考場仿真卷01-2021年高考數(shù)學(xué)（文）模擬考場仿真演練卷（全國Ⅲ卷）（全解全析）

2021年高考數(shù)學(xué)模擬考場仿真演練卷（全國ni卷）01

文科數(shù)學(xué)?全解全析

123456789101112

ADDCAABCAACD

1.已知集合4={尤|：<2"<8},8={x||<log2x<l},則是xeA的（）。

A、充分不必要條件

B、必要不充分條件

C、充要條件

D、既不充分也不必要條件

【答案】A

2X3

【解析】；A={X|2-<2<2}={X|-2<X<3},B={x|log272<log2x<log22}={x|72<x<2},

3^A,3是A的充分不必要條件，故選A。

2.已知平面向量Z=（m,-4）,刃=（-1,根+3）,若存在實數(shù)入<0,使得]=焉，則實數(shù)機的值為（）。

A、-4

□12

B、---

5

C、-1

D、1

【答案】D

~k―IZZZ―入）

【解析】?:a=Xb,；.（祖,一4）=九（一1,）+3）,則，解得入=4或入=—1,

[-4=Mm+3）

又九<0,...入=—1,...m=1,故選D。

3.新冠肺炎肆虐全，疫情波及200多個國家和地區(qū)；一些國家宣布進入“緊急狀態(tài)”，全球股市劇烈震蕩……

新冠肺炎疫情嚴重挑戰(zhàn)公共衛(wèi)生安全，全面沖擊世界經(jīng)濟運行，深刻影響社會生活運轉(zhuǎn)。這場全球公共衛(wèi)

生危機，需要國際社會的通力合作，在一次國際醫(yī)學(xué)學(xué)術(shù)會議上，來自四個國家的五位代表被安排在一張

圓桌就座，為了使他們能夠自由交談，事先了解到的情況如下：甲是中國人，還會說英語；乙是法國人，

還會說日語；丙是英國人，還會說法語；丁是日本人，還會說漢語；戊是法國人，還會說德語；則這五位

代表的座位順序應(yīng)為（）。

A、甲乙丙丁戊

B、甲丁丙乙戊

C、甲丙丁戊乙

D、甲丙戊乙丁

【答案】D

【解析】戊是法國人，還會說德語，只能用法語交流,

則兩側(cè)只能是乙和丙，乙旁邊是丁，丙旁邊是甲，故選D。

4.已知函數(shù)/(x)=x?lnx,a=/(V2)>b-/(In>c=/(log23),則a、b、c的大小關(guān)系為()。

A、a>c>b

B、b>c>a

C、c>a>b

D、c>b>a

【答案】C

【解析】由jT(x)=lnx+l=O得x=工，則/(九)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

ee

31]

lo§23>lo§2A/S——>A/Z>1>In——>一，

22e

/(log23)>/(V2)>/(InVe),即c>a>b,故選C。

x-y<Q

5.已知實數(shù)x、y滿足約束條件的-yWO,其中m<-1,若目標函數(shù)y=的最大值為2,則〃?=()。

x-m

x+y<l

A、-2

、3

B、一2或——

2

C、-2或工

2

D、--

2

【答案】A

【解析】表示區(qū)域為如圖陰影部分，A(',5-)

m+1m+1

目標函數(shù)z=3^的幾何意義是可行域內(nèi)的點(x,y)與P(機,0)所連直線的斜率最大,

x-m

m

故有?.=:"I=2,即2/+3租一2=0,解得m=—2或乙舍)，故選A。

------m2

m+1

6.某城鎮(zhèn)重點打造運動體閑小鎮(zhèn)品牌，修建了休閑運動廣場，廣場內(nèi)設(shè)置了一些石凳供大家體息，這些石

凳可看作是由正方體截去八個一樣的四面體得到的，如圖，若被截正方體的棱長是50皿，則每個石凳的

表面積為()。

A、2500(3+V3)cm2

B、17500c/?2

C、7500氐/

D、5000(3+揚的2

【答案】A

【解析】由題意知每個石凳有6個正方形表面，每個正方形的面積為（25&）2cm2,

有8個正三角形表面，每個正三角形的面積為Jx（25行'）2

4

每個石凳的表面積S=6x（25揚?+8x立x（25揚2=2500（3+揚an

2,故選A。

4

7.已知函數(shù)/（X）=d+sinx,若ae[0,n],Pe[—^，-^],且-a）=/（20）,則cosg+|3）=（7

,V2

A、----

3

D、--

3

Ca

2

D、近

2

【答案】B

【解析】/單調(diào)遞增，（二―[—工二],Pe則/（尤）在[―二,々上遞增，

2222222

則1一（1=2d，cosC-^+P）=cos,故選B。

8.已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體

外接球的體積為（）。

D、n

【答案】C

【解析】原三視圖可還原成三棱錐P-A5C,

可把三棱錐P-ABC還原成正方體如圖，棱長為1,

則三棱錐尸-ABC的外接球的半徑為此正方體的半徑R=工豆

2

則丫=3兀&=4兀.￡|=叵，故選C。

3382

9.秦九韶算法是中國南宋時期的數(shù)學(xué)家秦九韶提出的一種多項式簡化算法，如下的程序框圖所示用秦九韶

5432

算法求5次多項式/(x)=a5x+a4x+a3x+a2x+axx+,當(dāng)%二與(/￡R)時的值的過程，若輸入

=2,《=—5,a2=6,%=—4,%=7,a5=2,x0=3,則輸出的v的值為()。

A、984

B、985

C、986

D、987

【答案】A

【解析】執(zhí)行程序框圖,

輸入。0=2,〃]=—5,必=6，%=—4,4=7,%=2，曲=3,

經(jīng)過第1次循環(huán)得v=13,n=2,

經(jīng)過第2次循環(huán)得v=35,〃=3,

經(jīng)過第3次循環(huán)得v=111,及=4,

經(jīng)過第4次循環(huán)得□=328,n=5,

經(jīng)過第5次循環(huán)得v=986，n=6,

退出循環(huán)，故輸出的u的值為986,故選C。

10.如圖所示，已知耳和尸2分別是雙曲線c：=l(a>0,6>0)的左、右焦點，圓(x+cf+y2=4c2

ab

與雙曲線位于x軸上方的圖像從左到右依次交于A、B兩點,如果乙取丹=120°,則的余弦值為

()o

V3-1

B、

2

1_

C、

2

V3

D、

T

【答案】A

【解析】連接A%、BF],取伍的中點C,9'2的中點。，連接片C、KD,

由已知及雙曲線的定義得|旬|=|班|=|不外|=2c,|伍|=2a+2c,1351=20—2。,

VZAF^=120°,，RAC石居中，sinNC丹后=sin60°=,

_l-￡

又0<a<c,—=V3-1,cosZBFjF,=''=-~—=-----=1-立，故選A。

c21|“12c22

11.如圖所示，正方體ASCD-44CiQD的棱長為1,線段耳2上有兩個動點E、F,且=則下

2

列結(jié)論中錯誤的是（）。

A、ACLBE

B、E尸〃平面ABCD

C、AAEF的面積與ABEF的面積相等

D、三棱錐A-跳F的體積為定值

【答案】C

【解析】在正方體ABCD-ABIGDID中，E、/是線段歸口上的兩個動點，

AC±BD且AC±BB],：.AC±平面BB[DDX,

：=平面班|D￡>],ACLBE,A對，

平面A[BiGD]〃平面ABCDS.E/a平面A{BXCXDX,：.EFU平面ABCD,B對，

3到百Q(mào)的距離為BB]=1,A到gR的距離大于上下底面中心的連線，即大于1,

AAEF的面積大于ABE尸的面積，C錯，

A到平面DBBQi的距離即是A到BD的距離為，7?=*是定值，

底面5.尸='4乂1=」是定值，，三棱錐4—3所的體積也為定值，D對,

ABEF224

故選C。

12.已知函數(shù)/l(x)=a?/(aeR)的圖像經(jīng)過P(2,l),若函數(shù)g(x)="(x)-21nx|+/有四個零點，則實數(shù)f的

取值范圍為()o

A、(―oo,l—21n2)

B、(—8,1—2In2]

C、[l-21n2,0)

D、(1-2In2,0)

【答案】D

【解析】由已知可得/(2)=〃?/=1,解得〃=',故/⑴，/.g(x)—21nxi+方,

eee

易知函數(shù)g(x)的零點個數(shù)即函數(shù)y=|4■，-21nxi的圖像與直線y=T的交點個數(shù)，

e

112

設(shè)/i(%)=丁產(chǎn)一21nx，定義域為(0,+oo),則hf(x)=^z-ex—，

eex

i?12

設(shè)皿x)=—7e*——，加(x)，則加(1)>0恒成立，，皿工)在(。,+°°)內(nèi)單調(diào)遞增,

exex

又根(2)=0,則當(dāng)0<%<2時根(x)<0,BPhf(x)<0,當(dāng)尤>2時根(%)>0,即/z'(x)>0,

???/%)在％=2處取得極小值也是最大值，則"(2)=1-2In2v0,

又當(dāng)xf。+時h(x)>0,當(dāng)％f+oo時h(x)>0，

21nx|的圖像如圖所示，

e

由圖像可知，0<T<21n2—l,即l—21n2</<0時，

函數(shù),=|4爐-21nxi的圖像與直線y=T有四個交點,

e

即函數(shù)g(%)=|/(%)-21nx|+T有四個零點，故選D。

13.利用計算機產(chǎn)生0?1之間的均勻隨機數(shù)。，則事件“4a-IvO”發(fā)生的概率為

【答案】-

4

【角軍析】由題意知又4。一1<0得0<〃<!，

4

￡

根據(jù)幾何概型公式可得，事件“4。-1<0”發(fā)生的概率為P=^-=-o

1-04

14.已知|z+75/|+|z-V^i|=6,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)點尸(九,y)的軌跡方程為

22

【答案】匕+工=1

94

【解析】設(shè)Z對應(yīng)的點尸(x,y),則|z+7^|+|z_V^|=Jx2+(y+7^)2石)2=6

設(shè)點A(0,右)、B(0,-6,則|B4|+|PB|=6>|AB|,

22

???點P在以A、3為焦點的橢圓上，軌跡方程為匕+±=1。

94

15.設(shè)函數(shù)/(?="一1，XVI,則滿足/Q—1)</(2。的f的取值范圍是________。

1,X>1

【答案】(—1,2)

【解析】當(dāng)xVl時，函數(shù)=是增函數(shù),則/(x)V/(l)=l,

作出了(x)的大致圖像如圖所示，

結(jié)合圖像可知，要使/(?-1)</(20,

r-l<lt-l<l

則需<2t<l或<2t>l，角軍得-l<t<—^—<t<2,

22

t—1<2t

即-1<，<2,故看的取值范圍是(-1,2)。

、回一1

16.在AABC中，角A、5、C的對邊為Q、b、c,若a=2,NA=60°,則b+——c的取值范圍是

2

【答案】(6-1,20]

【解析】???〃=2,NA=60°,?,?由正弦定理得：nbLhc2=4名,

sinAsinBsinCsin60°V3

V3-1473-1

:.b+椅-------sinC)=-^[sin(120°-C)+-------sinC]

22V32

立二?sinC)：

cosC+—sinC)

222

=2(cosC+sinC)=141sin(C+45°),

V0°<C<120°,A45°<C+45°<165°,sin165°=-———,

4

<sin(C+45°)<1,.\73-1<&+^—!-c<2V2o

42

17.(12分)已知數(shù)列｛許｝滿足：%_]-2%+a“+i=0(〃eN+,〃22)且q=2、%=4，數(shù)列｛4｝的前“項

和為5“=22-1(女乂)。

(1)求數(shù)列｛許｝、出“｝的通項公式；

(2)符號印表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，記的=[1(峪2(。0-1)],T“為數(shù)列｛g｝的前〃項和，求耳。

【解析】(1)?.,數(shù)列｛許｝滿足4“_1-2%+4,+1=0("€乂，n>2),

數(shù)列｛許｝是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，

?；%=2、%=4,:.d=-^1-=1,an=n+l,2分

,/數(shù)列｛bn｝的前n項和為S“=2包—1(“e乂)，

.?.當(dāng)”=1時，1=4=2偽—1,解得4=1,

當(dāng)〃N2時,d=6“—2_1=(26"—1)—(26-—1),化簡得:bn=2bn_x,

數(shù)列｛2｝是首項為1、公比為2的等比數(shù)列，：.bn=2"-'；4分

(2)由(1)知%=[log2，“，當(dāng)/WvvZEi時，[log2??]=)t,左wZ,5分

Hn

二T2?=[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+---+[log2(2-2)]+[log?(2"-1)]+[log22]

=0+1+1+2H--F(〃一1)+(〃一1)十〃

=lx21+2x22+3x23+---+(M-2)x2,i-2+(n-l)x2,,-1+77.,8分

234,,-1,,

2T2?=lx2+2x2+3x2+---+(M-2)x2+(n-l)x2+2n,9分

上式減下式得：

12341,,H

-Tv,=2+2+2+2+---+2"--(n-l)x2-77=-2-(n-2)x2-77,11分

4=(〃—2)X2"+〃+2。12分

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=，g(x)=辦2+2x-l。

(1)求曲線y=/(x)在(0,7(0))處的切線方程；

(2)當(dāng)xVO時，若aN—2,求證：/(x)+g(x)>0?

【解析】(1)：〃為="2"/(x)的定義域為R,r(x)=_2e2,1分

/./(0)=-2,又7(0)=1,...切線方程為y—1=—2(x—0),即2x+y—1=0；3分

(2)證明：要證/(x)+g(x)20,

只證依2+2x-l+"2x20,即證(ox?+2x-l)-e2x+120,4分

4F(x)=(ax2+2x-l)-e2x+l,

xV0,aN_2,e">0,QX^2—2x?,即(JX~+2x—IN—2x?+2尤一1,6分

：.(ax2+2x-l)-e2x+l>(-2x2+2x-l)-e2x+1,

即/。)2(-2—+2彳-1)"*+1,7分

令6(*)=(-2_?+2%-1)/￡+1,

則G'(x)=(~4x+2)-e2x+2x(~2x2+2x-1)?e2x=-4x2-e2x<0,9分

G(x)在(一8,0]上單調(diào)遞減，又G(0)=0,，x<0時G(xR0,11分

F(x)>0,即f(x)+g(x)>0o12分

19.(12分)某海產(chǎn)品經(jīng)銷商調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該海產(chǎn)品每售出1f可獲利0.4萬元，每積壓1f則虧損0.3萬元。根

據(jù)往年的數(shù)據(jù)，得到年需求量的頻率分布直方圖如圖3所示，將頻率視為概率。

(1)請補齊[90,100]上的頻率分布直方圖，并依據(jù)該圖估計年需求量的平均數(shù)；

(2)今年該經(jīng)銷商欲進貨100f,以x(單位：t,xe[60,110])表示今年的年需求量，以y(單位：萬元)表

示今年銷售的利潤，試將y表示為尤的函數(shù)解析式；并求今年的年利潤不少于27.4萬元的概率。

頻率

組距

0.050

0.045

0.040

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

。60708090100110年需求量/t

【解析】(1)由題意可知，［90,100］上的頻率為0.1—0.005—0.015—0.050—0.010=0.02,1分

補全頻率分布直方圖如圖所示,2分

設(shè)年需求量的平均數(shù)為尤，

則1=65x0.05+75x0.15+85x0.5+95x0.2+105x0.1=86.5,4分

(2)設(shè)今年的年需求量為x噸，今年的年利潤為y萬元，

當(dāng)OWxWlOO時，y=0.4x-0.3x(100-x)=0.7x-30,5分

當(dāng)x>100時，y=40,6分

,,fO.7x-3O,6O<x<100

故y，7分

［40,100<x<110

設(shè)0.7x—30N27.4,解得x282,

90-824

P(82<^<90)=^^xP(80<x<90)=-x0.5=0.4,8分

P(90<x<100)=0.2,9分

P(100<%<110)=0.1,10分

貝。尸(xA82)=尸(82Vx<90)+尸(90Vx<100)+尸(100WxV110)

=04+0.2+0.1=0.7,11分

今年的年利潤不少于27.4萬元的概率為0.7。12分

20.(12分)如圖所示，等腰AABC的底邊AB=6后，高8=3,點E是線段3。上異于點3、。的動點。

點尸在3c邊上，且所，A6?，F(xiàn)沿所將A6E/折起到APE廠的位置,

(1)證明E尸，平面

(2)記BE=x,V(x)表示四棱錐P—AC產(chǎn)E的體積，求V(x)的最值。

【解答】(1)證明：：EFLAB,：.NBEF=NPEF=90°，,EFLPE,2分

又=平面PAE；4分

(2)解：VPELAE.PELEF,又?.?他口防=石，PEL平面A3C,5分

即PE為四棱錐尸—ACRE的高，由高線CD及E廠，A3得所〃CD,...匹=竺，

BDCD

由題意知d==空，，。=逅*，7分

3V636

2

?'?SACFE=S"BC一S2EF=-X6A/6X3--X-^-X=946--^-X2,

22o12

而PE=EB=x,.,.y(x)=LsACFE，PE=3瓜-逅馬0<%<3新)，9分

336

V,(x)=3V6-—x2,令U(x)=0,解得x=6,

12

...當(dāng)0<x<6時V'(x)>0,則V(x)在(0,6)單調(diào)遞增，

當(dāng)6cx<3后時V'(x)<0,則V(x)在(6,3后)單調(diào)遞減，11分

...當(dāng)x=6時V。)取得極大值也是最大值，V(x)max=V(6)=12V6o12分

21.（12分）已知點"（1,1）是拋物線C：/=2加（°>0）上一定點，過點M作射線MA、MB,分別交拋

物線C于點A、B,S.MA±MBo

（1）求證：直線AB過定點；

（2）若直線AB的斜率為：，試在拋物線上A點與3點之間的弓形弧上求一點。，使A0AB的面積最大,

并求其最大值。

【解析】（1）,?,點在拋物線C：V=2p無（°〉。）上，二代入得l=2p,；.〃=；,

???拋物線C的方程為產(chǎn)=苫，1分

由題意可知直線AB的斜率不為0,設(shè)直線的方程為x=7肛+.,2分

[x=my+a。

聯(lián)立《得：yo-my-a=0,A=m2+>0,

設(shè)A（孫％）、B（X2,為），則乂+%=加，3分

又則忘?贏=0,即（%—1）（々一1）+（乂一1）（%—1）=0，

即玉72—（玉+々）+%，%一（%+%）+2=0，又>：=畫、yf=x29

***>：,y；—（%+為）2+3%,%—（%+為）+2=0，代入得力—根2_3a—zu+2=0,

（a2—m1）—2（〃+m）—{a—m—2）={a+m）（a—m———m—

={a+m—1）（〃一加―2）=0,5分

角牟得a=—m+1或〃=根+2,

當(dāng)〃=一相+1時光=沖一根+1,必過點（1,1）,不符合題意，舍去，

當(dāng)”=m+2時》=沖+7找+2,必過點(2,-1),符合題意，取,

綜上，直線AB必過點(2,-1)；7分

(2)由(1)知，直線AB必過點(2,-1),

?..直線AB的斜率為g,.?.直線A3的方程為x-2y-4=0,

8分

x-2y-4=00

聯(lián)立得y—2y—4=0,則%+%=2,M,%=—4,9分

2

I|=+—J(%+%)2-4yly2=10，設(shè)點。到直線AB的距禺為2,

則5整胴=^dx\AB\=5d,當(dāng)d最大時AQAB的面積最大,

10分

由題意可知點。一定在第一象限，則此時y=6,y=

當(dāng)過點Q(x°,為)的直線為拋物線/=X的切線且斜率為;時，d最大,

此時。(%％)為切點，??.y'bx。一--，解得/。=1,%=1，

2H2

11-2-41

即。(1,1),與。(1,1)重合,此時SA°AB=5X=5x—j==5^l~5o12分

V5

22.(10分)以直角坐標系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，并在兩種坐標系中取相

,V3

x=