《分類思想在中學數(shù)學中的應用探究》5900字（論文）

分類思想在中學數(shù)學中的應用研究摘要數(shù)學分類思想是一種思想也是一種邏輯，同時又是一種重要的解題策略。通過正確的分類標準和分類步驟，可以化繁雜為簡單，使復雜的問題得到簡單、清晰、完整、嚴密的解答。本文介紹分類思想在中學數(shù)學中五個方面的應用：（1）涉及數(shù)學概念是分類定義；（2）運用的數(shù)學定理、公式或運算性質、法則是分類給出的；（3）求解的數(shù)學問題的結論有多種情況或多種可能的；（4）參變量的取值不同會造成不同結果的；（5）較復雜的或非常規(guī)的數(shù)學問題需要用分類討論的解題策略來解決。關鍵詞：分類思想；應用；中學數(shù)學；分類步驟目錄TOC\o"1-2"\h\u1前言 51.1數(shù)學分類思想的意義 51.2國內外對數(shù)學分類思想的研究 52數(shù)學分類思想的基本概念 52.1數(shù)學分類思想的概念 52.2數(shù)學分類思想的要求 63簡述幾種分類討論的原因 63.1數(shù)學概念是分類定義的 63.2數(shù)學定理、公式或運算性質、法則是分類給出的 63.3結論有多種情況或可能的 73.4參變量的取值不同會造成不同結果的 83.5較復雜或非常規(guī)的問題過程需要用分類討論 84分類步驟 95總結 9參考文獻 101前言1.1數(shù)學分類思想的意義分類思想是中學數(shù)學中的重要解決策略，它被運用到各個不同的領域之中，對于培養(yǎng)學生思維的嚴謹性、嚴密性和靈活性以及提高學生分析問題和解決問題的能力有著重要作用，是中學生學習數(shù)學必需掌握的思想[]。人在初中時期，思維的轉變訓練變得尤為重要。許多重要的數(shù)學概念、原則、法則的組成并不是沒有規(guī)律可循，而在一定的邏輯系統(tǒng)之下，我們能夠得以將這些展示[]。因此，在數(shù)學學習中，要求學生具有一定的邏輯推理能力，讓他們建立起一個完善的數(shù)學思維體系。其中，掌握分類思想是非常重要的。在解決數(shù)學問題時，對于題目中因存在無法確定的因素而影響解題時或者得出結論不能統(tǒng)一表達時，我們往往將他們按照一定標準劃分為若干個小問題來解決。通過正確的分類，便能輕易的將思維全面發(fā)展，可以化繁雜為簡單，使復雜的問題得到簡單、清晰、完整、嚴密的解答[]。1.2國內外對數(shù)學分類思想的研究進入21世紀以后，對于數(shù)學思想方法的研究也越來越受到各國研究者的重視，先后有著許多關于數(shù)學思想的專著出版，并被翻譯成中文，在我國數(shù)學界和數(shù)學教育界廣為流傳并有著廣泛的影響。其中前蘇聯(lián)數(shù)學家亞歷山大洛夫著的《數(shù)學一一它的內容、方法和意義》用通俗易懂的語言介紹了現(xiàn)代數(shù)學思想方法的歷史演進，內容由淺入深，文字簡潔明快，將寓意深刻的數(shù)學思想方法于淺顯的數(shù)學知識中，這本書曾經對中學數(shù)學教學影響很大[]。除此之外，美國的數(shù)學家M?克萊因的著作《古今數(shù)學思想》也是一本影響深刻的書。該書以分成四卷的形式呈現(xiàn)給讀者，其內容主要是從數(shù)學思想的角度研究了數(shù)學的發(fā)展歷程，數(shù)學語言凝煉簡潔，數(shù)學邏輯清晰嚴密，數(shù)學知識深刻卻淺顯易懂，數(shù)學思想方法蘊寓其中，充滿理性的魅力，讀來引人入勝，耐人尋味，發(fā)人深省。這兩部著作影響最為廣泛，成為數(shù)學專業(yè)人士、廣大的中學一線教師和師范類大學生非常喜愛的數(shù)學用書之二。在我國現(xiàn)今的中學數(shù)學教育中，越來越重視學生的邏輯思維能力、綜合運用能力和探索研究能力，傳統(tǒng)的教育模式已經遠去，新的教育模式亟待建立。而分類思想一直承擔著引導學生進行涵蓋多知識點、面、邏輯性、綜合性與探索性研究的教學任務。因此，除外國研究者外，我國也有著許多針對研究數(shù)學分類思想而出版的文章。在楊曼的《分類思想在中學數(shù)學解題中的運用》、馬書的《分類思想在中學數(shù)學中的應用》、顧亞琴的《分類討論思想在中學數(shù)學中的運用》、鄧夥《關于數(shù)學思想方法及教學策略的研究》、高興霞的《淺談中學數(shù)學教材中的分類思想》、劉芳芳《淺析中學數(shù)學分類思想方法》、李偉振的《試論中學數(shù)學分類討論思想及應用》、宋陽的《數(shù)學分類思想在初中數(shù)學教學中的應用研究》、王瑞的《通過分類思想進行初中數(shù)學課程的高效教學》這些文章中，作者們從他們理解的角度出發(fā)，將他們的想法以簡單明了的文字，配合些許例題對數(shù)學分類思想做出了詳細的介紹，并且寫出了數(shù)學分類思想在中學數(shù)學中的體現(xiàn)，和數(shù)學分類方法在中學數(shù)學中的應用。2數(shù)學分類思想的基本概念2.1數(shù)學分類思想的概念數(shù)學分類思想是高中數(shù)學中重要的解題思想。其意思是在研究一個問題但是并不能一概而論時，將這個問題按照一定的標準分成若干個小問題，然后根據(jù)題意一一討論，最終得以逐一解決，這就是分類思想[]。數(shù)學分類思想，是一種思想也是一種邏輯，同時又是一種重要的解題策略。分類思想具有較高的邏輯性和綜合性，有利于學生應對中學數(shù)學的數(shù)學任務，提升他們的學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生思維的條理性、縝密性和科學性[]。因此，在數(shù)學解題中分類思想有著重要的作用。我們會遇到含有未知參數(shù)的函數(shù)形如y=ax2+bx+c之類的題，此時首先要判斷是它一次函數(shù)還是二次函數(shù)，由此可得它的最基礎的分類討論標準就是a=0或a≠0。其分類思路就是根據(jù)二次項系數(shù)與零的關系來分類。在這一類型的題里里，還可以分為a<0，a=0和a>0這三類，這三類的分類標準就是按照的正負與其函數(shù)的圖象的開口方向是上或下的關系，但是其中最容易忘記的就是有2.2數(shù)學分類思想的要求正確的應用分類思想，是完整解題的基礎。想要應用分類思想的解決問題，則要保證分類方法的正確性和科學性，以及掌握它的分類原則。其中分類思想的分類原則有最基礎的兩條：一是分類的標準必須一致，分類討論不是隨意的分類，需要遵循一定的原則，標準也需要一致，從開始直結束需要遵循同一個分類標準，否則容易弄錯題意，混淆思維；二是在分類時不能遺漏且不能重復，遺漏分類可能會導致結論出現(xiàn)遺漏，同樣重復分類可能會導致結論重復或者錯誤[]。例如，在將數(shù)軸上的數(shù)進行分正負數(shù)時，要牢記0也在數(shù)軸上但卻不屬于正數(shù)也不屬于負數(shù)。3簡述幾種分類討論的原因3.1概念是分類定義的有些數(shù)學概念本就是分類定義而成的。比如絕對值、實數(shù)、平方根、直線與平面所成的角等等。我們在對這些數(shù)學概念進行研究時，為了使我們更加方便、清晰且深刻地理解，在討論期間就會加上分類方法討論。例1：若|a?b|=b?a,且|a|=4,|b|=3,則(a+b)2解：由|a|=4,|b|=3,；則a=±4,b=±3；由于|a?b|=b?a，所以b?a≥0，即b>a；故當b=3,a=?4時當b=?3,a=?4時綜上得(a+b)23.2定理、公式或運算性質、法則是分類給出的研究涉及的數(shù)學定理、公式或運算性質、法則是分類給出的[]。我們使用一元二次方程的判別式時、兩圓間的位置關系、直線與圓的位置關系、等比數(shù)列的前n項和公式等都用到了分類思想。在進行某些限制運算時，如，除法、開偶次方根、含有絕對值符號的運算也是有分類思想在內的。例2：化簡(3m?n)分析：由于算術平方根的運算法則，它開出的結果都是正數(shù)，但是不知道3m和n的大小，所以要對3m和解：原式=|3m?n|（1）當3m>n時，即

m>n3（2）當3m<n時，即

m<n3

例3：已知角α的終邊經過點P(12m,?5m)(m≠0)，求sinα解析：根據(jù)三角函數(shù)的概念和平方根的運算法則可以求得結果。解答：r=(12m)

m>0,costanα=

m<0,costan點評：絕對值和算術平方根的概念在進行計算時都是需要分類討論的概念，通過分類討論可以將題目簡單化，在計算時能得到正確的、完整的的結果。3.3問題的結論有多種情況或可能的在求解的數(shù)學問題的結論有多種情況或多種可能的，我們可以用分類討論的方法來解答[]。在初、高中時期，學生們將接觸到更為復雜的數(shù)學研究，其中有一類是在求解過程中數(shù)學問題的結論有多種情況或多種可能的。例4：已知x1>0，x1≠1，且xn+1=xn(xn解：作差

x=由題意知xn>0(n∈N+)故要分0<x1<1和（1）若0<x1<1時，可用數(shù)學歸納法證明1?xn>0.當n=1時，顯然成立.假設n=k時，有1?x1?所以對?n∈N+,1?xn>0若x1>1時，同(1)類似可證xn+1<xn。點評：這題因為這題比較大小，要先作差之后明顯得知要比較xn和1的大小關系，所以使用數(shù)學歸納法時要分0<x1<13.4參變量的取值不同會造成不同結果的對于一些含有參數(shù)的不等式或等式，結果會因參數(shù)取值的改變而改變，所以我們在對這類的題目進行研究時，通常會到分類討論的思想。例5：關于x的含參數(shù)方程ax2+2(a?3)x+(a?2)=0至少有一個整數(shù)解，且a解析：方程中的二次項系數(shù)a的取值可為任意數(shù)，但是當a=0和a≠0時，對原方程的解可造成有不同的結果和不同的解法，故本題分為a=0和a≠0兩種不同的情況。解答：（1）當a=0時，原方程為一元一次方程：?6x?2=0此方程解x=?1（2）當a≠0時,原方程是一元二次方程，因為它至少有一個整數(shù)根，表明了判別式為?=4(a?3)2?4a(a?2)=4(9?4a)，所以是令k2=9?4a，則因為a≠0，所以k≠3，a=k由求根公式可得:

x所以x1=?1+3+k要讓x1為整數(shù)，k可取1、5、7，即a=2、?4、?10要讓x2為整數(shù)，而k為正奇數(shù)，所以只能k=1即a=2綜上所述，a的值為2、-4、-10.3.5較復雜或非常規(guī)的問題是需要用分類討論的遇到較復雜的或非常規(guī)的數(shù)學問題，在推理過程中需要用分類討論的的解題策略來解決。例5：若x∈(0,1)，a>0且a≠1，比較|loga(1+x)|分析：因在實數(shù)集中，|k|2=k2。故要比較|loga(1+x)|解：作差

|==由0<x<1,(1lga)2>0，故0<x2又由于?1<?x<0即0<1?x<11<1+x<2即12故[lg(1?x)2][lg(所以有|故|log4分類步驟一般的,我們對一道數(shù)學題進行分類討論時，可以簡化為以下四步：確定分類討論的對象以及討論對象的全域；合理分類，統(tǒng)一標準，不重不漏；逐段逐類討論，分級進行；歸納總結，得出整個題目的結論[]。例6：設集合A={x|x+1≤0，或x?4≥0}，分析：因為A∩B=B，所以集合B是集合A的子集。又因為集合B中含有參數(shù)，所以要分B=?和B≠?兩種情況來進行討論，由此求得實數(shù)a的取值范圍。解：由題意可知A={x|x≤?1，或因為A∩B=B，所以A?B；當B=?時，滿足A?B，此時2a>a+當B≠?時，則2a≤a+2，a+2≤?1，或2a≤a+2綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為a≤?3或例7：解關于x的不等式x2分析：原不等式是關于x的一元二次不等式，可化為(x?a)(x?a2)>0。由于a與a2的取值無法確定，此不等式無法解答，因此要對解：（1）當0<a<1時，（2）當a=0時，a=a2，不等式的解集為當a=1時，a=a2，不等式的解集為當a>1或a總結：例題很明顯要用分類討論的方法來解題，所以做這題時，要按照分類討論的基本步驟來解答，先確定所要討論的對象，再確定分類標準的正負，然后逐步進行分類討論得出結果，然后歸納總結得出最終結果。5總結本文通過對分類思想的意義的敘述開始，講述了分類思想的概念和原則，更主要的是針對分類思想在中學數(shù)學中的應用做出了探討。文章詳細介紹了分類思想的步驟和方法，由此我們可以歸納出數(shù)學分類思想應用的具體步驟為：首先針對探討對象全域做出確認，其次根據(jù)全域和題目所求，依照統(tǒng)一的分類標準，不重不漏地進行分類，然后根據(jù)分類，逐類討論，最終歸納總結，得出最終結果。我們在遇見問題需要分類時，可按照上述的步驟將問題逐漸簡單化，把原來困難、復雜的問題轉化各個簡單的小問題，最終將問題解決。所謂分類思想，其意思是在研究一個問題但是并不能一概而論時，將這個問題按照一定的標準分成若干個小問題，然后根據(jù)題意一一討論，最終得以逐一解決，這就是分類思想。它是一種重要的數(shù)學思想方法，其基本思路是將一個較復雜的數(shù)學問題分解成若干個基礎性的小問題，通過對基礎性小問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略。分類思想是初高中常見的解決問題的方法之一，也是學生必須掌握的解決問題的方法之一。在高中數(shù)學中，分類討論時非常重要的一種解題思路，每次高考的數(shù)學試卷中，必然會有需要用到這種思想方法的題目。但是我在高一實習時，我發(fā)現(xiàn)高一的學生他們對分類思想掌握得并不熟練、甚至有一些對需要分類討論的的題目有著厭惡心理，認為分類討論太麻煩。其實我們之所以要將分類思想交給學生們是為了學生在解決問題時能夠更簡單的、清晰的解答，是為了教給他們一個解決問題的方式，但是效果卻有一些本末倒置，讓人不得不反思。回溯整篇文章內容，我們不難發(fā)現(xiàn)分類思想確實是學生解決問題的一大幫手，所以為了更好的教學和學生更好的學習，分類思想的重要性不言而喻。我們應該以學生接受的思維方式，才能在相對平順的環(huán)境中應用數(shù)學解題過程的分類思想。參考文獻[1]顧亞琴.分類討論思想在中學數(shù)學中的運用[J].新高考(升學考試),2017(7).[2]李偉振.試論中學數(shù)學分類討論思想及應用[J].廣西教育，2018(6).[3]夏滄桑.淺析分類思想在初中數(shù)學教學中的運用[J].教育教學論壇,2012(08):158-159.[4]高興霞.淺談中學數(shù)學教材中的分類思想[J].新課程(下),2019,000(004):108.[5]馬書平.分類思想在中學數(shù)學中的應用[J].新課程(中),2015,