2021年新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式-教學(xué)課件

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)2.2基本不等式P242.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式P53第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解不等式的概念.2.了解不等式（組）的實(shí)際背景.3.掌握不等式的性質(zhì).核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理

新知學(xué)習(xí)不等關(guān)系及其表示在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，大量存在著相等關(guān)系和不等關(guān)系，例如多與少、大與小、長(zhǎng)與短、高與矮、遠(yuǎn)與近、快與慢、漲與跌、輕與重、不超過(guò)和不少于等。類似于這樣的問題反映在數(shù)量關(guān)系上就是相等和不相等，相等用等式表示不等用不等式表示?！镜仁健恐傅氖怯玫忍?hào)“=”連接起來(lái)的式子【不等式】指的是用不等號(hào)“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”

連接起來(lái)的式子不等關(guān)系及其表示【問題1】你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關(guān)系嗎？

（3）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（4）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.

設(shè)P是直線AB外任意一點(diǎn)，PQ是P到AB的垂線段，C是直線AB上任意一點(diǎn)，則PC≥PQABCPQ不等關(guān)系及其表示【問題2】某種雜志原本以每本2.5元的價(jià)格出售，可以售出8萬(wàn)本.據(jù)市場(chǎng)調(diào)查

發(fā)現(xiàn)，雜志的單價(jià)每提高0.1元，銷售量就可能減少2000本.如何定價(jià)

才能使?jié)q價(jià)后的總收入不低于20萬(wàn)元?

所以用不等式表示為：?jiǎn)蝺r(jià)漲了多少元單價(jià)漲了多少個(gè)0.1元銷量少了多少個(gè)2000元實(shí)數(shù)大小的比較

實(shí)際上，在初中我們已經(jīng)通過(guò)具體實(shí)例歸納出了一些不等式的性質(zhì)，那么這些不等式的性質(zhì)為什么是正確的呢？還有其他不等式的性質(zhì)嗎？回答這些問題要用到關(guān)于兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí).不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號(hào)的方向不變不等式的兩邊同乘(或除以)一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變不等式的兩邊同乘(或除以)一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變實(shí)數(shù)大小的比較

AB

BA

A(B)

實(shí)數(shù)大小比較的基本事實(shí)①【作差法】

實(shí)數(shù)大小的比較

實(shí)數(shù)大小比較的基本事實(shí)②【作商法】

【解】運(yùn)用作差法：

0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界線，它為比較實(shí)數(shù)的大小提供了標(biāo)桿.

即時(shí)鞏固

【解】運(yùn)用作商法：

1是相等與不等的分界線，它也為比較實(shí)數(shù)的大小提供了標(biāo)桿.

即時(shí)鞏固一個(gè)重要不等式如圖是根據(jù)第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)的，會(huì)標(biāo)靈感來(lái)源于中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，圖中有什么不等關(guān)系？很顯然趙爽弦圖是我們?cè)诔踔醒芯抗垂啥ɡ頃r(shí)的模型，我們把它抽象成如圖所示的圖形.

一個(gè)重要不等式

事實(shí)上，利用完全平方公式也可以得到這個(gè)不等式：

因此，由兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)，我們得到：

等式有什么性質(zhì)？★【對(duì)稱性】★【傳遞性】★【加減性】★【同乘性】★【同除性】

我成立，你不一定成立！為什么?。縞≠0時(shí)，你成立；c=0時(shí)，你不一定成立！

那可不一定，你是不是成立，得問問c，c=0時(shí)，你就不成立！

不等式有什么性質(zhì)？★【對(duì)稱性】★【傳遞性】

證明：

不等式有什么性質(zhì)？★【可加性】★【可乘性】★【同向可加性】

不等式兩邊同時(shí)加上一個(gè)數(shù)，不變號(hào)不等式兩邊同時(shí)乘上一個(gè)正數(shù)，不變號(hào)；

不等式兩邊同時(shí)乘上一個(gè)負(fù)數(shù)，要變號(hào).

只有一個(gè)等式有等號(hào)也是傳遞不過(guò)去的.不等式有什么性質(zhì)？★【同向同正可乘性】★【同正可乘方性】

我只有同向可加性，同向可乘還必須保證是正數(shù)！

我的等號(hào)左右能對(duì)應(yīng)加減乘除(除數(shù)不為0)，你行嗎？不等式

即時(shí)鞏固隨堂小測(cè)A.4×2x≥100 B.4×2x≤100C.4×2x＞100 D.4×2x＜100解析當(dāng)導(dǎo)火索的長(zhǎng)度為x厘米時(shí)，燃燒的時(shí)間為2x秒，人跑開的距離為(4×2x)米，為了保證安全，有4×2x＞100.答案

C2.設(shè)a，b∈R，若a＋|b|<0，則下列不等式中正確的是(

)A.a－b>0 B.a3＋b3>0C.a2－b2<0 D.a＋b<0解析本題可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，則a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，排除A，B，C，故選D.答案D3.設(shè)M＝x2，N＝－x－1，則M與N的大小關(guān)系是(

)A.M＞N B.M＝NC.M＜N D.與x有關(guān)答案A課堂小結(jié)1.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考查它們的差就可以了.作差法比較實(shí)數(shù)的大小一般步驟是作差→恒等變形→判斷差的符號(hào)→下結(jié)論.作差后變形是比較大小的關(guān)鍵一步，變形的方向是化成幾個(gè)完全平方數(shù)和的形式或一些易判斷符號(hào)的因式積的形式.2.不等式的性質(zhì)是不等式變形的依據(jù)，每一步變形都要嚴(yán)格依照性質(zhì)進(jìn)行，千萬(wàn)不可想當(dāng)然.2.22.2基本不等式1.探索基本不等式的證明過(guò)程.2.掌握基本不等式.3.能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（?。┲祮栴}. 核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)基本不等式及其推導(dǎo)

新知學(xué)習(xí)基本不等式及其推導(dǎo)【問題】上述均值不等式是如何推導(dǎo)的？

【證法二】當(dāng)然我們也可以利用倒推法：

基本不等式及其推導(dǎo)

基本不等式鏈

高中數(shù)學(xué)需要掌握的幾個(gè)公式

完全立方公式完全立方公式立方和公式立方差公式基本不等式的推廣①三元不等式：

②n元基本不等式：

基本不等式的幾何意義

ABDCE

利用基本不等式求最值題【1】

利用基本不等式求最值

利用基本不等式求最值【1】利用基本不等式解決最值問題要牢記三個(gè)關(guān)鍵詞：一正二定三相等.一正：各項(xiàng)必須為正二定：各項(xiàng)之和或各項(xiàng)之積為定值三相等：必須驗(yàn)證取等號(hào)時(shí)的條件十分具備【2】利用基本不等式求最值的關(guān)鍵：根據(jù)定值求最值，配湊變換不可少.

什么是最值定理？

即時(shí)鞏固

即時(shí)鞏固

即時(shí)鞏固基本不等式的實(shí)際應(yīng)用【例題】(1)用籬笆圍成一個(gè)面積為100平方米的矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)

為多少時(shí)，所用的籬笆最少，最短長(zhǎng)度是多少？

基本不等式的實(shí)際應(yīng)用【例題】(2)用一段長(zhǎng)為36米的鐵絲網(wǎng)圍成一個(gè)矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的長(zhǎng)和

寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大？最大面積是多少？

基本不等式的實(shí)際應(yīng)用【例題】（3）某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的無(wú)蓋蓄水池，其容積為4800立

方米，深為3米.如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方

米的造價(jià)為120元，那么怎樣設(shè)計(jì)水池才能使總造價(jià)最低？最低

造價(jià)是多少？

練習(xí)④：已知直角三角形的面積為50，當(dāng)兩條直角邊的長(zhǎng)度各為多少時(shí)，

兩條直角邊的和最??？最小值是多少？.

即時(shí)鞏固隨堂小測(cè)C2.若0＜a＜b且a＋b＝1，則下列四個(gè)數(shù)中最大的是(

)答案B3.設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，且a＋b＝3，則2a＋2b的最小值是(

)答案B4.將一根鐵絲切割成三段做一個(gè)面積為2m2、形狀為直角三角形的框架，在下列四種長(zhǎng)度的鐵絲中，選用最合理(夠用且浪費(fèi)最少)的是(

) A.6.5m B.6.8m C.7m D.7.2m答案C5.設(shè)a＞0，b＞0，給出下列不等式：答案①②③6.函數(shù)f(x)＝x(4－2x)的最大值為________.答案2課堂小結(jié)3.利用基本不等式求最值 (1)利用基本不等式求最值要把握下列三個(gè)條件：

①“一正”——各項(xiàng)為正數(shù)；②“二定”——“和”或“積”為定值；③“三相等”——等號(hào)一定能取到.這三個(gè)條件缺一不可. (2)利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件，解題時(shí)應(yīng)對(duì)照已知和欲求的式子運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?xiàng)、添項(xiàng)、配湊、變形”等方法創(chuàng)建應(yīng)用基本不等式的條件.4.求解應(yīng)用題的方法與步驟： (1)審題；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式1.會(huì)結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的個(gè)數(shù).2.了解二次函數(shù)零點(diǎn)與一元二次方程根的關(guān)系.3.經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式的過(guò)程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義.4.能借助二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.5.借助二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系. 核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)新知學(xué)習(xí)函數(shù)、方程、不等式知識(shí)回顧在初中，我們從一次函數(shù)的角度看一元一次方程，一元一次不等式，發(fā)現(xiàn)了三者之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用這種聯(lián)系可以讓我們更簡(jiǎn)便的解決問題：

對(duì)于二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式，他們的聯(lián)系又是怎樣的呢？

一元二次不等式的概念【問題】園藝師傅打算在綠地上用柵欄圍成一個(gè)矩形區(qū)域種

植花卉，若柵欄的長(zhǎng)度是24m，圍成的矩形區(qū)域的面積要大

于20m2，則這個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬應(yīng)該是多少？

一元二次不等式的概念

二次函數(shù)的零點(diǎn)

在初中，我們學(xué)習(xí)了從一次函數(shù)的觀點(diǎn)看一元一次次方程、一元一次不等式的思想方法.類似的，能否從二次函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看一元二次不等式，進(jìn)而得到一元二次不等式的求解方法呢？

【注意】零點(diǎn)不是點(diǎn)，是交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是數(shù)一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法

沒有實(shí)數(shù)根

R

??一元二次不等式的解法

即時(shí)鞏固一元二次不等式的應(yīng)用

一元二次不等式的應(yīng)用

【解含參數(shù)的一元二次不等式】

即時(shí)鞏固

【解含參數(shù)的一元二次不等式】

所以原不等式的解集為R

即時(shí)鞏固

【三個(gè)“二次”的關(guān)系】

即時(shí)鞏固

【不等式恒成立的問題】

即時(shí)鞏固解一元二次不等式的過(guò)程

原不等式的解集為R隨堂小測(cè)課堂小結(jié)1.對(duì)字母系數(shù)分類討論時(shí)，要注意確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，而且分類時(shí)要不重不漏.一般方法是：(1)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不確定時(shí)，按二次項(xiàng)系數(shù)等于零、大于零、小于零三種情況進(jìn)行分類.(2)判別式大于零時(shí)，還需要討論兩根的大小.(3)判別式不確定時(shí)，按判別式大于零、等于零、小于零三種情況討論.2.三個(gè)“二次”之間的關(guān)系(1)三個(gè)“二次”中，二次函數(shù)是主體，討論二次函數(shù)主要是將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來(lái)研究.(2)討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應(yīng)的二次函數(shù)相聯(lián)系，通過(guò)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)來(lái)解決問題，關(guān)系如下：3.解分式不等式時(shí)，一定要等價(jià)變形為一邊為零的形式，再化歸為一元二次不等式(