大學微積分課件

大學微積分課件目錄contents微積分基本概念微分學基本原理積分學基本原理多元函數微積分學無窮級數與微分方程初步微積分在實際問題中應用舉例01微積分基本概念函數定義與性質闡述函數的基本概念，包括定義域、值域、對應關系等，并介紹函數的性質，如單調性、奇偶性、周期性等。極限概念與性質引入極限的概念，包括數列極限和函數極限，探討極限的性質，如唯一性、保號性、夾逼性等，并介紹極限的運算法則。無窮小量與無窮大量闡述無窮小量和無窮大量的定義及性質，探討它們之間的關系，并介紹無窮小量的比較與等價無窮小量的概念。函數與極限導數概念與性質引入導數的概念，包括導數的定義、幾何意義及物理意義，探討導數的性質，如可導與連續(xù)的關系、導數的四則運算法則等。微分概念與性質闡述微分的概念，包括微分的定義、幾何意義及物理意義，探討微分的性質，如微分與導數的關系、微分的運算法則等。微分中值定理及其應用介紹微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并探討它們在證明不等式、求極限等方面的應用。導數與微分積分概念及性質引入定積分的概念，包括定積分的定義、幾何意義及物理意義，探討定積分的性質，如可積性、積分區(qū)間可加性等。不定積分概念與性質闡述不定積分的概念，包括不定積分的定義、原函數與不定積分的關系等，探討不定積分的性質，如不定積分的線性性質、換元積分法等。積分中值定理及其應用介紹積分中值定理，包括積分第一中值定理和積分第二中值定理，并探討它們在證明等式、求極限等方面的應用。定積分概念與性質02微分學基本原理導數的定義與幾何意義通過極限概念引入導數，闡述導數的幾何意義，即切線斜率。導數的基本公式列舉常見函數的導數公式，如多項式、三角函數、指數函數等。導數的四則運算法則介紹導數的加減、乘除運算法則，以及復合函數的求導法則。高階導數闡述高階導數的概念及計算方法，包括萊布尼茲公式等。導數計算法則介紹高階導數的定義，探討高階導數與原函數性質的關系。高階導數的定義與性質通過實例演示高階導數的計算方法，包括多次求導、歸納法等。高階導數的計算闡述高階導數在函數性態(tài)研究、極值問題、拐點問題等方面的應用。高階導數的應用高階導數及應用微分中值定理的內容介紹微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。微分中值定理的證明詳細闡述微分中值定理的證明過程，加深對定理的理解。微分中值定理的應用通過實例演示微分中值定理在證明不等式、求解方程等方面的應用。微分中值定理03積分學基本原理03分部積分法將被積函數拆分為兩個函數的乘積，然后利用分部積分公式進行計算。01直接積分法對于基本初等函數，可以直接應用積分公式進行計算。02換元法通過變量代換簡化被積函數，使之變?yōu)槿菀追e分的函數。常見的換元法有三角代換、根式代換等。不定積分計算方法定積分是函數在某個區(qū)間上的積分，表示函數圖像與x軸圍成的面積。定積分的定義包括可加性、保號性、估值定理等，這些性質在解決定積分問題時非常有用。定積分的性質建立了不定積分與定積分之間的聯(lián)系，使得定積分的計算變得相對簡單。微積分基本定理定積分概念及性質面積計算利用定積分可以計算平面圖形或立體圖形的面積，如曲線圍成的面積、旋轉體體積等。物理應用在物理學中，定積分可以用來計算物體的質心、轉動慣量等物理量。經濟應用在經濟學中，定積分可以用來計算總收益、總成本等經濟指標，以及進行邊際分析和彈性分析。定積分應用舉例03020104多元函數微積分學多元函數定義設D為一個非空的n元有序數組的集合，f為某一確定的對應規(guī)則。若對于每一個有序數組(x1,x2,…,xn)∈D，通過對應規(guī)則f，都有唯一確定的實數y與之對應，則稱對應規(guī)則f為定義在D上的n元函數。多元函數的性質包括有界性、單調性、周期性、連續(xù)性等。多元函數的極限與連續(xù)討論多元函數在某一點或某一區(qū)域內的極限與連續(xù)性質。多元函數概念及性質偏導數與全微分全微分定義如果函數z=f(x,y)在點(x,y)處的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示為Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依賴于Δx,Δy而僅與x,y有關，ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5，此時稱函數z=f(x,y)在點(x,y)處可微，AΔx+BΔy稱為函數z=f(x,y)在點(x,y)處的全微分。偏導數定義設函數z=f(x,y)在點(x0,y0)的某一鄰域內有定義，當y固定在y0而x在x0處有增量Δx時，相應地函數有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz與Δx之比當Δx→0時的極限存在，那么此極限值稱為函數z=f(x,y)在點(x0,y0)處對x的偏導數。偏導數與全微分的關系全微分是偏導數的線性組合，而偏導數則是全微分在某一方向上的特殊形式。二重積分是二元函數在空間上的積分，同定積分類似，是某種特定形式的和的極限。本質是求曲頂柱體體積。重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心等。平面區(qū)域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進行積分，稱為曲面積分。三重積分就是四維空間的體積。當積分區(qū)域是規(guī)則的空間幾何體時，三重積分的計算可以化為三次單積分的計算。當積分區(qū)域是不規(guī)則的空間幾何體時，三重積分的計算需要采用“化整為零”“積零為整”的方法，即采用先分割后求和的方法。多元函數積分在物理學、工程學、經濟學等領域有著廣泛的應用，如計算質心、轉動慣量、引力等物理量，以及求解某些最優(yōu)化問題等。二重積分定義三重積分定義多元函數積分的應用多元函數積分學05無窮級數與微分方程初步ABCD常數項級數收斂性判別法比較判別法通過比較級數的通項與已知收斂或發(fā)散的級數通項，來判斷原級數的收斂性。根值判別法通過求級數通項的n次方根的極限值來判斷級數的收斂性。比值判別法利用級數相鄰兩項之比的極限值來判斷級數的收斂性。積分判別法將級數通項表達為某個函數的積分形式，通過判斷該函數的性質來判斷級數的收斂性。冪級數展開通過泰勒公式或麥克勞林公式將函數展開為冪級數形式。收斂域求解根據冪級數的性質，通過比值判別法或根值判別法確定冪級數的收斂域。冪級數的運算在收斂域內，可以對冪級數進行逐項求導、逐項積分等運算。冪級數展開與收斂域求解一階線性微分方程解法一階線性微分方程的標準形式形如y'+p(x)y=q(x)的方程稱為一階線性微分方程。常數變易法通過構造一個與原方程對應的齊次方程，利用常數變易法求出原方程的通解。積分因子法通過引入一個積分因子，將原方程轉化為全微分形式，從而求出原方程的通解。分離變量法當原方程可以化為dy/dx=f(x)g(y)的形式時，可以采用分離變量法求解。06微積分在實際問題中應用舉例計算空間圖形的體積利用二重積分或三重積分可以計算由曲面和平面所圍成的空間圖形的體積。求解曲線的弧長利用弧長公式和定積分可以求解平面曲線或空間曲線的弧長。計算平面圖形的面積通過定積分可以計算由曲線和直線所圍成的平面圖形的面積。在幾何問題中應用計算物體的運動路程通過速度函數和時間的關系，利用定積分可以計算物體在一段時間內的運動路程。計算物體的位移根據加速度函數和時間的關系，利用二次積分可以計算物體在一段時間內的位移。求解功和能量在力學中，功是力和位移的乘積，利用定積分可以計算變力沿直線所做的功；能量則是功的積累，通過定積分可以求解物體的勢能或動能。010203在物理問題中應用計算總收益和總成本在經濟學中，總收益和總成本都是價格或產量的函數，利用定積分可以計算在一定價格或產量范圍內的總收益或總成本。求解消