2025版新教材高考數(shù)學一輪復習第七章空間向量與立體幾何7.3空間直線平面的平行學案新人教A版

7.3空間直線、平面的平行必備學問預案自診學問梳理1.直線與平面平行的判定與性質判定性質定義定理圖形條件

結論a∥αa∥αa∥b2.面面平行的判定與性質判定性質定義定理圖形條件

α∥β,a?β結論α∥βα∥βa∥ba∥α1.平面與平面平行的三特性質(1)兩個平面平行,其中一個平面內(nèi)的隨意一條直線平行于另一個平面.(2)夾在兩個平行平面間的平行線段長度相等.(3)兩條直線被三個平行平面所截,截得的對應線段成比例.2.推斷兩個平面平行的三個結論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行.(2)平行于同一平面的兩個平面平行.(3)假如一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線,那么這兩個平面平行.考點自診1.推斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線,則這條直線平行于這個平面.()(2)若一條直線平行于一個平面,則這條直線平行于這個平面內(nèi)的任一條直線.()(3)若直線a與平面α內(nèi)多數(shù)條直線平行,則a∥α.()(4)假如一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.()(5)假如兩個平面平行,那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.()2.(2024廣東湛江高三一模)已知直線a,b,平面α,β,a?α,b?α,則a∥β,b∥β是α∥β的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件3.(2024安徽宣城高三?？?如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分別為棱AA1,BB1的中點,過MN作一平面分別交底面三角形ABC的邊BC,AC于點E,F,則下列說法正確的是()A.MF∥NEB.四邊形MNEF為梯形C.四邊形MNEF為平行四邊形D.A1B1∥NE4.(多選)下列命題中正確的是()A.平面α∥平面β,一條直線a平行于平面α,則a肯定平行于平面βB.平面α∥平面β,則α內(nèi)的隨意一條直線都平行于平面βC.一個三角形有兩條邊所在的直線分別平行于一個平面,那么該三角形所在的平面與這個平面平行D.分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線只能是平行直線或異面直線5.(2024江蘇如皋中學月考)已知平面α∥平面β,點P是平面α,β外一點(如圖所示),且直線PB,PD分別與α,β相交于點A,B,C,D,若PA=4,PB=5,PC=3,則PD=.

關鍵實力學案突破考點直線與平面平行的判定與性質(多考向探究)考向1直線與平面平行的判定與證明【例1】(一題多解)如圖,在四棱錐E-ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,CD=2AB=2CE=4,點F為棱DE的中點.證明:AF∥平面BCE.解題心得證明線面平行有兩種常用方法一是線面平行的判定定理;二是先利用面面平行的判定定理證明面面平行,再依據(jù)面面平行的性質證明線面平行.考向2直線與平面平行性質定理的應用【例2】如圖,五面體ABCDE中,四邊形ABDE是矩形,△ABC是正三角形,AB=1,AE=2,F是線段BC上一點,直線BC與平面ABD所成角為30°,CE∥平面ADF.(1)試確定F的位置;(2)求三棱錐A-CDF的體積.解題心得在應用線面平行的性質定理進行平行轉化時,肯定留意定理成立的條件,通常應嚴格依據(jù)定理成立的條件規(guī)范書寫步驟,如:把線面平行轉化為線線平行時,必需說清經(jīng)過已知直線的平面和已知平面相交,這時才有直線與交線平行.對點訓練1(1)如圖,四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,AB=BC=12AD,E,F,H分別是線段AD,PC,CD的中點,AC與BE交于O點,G是線段OF上一點.求證①AP∥平面BEF;②GH∥平面PAD.(2)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形且∠ABC=120°,點E是棱PC的中點,平面ABE與棱PD交于點F.求證:EF∥CD;考點面面平行的判定與性質(多考向探究)考向1面面平行的判定與證明【例3】已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AD=2BC,E,F分別為CC1,DD1的中點.求證:平面BEF∥平面AD1C1.解題心得證明面面平行的常用方法1.利用面面平行的定義或判定定理.2.利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(l⊥α,l⊥β?α∥β).3.利用平面平行的傳遞性,即兩個平面同時平行于第三個平面,則這兩個平面平行(α∥β,β∥γ?α∥γ).對點訓練2(2024河北邯鄲二模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1.設M,N分別為PD,AD的中點.(1)求證:平面CMN∥平面PAB;(2)求三棱錐P-ABM的體積.考向2面面平行性質定理的應用【例4】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,試畫出平面A1BC1與底面ABCD的交線l,并說明理由.解題心得證明線線平行的方法(1)定義法:在同一個平面內(nèi)沒有公共點的兩條直線平行.(2)平行公理:平行于同一條直線的兩條直線平行.(3)線面平行的性質定理:a∥αa?βα?(4)面面平行的性質定理:α∥βα?γ=a(5)反證法:假設兩條直線不平行,然后推出沖突,進而證明兩條直線應當是平行的.對點訓練3如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點的多面體中,AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,AD∥BC,BC=2AD.請在圖中作出平面α,使得DE?α,且BF∥α,并說明理由.考點平行關系的綜合應用【例5】如圖,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,點D,D1分別為AC,A1C1上的點.(1)若BC1∥平面AB1D1,則A1D1D(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,則ADDC=.解題心得利用線面平行或面面平行的性質,可以實現(xiàn)與線線平行的轉化,尤其在截面圖的畫法中,常用來確定交線的位置.對于線段長或線段比例問題,常用平行線對應線段成比例或相像三角形來解決.對點訓練4(1)(2024江西吉安一模)如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是A1D1,A1B1的中點,過直線BD的平面α∥平面AMN,則平面α截該正方體所得截面的面積為()A.2 B.98 C.3 D.(2)如圖所示,側棱與底面垂直,且底面為正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,M,N分別在線段AD1,BC上移動,始終保持MN∥平面DCC1D1,設BN=x,MN=y,則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是()考點平行關系的探究性問題【例6】(2024河南南陽高三二模)在直角梯形ABCD中(如圖1),AB∥DC,∠BAD=90°,AB=5,AD=2,CD=3,點E在CD上,且DE=2,將△ADE沿AE折起,使得平面ADE⊥平面ABCE(如圖2),G為AE的中點.(1)求四棱錐D-ABCE的體積;(2)在線段BD上是否存在點P,使得CP∥平面ADE?若存在,求BPBD的值;若不存在,請說明理由解題心得解決存在問題除了從正面探究所探討的對象是否存在,還可以先假設求解的結論存在,從這個結論動身,找尋使這個結論成立的充分條件,若找到了使結論成立的充分條件,則存在;若找不到使結論成立的充分條件(出現(xiàn)沖突),則不存在.而對于探求點的問題,一般是先探求點的位置,多為線段的中點或某個三等分點,然后給出符合要求的證明.對點訓練5如圖,在空間幾何體ABCDE中,△BCD與△CDE均為邊長為2的等邊三角形,△ABC為腰長為13的等腰三角形,平面CDE⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD.試在平面BCD內(nèi)作一條直線,使直線上隨意一點F與A的連線AF均與平面CDE平行,并給出具體證明.7.3空間直線、平面的平行必備學問·預案自診學問梳理1.a∩α=?a?α,b?α且a∥ba∥α,a?β,α∩β=b2.α∩β=?a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥αα∥β,α∩γ=a,β∩γ=b考點自診1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2.B因為直線a,b,平面α,β,a?α,b?α,由a∥β,b∥β,得α,β平行或相交;由α∥β,得a∥β,b∥β,所以a∥β,b∥β是α∥β的必要不充分條件.故選B.3.B∵在?AA1B1B中,AM=MA1,BN=NB1,∴AM=BN,又AM∥BN,∴四邊形ABNM是平行四邊形,∴MN∥AB.又MN?平面ABC,AB?平面ABC,∴MN∥平面ABC.又MN?平面MNEF,平面MNEF∩平面ABC=EF,∴MN∥EF,∴EF∥AB.在△ABC中,EF≠AB,∴EF≠MN,∴四邊形MNEF為梯形.故選B.4.BCD平面α∥平面β,一條直線a平行于平面α,則a可能在平面β內(nèi),故A錯誤;平面α∥平面β,則α內(nèi)的隨意一條直線都平行于平面β,故B正確;一個三角形有兩條邊所在的直線平行于一個平面,由面面平行的判定定理知,三角形所在的平面與這個平面平行,故C正確;分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線只能是平行直線或異面直線,故D正確.故選BCD.5.154由題意,平面α∥平面β,則AC∥BD,所以△PAC∽△PBD,即PA所以PD=PC·關鍵實力·學案突破例1證明(方法1)如圖,取CE的中點M,連接FM,BM.因為點F為棱DE的中點,所以FM∥CD,且FM=12CD=因為AB∥CD,且AB=2,所以FM∥AB,且FM=AB,所以四邊形ABMF為平行四邊形,所以AF∥BM.因為AF?平面BCE,BM?平面BCE,所以AF∥平面BCE.(方法2)如圖,在平面ABCD內(nèi),分別延長CB,DA,交于點N,連接EN.因為AB∥CD,CD=2AB,所以A為DN的中點.又F為DE的中點,所以AF∥EN.因為EN?平面BCE,AF?平面BCE,所以AF∥平面BCE.(方法3)如圖,取棱CD的中點G,連接AG,GF,因為點F為棱DE的中點,所以FG∥CE.因為FG?平面BCE,CE?平面BCE,所以FG∥平面BCE.因為AB∥CD,AB=CG=2,所以四邊形ABCG是平行四邊形,所以AG∥BC,因為AG?平面BCE,BC?平面BCE,所以AG∥平面BCE.又FG∩AG=G,FG?平面AFG,AG?平面AFG,所以平面AFG∥平面BCE.因為AF?平面AFG,所以AF∥平面BCE.例2解(1)連接BE交AD于點O,連接OF,因為CE∥平面ADF,CE?平面BEC,平面ADF∩平面BEC=OF,所以CE∥OF.因為O是BE的中點,所以F是BC的中點.(2)因為BC與平面ABD所成角為30°,BC=AB=1,所以C到平面ABD的距離為h=BC·sin30°=12.因為AE=2,F是BC的中點,所以VA-CDF=VF-ACD=12VB-ACD=12VC-ABD=12×13對點訓練1(1)證明①連接EC,∵AD∥BC,BC=12AD,E是AD的中點,∴BCAE∴四邊形ABCE是平行四邊形,∴O為AC的中點.又F是PC的中點,∴FO∥AP.∵FO?平面BEF,AP?平面BEF,∴AP∥平面BEF.②連接FH,OH,∵F,H分別是PC,CD的中點,∴FH∥PD.∵PD?平面PAD,FH?平面PAD,∴FH∥平面PAD.又O是AC的中點,H是CD的中點,∴OH∥AD.又AD?平面PAD,OH?平面PAD,∴OH∥平面PAD.又FH∩OH=H,∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH?平面OHF,∴GH∥平面PAD.(2)證明∵底面ABCD是菱形,∴AB∥CD,又∵AB?平面PCD,CD?平面PCD,∴AB∥平面PCD.又∵A,B,E,F四點共面,且平面ABEF∩平面PCD=EF,∴AB∥EF,即可得EF∥CD.例3證明取AD的中點G,連接BG,FG.因為E,F分別為CC1,DD1的中點,所以C1D1CDEF,因為C1D1?平面AD1C1,EF?平面AD1C1,所以EF∥平面AD1C1.因為AD∥BC,AD=2BC,所以GDBC,即四邊形BCDG是平行四邊形,所以BGCD,所以BGEF,即四邊形EFGB是平行四邊形,所以BE∥FG.因為F,G分別是DD1,AD的中點,所以FG∥AD1,即BE∥AD1.因為AD1?平面AD1C1,BE?平面AD1C1,所以BE∥平面AD1C1.又BE?平面BEF,FE?平面BEF,BE∩EF=E,所以平面BEF∥平面AD1C1.對點訓練2(1)證明∵M,N分別為PD,AD的中點,∴MN∥PA.又MN?平面PAB,PA?平面PAB,∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中,∠CAD=60°,CN=AN,∴∠ACN=60°.又∠BAC=60°,∴CN∥AB.∵CN?平面PAB,AB?平面PAB,∴CN∥平面PAB.又CN∩MN=N,∴平面CMN∥平面PAB.(2)解由(1)知,平面CMN∥平面PAB,∴點M到平面PAB的距離等于點C到平面PAB的距離.由已知,AB=1,∠ABC=90°,∠BAC=60°,∴BC=3,∴三棱錐P-ABM的體積V=VM-PAB=VC-PAB=VP-ABC=13×12×1×3×例4解在平面ABCD內(nèi),過點B作直線與AC平行,該直線即為所求的直線l(如圖).理由:因為平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面A1BC1∩平面A1B1C1D1=A1C1,平面A1BC1∩平面ABCD=l,所以A1C1∥l.又AC∥A1C1,故l∥AC.對點訓練3解如圖,取BC的中點P,連接PD,PE,則平面PDE即為所求的平面α.下面證明BF∥α.因為BC=2AD,AD∥BC,所以AD∥BP,且AD=BP,所以四邊形ABPD為平行四邊形,所以AB∥DP.又AB?平面PDE,PD?平面PDE,所以AB∥平面PDE.因為AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,所以AF∥DE.又AF?平面PDE,DE?平面PDE,所以AF∥平面PDE.又AF?平面ABF,AB?平面ABF,AB∩AF=A,所以平面ABF∥平面PDE.又BF?平面ABF,所以BF∥平面PDE,即BF∥α.例5(1)1(2)1(1)如圖,連接A1B交AB1于點O,連接OD1,因為BC1∥平面AB1D1,平面AB1D1∩平面A1BC1=OD1,所以BC1∥OD1,由棱柱的性質,知四邊形A1ABB1為平行四邊形,所以點O為A1B的中點,所以D1為A1C1的中點.所以A1D1(2)由已知,平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BDC1=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O.所以BC1∥D1O,同理AD1∥DC1.所以A1又A1OOB=1,所以DCAD=1,即對點訓練4(1)B(2)C(1)如圖,取B1C1的中點E,C1D1的中點F,連接EF,BE,DF,B1D1,則EF∥B1D1,B1D1∥BD,所以EF∥BD,故EF,BD在同一平面內(nèi),連接ME,因為M,E分別為A1D1,B1C1的中點,所以ME∥AB,且ME=AB,所以四邊形ABEM是平行四邊形,所以AM∥BE.又因為BE?平面BDFE,AM?平面BDFE,所以AM∥平面BDFE,同理AN∥平面BDFE,因為AM∩AN=A,所以平面AMN∥平面BDFE.因為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長是1,所以BD=2,EF=12B1D1=22,DF=BE=過E作BD的垂線,交BD于點H,則BH=12(BD-EF)=24,EH=BE2-BH2=54-1(2)過M作MQ∥DD1,交AD于點Q,連接QN.∵MN∥平面DCC1D1,MQ∥平面DCC1D1,MN∩MQ=M,∴平面MNQ∥平面DCC1D1.又平面ABCD與平面MNQ和平面DCC1D1分別交于QN和DC,∴NQ∥DC,可得QN=CD=AB=1,AQ=BN=x.∵MQAQ=DD1AD=在Rt