四統(tǒng)計(jì)與概率-2022屆新高考數(shù)學(xué)題型解答題 新高考II專用

(4)統(tǒng)計(jì)與概率

2022屆新高考數(shù)學(xué)題型助力之解答題新高考II專用

1.為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某城區(qū)對轄區(qū)內(nèi)A,B,C三類行業(yè)共200個單位

的生態(tài)環(huán)境治理成效進(jìn)行了考核評估，考評成績達(dá)到80分及以上的單位被稱為“星級”環(huán)保單位,

未達(dá)到80分的單位被稱為“非星級”環(huán)保單位.現(xiàn)通過分層抽樣的方法抽取了這三類行業(yè)中的20

個單位，其考評分?jǐn)?shù)如下.

A類行業(yè)：85,82,77,78,83,87.

B類行業(yè):76,67,80,85,79,81.

C類行業(yè):87,89,76,86,75,84,90,82.

(1)試估算這三類行業(yè)中每類行業(yè)的單位個數(shù)；

(2)若在抽出的A類行業(yè)的這6個單位中，隨機(jī)選取3個單位進(jìn)行交流發(fā)言，求選出的3個單位

中既有“星級”環(huán)保單位，又有“非星級”環(huán)保單位的概率.

2.為了解消費(fèi)者購物情況，某購物中心隨機(jī)抽取了n張電腦小票進(jìn)行消費(fèi)金額(單位：元)的統(tǒng)計(jì),

將結(jié)果分成6組，分別是：［0,100),［100,200),［200,300),［300,400),［400,500),［500,600］,

制成如圖所示的頻率分布直方圖(假設(shè)消費(fèi)金額均在區(qū)間。600］內(nèi)).

頻率

(1)若在消費(fèi)金額為區(qū)間［400,600］內(nèi)按分層抽樣的方法抽取6張電腦小票，再從中任選2張，求

這2張小票中1張來自區(qū)間［400,500),另1張來自區(qū)間［500,600］的概率.

(2)為做好春節(jié)期間的商場促銷活動，該購物中心設(shè)計(jì)了兩種不同的促銷方案.

方案一：全場商品打八五折；

方案二：全場購物滿100元減20元，滿300元減80元，滿500元減120元，以上減免只取最高優(yōu)

惠，不重復(fù)減免.

試用頻率分布直方圖的信息分析哪種方案優(yōu)惠力度更大，并說明理由.

3.某數(shù)學(xué)小組從氣象局和醫(yī)院分別獲得了2019年1月至2019年6月每月20日的晝夜溫差x（單

位：。C,x>3）和患感冒人數(shù)y（單位：人）的數(shù)據(jù)，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出如圖所示的折線圖.

J（x;-x）（X-7）￡（%-元）（%-了）

參考公式:相關(guān)系數(shù)r=「",線性回歸方程是y=bx+a,b^J---------—

歸（%一丁）力（y,一寸方（%-可~

Vi=ii=i1=1

a=y-bx.

（1）求y與x之間的線性相關(guān)系數(shù)r；

（2）建立y關(guān)于x的線性回歸方程（精確到0.01）,預(yù)測晝夜溫差為4℃時患感冒的人數(shù)（精確

到整數(shù)）.

4.某職稱晉級評定機(jī)構(gòu)對參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制了如圖所示的

頻率分布直方圖，規(guī)定成績?yōu)?0分及以上者晉級成功，否則晉級失敗（滿分為100分）.

（1）求圖中a的值;

（2）根據(jù)已知條件完成下面2x2列聯(lián)表，并判斷能否有85%的把握認(rèn)為能否晉級成功與性別有關(guān):

晉級成功晉級失敗總計(jì)

男16

女50

總計(jì)

,2n(ad-be)2/,八

附w：X-=----------------------(n=a+b+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸(￡“)0.400.250.150.100.050.025

k0.7801.3232.0722.7063.8415.024

(3)將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取4人進(jìn)行約談，記這4人中晉級失敗

的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).

5.由中央電視臺綜合頻道(CCTV-1)和唯眾傳媒聯(lián)合制作的《開講啦》是中國首檔青年電視公開課.

每期節(jié)目由一位知名人士講述自己的故事，分享他們對于生活和生命的感悟，給予中國青年現(xiàn)實(shí)的

討論和心靈的滋養(yǎng)，討論青年們的人生問題，同時也在討論青春中國的社會問題，受到了青年觀眾

的喜愛.為了了解觀眾對節(jié)目的喜愛程度，電視臺隨機(jī)調(diào)查了A,B兩個地區(qū)的100名觀眾，得到如

下所示的2X2列聯(lián)表.

非常喜歡喜歡合計(jì)

A3015

BXy

合計(jì)

已知在被調(diào)查的100名觀眾中隨機(jī)抽取1名，該觀眾來自B地區(qū)且喜愛程度為“非常喜歡”的概率

為0.35.

(1)現(xiàn)從100名觀眾中根據(jù)喜愛程度用分層抽樣的方法抽取20名進(jìn)行問卷調(diào)查，則應(yīng)抽取喜愛程度

為“非常喜歡”的A,B地區(qū)的人數(shù)各是多少？

(2)完成上述表格，并根據(jù)表格判斷是否有95%的把握認(rèn)為觀眾的喜愛程度與所在地區(qū)有關(guān)系.

(3)若以抽樣調(diào)查的頻率為概率，從A地區(qū)隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽到喜愛程度為“非常喜歡”的觀眾

的人數(shù)為X,求X的分布列和期望.

附：片=————，n=a+b+c+d,

(Q+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.050.0100.001

k。3.8416.63510.828

6.隨著城市規(guī)模的擴(kuò)大和人們生活水平的日益提高，某市近年機(jī)動車保有量逐年遞增.根據(jù)機(jī)動車

管理部門的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，以5年為一個研究周期，得到機(jī)動車每5年純增數(shù)量（單位：萬輛）的情況如

下表.

年度周期1995^20002000^20052005^20102010~20152015^2020

時間變量看12345

純增數(shù)量V/萬

3691527

輛

其中i=l,2,3,…，時間變量七對應(yīng)的機(jī)動車純增數(shù)量為y,且通過數(shù)據(jù)分析得到時間變量x

與對應(yīng)的機(jī)動車純增數(shù)量y（單位：萬輛）具有線性相關(guān)關(guān)系.

（1）求機(jī)動車純增數(shù)量y關(guān)于時間變量x的回歸方程，并預(yù)測2025~2030年間該市機(jī)動車純增數(shù)量

的值；

（2）該市交通管理部門為了了解市民對“單雙號限行”的贊同情況，隨機(jī)采訪了220名市民，將他

們的意見和是否擁有私家車情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到的2X2列聯(lián)表如下表.

贊同限行不贊同限行合計(jì)

沒有私家車9020110

有私家車7040110

合計(jì)16060220

根據(jù)列聯(lián)表判斷，能否有99%的把握認(rèn)為對限行是否贊同與擁有私家車有關(guān)？

附：回歸直線y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為

2

“2n(ad-bc),

K=-------------------------------,n=a+b1+c+d.

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2Nk)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

7.2021年10月16日，搭載“神州十三號”的火箭發(fā)射升空，這是一件讓全國人民普遍關(guān)注的大

事，因此每天有很多民眾通過手機(jī)、電視等方式觀看有關(guān)新聞.某機(jī)構(gòu)將每天關(guān)注這件大事的時間

在2小時以上的人稱為“天文愛好者”，否則稱為“非天文愛好者”，該機(jī)構(gòu)通過調(diào)查，并從參與

調(diào)查的人群中隨機(jī)抽取了100人進(jìn)行分析，得到下表（單位：人）

天文愛好者非天文愛好者合計(jì)

女2050

男15

合計(jì)100

附：d,Mad-bc?

其中，=a+b+c+d-

(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)

2

P(K>k0)0.100.050.0250.0100.0050.001

女02.7063.8415.0246.6357.87910.828

(1)將上表中的數(shù)據(jù)填寫完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為“天文愛好

者”或“非天文愛好者”與性別有關(guān)？

(2)現(xiàn)從抽取的女性人群中，按“天文愛好者”和“非天文愛好者”這兩種類型進(jìn)行分層抽樣抽取

5人，然后再從這5人中隨機(jī)選出3人，求其中至少有1人是“天文愛好者”的概率.

8.汽車尾氣中含有一氧化碳、碳?xì)浠衔锏任廴疚?，是環(huán)境污染的主要因素之一，隨著汽車使用時

間(單位：年)的增長，尾氣中污染物也會隨之增加，所以國家根據(jù)機(jī)動車使用和安全技術(shù)、排放

檢驗(yàn)狀況，對達(dá)到報廢標(biāo)準(zhǔn)的機(jī)動車實(shí)施強(qiáng)制報廢.某環(huán)保組織為統(tǒng)計(jì)公眾對機(jī)動車強(qiáng)制報廢標(biāo)準(zhǔn)

的了解情況，隨機(jī)調(diào)查了100人，所得數(shù)據(jù)制成如下列聯(lián)表：

不了解了解總計(jì)

女性ab50

男性153550

總計(jì)Pq100

3

(1)若從這100人中任選1人，選到了解機(jī)動車強(qiáng)制報廢標(biāo)準(zhǔn)的人的概率為三，問是否有95%的

5

把握認(rèn)為對機(jī)動車強(qiáng)制報廢標(biāo)準(zhǔn)是否了解與性別有關(guān)？

(2)該環(huán)保組織從相關(guān)部門獲得某型號汽車的使用時間與排放的尾氣中一氧化碳濃度的數(shù)據(jù)，并

制成如圖所示的散點(diǎn)圖若該型號汽車的使用時間不超過15年，則可近似認(rèn)為排放的尾氣中一氧化

碳濃度y(%)與使用時間t線性相關(guān)，試確定y關(guān)于t的回歸直線方程，并預(yù)測該型號的汽車使

用12年時排放尾氣中的一氧化碳濃度是使用4年時的多少倍.

:一氧化碳濃度"％

0.9

0.80.7

0.70.6?

0.6

0.5

0.4

0.4

0.30.20.2

0.2

0.1

0

246810使用時間〃年

n

人X-W人

參考公式:b=—-----------,a=y-bx.

2—2

乙乙—nx

i=l

n(ad-be},

附：戶=7--------~77~---------------,其中“=a+/+c+d.

[a+b)[c+d)[a+c)[b+d)

尸耳”）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

9.為建立健全國家學(xué)生體質(zhì)健康監(jiān)測評價機(jī)制，激勵學(xué)生積極參加身體鍛煉，教育部印發(fā)《國家學(xué)

生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)（2014年修訂）》（簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》），要求各學(xué)校每學(xué)年開展覆蓋本校各年級學(xué)

生的《標(biāo)準(zhǔn)》測試工作，并依據(jù)學(xué)生學(xué)年總分評定等級.某市在高三年級開展了一次體質(zhì)健康模擬

測試（滿分100分），從中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的測試成績，并據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布

直方圖.

（1）估計(jì)這200名學(xué)生測試成績的平均數(shù)x和方差s1（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.

（2）由頻率分布直方圖知，該市學(xué)生的健康指數(shù)X近似服從正態(tài)分布N（〃Q2）,其中〃近似為

樣本平均數(shù)%,4近似為樣本方差s1.

①求尸(634*X498.2);

②已知該市高三學(xué)生約有10000名，記測試成績在區(qū)間［63.4,98.2］的人數(shù)為J,求E(J).

附：參考數(shù)據(jù)在石。1.16.

若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，貝!JP(/2-CT<X</LI+CT)~0.683,

-2crWX<〃+2cr)a0.954,P(〃-3cr<XW〃+3cr)=0.997.

10.在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機(jī)體或者對機(jī)體發(fā)生作用起，到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或開始

呈現(xiàn)該疾病對應(yīng)的相關(guān)癥狀時止的這一階段稱為潛伏期.一研究團(tuán)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)1000名患者的

相關(guān)信息，得到如下表格：

潛伏期(單位：天)[0,2](2用(4,6](6用(8,10](10,12](12,14]

人數(shù)85205310250130155

(1)求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)據(jù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(2)該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否超過

6天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯(lián)表.請將列聯(lián)表補(bǔ)充

完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān)；

潛伏期W6天潛伏期>6天總計(jì)

50歲以上(含50歲)100

50歲以下55

總計(jì)200

(3)以這1000名患者的潛伏期超過6天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過6天發(fā)生的概率,

每名患者的潛伏期是否超過6天相互獨(dú)立.為了深入研究，該研究團(tuán)隊(duì)隨機(jī)調(diào)查了20名患者，其

中潛伏期超過6天的人數(shù)最有可能(即概率最大)是多少？

附：

20.050.0250.010

P(K>k0)

3.8415.0246.635

n(ad-bcf

(〃+b)(c+d)(〃+c)S+d)

答案以及解析

1.答案：(1)A,B,C三類行業(yè)的單位個數(shù)分別為60,60,80

4

(2)-

5

解析：(1)由題意，抽取的三類行業(yè)的單位個數(shù)之比為3:3:4.

由分層抽樣的定義，有

A類行業(yè)單位的個數(shù)為—x200=60；

10

B類行業(yè)單位的個數(shù)為±x200=60；

10

C類行業(yè)單位的個數(shù)為巴X200=80.

10

.-.A,B,C三類行業(yè)的單位個數(shù)分別為60,60,80.

(2)記“選出的這3個單位中既有‘星級'環(huán)保單位，又有‘非星級'環(huán)保單位”為事件M.

在A類行業(yè)的6個單位中隨機(jī)選取3個單位，這3個單位的考評分?jǐn)?shù)的情形有：{85,82,77},

{85,82,78},{85,82,83},{85,82,87},{85,77,78},{85,77,83},{85,77,87},{85,78,83},{85,78,87},

{85,83,87},{82,77,78},{82,77,83},{82,77,87},{82,78,83},{82,78,87},{82,83,87},{77,78,83},

{77,78,87},{77,83,87},{78,83,87}.共20種.

這3個單位都是“星級”環(huán)保單位的情形有：{85,82,83},{85,82,87},{85,83,87},(82,83,87).

共4種.

這3個單位都是“非星級”環(huán)保單位的情形有0種.

??.這3個單位都是“星級”環(huán)保單位或都是“非星級”環(huán)保單位的情形共有4種.

44

P(M)=1——

205

Q

2.答案：(1)—

(2)方案二的優(yōu)惠力度更大，理由見解析

解析：(1)設(shè)選出的2張小票中1張來自區(qū)間［400,500),另1張來自區(qū)間［500,600］為事件A,

由頻率分布直方圖可知，按分層抽樣在消費(fèi)金額為區(qū)間［400,600］內(nèi)抽取6張電腦小票，則在區(qū)間

［400,500)內(nèi)抽取4張，記為a,b,c,d,在區(qū)間［500,600］內(nèi)抽取2張,記為E,F,

從6張電腦小票中任選2張的所有可能的選法為ab,ac,ad,aE,aF,be,bd,bE,bF,cd,cE,

cF,dE,dF,EF,共15種，

其中，滿足事件A的選法有aE,aF,bE,bF,CE,CF,dE,dF,共8種，

o

???選出的這2張小票中1張來自區(qū)間［400,500),另1張來自區(qū)間［500,600］的概率P(A)=二.

(2)由頻率分布直方圖可知，各組頻率從左至右依次為0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05.

選擇方案一，則消費(fèi)者購物的平均費(fèi)用為

0.85x(50x0.1+150x0.2+250x0.25+350x0.3+450x0.1+550x0.05)=0.85x275=233.75(元),

選擇方案二，則消費(fèi)者購物的平均費(fèi)用為

50x0.1+130x0.2+230x0.25+270x0.3+370x0.1+430x0.05=228(元),

???方案二的優(yōu)惠力度更大.

3.答案：(1)由已知得歹=1x(8+11+14+20+23+26)=17,

6

6

-歹)一=(8-17)2+(11-17)2+(14-17)2+(20-17)2+(23-17)2+(26-17)2=252,

1=1

94

:.r=——^=?0.99.

6x7252

6

,_1g-2&一可(％一丁)94

(2)由已知，得兀=—x>x=9.15,b-------------二一?2.61,

6士V/—、236

二(%7)

i=l

a=y-bx=U-2.61X9.15?-6.88,

.?.〉關(guān)于*的線性回歸方程為夕=2.6卜-6.88.

當(dāng)龍=4時，a=2.61x4-6.88“4.

晝夜溫差為4℃時患感冒的人數(shù)約為4.

解析：

4.答案：(1)由頻率分布直方圖中各小長方形的面積總和為1,

可知(2。+0.020+0.030+0.040)xl0=l,

解得a=0.005.

(2)由頻率分布直方圖，知晉級成功的頻率為0.20+0.05=0.25,

所以晉級成功的人數(shù)為100x0.25=25,

填表如下:

晉級成功晉級失敗總計(jì)

男163450

女94150

總計(jì)2575100

100x(16x41-34x9)2

所以％2=?2.613>2.072,

25x75x50x50

所以有85%的把握認(rèn)為能否晉級成功與性別有關(guān).

3

(3)由(2)知晉級失敗的頻率為1—0.25=0.75=—,

4

3

將頻率視為概率，則從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取1人進(jìn)行約談，此人晉級失敗的概率為士，

4

所以X可視為服從參數(shù)為4,q的二項(xiàng)分布，即乂~3（4,3

0

3I41

故尸（x=o）=c：

256

3I33

尸(X=1)=C；一,

64

2

3I227

P(X=2)=C；

128

3

3I127

尸(X=3)=C：

164

4

31V_81

P(X=4)=C：

4；~256

所以X的分布列為

X01234

13272781

P

2566412864256

313272781

E(X)=4x—=3(或￡(X)=——x0+——xl+——x2+—x3+——x4=3).

42566412864256

解析：

5.答案：（1）應(yīng)從A地抽取6人，從B地抽取7人

⑵沒有95%的把握認(rèn)為觀眾的喜愛程度與所在地區(qū)有關(guān)系

⑶E（X）=2

解析：⑴由題意得=0.35,解得光=35,

100

所以應(yīng)從A地抽取30x2=6（人），從B地抽取35x理~=7（人）.

100100

（2）完成表格如下：

非常喜歡喜歡合計(jì)

A301545

B352055

合計(jì)6535100

所以K?的觀測值k=------n(adbc)。----------=100x(30x20-3叱)-=?。0」＜3341,所以

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)65x35x45x551001

沒有95%的把握認(rèn)為觀眾的喜愛程度與所在地區(qū)有關(guān)系.

(3)從A地區(qū)隨機(jī)抽取1人，抽到的觀眾的喜愛程度為“非常喜歡”的概率為士，

3

從A地區(qū)隨機(jī)抽取3人，X的所有可能取值為0,1,2,3,

則…=u，

8

尸(X=3)=

27

所以X的分布列為

X0123

1248

P

279927

1248

E(X)=0xFix—+2x—+3x——=2.

279927

6.答案：(1)12=5.7x3+〃，2025~2030年間該市機(jī)動車約純增34.8萬輛

(2)有99%的把握認(rèn)為對限行是否贊同與擁有私家車有關(guān)

解析：(1)由機(jī)動車的純增數(shù)量表可知

—1—1

x=-(l+2+3+4+5)=3,y=g(3+6+9+15+27)=12,

237-5x3x1257「

所以1號------------------------------=-----=57,

(12+22+32+42+52)-5X3255-45'

i=l

因?yàn)榛貧w直線y=%+”過樣本點(diǎn)的中心(x,y),所以12=5.7x3+。，

解得。=一5.1,所以y=5.7x-5.1.

當(dāng)年度周期為2025~2030時，x=7,所以y=5.7x7-5.1=34.8,

所以2025~2030年間該市機(jī)動車約純增34.8萬輛.

(2)根據(jù)列聯(lián)表，計(jì)算得K?的觀測值Z=22。x(90x40-20x70『=至。協(xié)167.

110x110x160x606

因?yàn)?.167>6.635,

所以有99%的把握認(rèn)為對限行是否贊同與擁有私家車有關(guān).

7.答案：(1)見解析

解析：⑴

天文愛好者非天文愛好者合計(jì)

女203050

男351550

合計(jì)5545100

片=/、小丁)[-1。。如15一30x35)2。娟%>7,879

(〃+Z?)(c+d)(〃+c)(b+d)50x50x55x45

故能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關(guān);

(2)按分層抽樣抽取的5人中：

2名為“天文愛好者”，編號為a、b；

3名為“非天文愛好者”，編號為1、2、3,

則從這5人中隨機(jī)選出3人，所有可能結(jié)果如下：

abl,ab2,ab3,al2,al3,a23,bl2,bl3,b23,123,

共10種情況，其中至少有1人是“天文愛好者”的有9種，

概率為2.

10

8.答案：(1)設(shè)“從100人中任選1人，選到了解機(jī)動車強(qiáng)制報廢標(biāo)準(zhǔn)的人”為事件A,

由己知，得尸(A)="更=▲,所以6=25,0=25

p=40,q=60.

1005

100x(25x35-25x15)2

2?4.167>3.841,

x—40x60x50x50―

故有95%的把握認(rèn)為對機(jī)動車強(qiáng)制報廢標(biāo)準(zhǔn)是否了解與性別有關(guān).

(2)由散點(diǎn)圖中所給數(shù)據(jù)，可得7=?(2+4+6+8+10)=6,

y=1x(0.2+0.2+0.4+0.6+0.7)=0.42,

15.4-5x6x0.42

故3=—=0.07,&=0.42—0.07x6=0,

220-5x3640

所以所求回歸直線方程為y=0.07/.

當(dāng)t=12時，y=0.07x12=0.84,黑=4.2,所以預(yù)測該型號汽車使用12年時排放尾氣中的一氧

化碳濃度是使用4年時的4.2倍.

解析：

9.答案：(1)由頻率分布直方圖可知，各區(qū)間對應(yīng)的頻數(shù)分布表如下:

成績區(qū)間[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數(shù)51540754520

x=(45x5+55x15+65x40+75x75+85x45+95x20)X—=75,