2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)列5.3.2.1等比數(shù)列的前n項和學(xué)案含解析新人教B版選擇性必修第三冊

PAGE5.3.2等比數(shù)列的前n項和新版課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求1.探究并駕馭等比數(shù)列的前n項和公式,理解等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系2.能在詳細(xì)問題情境中,發(fā)覺數(shù)列的等比關(guān)系,并解決相應(yīng)的問題1.借助教材實例了解等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程.(數(shù)學(xué)運算)2.借助教材駕馭a1,an,q,n,Sn的關(guān)系.(數(shù)學(xué)運算)3.駕馭等比數(shù)列的前n項和公式、性質(zhì)及其應(yīng)用.(數(shù)學(xué)運算)4.能利用等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式解決實際問題,能解決數(shù)列求和等相關(guān)問題.(數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模)第1課時等比數(shù)列的前n項和必備學(xué)問·素養(yǎng)奠基等比數(shù)列的前n項和公式q=1na1q≠1a1,q,nSn=QUOTEa1,q,anSn=QUOTE對于等比數(shù)列的前n項和Sn=QUOTE=QUOTE肯定成立嗎?提示:不肯定,當(dāng)q=1時不成立.1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)若等比數(shù)列的首項a1=1,公比為2,則前n項和Sn=QUOTE. ()(2)已知等比數(shù)列的a1,q,an,則Sn=QUOTE. ()(3)等比數(shù)列1,-1,1,-1,…的前n項和等于0. ()提示:(1)×.Sn=QUOTE.(2)×.Sn=QUOTE.(q≠1)(3)×.Sn=QUOTE=QUOTE.2.已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S4=3(a1+a2),則公比q的值為()A.2 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因為S4=3(a1+a2),所以q≠1.所以QUOTE=3a1(1+q),化為q2=2,解得q=QUOTE(負(fù)值舍去).3.在等比數(shù)列{an}中,a2=1,a5=8,則數(shù)列{an}的前n項和Sn=________.

【解析】因為a2=1,a5=8,所以a5=a2q3,即q3=QUOTE=8,即q=2,首項a1=QUOTE,則數(shù)列{an}的前n項和Sn=QUOTE=2n-1-QUOTE.答案:2n-1-QUOTE關(guān)鍵實力·素養(yǎng)形成類型一等比數(shù)列前n項和的計算【典例】1.(2024·福州高二檢測)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a2+a4=2(a1+a3),且a1a3a5=512,則A.1022 B.2046 C.2048 D.42.設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和,若S3=6,S6=54,則a1=________.

【思維·引】1.利用已知項的關(guān)系解出a1和q代入公式求S10.2.先求出數(shù)列的公比,代入前n項和公式求首項.【解析】1.選B.由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,a1a3a5=QUOTE=512,所以a3=8,因為a2+a4=2(a1+a3),所以QUOTE+8q=2QUOTE,整理可得,q3+q=2(1+q2),所以q=2,a1=2,S10=QUOTE=2046.2.因為S3=QUOTE=6,S6=QUOTE=54,所以QUOTE=1+q3=9,解得q3=8,則q=2,所以QUOTE=6,解得a1=QUOTE.答案:QUOTE【內(nèi)化·悟】本例2中的消元方法是什么?有什么優(yōu)點?提示:利用兩式相除消元,消去a1的同時起到了降低次數(shù)的作用.【類題·通】等比數(shù)列前n項和的運算技巧(1)留意考查條件,公比為1時是否成立.(2)涉及的基本量有a1,q,n,an,Sn共五個,“知三求二”,經(jīng)常列方程組來求解.(3)消元解方程組的過程中,經(jīng)常用到兩式相除、整體代入的方法.【習(xí)練·破】1.(2024·全國Ⅱ卷)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若a5-a3=12,a6-a4=24,則QUOTE= ()A.2n-1 B.2-21-nC.2-2n-1 D.21-n-1【解析】選B.設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由a5-a3=12,a6-a4=24可得:QUOTE?QUOTE,所以an=a1qn-1=2n-1,Sn=QUOTE=QUOTE=2n-1,因此QUOTE=QUOTE=2-21-n.2.(2024·吉林高二檢測)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,其前n項和為Sn,a1=QUOTE,6QUOTE=a6,則S5=________.

【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.因為a1=QUOTE,6QUOTE=a6,所以6×QUOTE=QUOTEq5,解得,q=2,則S5=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【加練·固】(2024·株洲高二檢測)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,若a1=QUOTE,QUOTE=a6,則S4=________.

【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.因為a1=QUOTE,QUOTE=a6,所以QUOTE=QUOTEq5,解得,q=2,則S4=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE類型二等比數(shù)列前n項和的實際應(yīng)用【典例】中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題:“三百七十八里關(guān),初行健步不犯難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行數(shù)里,請公細(xì)致算相還”.其意思為:“有一個人走378里路,第一天健步行走,從其次天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地”,請問從第幾天起先,走的路程少于30里 ()A.3 B.4 C.5 【思維·引】首先推斷數(shù)列類型,其次確定數(shù)列的基本量計算.【解析】選B.此人每天走的步數(shù)構(gòu)成以QUOTE為公比的等比數(shù)列,所以QUOTE=378,解得a1=192,所以an=192×QUOTE=384×QUOTE,因為384×QUOTE<30,所以2n>12.8,閱歷證可得n≥4,即從第4天起先,走的路程少于30里.【內(nèi)化·悟】從本例條件中可以提取哪些等比數(shù)列的基本量?提示:Sn=378,q=QUOTE,n=6.【類題·通】解答數(shù)列應(yīng)用問題的方法(1)推斷、建立數(shù)列模型①改變“量”是同一個常數(shù):等差數(shù)列;②改變“率”是同一個常數(shù):等比數(shù)列.(2)提取基本量從條件中提取相應(yīng)數(shù)列的基本量a1,q(d),n,an,Sn,列出方程(組)求解.【習(xí)練·破】(2024·汕尾高二檢測)中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題:今有牛、馬、羊食人苗,苗主責(zé)之粟五斗,羊主曰:“我羊食半馬.”馬主曰:“我馬食半牛.”今欲衰償之,問各出幾何?此問題的譯文是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,禾苗主子要求賠償5斗粟.羊主子說:“我羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主子說:“我馬所吃的禾苗只有牛的一半.”準(zhǔn)備按此比例償還,他們各應(yīng)償還多少?該問題中,1斗為10升,則羊主子應(yīng)償還多少升粟A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.設(shè)牛、馬、羊所吃禾苗分別為a1,a2,a3,則{an}是公比為QUOTE的等比數(shù)列,所以S3=QUOTE=50,解得a1=QUOTE,所以羊主子應(yīng)償還:a3=QUOTE×QUOTE=QUOTE升粟.類型三等比數(shù)列前n項和的簡潔性質(zhì)角度1前n項和公式的函數(shù)特征【典例】已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn=λ·3n-1-1(λ∈R),則QUOTE= ()A.QUOTE B.3 C.6 D.9【思維·引】利用前n項和公式的結(jié)構(gòu)特征求出λ及公比,再利用Sn的表達(dá)式計算;也可由Sn表示出a1,a2,a3后求λ及公比,再利用Sn的表達(dá)式計算.【解析】選D.方法一:Sn=λ·3n-1-1=QUOTE·3n-1,所以QUOTE=1,λ=3且q=3,又a1=S1=3·3n-1-1=2,QUOTE=QUOTE=9;方法二:等比數(shù)列{an}滿意Sn=λ·3n-1-1,當(dāng)n=1時,有a1=S1=λ-1,有a2=S2-S1=(3λ-1)-(λ-1)=2λ,a3=S3-S2=(9λ-1)-(3λ-1)=6λ,則有6λ×(λ-1)=(2λ)2,解可得λ=3或0(舍),首項a1=2,則QUOTE=QUOTE=9.【素養(yǎng)·探】等比數(shù)列的前n項和公式實質(zhì)是關(guān)于n的函數(shù),再利用其結(jié)構(gòu)特征可以確定系數(shù)之間的關(guān)系,這用到了核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象.將本例中的條件變?yōu)椤癝n=3×2n+a”,則S5=________.

【解析】數(shù)列{an}是等比數(shù)列,①若q=1,明顯Sn=3×2n+a,不成立.②故數(shù)列{an}的公比q≠1,所以Sn=QUOTE=-QUOTEqn+QUOTE,故q=2,QUOTE=-3,故a=-3.所以S5=3×25-3=93.答案:93角度2前n項和的性質(zhì)【典例】設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S3=8,S6=7,則a7+a8+a9= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【思維·引】利用S3,S6-S3,S9-S6的關(guān)系求值.【解析】選A.方法一:由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)知S3,S6-S3,S9-S6成等比數(shù)列,又a7+a8+a9=S9-S6,則S3,S6-S3,a7+a8+a9成等比數(shù)列,從而a7+a8+a9=QUOTE=QUOTE.方法二:因為S6=S3+S3q3,所以q3=QUOTE=-QUOTE,所以a7+a8+a9=S9-S6=S3q6=8×QUOTE=QUOTE.【類題·通】1.等比數(shù)列前n項和公式的特征數(shù)列{an}是特別數(shù)數(shù)列的等比數(shù)列?Sn=-Aqn+A(A≠0,q≠0,1,n∈N+).即指數(shù)式的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù),其中A=QUOTE.2.等比數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)等比數(shù)列的前n項和為Sn,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數(shù)列.【習(xí)練·破】(2024·重慶高二檢測)已知公比不為1的正項等比數(shù)列{an}的前n項和,前2n項和,前3n項和分別為A,B,C,則 ()A.A+C>2B B.AC<B2C.AC>B2 D.A+C<2B【解析】選B.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則B=A+Aqn,C=A+Aqn+Aq2n,則AC=A2(1+qn+q2n),B2=A2(1+2qn+q2n),又q>0,故AC<B2.A+C-2B=QUOTE+QUOTE-2·QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE,當(dāng)q>1時A+C>2B,當(dāng)0<q<1時A+C<2B,故A,C不正確.【加練·固】一個等比數(shù)列的首項是1,項數(shù)是偶數(shù),其奇數(shù)項的和為85,偶數(shù)項的和為170,求此數(shù)列的公比和項數(shù).【解析】因為S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…+a2n-1q=(a1+a3+…+a2n-1)q=S奇·q.所以q=QUOTE=QUOTE=2.又Sn=85+170=255,據(jù)Sn=QUOTE,得QUOTE=255,所以2n=256,所以n=8.即公比q=2,項數(shù)n=8.課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.等比數(shù)列1,a,a2,a3,…的前n項和為 ()A.1+QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.以上都不對【解析】選D.當(dāng)a=1時,Sn=n.2.在等比數(shù)列{an}中a1+a2=1,a4+a5=27,則{an}的前5項和為 ()A.29 B.QUOTE C.30 D.QUOTE【解析】選D.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則QUOTE,解得QUOTE,因此,數(shù)列{an}的前5項和S5=QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.數(shù)列{2n-1}的前99項和為 ()A.2100-1 B.1-2100C.299-1 D.1-299【解析】選C.數(shù)列{2n-1}為等比數(shù)列,首項為1,公比為2,故其前99項和為S99=QUOTE=299-1.4.已知首項為3的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若2S2=S3+S4,則a2020的值為________.

【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.因為a1=3,2S2=S3+S4,當(dāng)q=1時明顯不成立,故q≠1,所以QUOTE=QUOTE+QUOTE,整理可得,q2+q-2=0