2021年新教材人教A版高中數(shù)學必修第一冊第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式-教學課件

2.1等式性質與不等式性質2.2基本不等式P242.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式P53第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式學習目標1.理解不等式的概念.2.了解不等式（組）的實際背景.3.掌握不等式的性質.核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理

新知學習不等關系及其表示在現(xiàn)實世界和日常生活中，大量存在著相等關系和不等關系，例如多與少、大與小、長與短、高與矮、遠與近、快與慢、漲與跌、輕與重、不超過和不少于等。類似于這樣的問題反映在數(shù)量關系上就是相等和不相等，相等用等式表示不等用不等式表示?！镜仁健恐傅氖怯玫忍枴?”連接起來的式子【不等式】指的是用不等號“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”

連接起來的式子不等關系及其表示【問題1】你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關系嗎？

（3）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（4）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.

設P是直線AB外任意一點，PQ是P到AB的垂線段，C是直線AB上任意一點，則PC≥PQABCPQ不等關系及其表示【問題2】某種雜志原本以每本2.5元的價格出售，可以售出8萬本.據(jù)市場調查

發(fā)現(xiàn)，雜志的單價每提高0.1元，銷售量就可能減少2000本.如何定價

才能使?jié)q價后的總收入不低于20萬元?

所以用不等式表示為：單價漲了多少元單價漲了多少個0.1元銷量少了多少個2000元實數(shù)大小的比較

實際上，在初中我們已經(jīng)通過具體實例歸納出了一些不等式的性質，那么這些不等式的性質為什么是正確的呢？還有其他不等式的性質嗎？回答這些問題要用到關于兩個實數(shù)大小關系的基本事實.不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變不等式的兩邊同乘(或除以)一個正數(shù)，不等號的方向不變不等式的兩邊同乘(或除以)一個負數(shù)，不等號的方向改變實數(shù)大小的比較

AB

BA

A(B)

實數(shù)大小比較的基本事實①【作差法】

實數(shù)大小的比較

實數(shù)大小比較的基本事實②【作商法】

【解】運用作差法：

0是正數(shù)與負數(shù)的分界線，它為比較實數(shù)的大小提供了標桿.

即時鞏固

【解】運用作商法：

1是相等與不等的分界線，它也為比較實數(shù)的大小提供了標桿.

即時鞏固一個重要不等式如圖是根據(jù)第24屆國際數(shù)學家大會的會標設計的，會標靈感來源于中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖，圖中有什么不等關系？很顯然趙爽弦圖是我們在初中研究勾股定理時的模型，我們把它抽象成如圖所示的圖形.

一個重要不等式

事實上，利用完全平方公式也可以得到這個不等式：

因此，由兩個實數(shù)大小關系的基本事實，我們得到：

等式有什么性質？★【對稱性】★【傳遞性】★【加減性】★【同乘性】★【同除性】

我成立，你不一定成立！為什么?。縞≠0時，你成立；c=0時，你不一定成立！

那可不一定，你是不是成立，得問問c，c=0時，你就不成立！

不等式有什么性質？★【對稱性】★【傳遞性】

證明：

不等式有什么性質？★【可加性】★【可乘性】★【同向可加性】

不等式兩邊同時加上一個數(shù)，不變號不等式兩邊同時乘上一個正數(shù)，不變號；

不等式兩邊同時乘上一個負數(shù)，要變號.

只有一個等式有等號也是傳遞不過去的.不等式有什么性質？★【同向同正可乘性】★【同正可乘方性】

我只有同向可加性，同向可乘還必須保證是正數(shù)！

我的等號左右能對應加減乘除(除數(shù)不為0)，你行嗎？不等式

即時鞏固隨堂小測A.4×2x≥100 B.4×2x≤100C.4×2x＞100 D.4×2x＜100解析當導火索的長度為x厘米時，燃燒的時間為2x秒，人跑開的距離為(4×2x)米，為了保證安全，有4×2x＞100.答案

C2.設a，b∈R，若a＋|b|<0，則下列不等式中正確的是(

)A.a－b>0 B.a3＋b3>0C.a2－b2<0 D.a＋b<0解析本題可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，則a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，排除A，B，C，故選D.答案D3.設M＝x2，N＝－x－1，則M與N的大小關系是(

)A.M＞N B.M＝NC.M＜N D.與x有關答案A課堂小結1.比較兩個實數(shù)的大小，只要考查它們的差就可以了.作差法比較實數(shù)的大小一般步驟是作差→恒等變形→判斷差的符號→下結論.作差后變形是比較大小的關鍵一步，變形的方向是化成幾個完全平方數(shù)和的形式或一些易判斷符號的因式積的形式.2.不等式的性質是不等式變形的依據(jù)，每一步變形都要嚴格依照性質進行，千萬不可想當然.2.22.2基本不等式1.探索基本不等式的證明過程.2.掌握基本不等式.3.能用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題. 核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算學習目標基本不等式及其推導

新知學習基本不等式及其推導【問題】上述均值不等式是如何推導的？

【證法二】當然我們也可以利用倒推法：

基本不等式及其推導

基本不等式鏈

高中數(shù)學需要掌握的幾個公式

完全立方公式完全立方公式立方和公式立方差公式基本不等式的推廣①三元不等式：

②n元基本不等式：

基本不等式的幾何意義

ABDCE

利用基本不等式求最值題【1】

利用基本不等式求最值

利用基本不等式求最值【1】利用基本不等式解決最值問題要牢記三個關鍵詞：一正二定三相等.一正：各項必須為正二定：各項之和或各項之積為定值三相等：必須驗證取等號時的條件十分具備【2】利用基本不等式求最值的關鍵：根據(jù)定值求最值，配湊變換不可少.

什么是最值定理？

即時鞏固

即時鞏固

即時鞏固基本不等式的實際應用【例題】(1)用籬笆圍成一個面積為100平方米的矩形菜園，當這個矩形的邊長

為多少時，所用的籬笆最少，最短長度是多少？

基本不等式的實際應用【例題】(2)用一段長為36米的鐵絲網(wǎng)圍成一個矩形菜園，當這個矩形的長和

寬各為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？

基本不等式的實際應用【例題】（3）某工廠要建造一個長方體形狀的無蓋蓄水池，其容積為4800立

方米，深為3米.如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方

米的造價為120元，那么怎樣設計水池才能使總造價最低？最低

造價是多少？

練習④：已知直角三角形的面積為50，當兩條直角邊的長度各為多少時，

兩條直角邊的和最小？最小值是多少？.

即時鞏固隨堂小測C2.若0＜a＜b且a＋b＝1，則下列四個數(shù)中最大的是(

)答案B3.設a、b是實數(shù)，且a＋b＝3，則2a＋2b的最小值是(

)答案B4.將一根鐵絲切割成三段做一個面積為2m2、形狀為直角三角形的框架，在下列四種長度的鐵絲中，選用最合理(夠用且浪費最少)的是(

) A.6.5m B.6.8m C.7m D.7.2m答案C5.設a＞0，b＞0，給出下列不等式：答案①②③6.函數(shù)f(x)＝x(4－2x)的最大值為________.答案2課堂小結3.利用基本不等式求最值 (1)利用基本不等式求最值要把握下列三個條件：

①“一正”——各項為正數(shù)；②“二定”——“和”或“積”為定值；③“三相等”——等號一定能取到.這三個條件缺一不可. (2)利用基本不等式求最值的關鍵是獲得定值條件，解題時應對照已知和欲求的式子運用適當?shù)摹安痦?、添項、配湊、變形”等方法?chuàng)建應用基本不等式的條件.4.求解應用題的方法與步驟： (1)審題；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式1.會結合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數(shù).2.了解二次函數(shù)零點與一元二次方程根的關系.3.經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義.4.能借助二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.5.借助二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的聯(lián)系. 核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學運算學習目標新知學習函數(shù)、方程、不等式知識回顧在初中，我們從一次函數(shù)的角度看一元一次方程，一元一次不等式，發(fā)現(xiàn)了三者之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用這種聯(lián)系可以讓我們更簡便的解決問題：

對于二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式，他們的聯(lián)系又是怎樣的呢？

一元二次不等式的概念【問題】園藝師傅打算在綠地上用柵欄圍成一個矩形區(qū)域種

植花卉，若柵欄的長度是24m，圍成的矩形區(qū)域的面積要大

于20m2，則這個矩形的長和寬應該是多少？

一元二次不等式的概念

二次函數(shù)的零點

在初中，我們學習了從一次函數(shù)的觀點看一元一次次方程、一元一次不等式的思想方法.類似的，能否從二次函數(shù)的觀點來看一元二次不等式，進而得到一元二次不等式的求解方法呢？

【注意】零點不是點，是交點的橫坐標，是數(shù)一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法

沒有實數(shù)根

R

??一元二次不等式的解法

即時鞏固一元二次不等式的應用

一元二次不等式的應用

【解含參數(shù)的一元二次不等式】

即時鞏固

【解含參數(shù)的一元二次不等式】

所以原不等式的解集為R

即時鞏固

【三個“二次”的關系】

即時鞏固

【不等式恒成立的問題】

即時鞏固解一元二次不等式的過程

原不等式的解集為R隨堂小測課堂小結1.對字母系數(shù)分類討論時，要注意確定分類的標準，而且分類時要不重不漏.一般方法是：(1)當二次項系數(shù)不確定時，按二次項系數(shù)等于零、大于零、小于零三種情況進行分類.(2)判別式大于零時，還需要討論兩根的大小.(3)判別式不確定時，按判別式大于零、等于零、小于零三種情況討論.2.三個“二次”之間的關系(1)三個“二次”中，二次函數(shù)是主體，討論二次函數(shù)主要是將問題轉化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來研究.(2)討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應的二次函數(shù)相聯(lián)系，通過二次函數(shù)的圖象及性質來解決問題，關系如下：3.解分式不等式時，一定要等價變形為一邊為零的形式，再化歸為一元二次不等式(