利用正弦函數(shù)的單調(diào)性來求所給函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．教師要引導(dǎo)學(xué)生的思考方向：把eq\f(1，2)x＋eq\f(π,3）看成z，這樣問題就轉(zhuǎn)化為求y＝sinz的單調(diào)區(qū)間問題，而這就簡(jiǎn)單多了．解：令z＝eq\f(1，2)x＋eq\f(π，3)。函數(shù)y＝sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是［－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ]．由－eq\f（π，2)＋2kπ≤eq\f（1，2）x＋eq\f(π，3)≤eq\f（π,2)＋2kπ，得－eq\f(5π，3)＋4kπ≤x≤eq\f(π，3)＋4kπ,k∈Z。由x∈［－2π,2π]可知，－2π≤－eq\f（5π,3）＋4kπ且eq\f（π，3)＋4kπ≤2π,于是－eq\f(1，12)≤k≤eq\f(5，12)，由于k∈Z，所以k＝0，即－eq\f（5π，3）≤x≤eq\f(π，3）。而[－eq\f(5π,3),eq\f(π，3)］?［－2π，2π］，因此，函數(shù)y＝sin(eq\f(x,2）＋eq\f（π，3))，x∈[－2π，2π］的單調(diào)遞增區(qū)間是［－eq\f（5π,3）,eq\f(π,3)]．點(diǎn)評(píng)：本例的求解是轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用，即利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于x的不等式問題．然后通過解不等式得到所求的單調(diào)區(qū)間，要讓學(xué)生熟悉并靈活運(yùn)用這一數(shù)學(xué)思想方法，善于將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化．思路2例1求下列函數(shù)的定義域：(1）y＝eq\f(1，1＋sinx)；(2)y＝eq\r（cosx)?；顒?dòng):學(xué)生思考操作，教師提醒學(xué)生充分利用函數(shù)圖象，根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)點(diǎn)撥，糾正出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤或書寫不規(guī)范等．解:（1）由1＋sinx≠0，得sinx≠－1，即x≠eq\f(3π，2)＋2kπ(k∈Z）．∴原函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸｜x≠eq\f（3π,2）＋2kπ，k∈Z｝．(2)由cosx≥0，得－eq\f（π，2)＋2kπ≤x≤eq\f(π，2）＋2kπ(k∈Z)．∴原函數(shù)的定義域?yàn)閇－eq\f（π，2）＋2kπ，eq\f(π，2)＋2kπ](k∈Z）．點(diǎn)評(píng)：本例實(shí)際上是解三角不等式，可根據(jù)正弦曲線、余弦曲線直接寫出結(jié)果．本例分作兩步，第一步轉(zhuǎn)化,第二步利用三角函數(shù)曲線寫出解集．例2在下列區(qū)間中,函數(shù)y＝sin(x＋eq\f(π,4))的單調(diào)增區(qū)間是()A．［eq\f(π,2)，π]B．[0，eq\f（π，4)]C．[－π，0]D．[eq\f(π，4),eq\f（π，2）］活動(dòng)：函數(shù)y＝sin(x＋eq\f(π,4）)是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，即y＝sin［φ（x)]，φ(x）＝x＋eq\f(π，4），欲求y＝sin(x＋eq\f（π，4））的單調(diào)增區(qū)間，因φ(x）＝x＋eq\f（π,4）在實(shí)數(shù)集上恒遞增，故應(yīng)求使y隨φ(x）遞增而遞增的區(qū)間．也可從轉(zhuǎn)化與化歸思想的角度考慮，即把x＋eq\f（π，4）看成一個(gè)整體，其道理是一樣的．解析：∵φ（x）＝x＋eq\f（π,4）在實(shí)數(shù)集上恒遞增，又y＝sinx在[2kπ－eq\f（π，2），2kπ＋eq\f（π,2）](k∈Z)上是遞增的，故令2kπ－eq\f（π,2)≤x＋eq\f(π,4）≤2kπ＋eq\f(π，2)?！?kπ－eq\f(3π,4）≤x≤2kπ＋eq\f(π，4）?！鄖＝sin(x＋eq\f(π,4)）的遞增區(qū)間是［2kπ－eq\f(3π,4），2kπ＋eq\f(π，4)]．取k＝－1、0、1分別得[－eq\f(11π,4)，eq\f(7π，4）]、[－eq\f（3π，4)，eq\f(π,4）］、[eq\f（5π,4），eq\f（9π，4）]，故選B。答案：B點(diǎn)評(píng)：像這類題型，上述解法屬常規(guī)解法,而運(yùn)用y＝Asin（ωx＋φ)的單調(diào)增區(qū)間的一般結(jié)論,由一般到特殊求解,既快又準(zhǔn)確，若本題運(yùn)用對(duì)稱軸方程求單調(diào)區(qū)間，則是一種頗具新意的簡(jiǎn)明而又準(zhǔn)確、可靠的方法．當(dāng)然作為選擇題還可利用特殊值、圖象變換等手段更快地解出．解題規(guī)律：求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般思路是：(1)求定義域;（2)確定復(fù)合過程，y＝f(t)，t＝φ(x)；（3）根據(jù)函數(shù)f（t)的單調(diào)性確定φ(x）的單調(diào)性；(4)寫出滿足φ(x)的單調(diào)性的含有x的式子，并求出x的范圍；(5）得到x的范圍，與其定義域求交集，即是原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．結(jié)論：對(duì)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,可以直接根據(jù)構(gòu)成函數(shù)的單調(diào)性來判斷.變式訓(xùn)練1．如果函數(shù)f（x)＝sin（πx＋θ）（0〈θ<2π)的最小正周期是T，且當(dāng)x＝2時(shí)取得最大值，那么（)A．T＝2，θ＝eq\f（π,2)B．T＝1，θ＝πC．T＝2,θ＝πD．T＝1，θ＝eq\f（π，2)解析：T＝eq\f（2π,π）＝2，又當(dāng)x＝2時(shí),sin（π·2＋θ)＝sin（2π＋θ)＝sinθ,要使上式取得最大值,可取θ＝eq\f（π,2).答案：A2．求函數(shù)y＝eq\f(1，2）sin(eq\f(π,4)－eq\f(2x,3)）的單調(diào)遞減區(qū)間及單調(diào)遞增區(qū)間．解：y＝eq\f（1，2)sin(eq\f(π,4）－eq\f(2x，3)）＝－eq\f（1，2)sin（eq\f(2x,3）－eq\f(π,4）)．由2kπ－eq\f(π,2）≤eq\f（2x，3)－eq\f（π，4)≤2kπ＋eq\f(π，2)，可得3kπ－eq\f(3π,8)≤x≤3kπ＋eq\f（9π，8)（k∈Z)，為單調(diào)減區(qū)間；由2kπ＋eq\f(π，2）≤eq\f（2x,3）－eq\f（π，4）≤2kπ＋eq\f（3π，2)，可得3kπ＋eq\f(9π，8)≤x≤3kπ＋eq\f（21π,8）（k∈Z）,為單調(diào)增區(qū)間．所以原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[3kπ－eq\f（3π,8)，3kπ＋eq\f（9π，8)］（k∈Z）；原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為［3kπ＋eq\f(9π，8），3kπ＋eq\f（21π，8)]（k∈Z）.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練)）課本本節(jié)練習(xí)解答：1．（1)(2kπ，(2k＋1）π)，k∈Z;（2）((2k－1）π，2kπ)，k∈Z;（3）(－eq\f(π,2）＋2kπ，eq\f（π,2)＋2kπ）,k∈Z；（4）（eq\f（π,2)＋2kπ，eq\f(3π，2)＋2kπ)，k∈Z.點(diǎn)評(píng)：只需根據(jù)正弦曲線、余弦曲線寫出結(jié)果，不要求解三角不等式，要注意結(jié)果的規(guī)范及體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想方法的靈活運(yùn)用．2．(1）不成立．因?yàn)橛嘞液瘮?shù)的最大值是1，而cosx＝eq\f(3，2）〉1。（2）成立．因?yàn)閟in2x＝0。5，即sinx＝±eq\f（\r（2),2)，而正弦函數(shù)的值域是[－1，1],±eq\f(\r(2），2)∈［－1，1］．點(diǎn)評(píng)：比較是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，反例能加深概念的深刻理解．通過本題準(zhǔn)確理解正弦、余弦函數(shù)的最大值、最小值性質(zhì)．3．(1)當(dāng)x∈｛x｜x＝eq\f(π,2）＋2kπ,k∈Z｝時(shí)，函數(shù)取得最大值2;當(dāng)x∈｛x｜x＝－eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z｝時(shí)，函數(shù)取得最小值－2.（2)當(dāng)x∈{x|x＝6kπ＋3π，k∈Z}時(shí)，函數(shù)取得最大值3；當(dāng)x∈｛x｜x＝6kπ，k∈Z｝時(shí)，函數(shù)取得最小值1.點(diǎn)評(píng)：利用正弦、余弦函數(shù)的最大值、最小值性質(zhì)，結(jié)合本節(jié)例題鞏固正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)，快速寫出所給函數(shù)的最大值、最小值．4．B點(diǎn)評(píng)：利用數(shù)形結(jié)合思想認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性．這是一道選擇題，要求快速準(zhǔn)確地選出正確答案．?dāng)?shù)形結(jié)合是實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的最佳方法．5．．點(diǎn)評(píng)：解決這類問題的關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式將它們轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上研究．6．［kπ＋eq\f（π,8）,kπ＋eq\f（5π，8）］，k∈Z。點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化與化歸的思想將問題轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)的單調(diào)性問題，得到關(guān)于x的不等式，通過解不等式求得答案．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)））1．由學(xué)生回顧歸納并說出本節(jié)學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想方法．這節(jié)課我們研究了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)．重點(diǎn)是掌握正弦函數(shù)的性質(zhì),通過對(duì)兩個(gè)函數(shù)從定義域、值域、最值、奇偶性、周期性、增減性、對(duì)稱性等幾方面的研究，更加深了我們對(duì)這兩個(gè)函數(shù)的理解．同時(shí)也鞏固了上節(jié)課所學(xué)的正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖象的畫法．2．進(jìn)一步熟悉了數(shù)形結(jié)合的思想方法，轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法,類比思想的方法及觀察、歸納、特殊到一般的辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)）)判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x）＝xsin(π＋x)；（2)f(x）＝eq\f（－1＋sinx＋cos2x,1－sinx）.解答:(1）函數(shù)的定義域?yàn)镽,它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．∵f(x）＝xsin（π＋x)＝－xsinx,f(－x)＝－（－x）sin（－x)＝－xsinx＝f(x），∴函數(shù)為偶函數(shù)．（2）函數(shù)應(yīng)滿足1－sinx≠0,∴函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸｜x∈R且x≠2kπ＋eq\f（π，2），k∈Z}．∵函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，∴函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．eq\o（\s\up7(）,\s\do5(設(shè)計(jì)感想）)1．本節(jié)是三角函數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容,設(shè)計(jì)的容量較大,指導(dǎo)思想是讓學(xué)生在課堂上充分探究、大量活動(dòng)．作為函數(shù)的性質(zhì)，從初中就開始學(xué)習(xí)，到高中學(xué)習(xí)了冪函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)后有了較深的認(rèn)識(shí)，這是高中所學(xué)的最后一個(gè)基本初等函數(shù)．但由于以前所學(xué)的函數(shù)不是周期函數(shù)，所以理解較為容易，而正弦函數(shù)、余弦函數(shù)除具有以前所學(xué)函數(shù)的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，特性又離不開共性，這種普通性與特殊性的關(guān)系通過教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生有所領(lǐng)悟．2．在講完正弦函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，應(yīng)著重引導(dǎo)學(xué)生用類比的方法寫出余弦函數(shù)的性質(zhì)，以加深他們對(duì)兩個(gè)函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，并在解題中突出數(shù)形結(jié)合思想，在訓(xùn)練中降低變化技巧的難度,提高應(yīng)用圖象與性質(zhì)解題的力度．較好地利用圖象解決問題，這也是本節(jié)課主要強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)思想方法．3．學(xué)習(xí)三角函數(shù)性質(zhì)后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)過去所學(xué)的知識(shí)重新認(rèn)識(shí)，例如sin（α＋2π）＝sinα這個(gè)公式，以前我們只簡(jiǎn)單地把它看成一個(gè)誘導(dǎo)公式,現(xiàn)在我們認(rèn)識(shí)到了，它表明正弦函數(shù)的周期性,以提升學(xué)生的思維層次．eq\o（\s\up7(),\s\do5（備課資料))一、近幾年三角函數(shù)知識(shí)的變動(dòng)情況三角函數(shù)一直是高中固定的傳統(tǒng)內(nèi)容，但近幾年對(duì)這部分內(nèi)容的具體要求變化較大。1998年4月21日，國(guó)家教育部專門調(diào)整了高中數(shù)學(xué)的部分教學(xué)內(nèi)容，其中的調(diào)整意見第(7）條為：“對(duì)三角函數(shù)中的和差化積、積化和差的8個(gè)公式，不要求記憶”.1998年全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷中,已盡可能減少了這8個(gè)公式的出現(xiàn)次數(shù)，在僅有的一次應(yīng)用中，還將公式印在試卷上，以供查閱．而當(dāng)時(shí)調(diào)整意見尚未生效(應(yīng)在1999年生效），這不能不說對(duì)和積互化的8個(gè)公式的要求是大大降低了．但是，如果認(rèn)為這次調(diào)整的僅僅是8個(gè)公式，僅僅是降低了對(duì)8公式的要求,那就太表面、太膚淺了．我們知道，三角中的和積互化歷來是三角部分的重點(diǎn)內(nèi)容之一,相當(dāng)部分的三角題都是圍繞它們而設(shè)計(jì)的,它們也確實(shí)在很大程度上體現(xiàn)了公式變形的技巧和魅力．現(xiàn)在要求降低了,有關(guān)的題目已不再適合作為例（習(xí)）題選用了．這樣一來，三角部分還要我們教些什么呢？又該怎樣教?立刻成了部分教師心頭的一大困惑．有鑒于此，我們認(rèn)為很有必要重新審視這部分的知識(shí)體系,理清新的教學(xué)思路，以便真正落實(shí)這次調(diào)整的意見，實(shí)現(xiàn)“三個(gè)有利于(有利于減輕學(xué)生過重的課業(yè)負(fù)擔(dān)，有利于深化普通高中的課程改革，有利于穩(wěn)定普通高中的教育教學(xué)秩序)"的既定目標(biāo)．1．是“三角”還是“函數(shù)”應(yīng)當(dāng)說,三角函數(shù)是由“三角”和“函數(shù)”兩部分知識(shí)構(gòu)成的．三角本是幾何學(xué)的衍生物，起始于古希臘的希帕克，經(jīng)由托勒玫、利提克思等至歐拉而終于成為一門形態(tài)完備、枝繁葉茂的古典數(shù)學(xué)學(xué)科，歷史上的很長(zhǎng)一段時(shí)期，只有《三角學(xué)》盛行于世,卻無“三角函數(shù)"之名．“三角函數(shù)”概念的出現(xiàn)，自然是在有了函數(shù)概念之后，從時(shí)間上看距今不過300余年．但是,此概念一經(jīng)引入，立刻極大地改變了三角學(xué)的面貌，特別是經(jīng)過羅巴切夫斯基的開拓性工作,致使三角函數(shù)可以完全獨(dú)立于三角形之外，而成為分析學(xué)的一個(gè)分支,其中的角也不限于正角，而是任意實(shí)數(shù)了．有的學(xué)者甚至認(rèn)為可將它更名為角函數(shù)，這是有見地的，所以,作為一門學(xué)科的《三角學(xué)》已經(jīng)不再獨(dú)立存在．現(xiàn)行中學(xué)教材也取消了原來的《代數(shù)》《三角》《幾何》的格局，將三角并入了代數(shù)內(nèi)容．這本身即足以說明“函數(shù)"在“三角”中應(yīng)占有的比重．從《代數(shù)學(xué)》的歷史演變來看，在相當(dāng)長(zhǎng)的歷史時(shí)期內(nèi)，“式與方程”一直是它的核心內(nèi)容，那時(shí)的教材都是圍繞著它們展開的，所以，書中的分式變形、根式變形、指數(shù)式變形和對(duì)數(shù)式變形可謂連篇累牘,所在皆是．這是由當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平?jīng)Q定的．而現(xiàn)在，函數(shù)已取代了式與方程成為代數(shù)的核心內(nèi)容，比起運(yùn)算技巧和變形套路來，人們更關(guān)注函數(shù)思想的認(rèn)識(shí)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值.1963年頒布的《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》提出數(shù)學(xué)三大能力時(shí)，首要強(qiáng)調(diào)的是“形式演算能力”，1990年的大綱突出強(qiáng)調(diào)的則是“邏輯思維能力”．現(xiàn)行高中《代數(shù)》課本中，充分闡發(fā)了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及應(yīng)用，對(duì)這三種代數(shù)式的變形卻輕描淡寫．所以,三角函數(shù)部分應(yīng)重在“函數(shù)的圖象和性質(zhì)"是無疑的，這也是國(guó)際上普遍認(rèn)可的觀點(diǎn)．2．是“圖象”還是“變換”現(xiàn)行高中三角函數(shù)部分，單列了一章專講三角函數(shù)，這是與數(shù)學(xué)發(fā)展的潮流相一致的．大多數(shù)師生頭腦中反映出來的，還是“眾多的公式，紛繁的變換"，而三角函數(shù)的“圖象和性質(zhì)”倒是在其次的，這一點(diǎn),與前面所述的“冪、指、對(duì)”函數(shù)有著極大的反差．調(diào)整以后,降低這部分的要求，大面積地減少了題量．把“函數(shù)”作為關(guān)鍵詞,將目光放在“圖象和性質(zhì)"上，應(yīng)當(dāng)是正確的選擇，負(fù)擔(dān)輕了，障礙小了，這更方便于我們將注意力轉(zhuǎn)移到對(duì)函數(shù)圖象和性質(zhì)的關(guān)注上，這才是“三個(gè)有利于"得以貫徹的根本．3．國(guó)外的觀點(diǎn)及啟示下面來看一下美國(guó)和德國(guó)的觀點(diǎn)：美國(guó)沒有全國(guó)統(tǒng)一的教材和《考試說明》,只有一個(gè)《課程標(biāo)準(zhǔn)》，在《課程標(biāo)準(zhǔn)》中，他們對(duì)三角函數(shù)提出了下面的要求：“會(huì)用三角學(xué)的知識(shí)解三角形;會(huì)用正弦、余弦函數(shù)研究客觀實(shí)際中的周期現(xiàn)象；掌握三角函數(shù)圖象；會(huì)解三角函數(shù)方程；會(huì)證基本的和簡(jiǎn)單的三角恒等式；懂得三角函數(shù)同極坐標(biāo)、復(fù)數(shù)等之間的聯(lián)系”．他們還特別指出，不要在推導(dǎo)三角恒等式上花費(fèi)過多的時(shí)間，只要掌握一些簡(jiǎn)單的恒等式推導(dǎo)就可以了,比較復(fù)雜的恒等式就應(yīng)該完全避免了．德國(guó)在10到12年級(jí)（相當(dāng)于中國(guó)的高一到高三)每年都有三角內(nèi)容，10年級(jí)要求如下：（1）一個(gè)角的弧度；（2)三角函數(shù)sinx、cosx、tanx和它們的圖象周期性；(3）三角形中角和邊的計(jì)算；(4）重要關(guān)系(特指同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系和倒數(shù)關(guān)系)．另外,在11年級(jí)和12年級(jí)的“無窮小分析”中，繼續(xù)研究三角函數(shù)的圖象變換、求導(dǎo)、求積分、求極限．從以上羅列，我們可以看出下面的共同點(diǎn)：第一，突出強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)；第二，淡化三角式的變形，僅涉及同角變換，而且要求較低，8個(gè)公式根本不予介紹；第三,明確變換的目的是為了三角形中的實(shí)