人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊學(xué)案：6 2 3　組合

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE16.2.3組合課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過實(shí)例理解組合的概念.2.會解決簡單的組合問題.通過學(xué)習(xí)組合的概念，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).自主梳理1.組合的概念一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.2.排列與組合之間的聯(lián)系與區(qū)別從排列與組合的定義可以知道，兩者都是從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，這個(gè)是共同點(diǎn)，但排列與元素的順序有關(guān)，而組合與元素的順序無關(guān)，只有元素相同且順序也相同的兩個(gè)排列才是相同的，而兩個(gè)組合只要元素相同，不論元素的順序如何，都是相同的.區(qū)分一個(gè)問題是排列問題還是組合問題，關(guān)鍵是看它有無順序，有順序的是排列問題，無順序的是組合問題.自主檢驗(yàn)1.思考辨析，判斷正誤(1)從a，b，c三個(gè)不同的元素中任取兩個(gè)元素的組合有6個(gè).(×)〖提示〗從a，b，c三個(gè)不同的元素中任取兩個(gè)元素的組合有{a，b}，{a，c}，{b，c}3個(gè).(2)從1，3，5，7中任取兩個(gè)數(shù)相乘可得6個(gè)積.(√)(3)1，2，3與3，2，1是同一個(gè)組合.(√)(4)“10人相互通一次電話，共通多少次電話”是組合問題.(√)2.以下四個(gè)問題，屬于組合問題的是()A.從3個(gè)不同的小球中，取出2個(gè)排成一列B.老師在排座次時(shí)將甲、乙兩位同學(xué)安排為同桌C.在電視節(jié)目中，主持人從100位幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星D.從13位司機(jī)中任選出兩位開同一輛車往返甲、乙兩地〖答案〗C〖解析〗只有從100位幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星與順序無關(guān)，是組合問題.3.從5人中選3人參加座談會，其中甲必須參加，則不同的選法有()A.60種 B.36種C.10種 D.6種〖答案〗D〖解析〗甲必須參加，因此只要從除甲之外的4人中選2人即可，有6種不同的選法.4.甲、乙、丙三地之間有直達(dá)的火車，相互之間距離均不相等，則車票票價(jià)的種數(shù)是____(假設(shè)票價(jià)只與距離有關(guān)).〖答案〗3題型一組合概念的理解〖例1〗判斷下列問題是排列問題還是組合問題.(1)a，b，c，d四支足球隊(duì)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，共需比賽多少場？(2)a，b，c，d四支足球隊(duì)爭奪冠、亞軍，有多少種不同的結(jié)果？(3)從全班40人中選出3人分別擔(dān)任班長、副班長、學(xué)習(xí)委員三個(gè)職務(wù)，有多少種不同的選法？(4)從全班40人中選出3人參加某項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？解(1)單循環(huán)比賽要求兩支球隊(duì)之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題.(2)冠、亞軍是有順序的，是排列問題.(3)3人分別擔(dān)任三個(gè)不同職務(wù)，有順序，是排列問題.(4)3人參加某項(xiàng)相同活動(dòng)，沒有順序，是組合問題.思維升華區(qū)分排列與組合的辦法是首先弄清楚事件是什么，區(qū)分的標(biāo)準(zhǔn)是有無順序，而區(qū)分有無順序的方法是：把問題的一個(gè)選擇結(jié)果寫出來，然后交換這個(gè)結(jié)果中任意兩個(gè)元素的位置，看是否產(chǎn)生新的變化，若有新變化，即說明有順序，是排列問題；若無新變化，即說明無順序，是組合問題.〖訓(xùn)練1〗判斷下列問題是排列問題還是組合問題.(1)集合{0，1，2，3，4}的含三個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)是多少？(2)某小組有9位同學(xué)，從中選出正、副班長各一名，有多少種不同的選法？若從中選出2名代表參加一個(gè)會議，有多少種不同的選法？解(1)由于集合中的元素是無序的，一個(gè)含三個(gè)元素的集合就是一個(gè)從0，1，2，3，4中取出3個(gè)數(shù)組成的集合.這是一個(gè)組合問題.(2)選正、副班長時(shí)要考慮順序，所以是排列問題；選代表參加會議是不用考慮順序的，所以是組合問題.題型二簡單的組合問題〖例2〗有5名教師，其中3名男教師，2名女教師.(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會議，有__________種不同的選法；(2)選出2名男教師或2名女教師參加會議，有________種不同的選法；(3)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會議，有__________種不同的選法.〖答案〗(1)10(2)4(3)3〖解析〗(1)從5名教師中選2名去參加會議的選法種數(shù)，通過列舉法可得共有10種不同的方法.(2)可把問題分兩類情況：第1類，選出的2名是男教師，有3種方法；第2類，選出的2名是女教師，有1種方法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有3＋1＝4(種)不同選法.(3)從3名男教師中選2名的選法有3種，從2名女教師中選2名的選法有1種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有不同的選法3×1＝3(種).思維升華(1)解簡單的組合應(yīng)用題時(shí)，首先要判斷它是不是組合問題，組合問題與排列問題的根本區(qū)別在于排列問題與取出元素之間的順序有關(guān)，而組合問題與取出元素的順序無關(guān).(2)要注意兩個(gè)基本原理的運(yùn)用，即分類與分步的靈活運(yùn)用.在分類和分步時(shí)，一定注意有無重復(fù)或遺漏.〖訓(xùn)練2〗一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的4個(gè)白球和1個(gè)黑球.(1)從口袋內(nèi)取出的3個(gè)小球，共有多少種取法？(2)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有1個(gè)黑球，有多少種取法？(3)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？解(1)從口袋內(nèi)的5個(gè)球中取出3個(gè)球，取法種數(shù)是10.(2)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球有1個(gè)是黑球，于是需要從4個(gè)白球中取出2個(gè)，取法種數(shù)是6.(3)由于所取出的3個(gè)球中不含黑球，也就是要從4個(gè)白球中取出3個(gè)球，取法種數(shù)是4.題型三雙重元素的組合問題〖例3〗某中學(xué)要從4名男生和3名女生中選4人參加公益活動(dòng)，若男生甲和女生乙不能同時(shí)參加，則不同的選派方案共有()A.25種 B.35種C.820種 D.840種〖答案〗A〖解析〗分三類完成：男生甲參加，女生乙不參加，只需在其余5人中選3人，有10種選法；男生甲不參加，女生乙參加，只需在其余5人中選3人，有10種選法；兩人都不參加，只需在其余5人中選4人，有5種選法.由分類加法計(jì)數(shù)原理共有10＋10＋5＝25(種)不同的選派方案.思維升華本題用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題，兩個(gè)原理的區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理每次得到的是最后結(jié)果，分步乘法計(jì)數(shù)原理每次得到的是中間結(jié)果，即每次僅完成整件事情的一部分，當(dāng)且僅當(dāng)幾個(gè)步驟全部做完后，整件事情才算完成.〖訓(xùn)練3〗某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課5門，一位同學(xué)要從中選3門.若要求兩類課程中各至少選1門，則不同的選法共有()A.15種 B.30種C.45種 D.90種〖答案〗C〖解析〗分兩類，A類選修課選1門，B選修課選2門，或者A類