2025年高考數(shù)學(xué)專項題型點撥訓(xùn)練之初等數(shù)論

年高考數(shù)學(xué)專項題型點撥訓(xùn)練初等數(shù)論【題型一】整數(shù)與整除【題型二】同余與孫子定理【題型三】素數(shù)和合數(shù)【題型四】算數(shù)基本定理【題型五】費馬小定理及歐拉定理【題型六】拉格朗日定理及威爾遜定理【題型七】平方數(shù)【題型八】高斯函數(shù)在新結(jié)構(gòu)試卷中，壓軸題出現(xiàn)了初等數(shù)論的相關(guān)問題，這類問題大多屬于閱讀理解題，學(xué)生不需要對數(shù)論知識點進行掌握，但是需要對題干所給的信息進行理解分析，利用高中的方法解決相應(yīng)問題，一般都出現(xiàn)在壓軸題，雖然屬于閱讀理解題，但基本數(shù)論的思維的拓展和應(yīng)用在短時間內(nèi)要想完全梳理明白也并非簡單的事情，所以平時還是需要多鍛煉這類相關(guān)的試題?！绢}型一】整數(shù)與整除【例1】（2024·河北·一模）若一個兩位正整數(shù)的個位數(shù)為4，則稱為“好數(shù)”，若，且，為正整數(shù)，則稱數(shù)對為“友好數(shù)對”，規(guī)定：，例如，稱數(shù)對為“友好數(shù)對”，，則小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對”的的最大值為．【例2】一個自然數(shù)若能表示為兩個自然數(shù)的平方差，則稱這個自然數(shù)為“可愛數(shù)”.比如，16就是一個“可愛數(shù)”.在自然數(shù)列中從1開始數(shù)起，第2024個“可愛數(shù)”是.【變式1】（23-24高三下·浙江金華·階段練習(xí)）設(shè)p為素數(shù)，對任意的非負整數(shù)n，記，，其中，如果非負整數(shù)n滿足能被p整除，則稱n對p“協(xié)調(diào)”．(1)分別判斷194，195，196這三個數(shù)是否對3“協(xié)調(diào)”，并說明理由；(2)判斷并證明在，，，…，這個數(shù)中，有多少個數(shù)對p“協(xié)調(diào)”；(3)計算前個對p“協(xié)調(diào)”的非負整數(shù)之和．【變式2】（2024·湖南衡陽·二模）莫比烏斯函數(shù)在數(shù)論中有著廣泛的應(yīng)用．所有大于1的正整數(shù)都可以被唯一表示為有限個質(zhì)數(shù)的乘積形式：（為的質(zhì)因數(shù)個數(shù)，為質(zhì)數(shù)，），例如：，對應(yīng)．現(xiàn)對任意，定義莫比烏斯函數(shù)(1)求；(2)若正整數(shù)互質(zhì)，證明：；(3)若且，記的所有真因數(shù)（除了1和以外的因數(shù)）依次為，證明：．【題型二】同余與孫子定理【例1】已知正整數(shù)滿足，且與有相同的個位數(shù)字，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．前三個答案都不對【例2】“”表示實數(shù)整除實數(shù)，例如：，已知數(shù)列滿足：，若，則，否則，那么下列說法正確的有（

）A． B．C．對任意，都有 D．存在【變式1】已知正整數(shù)滿足，且與有相同的個位數(shù)字，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．前三個答案都不對【變式2】（2024·河南·模擬預(yù)測）離散對數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè)是素數(shù)，集合，若，記為除以的余數(shù)，為除以的余數(shù)；設(shè)，兩兩不同，若，則稱是以為底的離散對數(shù)，記為．(1)若，求；(2)對，記為除以的余數(shù)（當能被整除時，）．證明：，其中；(3)已知．對，令．證明：．【題型三】素數(shù)和合數(shù)【例1】（22-23高三上·北京朝陽·期中）已知點集．設(shè)非空點集，若對中任意一點，在中存在一點（與不重合），使得線段上除了點外沒有中的點，則中的元素個數(shù)最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【例2】設(shè)整數(shù)a，m，n滿足，則這樣的整數(shù)組的個數(shù)為（

）A．無窮多個 B．4個 C．2個 D．前三個答案都不對【變式1】（2024高三上·全國·競賽）求最小的實數(shù)，使得對任意的正整數(shù)，可以將其表示成2024個正整數(shù)之積，即，且滿足對任意的，均有是素數(shù)或者．【變式2】（2024高二·全國·競賽）正整數(shù)稱為“好數(shù)”，如果對任意不同于的正整數(shù)，均有，這里，表示實數(shù)的小數(shù)部分.證明：存在無窮多個兩兩互素的合數(shù)均為好數(shù).【題型四】算數(shù)基本定理【例1】（高三·北京·強基計劃）設(shè)是正2016邊形，從這2016個頂點中選出若干個使之能作為正多邊形的頂點，則不同的選法共有（

）A．2520種 B．3528種 C．4536種 D．6552種【例2】（高三上·北京·強基計劃）設(shè)，集合T是S的n元子集，且其中任意兩個元素互質(zhì)，對任意符合要求的集合T，均至少包含一個質(zhì)數(shù)，則n的最小值為（

）A．15 B．16 C．17 D．18【變式1】（高三·上?！じ傎悾┤鬭、b、c、d為整數(shù)，且，則有序數(shù)組（a，b，c，d）=.【變式2】四位數(shù)和互為反序的正整數(shù)，且，、分別有16個、12個正因數(shù)（包括1和本身），的質(zhì)因數(shù)也是的質(zhì)因數(shù)，但的質(zhì)因數(shù)比的質(zhì)因數(shù)少1個，求的所有可能值.【題型五】費馬小定理及歐拉定理【例1】（2024·河北滄州·一模）設(shè)為非負整數(shù)，為正整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為．若為質(zhì)數(shù)，為不能被整除的正整數(shù)，則，這個定理是費馬在1636年提出的費馬小定理，它是數(shù)論中的一個重要定理．現(xiàn)有以下4個命題：①；②對于任意正整數(shù)；③對于任意正整數(shù)；④對于任意正整數(shù)．則所有的真命題為（

）A．①④ B．② C．①②③ D．①②④【例2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知素數(shù)證明：為整數(shù)，其中．【變式1】（23-24高三下·河北·開學(xué)考試）設(shè)a，b為非負整數(shù)，m為正整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為．(1)求證：；(2)若p是素數(shù)，n為不能被p整除的正整數(shù)，則，這個定理稱之為費馬小定理．應(yīng)用費馬小定理解決下列問題：①證明：對于任意整數(shù)x都有；②求方程的正整數(shù)解的個數(shù)．【變式2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足.(1)證明：是正整數(shù)數(shù)列；(2)是否存在，使得？并說明理由.【題型六】拉格朗日定理及威爾遜定理【例1】（2024高三上·全國·專題練習(xí)）已知，，(1)若在處取得極值，試求的值和的單調(diào)增區(qū)間；(2)如圖所示，若函數(shù)的圖象在連續(xù)光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)圖象上任意兩點的連線斜率不小于．【變式1】對于正整數(shù)n，記與的最大公因子為，若，則稱n是奇異的．證明：若n是奇異的，則也是奇異的．【題型七】平方數(shù)【例1】（23-24高二上·遼寧·期末）已知與均為完全平方數(shù)，且的正整數(shù)共有（）個A．1 B．12C．13 D．以上都不對【例2】（2024高三上·全國·競賽）對于各數(shù)位均不為0的三位數(shù)，若兩位數(shù)和均為完全平方數(shù)，則稱具有“性質(zhì)”，則具有“性質(zhì)”的三位數(shù)的個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式1】（2024高三上·全國·競賽）設(shè)雙曲線Γ:，，B，C在Γ上且直線經(jīng)過A.設(shè)分別為Γ在B，C處的切線，點D滿足，則D的軌跡方程是;若D的橫縱坐標均為正整數(shù)，且二者之和大于2024，則D可以是.(寫出1個即可).【變式2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）求所有的正整數(shù)，使得為完全平方數(shù)．【題型八】高斯函數(shù)【例1】（多選）（2024·全國·模擬預(yù)測）積性函數(shù)指對于所有互質(zhì)的整數(shù)和有的數(shù)論函數(shù)．則以下數(shù)論函數(shù)是積性函數(shù)的有（

）A．高斯函數(shù)表示不大于實數(shù)的最大整數(shù)B．最大公約數(shù)函數(shù)表示正整數(shù)與的最大公約數(shù)（是常數(shù)）C．冪次函數(shù)表示正整數(shù)質(zhì)因數(shù)分解后含的冪次數(shù)（是常數(shù)）D．歐拉函數(shù)表示小于正整數(shù)的正整數(shù)中滿足與互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目【例2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，則數(shù)列中整數(shù)項的個數(shù)為．【變式1】（23-24高一下·湖北·階段練習(xí)）設(shè)，我們常用來表示不超過的最大整數(shù).如：.(1)求證：；(2)解方程：；(3)已知，若對，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.【變式2】60支球隊兩兩比賽，且一定有勝負，每隊贏的概率均為0.5，設(shè)沒有兩隊贏相同場數(shù)的概率為，其中p，q為互質(zhì)的正整數(shù)，則使得可整除p的最大正整數(shù)n是（

）A．1768 B．1746 C．1714 D．1702【題型九】不定方程【例1】（2024高三·北京·競賽）正整數(shù)滿足：，則的可能值有（

）A．