專題11.3 三角形三條重要線段（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）（人教版） （教師版） 2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（人教版）

專題11.3三角形三條重要線段（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】三角形的高（1）定義：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它所對(duì)的邊所在直線作的垂線段叫做三角形邊的高.（2）三角形高的畫法：一靠：使三角尺的一條直角邊靠在要作高的邊上；二移：移動(dòng)三角尺使另一條直角邊通過(guò)這條邊所對(duì)的頂點(diǎn)；三畫：畫垂線段。（3）三角形三條高的位置：①三角形三條高交于一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱作三角形的垂心；②銳角三角形垂心在三角形內(nèi)部；直角三角形垂心是直角頂點(diǎn)；③鈍角三角形垂心在三角形外部.【例1】（23-24七年級(jí)下·廣東深圳·期中）下列四個(gè)圖形中，線段是的高是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了三角形的高，根據(jù)三角形高的定義及畫法知，過(guò)點(diǎn)作邊上的高，垂足為，其中線段是的高，再結(jié)合圖形進(jìn)行判斷即可求解，掌握三角形高的定義和畫法是解題關(guān)鍵．解：、線段不是的高，不合題意；、線段不是的高，不合題意；、線段不是的高，不合題意；、線段是的高，符合題意；故選：．【知識(shí)點(diǎn)二】三角形的中線定義：連接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形這邊上的中線；三角形的重心：三角形三邊上的中線交點(diǎn)叫做三角形的重心。【例2】（23-24七年級(jí)下·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在中，，，為中線，則與的周長(zhǎng)之差為（

）A．5 B．3 C．4 D．2【答案】A【分析】本題主要考查了三角形中線的性質(zhì)，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可．解：∵為中線，∴，∵的周長(zhǎng)，的周長(zhǎng)，∴與的周長(zhǎng)之差為，故選：A．【知識(shí)點(diǎn)三】三角形的角平分線（1）定義：在三角形中；一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與對(duì)邊交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。（2）三角形的內(nèi)心：三角形角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心?！纠?】（23-24八年級(jí)上·遼寧盤錦·階段練習(xí)）如圖，，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．是的角平分線 B．是的角平分線C． D．是的角平分線【答案】D【分析】本題考查了角平分線的定義，根據(jù)角平分線的定義作答即可．解∵，，∴是的角平分線，是的角平分線，∴，∴選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：D．第二部分【典例展示與方法歸納】【題型1】三角形高線（等面積求高模型）【例1】（23-24七年級(jí)下·江蘇徐州·期中）如圖，是的中線，是的高，，，，．（1）求高的長(zhǎng)；（2）求的面積．【答案】(1)；(2)【分析】本題主要考查了三角形的高，中線：（1）根據(jù)，即可求解；（2）根據(jù)三角形中線的定義可得，再由三角形的面積公式計(jì)算，即可．（1）解：∵是的高，．∴，∵，，，∴，解得：；（2）解：∵是的中線，，∴，∴的面積．【舉一反三】【變式1】（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期中）如圖，在中，，點(diǎn)D是中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若則的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】本題主要考查了垂線段最短，求三角形的高，先由線段中點(diǎn)的定義得到，再根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)時(shí)有最小值，據(jù)此利用面積法求解即可．解：∵點(diǎn)D是中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)P是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)有最小值，∵，∴，∴，故選：C．【變式2】（22-23七年級(jí)下·福建福州·期末）如圖，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，若、、，為線段上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)取最小值時(shí)，．

【答案】8【分析】分別過(guò)點(diǎn)A、B作y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)E、點(diǎn)F，得出，，，最后利用代入求解即可．解：如圖，分別過(guò)點(diǎn)A、B作y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)E、點(diǎn)F，

∵、、，∴，，，∵當(dāng)時(shí)，取最小值，∵，∴，即解得，，故答案為：8．【點(diǎn)撥】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)及三角形的面積，掌握：三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半是解題的關(guān)鍵．【題型2】三角形中線（中線等分面積模型+周長(zhǎng)差問題）【例2】（23-24七年級(jí)下·江西萍鄉(xiāng)·階段練習(xí)）如圖，已知、分別是的中線和高，的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)大，且．（1）求的長(zhǎng)；（2）求與的面積關(guān)系．【答案】(1)；(2)【分析】本題考查三角形中線的定義，（1）根據(jù)三角形中線的定義可得，再根據(jù)題意得，即可求解；（2）根據(jù)中線的定義可得，再根據(jù)三角形面積公式即可得出結(jié)論．（1）解：是的中線，，的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)大，，，，；（2）解：，，是的中線，，．【舉一反三】【變式1】（23-24八年級(jí)上·廣東江門·階段練習(xí)）如圖，已知是的中線，，則和的周長(zhǎng)的差是．

【答案】9【分析】根據(jù)三角形中線的定義可得，然后求出，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．解：∵是的中線，∴，∵，，∴，∵，∴和的周長(zhǎng)的差是9，故答案為：9．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的中線的定義，求出是解題的關(guān)鍵．【變式2】（23-24七年級(jí)下·陜西·期中）如圖，在中，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接、、，若，則為．【答案】【分析】本題考查了三角形的面積，三角形中線的性質(zhì)，根據(jù)同高的三角形底邊之間的關(guān)系分別求出、、、、、，即可求出的面積．解：如圖，連接、、，，，，，，，，，，，，，故答案為：．【題型3】三角形角平分線（角平分線+平行線模型）【例3】（23-24八年級(jí)下·江西撫州·階段練習(xí)）如圖，在中，平分平分，且，，，求的周長(zhǎng)．【答案】5【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先由角平分線的定義，得，結(jié)合平行線的性質(zhì)，得，進(jìn)行角難度等量代換，得，再結(jié)合等角對(duì)等邊，即可作答．解：如圖：∵平分平分∴∵，∴∴∴【點(diǎn)撥】則的周長(zhǎng)【舉一反三】【變式1】（23-24九年級(jí)下·湖北襄陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在中，，和的平分線相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作的平行線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，則的周長(zhǎng)為（

）A．9 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行結(jié)合角平分線，推出，進(jìn)而得到的周長(zhǎng)為，即可得出結(jié)果．解：∵和的平分線相交于點(diǎn)D，∴，∵過(guò)點(diǎn)D作的平行線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，∴，∴，∴的周長(zhǎng)為；故選C．【變式2】（22-23八年級(jí)上·遼寧鞍山·期中）如圖，，以點(diǎn)為圓心，小于長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交，于，兩點(diǎn)，再分別以，為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點(diǎn)，作射線，交于點(diǎn)．若，則．

【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，再利用角平分線的定義解答即可．解：∵，∴，∵，∴，∵根據(jù)作法可知：是的平分線，∴，故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】一、直通中考【例1】（2023·安徽·中考真題）清初數(shù)學(xué)家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對(duì)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的計(jì)算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個(gè)完整的證明，證明過(guò)程中創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)直角三角形，得出了一個(gè)結(jié)論：如圖，是銳角的高，則．當(dāng)，時(shí)，．

【答案】【分析】根據(jù)公式求得，根據(jù)，即可求解．解：∵，，∴∴,故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的高的定義，正確的使用公式是解題的關(guān)鍵．【例2】（2021·山東聊城·中考真題）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E，AD與CE交于點(diǎn)O，連接BO并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，則CE：AD：BF值為．【答案】【分析】由題意得：BF⊥AC，再根據(jù)三角形的面積公式，可得，進(jìn)而即可得到答案．解：∵在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E，AD與CE交于點(diǎn)O，∴BF⊥AC，∵AB＝5，BC＝4，AC＝6，∴，∴，∴CE：AD：BF=，故答案是：．【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形的高，掌握“三角形的三條高交于一點(diǎn)”是解題的關(guān)鍵．二、拓展延伸【例1】（23-24七年級(jí)下·廣東惠州·期中）如圖，已知平分，，且．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)；（3）當(dāng)，，時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離．【答案】(1)見解析；(2)；(3)【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的面積公式，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論；（3）過(guò)作于，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．（1）證明：平分，，，，；（2）解：，，，平分，，，，；（3）解：過(guò)作于，，，，，故點(diǎn)到直線的距離為．【例2】（23-24七年級(jí)下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）【探究】如圖1，是中邊上的中線，與的面積相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由，【應(yīng)用】如圖2，點(diǎn)A、B、C分別是、、的中點(diǎn)，且，則圖2中陰影部分的面積為；【拓展】（1）如圖3，中，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得，延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使得，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使得，連接、、，如果，那么為．（2）如圖4，中，，，點(diǎn)D、E是、邊上的中點(diǎn)，、交于點(diǎn)F．若的面積為S，則四邊形面積為（用含S的代數(shù)式表示）；四邊形的面積存在最大值，這個(gè)值為．【答案】探究：，理由見解析；應(yīng)用：24；拓展：（1）54；（2），32【分析】探究：根據(jù)等底同高的三角形面積相等，即可得結(jié)論；應(yīng)用：連接，，，運(yùn)用探究結(jié)論可知，則，同理可得，即可求得陰影部分的面積；拓展：（1）如圖，連接，，利用等高的性質(zhì)，求得所有三角形的面積，再求和，可得結(jié)論；（2）連接并延長(zhǎng)交于，可知是邊上的中點(diǎn)，記6個(gè)小三角形的面積分別為，，，，，，可得，進(jìn)而可得，可知四邊形面積，要使得四邊形面積最大，只需要使得的面積最大，則只需要，可得的面積最大值為，即可求得四邊形面積最大值．本題考查與三角形中線有關(guān)的面積問題，等高模型的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解三角形中線的性質(zhì)．解：探究：，理由如下：過(guò)點(diǎn)作，交于，∵是中邊上的中線，則，∴，即：；應(yīng)用：連接，，，∵點(diǎn)A、B、C分別是、、的中點(diǎn)，∴，，，∴，則，