一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用(課件)

一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用目錄導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算2函數(shù)的微分3導(dǎo)數(shù)的概念14導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)

導(dǎo)數(shù)的概念一、導(dǎo)數(shù)的定義【引例1】

設(shè)某物體沿直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為（1）求物體在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度。（2）求物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度。解

（1）物體做勻速運(yùn)動(dòng)，且，在這段時(shí)間內(nèi)，物體所經(jīng)過的路程這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為第一節(jié)

導(dǎo)數(shù)的概念一、導(dǎo)數(shù)的定義（2）在時(shí)刻附近取一個(gè)新的時(shí)刻如圖3-1所示由（1）可知，物體在這段時(shí)間的平均速度為從理論上來(lái)說，當(dāng)時(shí)間間隔無(wú)限接近于0時(shí)，平均速度將無(wú)限接近于時(shí)刻的瞬時(shí)速度。第一節(jié)

導(dǎo)數(shù)的概念下面取

，從0.1開始逐漸趨向于0，則物體在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度的部分?jǐn)?shù)值結(jié)果如表3-1所示。

從表3-1可以看出，時(shí)間間隔越小，平均速度越接近于20。時(shí)刻的瞬時(shí)速度

事實(shí)上，利用極限思想，物體在可以表示為

從表3-1可以看出，時(shí)間間隔越小，平均速度越接近于20。第一節(jié)

導(dǎo)數(shù)的概念定義3.1

設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，且極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作或或或也稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)。若極限不存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)。第一節(jié)

導(dǎo)數(shù)的概念求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)可歸納為以下3步（1）求函數(shù)值改變量：（2）計(jì)算比值：（3）求極限：第一節(jié)

導(dǎo)數(shù)的概念【例1】

設(shè)函數(shù)

，求

及解

（1）求函數(shù)值改變量：（2）計(jì)算比值：（3）求極限：即，進(jìn)一步將代入得對(duì)于每一個(gè)確定的，導(dǎo)數(shù)也是唯一確定的，因而這些導(dǎo)數(shù)值就構(gòu)成了關(guān)于自變量的一個(gè)新函數(shù)，稱為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。第一節(jié)

導(dǎo)數(shù)的概念定義3.2

設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。函數(shù)在可導(dǎo)區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，記作

或或或即對(duì)于例1，有，更一般的有(為實(shí)常數(shù))。第一節(jié)

導(dǎo)數(shù)的概念【例2】

求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)解

（1）求函數(shù)值改變量：（2）計(jì)算比值：

（3）求極限：令

，可得因?yàn)樗愿话愕挠?，第一?jié)

導(dǎo)數(shù)的概念【引例2】

已知拋物線

，

和是拋物線上的兩點(diǎn)。（1）求過M和N兩點(diǎn)的直線（也稱為拋物線的割線）方程；（2）求拋物線在點(diǎn)M處的切線方程。解

（1）過M和N兩點(diǎn)的直線斜率所以直線方程為整理得第一節(jié)

導(dǎo)數(shù)的概念（2）在點(diǎn)M附近任取一點(diǎn)

，則當(dāng)點(diǎn)沿曲線趨向于點(diǎn)，即

時(shí)，割線MP的極限即拋物線在點(diǎn)M處的切線，如圖3-2所示。因?yàn)樗砸虼藪佄锞€在點(diǎn)M處的切線方程為第一節(jié)

導(dǎo)數(shù)的概念由引例2可知，光滑曲線在某一點(diǎn)的切線問題是函數(shù)值改變量與自變量改變量之比的極限問題，由此可得導(dǎo)數(shù)的幾何意義為：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)所表示的曲線在點(diǎn)處的切線斜率。若導(dǎo)數(shù)存在，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為若導(dǎo)數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的法線（過切點(diǎn)且垂直于切線）方程為第一節(jié)

導(dǎo)數(shù)的概念在點(diǎn)【例3】

求曲線處的切線方程和法線方程。解

由于，故曲線在點(diǎn)處的切線斜率為所求的切線方程為法線方程為

，即第一節(jié)

導(dǎo)數(shù)的概念三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理3.1若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則在該點(diǎn)處連續(xù)。注意：函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，卻不一定在點(diǎn)處可導(dǎo)。【例5】

討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性和可導(dǎo)性。解

因?yàn)?，故在點(diǎn)處的連續(xù)性。又，從而即，極限不存在。函數(shù)在點(diǎn)處的不可導(dǎo)。1目錄導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)的微分3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算2第二節(jié)

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算一、常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)，表3-2所示的16個(gè)常用導(dǎo)數(shù)公式需要熟練掌握。第二節(jié)

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算二、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則定理3.2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)、在點(diǎn)

處也可導(dǎo)，且有（1）（2）（3）特別地，第二節(jié)

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【例6】

設(shè)，求解>>symsx;>>y=sqrt(x)+5*cos(x)-log(2);>>diff(y,x)%求導(dǎo)數(shù)程序運(yùn)行結(jié)果為：ans=1/(2*x^(1/2))-5*sin(x)MATLAB求解代碼如下：第二節(jié)

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【例7】

設(shè)，求解>>syms

x;>>y

=

x^3*log(x);>>diff(y,x)程序運(yùn)行結(jié)果為：

ans

=

3*x^2*log(x)

+

x^2MATLAB求解代碼如下：第二節(jié)

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【例8】

設(shè)，求解第二節(jié)

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【例9】

已知某物體做直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為，求物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度。解

利用MATLAB求解，代碼如下：>>clc;clearall;closeall;>>symst;>>s=(t^2+1)*(t+1);>>dydx=diff(s,t);>>value=subs(dydx,3)%在t=3時(shí)的函數(shù)值程序運(yùn)行結(jié)果為：value=34從而可知物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為34m/s。第二節(jié)

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則引例3已知

，求解這里不能直接用公式求導(dǎo)，但可用求導(dǎo)法則求：第二節(jié)

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算定理3.3（復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則）如果函數(shù)

在點(diǎn)處可導(dǎo)，而函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處也可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且有或復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，等于復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。若都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)也可導(dǎo)，第二節(jié)

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【例10】

設(shè)，求解函數(shù)是由

復(fù)合而成的，因此如果希望利用MATLAB求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通常有下面兩種方法。方法一：先分解復(fù)合函數(shù)，再求導(dǎo)。>>syms

x

u;>>u=

3*x+1;>>y

=u^5;>>diff(y,x)方法二：直接對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)。>>syms

x;>>y

=

(3*x+1)^5;>>diff(y,x)第二節(jié)

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【例11】

設(shè)，求解函數(shù)是由

復(fù)合而成的，因此例11的MATLAB求解代碼如下：>>syms

x

u;>>u=

cos(x);>>y

=u^2；>>diff(y,x)程序運(yùn)行結(jié)果為：ans

=-2*cos(x)*sin(x)第二節(jié)

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【例12】

設(shè)

，求解

先用積的求導(dǎo)法則，得運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，于是得第二節(jié)

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【例13】

設(shè)

，求解利用MATLAB求解的代碼如下：>>syms

x;>>y

=

log(x+sqrt(x^2+1));>>a

=

diff(y,x);>>simplify(a)

%化簡(jiǎn)結(jié)果程序運(yùn)行結(jié)果為：ans

=

1/(x^2

+

1)^(1/2)即第二節(jié)

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算四、高階導(dǎo)數(shù)定義3.3如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是的可導(dǎo)函數(shù)，則稱的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作或或二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)，記作四階或四階以上的導(dǎo)數(shù)分別記作二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù)。第二節(jié)

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【例14】

設(shè)

，求解本例的MATLAB求解的代碼如下：>>syms

x>>y

=

2*x^3+4*x^2+1;>>diff(y,x,1)%一階導(dǎo)數(shù)>>diff(y,x,2)%二階導(dǎo)數(shù)>>diff(y,x,3)%三階導(dǎo)數(shù)第二節(jié)

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【例15】

設(shè)

，求解本例的MATLAB求解的代碼如下：>>syms

x;>>y

=

x*log(x);>>diff(y,x,2)程序運(yùn)行結(jié)果為：ans

=1/x第二節(jié)

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算五、隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1．隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)

稱為顯函數(shù)，而由方程所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù)。如

都是顯函數(shù)；所確定的函數(shù)是隱函數(shù)。

隱函數(shù)很多時(shí)候不能被轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)，但可以利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

設(shè)方程

確定了

對(duì)的函數(shù)，并且可導(dǎo)，將方程兩邊同時(shí)對(duì)

求導(dǎo)，并將

看成關(guān)于的函數(shù)，便可得到隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。第二節(jié)

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【例17】

求由方程

所確定的函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)。解

將方程兩邊同時(shí)對(duì)

求導(dǎo)，并注意

是關(guān)于

的函數(shù)，得解出

，可得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：第二節(jié)

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算2．由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)

為參數(shù)，如果參數(shù)方程其中則稱函數(shù)

為由上述參數(shù)方程所確定的函數(shù)。參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式為第二節(jié)

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【例18】

設(shè)參數(shù)方程

確定了函數(shù)，求解

由于，所以有MATLAB求參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的代碼如下：>>clc;close

all;clear

all;>>syms

t;

>>x

=

t^2-1;

>>y

=

t-t^3;>>disp('參數(shù)方程的一階導(dǎo)數(shù)為')>>dydx=diff(y,t)/diff(x,t)程序運(yùn)行結(jié)果為：參數(shù)方程的一階導(dǎo)數(shù)為dydx

=-(3*t^2

-

1)/(2*t)目錄1導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的概念2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4導(dǎo)數(shù)的微分3第三節(jié)

微分

在實(shí)際問題中，知道一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)處的函數(shù)值很容易，但通常難以計(jì)算在點(diǎn)附近的點(diǎn)的函數(shù)值，即那么能否找到一個(gè)計(jì)算

的近似方法，使計(jì)算變得簡(jiǎn)便且精度較高呢？一、微分的概念引例4設(shè)邊長(zhǎng)為

的正方形金屬薄片，因受溫度變化的影響，邊長(zhǎng)由

增加到

，問此薄片的面積

改變了多少？第三節(jié)

微分解如圖所示，面積的改變量

為被分成兩部分，第一部分

是

的線性函數(shù)，第二部分是如果

很小，則定義

3.4設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)處可導(dǎo)，則稱為函數(shù)

在點(diǎn)處的微分，記作

，即

，也稱函數(shù)

在點(diǎn)處可微。

第三節(jié)

微分函數(shù)

在任意點(diǎn)

處的微分稱為函數(shù)的微分，記作【例19】

求函數(shù)

的微分。解

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為所以函數(shù)的微分為第三節(jié)

微分【例20】

求函數(shù)

的微分。解

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為所以函數(shù)的微分為第三節(jié)

微分二、微分公式與微分的運(yùn)算法則1．微分公式第三節(jié)

微分二、微分公式與微分的運(yùn)算法則2．微分的四則運(yùn)算法則設(shè)函數(shù)

都可微，則3．復(fù)合函數(shù)的微分法則如果函數(shù)

在點(diǎn)

處可微，而函數(shù)

在對(duì)應(yīng)點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)

在點(diǎn)處可微，且處也可微，第三節(jié)

微分【例22】

在等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，使等式成立。解

（1）因?yàn)?/p>

，于是得所以（2）因?yàn)?/p>

，于是得所以第三節(jié)

微分三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用【例25】

半徑為15cm的金屬球，遇熱后半徑變長(zhǎng)了2mm，那么球的體積約增大了多少？解

球的體積公式為所以將代入上式，得體積約增大了第三節(jié)

微分【例26】

求

的近似值。解

選取函數(shù)，則，取可得即目錄1導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的概念2函數(shù)的微分3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4第四節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、洛必達(dá)法則如，是型未定式，是型未定式，

未定式的極限是不能直接利用極限運(yùn)算法則來(lái)求的，那么如何計(jì)算未定式的極限呢？第四節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定理3.4設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且

，如果（1）（2）存在（或無(wú)窮大），那么這種在一定條件下通過分子、分母分別求導(dǎo)數(shù)再求極限來(lái)確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)（L’Hospital）法則。說明：（1）如果將定理中

改成自變量的其他變化過程（如，定理結(jié)論仍然成立。（2）若運(yùn)用一次洛必達(dá)法則后，問題尚未解決，而函數(shù)

仍滿足定理?xiàng)l件，則可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則。第四節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【例27】

求解

這是

型未定式，由洛必達(dá)法則，有上式仍然是型未定式，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則，有第四節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【例28】

求解

這是

型未定式，由洛必達(dá)法則，有【例29】

求解

這是

型未定式，由洛必達(dá)法則，有第四節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用在求極限的過程中，會(huì)碰到求諸如

等未定式的極限的問題。

此時(shí)，可以將其轉(zhuǎn)化為

或型未定式，再利用洛必達(dá)法則求解。例如，第四節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【例30】

求解

這是

型未定式，可將其轉(zhuǎn)化為

型未定式【例31】

求解

這是

型未定式，可將其轉(zhuǎn)化為

型未定式第四節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【例32】

求解

這是

型未定式，因?yàn)?，又，所以第四?jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二、函數(shù)單調(diào)性的判定方法

若函數(shù)在其定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則稱該區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。函數(shù)的單調(diào)性是針對(duì)某一個(gè)區(qū)間而言的，是一個(gè)局部性質(zhì)，因此在討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)需指明單調(diào)區(qū)間。定理3.5設(shè)函數(shù)

在區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo)（1）若在區(qū)間

內(nèi)，則函數(shù)

在區(qū)間

內(nèi)單調(diào)遞增（2）若在區(qū)間

內(nèi)，則函數(shù)

在區(qū)間

內(nèi)單調(diào)遞減注意：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)

，且

的點(diǎn)只有有限個(gè)，則函數(shù)

在區(qū)間

內(nèi)仍然單調(diào)遞增。第四節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【例34】

判定函數(shù)

在區(qū)間

上的單調(diào)性。解

因?yàn)?/p>

，無(wú)不可導(dǎo)點(diǎn)，令

得即

是函數(shù)

的駐點(diǎn)。因?yàn)轳v點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值并未發(fā)生改變，因此此駐點(diǎn)不是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)。又因?yàn)樵趦?nèi)，于是函數(shù)

在區(qū)間上單調(diào)遞增。第四節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【例35】

利用MATLAB繪制函數(shù)

的圖像并討論函數(shù)的單調(diào)性。解MATLAB實(shí)現(xiàn)程序如下：>>syms

x

>>f

=

2*x^3-3*x^2-36*x+16;>>f1

=

diff(f,x);>>x_answer

=

solve(f1)

%解方程求駐點(diǎn)%繪制圖像>>x

=

-10:0.01:10;>>y

=

2*x.^3-3*x.^2-36*x+16;>>figure('color','w')%設(shè)置白色背景>>plot(x,y,'k','linewidth',2)

>>hold

on>>plot(x_answer(1),subs(f,x_answer(1)),'ko','markerfacecolor','k')>>plot(x_answer(2),subs(f,x_answer(2)),'ko','markerfacecolor','k')>>gtext('駐點(diǎn)1');gtext('駐點(diǎn)2');第四節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用程序運(yùn)行結(jié)果：x=

-2

3函數(shù)圖像如圖3-5所示。根據(jù)函數(shù)圖像和駐點(diǎn)可知，在區(qū)間

內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增；

在區(qū)間

內(nèi)單調(diào)遞減；在區(qū)間

內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增。第四節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用三、函數(shù)的凹凸性及拐點(diǎn)

函數(shù)的單調(diào)性反映在圖像上，就是曲線的上升和下降，而曲線在上升或下降的過程中，還有一個(gè)彎曲方向的問題，也就是曲線的凹凸性問題。定義3.6設(shè)函數(shù)

在區(qū)間I上可導(dǎo)，如果

在I上對(duì)應(yīng)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方（或下方），則稱

在區(qū)間I上的曲線弧是凹的（或凸的），區(qū)間I稱為凹區(qū)間（或凸區(qū)間）。第四節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定義3.7如果連續(xù)曲線

在點(diǎn)

左右兩側(cè)的凹凸性發(fā)生改變，那么稱點(diǎn)為該曲線的拐點(diǎn)。定理3.6設(shè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上具有二階導(dǎo)數(shù)：（1）若在區(qū)間

上

，則曲線

在區(qū)間

上是凹的；（2）若在區(qū)間

上

，則曲線

在區(qū)間

上是凸的；【例37】

求曲線

的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。解

函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

，且令

，得第四節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用由表可知，曲線在區(qū)間上是凸的，曲線的拐點(diǎn)是和在區(qū)間

和上是凹的，第四節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用四、函數(shù)的極值及其求法定義3.8:在其中當(dāng)時(shí)，（1）則稱為的極大值點(diǎn)，稱為函數(shù)的極大值；（2）則稱為的極小值點(diǎn)，稱為函數(shù)的極小值。極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)

.第四節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用四、函數(shù)的極值及其求法定理3.7（極值存在的必要條件）設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

處可導(dǎo)，且在點(diǎn)

處取得極值，那么

。定理3.8（極值存在的充分條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)

處連續(xù)，且在點(diǎn)

的某一空心鄰域

內(nèi)可導(dǎo)。對(duì)于任意的

，如果（1）當(dāng)

時(shí)，，當(dāng)

時(shí)，，那么函數(shù)在點(diǎn)

處取得極大值；（2）當(dāng)

時(shí)，，當(dāng)

時(shí)，，那么函數(shù)在點(diǎn)

處取得極小值；（3）當(dāng)

與時(shí)，不變號(hào)，那么函數(shù)在點(diǎn)

處無(wú)極值。第四節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定理3.9（極值的第二充分條件）設(shè)在點(diǎn)

處具有二階導(dǎo)數(shù)且（1）如果

，則在點(diǎn)

處取得極小值；（2）如果

，則在點(diǎn)

處取得極大值?！纠?8】

求函數(shù)

的極值。解

函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

，且令

，得駐點(diǎn)列表進(jìn)行討論如下第四節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用在

和內(nèi)，；在(1,3)內(nèi)，。由定理3.8可知，為極大值為極小值第四節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用>>syms

x>>f

=

x^3-6*x^2+9*x+3;>>f1

=

diff(f,x);>>x

=

solve(f1);>>figure('color','w');>>ff

=

ezplot(f,[-10,10]);>>set(ff,'color','k','LineWidth',2);%設(shè)置線的寬