2025版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章空間向量與立體幾何7.3空間直線平面的平行學(xué)案新人教A版

7.3空間直線、平面的平行必備學(xué)問預(yù)案自診學(xué)問梳理1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件

結(jié)論a∥αa∥αa∥b2.面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件

α∥β,a?β結(jié)論α∥βα∥βa∥ba∥α1.平面與平面平行的三特性質(zhì)(1)兩個(gè)平面平行,其中一個(gè)平面內(nèi)的隨意一條直線平行于另一個(gè)平面.(2)夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段長度相等.(3)兩條直線被三個(gè)平行平面所截,截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.2.推斷兩個(gè)平面平行的三個(gè)結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.(2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.(3)假如一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線,那么這兩個(gè)平面平行.考點(diǎn)自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線,則這條直線平行于這個(gè)平面.()(2)若一條直線平行于一個(gè)平面,則這條直線平行于這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線.()(3)若直線a與平面α內(nèi)多數(shù)條直線平行,則a∥α.()(4)假如一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行.()(5)假如兩個(gè)平面平行,那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.()2.(2024廣東湛江高三一模)已知直線a,b,平面α,β,a?α,b?α,則a∥β,b∥β是α∥β的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件3.(2024安徽宣城高三?？?如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分別為棱AA1,BB1的中點(diǎn),過MN作一平面分別交底面三角形ABC的邊BC,AC于點(diǎn)E,F,則下列說法正確的是()A.MF∥NEB.四邊形MNEF為梯形C.四邊形MNEF為平行四邊形D.A1B1∥NE4.(多選)下列命題中正確的是()A.平面α∥平面β,一條直線a平行于平面α,則a肯定平行于平面βB.平面α∥平面β,則α內(nèi)的隨意一條直線都平行于平面βC.一個(gè)三角形有兩條邊所在的直線分別平行于一個(gè)平面,那么該三角形所在的平面與這個(gè)平面平行D.分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線只能是平行直線或異面直線5.(2024江蘇如皋中學(xué)月考)已知平面α∥平面β,點(diǎn)P是平面α,β外一點(diǎn)(如圖所示),且直線PB,PD分別與α,β相交于點(diǎn)A,B,C,D,若PA=4,PB=5,PC=3,則PD=.

關(guān)鍵實(shí)力學(xué)案突破考點(diǎn)直線與平面平行的判定與性質(zhì)(多考向探究)考向1直線與平面平行的判定與證明【例1】(一題多解)如圖,在四棱錐E-ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,CD=2AB=2CE=4,點(diǎn)F為棱DE的中點(diǎn).證明:AF∥平面BCE.解題心得證明線面平行有兩種常用方法一是線面平行的判定定理;二是先利用面面平行的判定定理證明面面平行,再依據(jù)面面平行的性質(zhì)證明線面平行.考向2直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【例2】如圖,五面體ABCDE中,四邊形ABDE是矩形,△ABC是正三角形,AB=1,AE=2,F是線段BC上一點(diǎn),直線BC與平面ABD所成角為30°,CE∥平面ADF.(1)試確定F的位置;(2)求三棱錐A-CDF的體積.解題心得在應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化時(shí),肯定留意定理成立的條件,通常應(yīng)嚴(yán)格依據(jù)定理成立的條件規(guī)范書寫步驟,如:把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí),必需說清經(jīng)過已知直線的平面和已知平面相交,這時(shí)才有直線與交線平行.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)如圖,四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,AB=BC=12AD,E,F,H分別是線段AD,PC,CD的中點(diǎn),AC與BE交于O點(diǎn),G是線段OF上一點(diǎn).求證①AP∥平面BEF;②GH∥平面PAD.(2)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形且∠ABC=120°,點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn),平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F.求證:EF∥CD;考點(diǎn)面面平行的判定與性質(zhì)(多考向探究)考向1面面平行的判定與證明【例3】已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AD=2BC,E,F分別為CC1,DD1的中點(diǎn).求證:平面BEF∥平面AD1C1.解題心得證明面面平行的常用方法1.利用面面平行的定義或判定定理.2.利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(l⊥α,l⊥β?α∥β).3.利用平面平行的傳遞性,即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行(α∥β,β∥γ?α∥γ).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2024河北邯鄲二模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1.設(shè)M,N分別為PD,AD的中點(diǎn).(1)求證:平面CMN∥平面PAB;(2)求三棱錐P-ABM的體積.考向2面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【例4】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,試畫出平面A1BC1與底面ABCD的交線l,并說明理由.解題心得證明線線平行的方法(1)定義法:在同一個(gè)平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)的兩條直線平行.(2)平行公理:平行于同一條直線的兩條直線平行.(3)線面平行的性質(zhì)定理:a∥αa?βα?(4)面面平行的性質(zhì)定理:α∥βα?γ=a(5)反證法:假設(shè)兩條直線不平行,然后推出沖突,進(jìn)而證明兩條直線應(yīng)當(dāng)是平行的.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的多面體中,AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,AD∥BC,BC=2AD.請(qǐng)?jiān)趫D中作出平面α,使得DE?α,且BF∥α,并說明理由.考點(diǎn)平行關(guān)系的綜合應(yīng)用【例5】如圖,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)D,D1分別為AC,A1C1上的點(diǎn).(1)若BC1∥平面AB1D1,則A1D1D(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,則ADDC=.解題心得利用線面平行或面面平行的性質(zhì),可以實(shí)現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化,尤其在截面圖的畫法中,常用來確定交線的位置.對(duì)于線段長或線段比例問題,常用平行線對(duì)應(yīng)線段成比例或相像三角形來解決.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)(2024江西吉安一模)如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是A1D1,A1B1的中點(diǎn),過直線BD的平面α∥平面AMN,則平面α截該正方體所得截面的面積為()A.2 B.98 C.3 D.(2)如圖所示,側(cè)棱與底面垂直,且底面為正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,M,N分別在線段AD1,BC上移動(dòng),始終保持MN∥平面DCC1D1,設(shè)BN=x,MN=y,則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是()考點(diǎn)平行關(guān)系的探究性問題【例6】(2024河南南陽高三二模)在直角梯形ABCD中(如圖1),AB∥DC,∠BAD=90°,AB=5,AD=2,CD=3,點(diǎn)E在CD上,且DE=2,將△ADE沿AE折起,使得平面ADE⊥平面ABCE(如圖2),G為AE的中點(diǎn).(1)求四棱錐D-ABCE的體積;(2)在線段BD上是否存在點(diǎn)P,使得CP∥平面ADE?若存在,求BPBD的值;若不存在,請(qǐng)說明理由解題心得解決存在問題除了從正面探究所探討的對(duì)象是否存在,還可以先假設(shè)求解的結(jié)論存在,從這個(gè)結(jié)論動(dòng)身,找尋使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件,若找到了使結(jié)論成立的充分條件,則存在;若找不到使結(jié)論成立的充分條件(出現(xiàn)沖突),則不存在.而對(duì)于探求點(diǎn)的問題,一般是先探求點(diǎn)的位置,多為線段的中點(diǎn)或某個(gè)三等分點(diǎn),然后給出符合要求的證明.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5如圖,在空間幾何體ABCDE中,△BCD與△CDE均為邊長為2的等邊三角形,△ABC為腰長為13的等腰三角形,平面CDE⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD.試在平面BCD內(nèi)作一條直線,使直線上隨意一點(diǎn)F與A的連線AF均與平面CDE平行,并給出具體證明.7.3空間直線、平面的平行必備學(xué)問·預(yù)案自診學(xué)問梳理1.a∩α=?a?α,b?α且a∥ba∥α,a?β,α∩β=b2.α∩β=?a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥αα∥β,α∩γ=a,β∩γ=b考點(diǎn)自診1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2.B因?yàn)橹本€a,b,平面α,β,a?α,b?α,由a∥β,b∥β,得α,β平行或相交;由α∥β,得a∥β,b∥β,所以a∥β,b∥β是α∥β的必要不充分條件.故選B.3.B∵在?AA1B1B中,AM=MA1,BN=NB1,∴AM=BN,又AM∥BN,∴四邊形ABNM是平行四邊形,∴MN∥AB.又MN?平面ABC,AB?平面ABC,∴MN∥平面ABC.又MN?平面MNEF,平面MNEF∩平面ABC=EF,∴MN∥EF,∴EF∥AB.在△ABC中,EF≠AB,∴EF≠M(fèi)N,∴四邊形MNEF為梯形.故選B.4.BCD平面α∥平面β,一條直線a平行于平面α,則a可能在平面β內(nèi),故A錯(cuò)誤;平面α∥平面β,則α內(nèi)的隨意一條直線都平行于平面β,故B正確;一個(gè)三角形有兩條邊所在的直線平行于一個(gè)平面,由面面平行的判定定理知,三角形所在的平面與這個(gè)平面平行,故C正確;分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線只能是平行直線或異面直線,故D正確.故選BCD.5.154由題意,平面α∥平面β,則AC∥BD,所以△PAC∽△PBD,即PA所以PD=PC·關(guān)鍵實(shí)力·學(xué)案突破例1證明(方法1)如圖,取CE的中點(diǎn)M,連接FM,BM.因?yàn)辄c(diǎn)F為棱DE的中點(diǎn),所以FM∥CD,且FM=12CD=因?yàn)锳B∥CD,且AB=2,所以FM∥AB,且FM=AB,所以四邊形ABMF為平行四邊形,所以AF∥BM.因?yàn)锳F?平面BCE,BM?平面BCE,所以AF∥平面BCE.(方法2)如圖,在平面ABCD內(nèi),分別延長CB,DA,交于點(diǎn)N,連接EN.因?yàn)锳B∥CD,CD=2AB,所以A為DN的中點(diǎn).又F為DE的中點(diǎn),所以AF∥EN.因?yàn)镋N?平面BCE,AF?平面BCE,所以AF∥平面BCE.(方法3)如圖,取棱CD的中點(diǎn)G,連接AG,GF,因?yàn)辄c(diǎn)F為棱DE的中點(diǎn),所以FG∥CE.因?yàn)镕G?平面BCE,CE?平面BCE,所以FG∥平面BCE.因?yàn)锳B∥CD,AB=CG=2,所以四邊形ABCG是平行四邊形,所以AG∥BC,因?yàn)锳G?平面BCE,BC?平面BCE,所以AG∥平面BCE.又FG∩AG=G,FG?平面AFG,AG?平面AFG,所以平面AFG∥平面BCE.因?yàn)锳F?平面AFG,所以AF∥平面BCE.例2解(1)連接BE交AD于點(diǎn)O,連接OF,因?yàn)镃E∥平面ADF,CE?平面BEC,平面ADF∩平面BEC=OF,所以CE∥OF.因?yàn)镺是BE的中點(diǎn),所以F是BC的中點(diǎn).(2)因?yàn)锽C與平面ABD所成角為30°,BC=AB=1,所以C到平面ABD的距離為h=BC·sin30°=12.因?yàn)锳E=2,F是BC的中點(diǎn),所以VA-CDF=VF-ACD=12VB-ACD=12VC-ABD=12×13對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)證明①連接EC,∵AD∥BC,BC=12AD,E是AD的中點(diǎn),∴BCAE∴四邊形ABCE是平行四邊形,∴O為AC的中點(diǎn).又F是PC的中點(diǎn),∴FO∥AP.∵FO?平面BEF,AP?平面BEF,∴AP∥平面BEF.②連接FH,OH,∵F,H分別是PC,CD的中點(diǎn),∴FH∥PD.∵PD?平面PAD,FH?平面PAD,∴FH∥平面PAD.又O是AC的中點(diǎn),H是CD的中點(diǎn),∴OH∥AD.又AD?平面PAD,OH?平面PAD,∴OH∥平面PAD.又FH∩OH=H,∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH?平面OHF,∴GH∥平面PAD.(2)證明∵底面ABCD是菱形,∴AB∥CD,又∵AB?平面PCD,CD?平面PCD,∴AB∥平面PCD.又∵A,B,E,F四點(diǎn)共面,且平面ABEF∩平面PCD=EF,∴AB∥EF,即可得EF∥CD.例3證明取AD的中點(diǎn)G,連接BG,FG.因?yàn)镋,F分別為CC1,DD1的中點(diǎn),所以C1D1CDEF,因?yàn)镃1D1?平面AD1C1,EF?平面AD1C1,所以EF∥平面AD1C1.因?yàn)锳D∥BC,AD=2BC,所以GDBC,即四邊形BCDG是平行四邊形,所以BGCD,所以BGEF,即四邊形EFGB是平行四邊形,所以BE∥FG.因?yàn)镕,G分別是DD1,AD的中點(diǎn),所以FG∥AD1,即BE∥AD1.因?yàn)锳D1?平面AD1C1,BE?平面AD1C1,所以BE∥平面AD1C1.又BE?平面BEF,FE?平面BEF,BE∩EF=E,所以平面BEF∥平面AD1C1.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)證明∵M(jìn),N分別為PD,AD的中點(diǎn),∴MN∥PA.又MN?平面PAB,PA?平面PAB,∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中,∠CAD=60°,CN=AN,∴∠ACN=60°.又∠BAC=60°,∴CN∥AB.∵CN?平面PAB,AB?平面PAB,∴CN∥平面PAB.又CN∩MN=N,∴平面CMN∥平面PAB.(2)解由(1)知,平面CMN∥平面PAB,∴點(diǎn)M到平面PAB的距離等于點(diǎn)C到平面PAB的距離.由已知,AB=1,∠ABC=90°,∠BAC=60°,∴BC=3,∴三棱錐P-ABM的體積V=VM-PAB=VC-PAB=VP-ABC=13×12×1×3×例4解在平面ABCD內(nèi),過點(diǎn)B作直線與AC平行,該直線即為所求的直線l(如圖).理由:因?yàn)槠矫鍭BCD∥平面A1B1C1D1,平面A1BC1∩平面A1B1C1D1=A1C1,平面A1BC1∩平面ABCD=l,所以A1C1∥l.又AC∥A1C1,故l∥AC.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3解如圖,取BC的中點(diǎn)P,連接PD,PE,則平面PDE即為所求的平面α.下面證明BF∥α.因?yàn)锽C=2AD,AD∥BC,所以AD∥BP,且AD=BP,所以四邊形ABPD為平行四邊形,所以AB∥DP.又AB?平面PDE,PD?平面PDE,所以AB∥平面PDE.因?yàn)锳F⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,所以AF∥DE.又AF?平面PDE,DE?平面PDE,所以AF∥平面PDE.又AF?平面ABF,AB?平面ABF,AB∩AF=A,所以平面ABF∥平面PDE.又BF?平面ABF,所以BF∥平面PDE,即BF∥α.例5(1)1(2)1(1)如圖,連接A1B交AB1于點(diǎn)O,連接OD1,因?yàn)锽C1∥平面AB1D1,平面AB1D1∩平面A1BC1=OD1,所以BC1∥OD1,由棱柱的性質(zhì),知四邊形A1ABB1為平行四邊形,所以點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn),所以D1為A1C1的中點(diǎn).所以A1D1(2)由已知,平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BDC1=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O.所以BC1∥D1O,同理AD1∥DC1.所以A1又A1OOB=1,所以DCAD=1,即對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)B(2)C(1)如圖,取B1C1的中點(diǎn)E,C1D1的中點(diǎn)F,連接EF,BE,DF,B1D1,則EF∥B1D1,B1D1∥BD,所以EF∥BD,故EF,BD在同一平面內(nèi),連接ME,因?yàn)镸,E分別為A1D1,B1C1的中點(diǎn),所以ME∥AB,且ME=AB,所以四邊形ABEM是平行四邊形,所以AM∥BE.又因?yàn)锽E?平面BDFE,AM?平面BDFE,所以AM∥平面BDFE,同理AN∥平面BDFE,因?yàn)锳M∩AN=A,所以平面AMN∥平面BDFE.因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1的棱長是1,所以BD=2,EF=12B1D1=22,DF=BE=過E作BD的垂線,交BD于點(diǎn)H,則BH=12(BD-EF)=24,EH=BE2-BH2=54-1(2)過M作MQ∥DD1,交AD于點(diǎn)Q,連接QN.∵M(jìn)N∥平面DCC1D1,MQ∥平面DCC1D1,MN∩MQ=M,∴平面MNQ∥平面DCC1D1.又平面ABCD與平面MNQ和平面DCC1D1分別交于QN和DC,∴NQ∥DC,可得QN=CD=AB=1,AQ=BN=x.∵M(jìn)QAQ=DD1AD=在Rt