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專題06全等三角形的五種模型
全等三角形的模型種類多,其中有關(guān)中點(diǎn)的模型與垂直模型在前面的專題己經(jīng)很詳細(xì)的講解,這里就不在
重復(fù)。
模型一、截長(zhǎng)補(bǔ)短模型
①截長(zhǎng):在較長(zhǎng)的線段上截取另外兩條較短的線段。
如圖所示,在BF上截取BM=DF,易證△BMC絲△DFC(SAS),則MC=FC=FG,NBCM=/DCF,
可得△MCF為等腰直角三角形,又可證NCFE=45。,NCFG=90。,
ZCFG=ZMCF,FG〃CM,可得四邊形CGFM為平行四邊形,則CG=MF,于是BF=BM+MF=DF+CG.
②補(bǔ)短:選取兩條較短線段中的一條進(jìn)行延長(zhǎng),使得較短的兩條線段共線并尋求解題突破。
如圖所示,延長(zhǎng)GC至N,使CN=DF,易證ACDFgZ\BCN(SAS),
可得CF=FG=BN,ZDFC=ZBNC=135°,
又知/FGC=45。,可證BN〃FG,于是四邊形BFGN為平行四邊形,得BF=NG,
所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.
例1.如圖,MBC中,回B=20A,EMCB的平分線CD交AB于點(diǎn)D,已知AC=16,BC=9,則B。的長(zhǎng)為()
A.6B.7C.8D.9
【答案】B.
【詳解】解:如圖,在C4上截取CN=CB,連接DN,
???CZ)平分ZACB,/BCD=ZNCD,
?;CD=CD,:.4CBD^ACND(SAS),:.BD=ND,4B=4CND,CB=CN,
BC=9,AC=16,:.CN=9,AN=AC-CN=7,
ZCND=ZNDA+NA,r.NB=ANDA+ZA,
,:乙B=24A,:.4A=4NDA,:.ND=NA,:.BD=AN=1.故選:B.
【變式訓(xùn)練1】如圖,在M8C中,AB=BC,a4BC=60°,線段AC與AD關(guān)于直線AP對(duì)稱,E是線段BD與
直線AP的交點(diǎn).
(1)若回DAE=15。,求證:MB。是等腰直角三角形;
(2)連CE,求證:BE=AE+CE.
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【詳解】證明:(1)團(tuán)在附8c中,AB=BC,EMBC=60°,EEABC是等邊三角形,
QAC=AB=BC,^BAC=^\ABC=^ACB=60",
囪線段AC與AD關(guān)于直線AP對(duì)稱,函C4£=?CWE=15°,AD=AC,
甌84£=團(tuán)84:+回6£=乃°,EBBAD=90。,M8=4C=AD,0348。是等腰直角三角形;
(2)在BE上取點(diǎn)F,使8F=CE,連接AF,
P
團(tuán)線段AC與AD關(guān)于直線AP對(duì)稱,^EACE=BADE,AD=AC,
^AD=AC=AB,WADB=SABD=SACE,
AC=AB
在EW8F與MCE中,ZACE=ZABF,^BABF^RACE(SAS'),SAF=AE,
CE=BF
MD=4B,0SD=EMBD,又EICAE=EIDAE,
0ZAEB=ZD+Z.DAE=1(ZD+NABD+ZDAC)=^(180°-ZBAC)=60°,
El在EWFE中,AF=AE,MEF=60。,EEMFE是等邊三角形,SAF=FE,
0BE=8F+FE=CE+AE.
【變式訓(xùn)練2】如圖,在12ABe中,0ACB=0ABC=4O°,BD是EIABC的角平分線,延長(zhǎng)BD至點(diǎn)E,使得DE=DA,
則回ECA=.
【答案】40。
【詳解】解:在BC上截取BF=AB,連接DF,
V0ACB=0ABC=4O",BD是回ABC的角平分線,回A=100。,I3ABD=0DBC=2OO,
A0ADB=6OO,0BDC=12O",
???BD=BD,/.0ABD00FBD,
DE=DA,;.DF=AD=DE,0BDF=0FDC=0EDC=6O°,0A=(3DFB=1OO°,
VDC=DC,.'.0DECE0DFC,
ZDCB=NDCE=NDFC-NFDC=100°-60°=40°;
故答案為40。.
【變式訓(xùn)練3】已知四邊形ABCD是正方形,一個(gè)等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與A點(diǎn)重合,將此三角板
繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),兩功分別交直線BC,CD于M,N.
⑴如圖1,當(dāng)M,N分別在邊BC,CD上時(shí),求證:BM+DN^MN
⑵如圖2,當(dāng)M,N分別在邊BC,CD的延長(zhǎng)線上時(shí),請(qǐng)直接寫出線段BM,DN,MN之間的數(shù)量關(guān)系
(3)如圖3,直線AN與BC交于P點(diǎn),MN=10,CN=6,MC=S,求CP的長(zhǎng).
【答案】(1)見解析;(2)BM-DN=MN-.(3)3
【詳解】(1)證明:如圖,延長(zhǎng)到G使BG=£W,連接AG,
團(tuán)四邊形A8CD是正方形,12AB=A£>,ZABG=ZADN=NBAD=9CP,
AB=AD
在AABG與/XADN中,ZABG=ZADN,:.AAGB^AAND(SAS),AG=AN,NGAB=ZDAN,
BG=DN
AMAN=45°,ABAD=90°,SZDAN+ZBAM=NBAD-ZMAN=45°,
/.NGAM=NGAB+ZBAM=ZDAN+ZBAM=45°,/.ZGAM=ZNAM,
.AM=AM
在AAWN與AAMG中,■ZGAM=ZNAM,:4MN/Z^AMG(SAS),.-.MN=GM,
AN=AG
)l^BM+GB=GM,BG=DN,:.BM+DN=MN■.
(2)BM—DN=MN,理由如下:
如圖,在8M上取一點(diǎn)G,使得BG=DN,連接AG,
團(tuán)四邊形A8CD是正方形,^AB=AD,ZABG=ZACW=ZBAD=90。,
AB=AD
在AABG與△A£>N中,<NABG=ZADN,AAGB^/^AND(SAS),
GB=DN
:.AG^AN,ZGAB=ZDAN,^ZCAB+ZGAD=ZDAN+ZGAD.0ZG4N=ZBAD=9O°,
又AMAN=45°,ZG4M=NGAN-ZM47V=45°=ZMAN,
AM=AM
在AAMN與AAA/G中,<NGAM=NNAM,:./\AMN^/\AMG(SAS),-,MN=GM,
AN=AG
又?BM-BG=GM,BG=DN,0BM-DN=MN.
故答案為:BM-DN=MN-.
(3)如圖,在£W上取一點(diǎn)G,使得QG=8M,連接4G,
回四邊形A8CD是正方形,
S1AB=AD=BC=CD,ZABM=ZADG=ZBAD=90P,ABIICD,
'AB=AD
在AA8用與AAOG中,<NABM=NAZ)G,^ABM^^ADG(SAS),.-.AM=AG,ZMAB=ZGAD,
BM=DG
^ZMAB+ZBAG=ZGAD+ZBAG,回ZM4G=ZBAD=90°,
又ZMAN=45°,乙GAN=NM4G-AMAN=45°=AMAN,
AM=AG
在△4MN與中,\ZMAN=ZGAN,.?.△AAW?AAGN(SAS),.?.MV=GN=10,
AN=AN
設(shè)DG=BM=x,mCN=6,MC=8,
⑦DC=DG+GN—CN=x+10—6=x+4,BC=MC—BM=8—x,
田DC=BC,團(tuán)x+4=8—x,解得:x=2,⑦AB=BC=CD=CN=6,
SABHCD,^ABAP=^CNP,
/APB=/NPC
在AABP與ANCP中,,NBAP=NCNP,:.△ABP^ANCP(AAS),:.CP=BP=-BC=3,
AB=CN
E1CP的長(zhǎng)為3.
模型二、平移全等模型
例.如圖,在幽8c和回OEF中,8,E,C,F在同一條直線上,A8//DE,AB=。£,財(cái)=I3D.(1)求證:^ABC^DEF;
(2)若BF=11,EC=5,求BE的長(zhǎng).
【答案】(1)見解析;(2)BE=3.
【詳解】(1)證明:0ABI3DE,00ABC=0DEF,
"ZA=ND
在OABC和回DEF中,AB=DE00ABC00DEF(ASA);
/ABC=ZDEF
(2)解:函ABCEBDEF,0BC=EF,0BC-EC=EF-EC,即BE=CF,
0BF=11,EC=5,0BF-EC=6.0BE+CF=6.0BE=3.
【變式訓(xùn)練1】如圖,AB//CD,AB=CD點(diǎn)E、F在BC上,且BF=CE.
(1)求證:回ABE03DCF(2)求證:AE〃DF.
【答案】(1)見詳解;(2)見詳解
【詳解】證明:(1)04BECD,(3NB=NC,
(38F=C£,0CF+EF=BE+EF,0BE=CF,
酎B=CD,^/\ABE^/\DCF(SAS),
(2)由(1)可得:XABE@XDCF、?ZDFC=ZAEB,
0ZDFC+ZEFD=180°,ZAEF+NAEB=180°,0/F,FD=ZAEF,0AE//DF.
【變式訓(xùn)練2】如圖,已知點(diǎn)C是AB的中點(diǎn),CD^BE,且CD=BE.
(1)求證:0ACD0I3CBE.(2)若NA=87°,NO=32°,求期的度數(shù).
【答案】(1)見解析;(2)61°
【分析】(1)根據(jù)SAS證明國(guó)ACDEBCBE;
(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得團(tuán)ACD,再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得到I3B=EIACD.
【詳解】(1)配是AB的中點(diǎn),0AC=CB,0CD//BE,^ZACD=ZCBE,
'AC=CB
在EIACD和EICBE中,<ZACD=ZCBE,?AACZ)=ACBE;
CD=BE
(2)0ZA=87°,ZD=32°,
團(tuán)ZAC£>=180°-ZA—ZD=180°-87°—32°=61°,
又EIAACDMACBE,0ZB=ZACZ)=6f.
模型三、對(duì)稱全等模型
*4)
*4)
(1)求證:RtiHABCHRtiaDEF;(2)若EIA=5:L°,求EIBOF的度數(shù).
【答案】(1)見解析;(2)78。
【詳解】(1)證明:0AE=DB,0AE+EB=DB+EB,即AB=DE.
又EBC=EIF=90°,AC=DF,回RtSABCElRtEIDEF.
(2)EEC=90°,0A=51",a3ABC=E)C-E]A=90°-51°=39°.
由(1)知RtElABC回RtElDEF,00ABC=0DEF.a3DEF=39°.
a3BOF=0ABC+?BEF=39°+39°=78°.
【變式訓(xùn)練1】如圖,EB交AC于M,交FC于D,AB交FC于N,ZE=ZF=90%ZB=ZC,AE=AF,
給出下列結(jié)論:①/l=/2;②BE=CF;③△ACNgZXABM;?CD=DN.其中正確的結(jié)論有()
【解答】B
【解析】VZE=ZF=909,ZB=ZC,AE=AF,/.AABE^AACF,;.BE=CF,
VZBAE=ZCAF,ZBAE-ZBAC=ZCAF-ZBAC,:.A\=Z2,
.,.△ABE^AACF,/.ZB=ZC,AB=AC,XVZBAC=ZCAB,.,.△ACN^AABM,
④CD=DN不能證明成立,,共有3個(gè)結(jié)論正確.
【變式訓(xùn)練2】如圖,AB=AC,BE_LAC于E,CF_LAB于F,BE,CF交于D,則以下結(jié)論:①4ABE絲
△ACF;?ABDF^ACDE;③點(diǎn)D在/BAC的平分線上.正確的是()
A.①B.②C.①②D.①②③
【解答】D
【解析】:BEJ_AC于E,CFJ_AB于F,/AEB=/AFC=90°,
VAB=AC,ZA=ZA,/.AABE^AACF(第一個(gè)正確),,AE=AF,,BF=CE,
TBE_LAC于E,CFJ_AB于F,ZBDF=ZCDE,.,.△BDF0Z\CDE(第二個(gè)正確),;.DF=DE,
連接AD,:AE=AF,DE=DF,AD=AD,AAAED^AAFD,
;.NFAD=NEAD,即點(diǎn)D在NBAC的平分線上(第三個(gè)正確).
模型四'旋轉(zhuǎn)全等模型
例.如圖,EWBC和MOE中,AB=AC,AD=AE,I2BAC=E]OAE,且點(diǎn)8,D,E在同一條直線上,若13cAE+EMCE+MDE=130。,
則MDE的度數(shù)為()
A.50°B.65°C.70°D.75°
【答案】B
【詳解】ABAC=/DAE..ABAC-ADAC=Z.DAE-ADACABAD=ZCAE
AB=AC
AB=AC,AD=AE:.在^BAD和VC4E中,NBA。=ZCAE
AD^AE
?.ABAD名VCAE(SAS)ZABD=ZACE
ZCAE+ZACE+ZADE=130°,ZABD+ZBAD+ZADE=130°
ZADE=ZABD+ABAD:.2ZADE=130°/.ZADE=65°故選:B.
【變式訓(xùn)練1】如圖,將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到正方形ABCD,,線段CD,BY交于點(diǎn)E,
若DE=1,則正方形的邊長(zhǎng)等于.
【答案】2+73
【詳解】解:連接47、AE,延長(zhǎng)U8咬4C于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作GF0DC于G,
由題意得,AD=AB',QD=^AB'E,SB'AB=60°^CAB=^GCB'=45°,02加8'=30°,回CAB'=15°
[AD=AB'
在R7H4DE與RTBAB'E中4廣一廠,回R71MDEI3R7TMB£(灰),
[AE=AE
^DAE=SB/AE=y^DAB'=15°,DE=EB'=1,釀B'AE=E1CA8'
ZB'AE=ZCAB'
在M8'E和ELAB'F中,,EEW8'E0EW8'F(ASA),回EB'=8F=1
/EB'A=NFB,A
回回?!?'=360°-回。-團(tuán)EB'A-^DAB'=150°,EBGEF=30°
在RT^EGF中,EG=EFxcos0GfF=2x也=Q,DF=EFxsin^GEF=2xg=1
22
在團(tuán)CGF中,0GCF=45°,SCG=GF=1,WC=DE+EG+GC=2+^
所以正方形的邊長(zhǎng)為2+6,故答案為2+港
【變式訓(xùn)練1】如圖,AC±BC,DC±EC,AC=BC,DC=EC,
求證:(1)AACEMABC。;(2)AE±BD.
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【詳解】證明:(1)QACJ.BC,DCLEC,:.ZACB=NDCE=90。,
ZACB+ZACD=ADCE+ZACD■ZDCB=ZECA,
AC=BC
在ADCB和AECA中,<NDCB=NECA,ADCB勺AEC4(5AS):
CD=CE
(2)如圖,設(shè)AC交8。于N,AE交BD于O,
\\DCB^\ECA,..NA=N8,-:ZAND=ZBNC,ZB+ZBNC=90°,
ZA+ZAND=90°,:.ZAON=90°,:.AE±BD.
【變式訓(xùn)練2】如圖,AB^AC,AE=AD,NC4B=NEW=a.
(1)求證:△AECMAADB;(2)若a=90°,試判斷30與CE的數(shù)量及位置關(guān)系并證明;
(3)若NC4B=NE4O=a,求NCE4的度數(shù).
E
(y
【答案】(1)見詳解;(2)BD=CE,BD0CE;(3)900-y
【,詳解】(1)03CAB=EIEADa21CAB+l3BAE=GIEAD+!3BAE,00CAE=0BAD,
AB^AC
0AB=AC,AE=AD在EIAEC和E1ADB中<NC4E=N3AD|3E]AECEEADB(SAS)
AE=AD
(2)CE=BD且CEE1BD,證明如下:將直線CE與AB的交點(diǎn)記為點(diǎn)0,
由(1)可知0AEO33ADB,0CE=BD,回ACE/ABD,
00BOF=0AOC,E)a=90°,00BFO=SCAB=0a=90°,0CE0BD.
(3)過(guò)A分另lj做AM回CE,ANI3BD由(1)知回AECEBADB,
團(tuán)兩個(gè)三角形面積相等故AM-CE=AN-BD@AM=AN@AF平分I3DFC
1a
由(2)可知團(tuán)BFC=團(tuán)BAC=a麗DFC=1800-a團(tuán)團(tuán)CFA=一團(tuán)DFC=90。一一
22
【變式訓(xùn)練3】如圖①,在M8C中,購(gòu)=90°,AB=AC=^2+1,BC=2+五,點(diǎn)、D、E分別在邊AB、AC
上,且AD=AE=1,DE=0.現(xiàn)將MDE繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為a(0°<?<180°).如圖②,
連接CE、BD、CD.
(1)如圖②,求證:CE=BD;
(2)利用備用圖進(jìn)行探究,在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中CE所在的直線能否垂直平分8D?如果能,請(qǐng)猜想a的度數(shù),
畫出圖形,并將你的猜想作為條件,給出證明;如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,當(dāng)她CD的面積最大時(shí),a=(直接寫出答案即可)
圖①圖②備用圖
【答案】(1)證明見解析;(2)能,a=90。:(3)“=135。.
【詳解】(1)證明:如圖2中,根據(jù)題意:AB=AC,AD^AE,^CAB=AEAD=90°,
?/ZCAE+ZBAE=ZBAD+ZBAE=90°,/.ZCAE^ZBAD,
AC=AB
在AACE和AABD中,■ZCAE=NBA。,MC£=AABD(SAS),;.CE=BD-.
AE=AD
(2)能,若CE所在直線垂宜平分BD,則CD=8C,
兇8="=應(yīng)+1,8c=2+0,AD=AE=1,DE=&,
^AC+AD=yf2+\+]=2+yf2,CD=BC=2+-/2,^\AC+AD=CD,即A、C、D在同一條直線上,止匕時(shí)a=90。,
如下圖,CE的延長(zhǎng)線與8D交于F,
與(1)同理可得A4CEWA/1B5S4S),.?.ZACE=NAJ5£),
vZAC£+ZAEC=90°,HZAEC=ZFEB,:.ZABD+^FEB=90°,:.ZEFB=9G°,CF1BD,
?.?BC=C£>,.1CP是線段8。的垂直平分線;
(3)解:AZJCD中,邊BC的長(zhǎng)是定值,則3C邊上的高取最大值時(shí)MCD的面積有最大值,
,當(dāng)點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線上時(shí),AB8的面積取得最大值,如圖中:
?/AB=AC=>/2+l,AD=AE=\,NC4B=NE4r)=90°,£>GJ_BC于G,
...AG=-BC=^^,ZG4B=45°,
22
DG=AG+AD=^^+\=^^,NZMB=180°—45°=135°,
22
.?.MCD的面積的最大值為:LBCZ)G」(0+2)(叵^)=3圓§,旋轉(zhuǎn)角。二⑶。.
2222
模型五、手拉手全等模型
例.如圖,B,C,E三點(diǎn)在一條直線上,AA3C和ADCE均為等邊三角形,3。與AC交于點(diǎn)M,AE
與CO交于點(diǎn)N,
(1)求證:AE=BD;(2)若把AQCE繞點(diǎn)。任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度,(1)中的結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)見解析(2)成立,理由見解析.
【詳解】解:(1)證明:如圖1中,?.?AABC與ADCE都是等邊三角形,
AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE="°,
?/ZACB+ZACD+ZDCE=180,/.ZACD=60°,ZACB+ZACD=ZACD+ZDCE,
BC=AC
即NBCD=ZACE.在ABC。和AACE中,JNBC。=NACE,
CD=CE
:.ABCDvAACE(SAS).:.BD=AE.即AE=BD,
(2)成立AE=BD:理由如下:如圖2中,???△ABC、AOCE均為等邊三角形,
BC=AC,CD=CE,NBCA=NDCE=60。,
ZBCA+ZACD=NDCE+ZACD,即ZBCD=ZACE,
AC=BC
?/在MCE和ABCD中,</BCD=NACE,/.MCE=ABCD(SAS),;.AE=BD.
CD=CE
【變式訓(xùn)練1】如圖,I3OAB和回OCD中,OA=OB,OC=OD,0AOB=0COD=9O°,AC、BD交于點(diǎn)M.⑴如
圖1,求證:AC=BD,判斷AC與BD的位置關(guān)系并說(shuō)明理由;
(2)如圖2,0AOB=EICOD=60。時(shí),團(tuán)AMD的度數(shù)為.
【答案】⑴答案見解析;(2)120;
【詳解】(1)NAOB=NCOD=90,ZAOB+ZAOD=ZCOD+ZAOD.
即:ZBOD=ZAOC.
??1OA=OB,OC=OD,易證ABOD^AAOC.
:"OBD=/OAC.AC=BD
0ZAMD=ZABM+ZBAM,ZBAM=ZBAO+ZOAC.
0ZAMD=ZABM+ZBAO+ZOBD=/OBA+ZBAO.
SZAOB=90,.SZOBA+ZBAO=90*.,ZAMD=90\由AC團(tuán)BD
(2)同理可得.ZAMD=ZOBA+ZBAO.ZAOB=60.NOBA+ZBAO=120°.
.?.NAM£)=120°.故答案為:120°.
【變式訓(xùn)練2】如圖,將兩塊含45。角的大小不同的直角三角板回COD和回AOB如圖①擺放,連結(jié)AC,BD.(1)
如圖①,猜想線段AC與BD存在怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,請(qǐng)寫出結(jié)論并證明;(2)將圖①中的回COD
繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度(如圖②),連結(jié)AC,BD,其他條件不變,線段AC與BD存在(1)中的關(guān)
系嗎?請(qǐng)寫出結(jié)論并說(shuō)明理由.(3)將圖①中的回COD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度(如圖③),連結(jié)AC,
BD,其他條件不變,線段AC與BD存在怎樣的關(guān)系?請(qǐng)直接寫出結(jié)論.
【答案】(1)AC=BD,AC0BD,證明見解析;(2)存在,AC=BD,AC0BD,證明見解析;(3)AC=BD,AC0BD
【詳解】(1)AC=BD,ACI3BD,證明:延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E.
03COD和?AOB均為等腰直角三角形,0OC-OD,OA=OB,0COA=I3BOD=9O5,
EBAOCEBBOD(SAS),0AC=BD,00OAC=0OBD,
B0ADE=0BDO,00AED=(3BOD=9O。,0AC0BD;
(2)存在,證明:延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)F,交AO于點(diǎn)G.
aaCOD和mAOB均為等腰直角三角形,0OC=OD,OA=OB,0DOC=BOA=9O?,
00AOC=fflDOC-0DOA,E1BOD=0BOA-EIDOA,
00AOC=0BOD,EI3AOC00BOD(SAS),回AC=BD,0OAC=0OBD,
BI3AGF=0BGO,EEAFG=EIBOG=90。,I3AC[?IBD;
(3)AC=BD,AC0BD.證明:BD交AC于點(diǎn)H,AO于M,
I3EIC0D和EIAOB均為等腰直角三角形,0OC=OD,OA=OB,EIDOC=BOA=90。,
E0AOC=I3DOC+EIDOA,回BOD=I2BOA+EIDOA,
00AOC=I3BOD,00AOC00BOD(SAS),E1AC=BD,0OAC=0OBD,
B0AMH=(aBMO,00AHM=0BOH=9O5,0ACEIBD.
【變式訓(xùn)練3】已知:如圖1,在AA8C和AADE中,ZC=ZE,ZCAE=ZDAB,BC=DE.(1)
證明A4BC^AAZ)E.(2)如圖2,連接CE和8力,OE,AO與BC分別交于點(diǎn)M和N,NDMB=56。,
求NACE的度數(shù).(3)在(2)的條件下,若CN=EM,請(qǐng)直接寫出NCBA的度數(shù).
【答案】(1)證明見解析;(2)MCE=62°;(3)I3C8A=6°.
【詳解】解:(1)aaCAE=0DAB,EBCAE+EICAD=0DAB+0CAD,即團(tuán)CAB=?EAD,
NC=NE
在EIABC和回ADE中,{ACAB=ZEADEBABC00ADE(AAS),
BC=DE
(2)00ABC00ADE,00CBA=0EDA,AC=AE,
在ISMND和鼬NB中,00EDA+0MND+EIDMB=180",I3CBA+(3ANB+0DAB=180".
X0(3MND=I?IANB,回EIDAB=(3DMB=56°,EBCAE=(3DAB=56°,
0AC=AE,EEACE=0AEC=-(18O°-56°)=62°,E0ACE=62°,
如圖所示,連接AM,???4C4=4ffi4,CN=EM,CA=EA,,VNC4MVME4(SAS),
AM二AN,NE4M=ZCAN,,ZEAM-ZCAM=/CAN-ZCAM即ZEAC=AMAN,
山(2)可得:ZEAC=ZMAN=56°,--ZAW=1(180°-56°)=62°,
2
0CAE=0DAB=56°NCBA=ZANM-ZDAB=62°-56°=6°.
課后訓(xùn)練
1.如圖,已知AB=AD,BC=DE,且NC4£>=10。,ZB=ZD=25°,NE45=120°,則NEGF的度
數(shù)為()
A.120°B.135°C.115°D.125°
【答案】C
AB^AD
【詳解】在aABC和MDE中,ZB=ZD團(tuán)aABCSMDE(54S)^EBAC=SDAE
BC=DE
WEAB=SBAC+SDAE^CAD=120°^\BAC=^DAE=x(120°-10°)=55°
EB8AF=I38AC+{33D=65°回在附FB中,EWFS=18O0-0B-0B4F=9OO00GFD=9O°
在EIFGD中,?EGF=E)D+E]GFD=:L15°故選:C
4
2.如圖,EIABC中,E在BC上,D在BA匕過(guò)E作EFI3AB于F,08=01+02,AB=CD,BF=-,則AD的長(zhǎng)
3
為.
【詳解】在網(wǎng)上取一點(diǎn)兀使得F7=BF,連接ET,在CB上取一點(diǎn)K,使得CK=ET,連接OK.
SEB=ET,^BB=^ETB,^BETB^l+SAET,回8=131+02,SEAE7=回2,
^AE=CD,ET=CK,^BAETWDCK(SAS),
WK=AT,SATE=^DKC,SSETB^DKB,EB8=EIDKB,回。8=DK,^BD=AT,SAD=BT,
888
WT=2BF=-,豳。=一,故答案為:一.
333
3.如圖,?A2?C,BD平分/ABC,BC=10,A8=6,則AD=
【答案】4
【詳解】解:(1)在8c上截取8E=8A,如圖,
08D平分幽8C,SEL4BD=13EBD,
BE=BA
在0A8D和團(tuán)BED中,<ZABD=Z.EBD,0a48DEBE8D(SA5),
BD=BD
SiDE=AD,SBED=SA,又皿=2I3C,00e£D=0C+(3EDC=20C,
EEEDC=EIC,回ED=EC,SEC=AD,^\BC^BE+EC=AB+AD,
0BC=10,AB=6,0AD=1O-6=4;故答案為:4.
4.如圖,正方形ABCD,將邊C。繞點(diǎn)D順逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a((T<a<90。),得到線段?!?連接AE,CE,過(guò)點(diǎn)A
作AfiHCE交線段CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接BF.
(1)當(dāng)AE=AB時(shí),求a的度數(shù);
(2)求證:MEF=45°;
(3)求證:AE^FB.
【答案】(1)a=30。;(2)證明見解析;(3)證明見解析.
【詳解】解:⑴在正方形4BCD中,AB=AD=DC,
由旋轉(zhuǎn)可知,DC=DE,SAE=ABQAE=AD=DE
?MED是等邊三角形,WADE=60",00ADC=90°,
圈a=MDC-aADE=90°-60°=30°.
(2)證明:在ISCOE中,DC=DE,a2DCF=0DfC=—~-=90
22
189g
在幽DE中,AD=ED,EL4DE=90°-a,^DAE=WEA=°Z(°Z)=45+?
22
0EMEC=(?IDFC+(?IDEZl=9O--+45+;=135°.EEMEF=45°,
22
(3)證明:過(guò)點(diǎn)8作8G〃CF與AF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)B作BH〃GF與CF交于點(diǎn)H,
則四邊形8GM是平行四邊形,
MFEICE,團(tuán)平行四邊形BGFH是矩形,
E)EWFP=M8C=90°,EMPF=0BPC,EEGAB=BCP,
ZGAB=NHCB
在EW8G和回C8”中,《NBGA=Z.BHC,^EABG^iCBH(AAS),
AB=CB
0BG=BH,團(tuán)矩形BGFH是正方形,EBHFB=45°,
由(2)可知:SAEF=45°,WFB=SAEF=45°,04E0FB.
5.如圖,四邊形ABCD中,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,AB=AC,點(diǎn)E是BD上一點(diǎn),且AE=AD,ZEAD
=ZBAC.
(1)求證:ZABD=ZACD;
(2)若ZACB=65。,求/BDC的度數(shù).
A
D
/\
B"------------C
【答案】(D見解析;(2)50°
【解析】(1)證明:VZBAC=ZEAD,;.NBAC—NEAC=NEAD—NEAC,即NBAE=NCAD,
AB=AC
ZBAE=Z.CAD,AAABE^AACD,.\ZABD=ZACD:
{AE=AD
(2)...NBOC是AABO和△DCO的外角,Z.ZBOC=ZABD+ZBAC,ZBOC=ZACD+ZBDC,
/.ZABD+ZBAC=ZACD+ZBDC,
VZABD=ZACD,;.NBAC=NBDC,
VZACB=659,AB=AC,/.ZABC=ZACB=652,
ZBAC=180s-ZABC-ZACB=1809-659-659=509,NBDC=NBAC=50A
6.如圖①,在如18c中,I38AC=9O。,A8=AC,點(diǎn)E在AC上(且不與點(diǎn)A、C重合),在EMBC的外部作自CED,
使I3CED=9O°,DE=CE,連接AD,分別以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABFD,連接AF.
(1)求證:EF=AE;
(2)將回CED繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí),如圖②,連接AE,請(qǐng)判斷線段AF、AE的數(shù)量關(guān)
系,并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)見解析;(2)AF=-J2AE.見解析.
【詳解】解:(1)如圖,???四邊形48FD是平行四邊形,??.A8=DF,
AB=AC,.-.AC=DF,
DE=EC,AE=EF;
(2)AF=y/2AE,證明:連接EF,設(shè)DF交8C『K,
,四邊形A8FD是平行四邊形,
???0D/C£=a4BC=45°,SiEKF=180°-SDKE=135°
,.?!?MD£=1800-l?]fDC=180o-45o=135°,二^EKF=SADE,
?-?&DKC=SC,DK=DC,vDF=AB=AC,;-KF=AD
EK=DK
在回EKF和回EDA中,-ZEKF=ZADE,/.SEKFSSEDA(SAS)
KF=AD
■■EF=EA,^KEF=^\AED,,QFEA=SBED^O°,
?,?財(cái)斤是等腰宜角三角形,AF=y/2AE.
7.如圖,在AABC中,ZACB=90°,AC=BC,E為AC邊的一點(diǎn),F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn),連接CF,交BE
于點(diǎn)D且NACF=NCBE,CG平分NACB交BD于點(diǎn)G,
(1)求證:CF=BG;
(2)延長(zhǎng)CG交AB于H,連接AG,過(guò)點(diǎn)C作CP〃AG交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,求證:PB=CP+CF;
(3)在(2)問(wèn)的條件下,當(dāng)NGAC=2NFCH時(shí)、若SAAEG=3次,BG=6,求AC的長(zhǎng).
【解答】(1)見解析;(2)見解析;(3)=3—+3
【解析】(D證明,VZACB=90",AC=BC,AZA=45",
?;CG平分NACB,.,.ZACG=ZBCG=45°,.,.ZA=ZBCG,
在4BCG和ACAF中,
ZA=ZACG
AC=BC
4ACF=/CBE
.,.△BCG^ACAF(ASA),;.CF=BG:
(2);PC〃AG,;./PCA=/CAG,
VAC=BC,ZACG=ZBCG,CG=CG,
AAACG^ABCG,...NCAG=NCBE,
,.'/PCG=NPCA+ZACG=/CAG+45°=/CBE+45°,ZPGC=ZGCB+ZCBE=ZCBE+450,
/.ZPCG=ZPGC,APC=PG,
VPB=BG+PG,BG=CF,,PB=CF+CP;
(3)如圖,過(guò)E作EM_LAG,交AG于M,
]
VSAAEG=5AG?EM=3,^,
由(2)得△ACG^^BCG,;.BG=AG=6,
-X6XEM=3A/3,EM=V^,
設(shè)NFCH=x°,則NGAC=2x°,/ACF=NEBC=NGAC=2x°,
VZACH=45°,;.2x+
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